2.3.1数乘向量学案

§3从速度的倍数到数乘向量

3.1数乘向量

1．数乘向量及运算律

(1)向量数乘的定义

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)向量数乘的运算律

设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：

①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；

②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.

思考1：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？

[提示]3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．

－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．

2．共线向量定理

(1)判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a

共线．

(2)性质定理

若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa .

思考2：若b ＝2a ，b 与a 共线吗？

[提示]根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线．

如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向

量；反之，如果b 与a (a ≠0)共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa

.

1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12

CD →，则此四边形是()

A ．平行四边形

B ．菱形

C ．梯形

D ．矩形2．下列各式计算正确的有()①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ；

③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b .

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．已知向量a 与b 不共线，向量c ＝3a －b ，d ＝6a －2b ，则向量c 与d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)4.13

12(2a ＋8b )－(4a

－2b )＝________.向量数乘的定义

【例1】已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．

(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；

(2)－2a 的方向与3a 的方向相反，且－2a 的模是3a 模的23

倍；(3)－2a 与2a 是一对相反向量；

(4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．

对数乘向量的四点说明

(1)λa 的实数λ叫作向量a 的系数．

(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．

(3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0.

(4)

向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．

1．已知λ，μ∈R ，则在下列各命题中，正确的命题有(

)

①λ<0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相反；

②λ>0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相同；

③λμ>0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相同；

④λμ<0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相反．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4

个向量的线性运算

【例2】(1)计算下列各式：①3(a －2b ＋c )－(2c ＋b －a )；

②25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215

(2a ＋13b )．(2)设x ，y 是未知向量．

①解方程5(x ＋a )＋3(x －b )＝0；12

x －y ＝a ，x －12

y ＝

b .1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数．

2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的

方法求解．

2．(1)化简4(a ＋b )－3(a －b )＝________.

(2)若－13a －12

(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，c ，b 为已知向量，则未知向量y ＝________.向量线性运算的综合应用

[探究问题]

1．若存在实数λ，使AB →＝λBC →，则A ，B ，C 三点的位置关系如何？

[提示]A ，B ，C 三点共线．

2．向量共线定理有哪两个方面的应用？

[提示](1)判断两个向量共线，若存在一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，则a 与b 共线．(2)表示两个共线向量之间的关系．若a 与b 共线(a ≠0)，则必存在一个实数λ.使b ＝λa .

3．向量共线定理应注意什么？

[提示]向量共线定理不包含0与0共线的情况，因为a ≠0.

定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .

【例3】已知非零向量e 1，e 2不共线．

(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共

线；

(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．

[思路探究]解答本题对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD

→＝λAB →即可；对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．