绝对值三角不等式
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a b
1 1 1 ab
1 1 a b 1 ab
1 a b
a 1 a
b 1 b
.
布置作业
P19 1,2,3,4,5.
绝对值三角不等式
探究新知
1.绝对值的几何意义： 如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
探究新知
同理，与原点距离大于3的点对应的 实数可表示为：
x 3
探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
ab a b
如果把定理 1 中的实数 a,b 分别换 为向量 a , b ，能得出
(2) 当 a , b 共线且同向时有
ab a b
探究新知
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
ab a b
a
ab
所以（ S x）的最小值是10,
当 10 ≤ x ≤ 20 时取到 .
答: 生活区建于两路 碑间的任意位置都满 足条件.
60 40 20
y
0
10
20
30
x
典例讲评
例3 已知 x a
2M
,0 y b
2a
, y 0, M ，
求证 xy ab . 证明： xy ab xy ya ya ab yx a a y b
典例讲评
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的 两个地点施工,这两个地点分别位于公路路 碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿 线建两个施工队的共同临时生活区,每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一 次,要使两个施工队每天往返的路程之和最 小,生活区应该建于何处?
· 10 · x · 20
1 求证： M 2
例6 已知a，b∈R，α，ຫໍສະໝຸດ Baidu是关于 x的方程x2＋ax＋b＝0的两根，且 |a|＋|b|＜1，求证: |α|＜1，|β|＜1.
典例讲评
例5 求证:
ab 1 a b
a 1 a
b 1 b
证明：在 a b 0 时，显然成立. 当 ab
1
0 时，左边
b
这个不等式俗称“三角不等式”—— 绝对值三 三角形中两边之和大于第三边，两边 角不等式 之差小于第三边
探究新知
定理2：如果a,b,c是实数，那么
a c a b bc
当且仅当（a b)(b c) 0时，等号成立
典例讲评
例1 求
已知ε >0,x-a ε , y b ε , 2x+3y-2a-3b 5ε
典例讲评
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为 S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
-2 x 30 ( x 10) S ( x) 10 (10 ≤ x ≤ 20) 2 x 30 ( x 20)
典例讲评
A a |a-b| b B x
探究新知
如何用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来?
定理1 如果a,b是实数，则|a+b|
≤|a| +|b| ，当且仅当
ab≥0时，等号成立.
探究新知
定理的证明
求证：|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
探究新知
(1) 当 a , b 不共线时有
y x a a y b M a . 2M 2a
典例讲评
ab 例4.已知 | a | 1, | b | 1, 求证 1 2 1 ab
ab ( a b) 证明： 1 1 2 1 ab (1 ab)
2
a 2ab b 1 2ab a b
2
2 2
1 a b a b 0
2 2 2 2
(1 a )(1 b ) 0
2 2
由 | a | 1, | b | 1, 可知(1 a 2 )(1 b2 ) 0 成立，
ab 所以 1 1 ab
例5 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b， x∈[－1，1]，设M＝|f(x)|max，
1 1 1 ab
1 1 a b 1 ab
1 a b
a 1 a
b 1 b
.
布置作业
P19 1,2,3,4,5.
绝对值三角不等式
探究新知
1.绝对值的几何意义： 如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
探究新知
同理，与原点距离大于3的点对应的 实数可表示为：
x 3
探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
ab a b
如果把定理 1 中的实数 a,b 分别换 为向量 a , b ，能得出
(2) 当 a , b 共线且同向时有
ab a b
探究新知
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
ab a b
a
ab
所以（ S x）的最小值是10,
当 10 ≤ x ≤ 20 时取到 .
答: 生活区建于两路 碑间的任意位置都满 足条件.
60 40 20
y
0
10
20
30
x
典例讲评
例3 已知 x a
2M
,0 y b
2a
, y 0, M ，
求证 xy ab . 证明： xy ab xy ya ya ab yx a a y b
典例讲评
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的 两个地点施工,这两个地点分别位于公路路 碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿 线建两个施工队的共同临时生活区,每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一 次,要使两个施工队每天往返的路程之和最 小,生活区应该建于何处?
· 10 · x · 20
1 求证： M 2
例6 已知a，b∈R，α，ຫໍສະໝຸດ Baidu是关于 x的方程x2＋ax＋b＝0的两根，且 |a|＋|b|＜1，求证: |α|＜1，|β|＜1.
典例讲评
例5 求证:
ab 1 a b
a 1 a
b 1 b
证明：在 a b 0 时，显然成立. 当 ab
1
0 时，左边
b
这个不等式俗称“三角不等式”—— 绝对值三 三角形中两边之和大于第三边，两边 角不等式 之差小于第三边
探究新知
定理2：如果a,b,c是实数，那么
a c a b bc
当且仅当（a b)(b c) 0时，等号成立
典例讲评
例1 求
已知ε >0,x-a ε , y b ε , 2x+3y-2a-3b 5ε
典例讲评
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为 S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
-2 x 30 ( x 10) S ( x) 10 (10 ≤ x ≤ 20) 2 x 30 ( x 20)
典例讲评
A a |a-b| b B x
探究新知
如何用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来?
定理1 如果a,b是实数，则|a+b|
≤|a| +|b| ，当且仅当
ab≥0时，等号成立.
探究新知
定理的证明
求证：|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
探究新知
(1) 当 a , b 不共线时有
y x a a y b M a . 2M 2a
典例讲评
ab 例4.已知 | a | 1, | b | 1, 求证 1 2 1 ab
ab ( a b) 证明： 1 1 2 1 ab (1 ab)
2
a 2ab b 1 2ab a b
2
2 2
1 a b a b 0
2 2 2 2
(1 a )(1 b ) 0
2 2
由 | a | 1, | b | 1, 可知(1 a 2 )(1 b2 ) 0 成立，
ab 所以 1 1 ab
例5 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b， x∈[－1，1]，设M＝|f(x)|max，