(广外)概率论试题答案+答案
上海对外贸易学院 概率论B复习题
4.
某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱，甲厂每 箱装 100 个，废品率为 0.06, 乙厂每箱装 120 个, 废品率为 0.05, 求: (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率. 解 记事件 A、B 分别为甲、乙两厂的产品, C 为废品, 则 (1) P( A) =
X pi
1 2 3 . 9 / 19 6 / 19 4 / 19
12. 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均 匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的概率. 解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
Y ~ b(80,0.01), 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为 P{Y ≥ 4} = 1 −
∑ k (0.01)
k =0
3
80
k
(0.99) 80− k = 0.0087
结果表明, 在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约 27 台), 但工作效率 不仅没有降低, 反而提高了. 9. 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是 p , 求 所需射击发数 X 的概率分布. 解 显然 , X 可能取的值是 1,2,⋯, 为计算 P{ X = k}, k = 1,2,⋯ , 设 Ak = {第
k =1
3
解此不等式得 q ≤ 0.215, 从而得 p ≥ 0.785, 即每门炮的命中率至少应为 0.785. 8. 设有 80 台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是 0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是 由 4 人维护, 每人负责 20 台; 其二是由 3 人共同维护 80 台. 试比较这两种 方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法. 以 X 记 “第 1 人维护的 20 台中同一时刻发生故障的
广外概率论期末试题及答案
广外概率论期末试题及答案概率论是一门研究随机事件出现规律的数学学科，它具有广泛的应用领域。
为了帮助同学们更好地复习概率论知识，本文将提供广外概率论期末试题及答案。
试题和答案将按照合适的格式呈现，以帮助读者更好地理解。
第一部分：选择题1. 某投篮手在训练中连续投射三次篮球，每次命中的概率为0.4。
他至少投中一次篮球的概率是多少？A. 0.48B. 0.64C. 0.84D. 0.96答案：B2. 一批产品中有10%的次品。
现从中随机抽取5个产品，求抽到两个次品的概率是多少？A. 0.3024B. 0.3629C. 0.4084D. 0.4753答案：C3. 设事件A和事件B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A并B)的值为多少？A. 0.12B. 0.18C. 0.30D. 0.42答案：B4. 掷一枚公正的骰子，求点数为偶数或大于2的概率是多少？A. 1/6B. 1/2C. 2/3D. 5/6答案：D第二部分：计算题1. 甲、乙两个独立车间生产同一种产品，甲车间的合格率为0.9，乙车间的合格率为0.8。
现从两个车间中随机抽取一件产品，求该产品是合格品的概率。
答案：(0.9 + 0.8) / 2 = 0.852. 一批电视机由两个工厂生产，其中甲工厂的次品率为0.05，乙工厂的次品率为0.08。
从这批电视机中随机抽取一台，若被抽到的电视机是次品，求它是由甲工厂生产的概率。
答案：(0.05 * 1/2) / [(0.05 * 1/2) + (0.08 * 1/2)] = 5/13第三部分：解答题1. 有两个并联的电源系统，每个系统工作时失效的概率分别为0.1和0.2。
求该并联系统全部正常工作的概率。
答案：(1-0.1) * (1-0.2) = 0.722. 某公交车站每隔10分钟一辆车，小明每天上学都乘坐这辆公交车，他等待公交车的时间服从均匀分布。
求小明上学等待公交车时间超过15分钟的概率。
概率论与数理统计试题(含答案)
概率论与数理统计期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷 闭卷A/B 卷A 课程编号2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分3命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 答：选D ，根据A B 的定义可知。
2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。
4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。
智慧树知道网课《概率论(广西师范大学)》课后章节测试满分答案
第一章测试1【单选题】(10分)事件A发生的含义是什么？A.事件A发生当且仅当事件A中没有样本点发生B.事件A发生当且仅当事件A中有所有样本点发生C.事件A发生当且仅当事件A中有一个样本点发生D.事件A发生当且仅当事件A＝Ω2【单选题】(10分)事件A与B互不相容必需满足什么条件？A.AB=∅B.AB=ΩC.A-B=∅D.A∪B=Ω3【单选题】(10分)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()。
A.1/10B.9/10C.3/10D.6/104【单选题】(10分)A.0.8B.0.4C.0.3D.5【单选题】(10分)A.0.7B.1.0C.0.4D.0.36【单选题】(10分)设一批产品中一、二、三等品各占60%，35%，5%。
现从中任意抽取一件，结果不是三等品，则取得的是一等品的概率为()。
A.7/19B.12/19C.1/13D.7【单选题】(10分)一盒球中有8只合格品，2只不合格品。
从中不返回地一只一只取，则第二次取得合格品的概率为（）。
A.28/45B.4/5C.14/45D.8/458【单选题】(10分)学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测。
现从卷面上看题是答对了,如果知道正确答案与胡乱猜测的概率都是0.5，则该学生确实知道正确答案的概率为()。
A.0.25B.0.5C.0.2D.0.89【判断题】(10分)A.对B.错10【判断题】(10分)A.错B.对第二章测试1【单选题】(10分)A.B.C.D.2【单选题】(10分)A.B.C.D.3【单选题】(10分)A.B.C.D.4【单选题】(10分)A.B.C.D.5【单选题】(10分)A.B.C.D.6【单选题】(10分)A.1.96，0.5B.1.645，0C.1.96，1D.-1.645，17【单选题】(10分)某学生三门期末成绩和学分如下：课程学分绩点A83.0B62.0C44.0请问这名学生的绩点的加权平均为()。
中国传媒大学《概率论与数理统计》2019-2020学年第二学期期末试卷A卷
一、 填空题(共6题，每题3分，共18分)1.已知事件A 和B 互斥，()0.3,()0.2,P B P A B =-= 则()P A B ⋃= .2.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,534，，则三人中至少有一人能破译此密码的概率是 .3. 设打车等待时间X (分钟) 在(0,10)上服从均匀分布，某人周一至周五均打车上班，则至少有一天等待时间大于5分钟的概率为 .4. 二维正态分布的参数形式为221212(,,,,)N μμσσρ，若随机变量(,)(1,2,4,1,0)X Y N ,则23X Y -服从________分布（要求分布包括参数）.5. 设125,,,X X X ⋅⋅⋅是来自总体(0,1)N 的样本，则C = 时，122221/2345()(++)C X X Y X X X +=服从t 分布. 6. 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知其标准差是σ。
从中随机抽取n 名， X ̅是样本均值，则该质量指标平均值的置信水平为 95% 的双侧置信区间为 .二、单项选择题(共6题,每题3分，共18分)1. 下列说法不．正确．．的是（ ）. A. 设X 是连续型随机变量，a 是一个实数，则P {X=a }=0; B. 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x), 则∫f (t )dt =1∞−∞ C. 设随机变量X 的分布函数是F(x), 则 F(x)是连续的;D ．设离散型随机变量X 的分布律是P {X =x k }=p k ,k =1,2,⋯, 则 ∑p k ∞k=1=1; 2.若协方差(,)0Cov X Y =，以下哪个选项不是．．其充分且必要条件（ ）. (A) (+)()()D X Y D X D Y =+ (B) ()()()E X Y E X E Y +=+ (C) (D) 0XY ρ=3.随机变量X 和Y 的相关系数ρXY =0.5,21Z X =-+，则ρYZ =（ ）. A. −0.5 B. 0.5 C. −1 D. 14. 已知某班概率统计课程成绩的平均分是80，方差是16，利用切比雪夫不等式估算, 随机抽取一名学生其成绩及格 (在60到100分之间) 的概率至少是 （ ）. A.1625； B. 2425 ； C. 1516； D. 34)()()(Y E X E XY E=5.n X X X ,,,21 为总体~(0,1)X N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有（ ）.(A ) ~(0,1)X N ； （B ）~(0,1)nX N ；（C ）/~(1)X S t n -； （D ）22(1)~(1)n S n χ--6.假设检验中，关于显著性检验，下列说法错误．．的是（ ）. A. 显著性检验的基本思想是“小概率原则”，即小概率事件在一次实验中是几乎不可能发生.B. 显著性水平 α 是该检验犯第一类错误的最大概率，即“拒真”概率. C ．如果在α=0.01下拒绝H 0，那么在α=0.05下一定拒绝H 0。
概率论数学考试题及答案
概率论数学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个值是X的概率密度函数？A. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)B. \(\frac{1}{2}e^{-|x|}\)C. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{x^2}{2}}\)D. \(\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}\)答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = np\)B. \(E(X) = n(1-p)\)C. \(E(X) = p\)D. \(E(X) = 1-p\)答案：A3. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)B. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} k!\)C. \(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)D. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} (k+1)!\)答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)B. \(E(X) = a\)C. \(E(X) = b\)D. \(E(X) = \frac{a+b}{3}\)答案：A6. 随机变量X服从指数分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的累积分布函数？A. \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)B. \(F(x) = e^{-\lambda x}\)C. \(F(x) = 1 - e^{\lambda x}\)D. \(F(x) = e^{\lambda x}\)答案：A7. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，下列哪个公式是X的方差？A. \(Var(X) = \sigma^2\)B. \(Var(X) = \mu^2\)C. \(Var(X) = \sigma\)D. \(Var(X) = \mu\)答案：A8. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A9. 随机变量X服从几何分布，其成功概率为p，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = (1-p)^{k-1} p\)B. \(P(X=k) = p(1-p)^k\)C. \(P(X=k) = p^k (1-p)\)D. \(P(X=k) = (1-p)^k p\)答案：A10. 随机变量X服从超几何分布，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = n \frac{M}{N}\)B. \(E(X) = n \frac{M}{N-1}\。
概率论试题及答案
概率论试题及答案五、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：A 1={男人}，A 2={女人}，B={色盲}，显然A 1∪A 2=S ，A 1 A 2=φ由已知条件知%25.0)|(%,5)|(21)()(2121====A B P A B P A P A P由贝叶斯公式，有)()()|(11B P B A P B A P =)|()()|()()|()(221111A B P A P A B P A P A B P A P +=2120100002521100521100521=⋅+⋅⋅=四、 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ). 解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0<X ≤3)= F X (3)－F X (0)=1，45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P （2）⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f四、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,01,),(22y x y cx y x f（1）试确定常数c 。
（2）求边缘概率密度。
解: l=⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-=⇒===42121432),(1025210c c dy y cydx cx dy dxdy y x f y y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--==⎰其它,011),1(821421)(~42122x x x ydy x x f X x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰+-其它01027421)(~252y y ydx d y f Y y y Y 五、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-=其它求边缘概率密度0.0,10)2(8.4),(x y x x y y x f解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-==⎰⎰∞+∞-其它10)2(4.2)2(8.4),()(02x x x dy x y dy y x f x f x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-=-==⎰⎰∞+∞-其它10)43(4.2)2(8.4),()(12y y y y dx x y dx y x f y f yY四、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x 求（1）Y=2X （2）Y=e －2x 的数学期望。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抛硬币反面朝上C. 抛硬币出现正面或反面D. 抛硬币出现正面和反面2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，以下哪个选项是正确的？A. μ是X的期望值B. σ²是X的方差C. μ是X的中位数D. σ²是X的期望值3. 假设随机变量X和Y相互独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) + P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. X的期望值是npB. X的方差是np(1-p)C. X的期望值是nD. X的方差是p(1-p)二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机变量X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) =________，其中λ > 0，k = 0, 1, 2, ...2. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为f(x) = ________，其中a < x < b。
3. 假设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ, σ²)，Y 服从正态分布N(ν, τ²)，则Z = X + Y服从正态分布N(μ+ν,________)。
4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其期望值E(X) = np，方差Var(X) = ________。
三、解答题（每题30分，共40分）1. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 < X < 2)。
2. 假设随机变量X服从二项分布B(10, 0.3)，求P(X ≥ 5)。
答案：一、选择题1. C2. A3. A4. A二、填空题1. λ^k * e^(-λ) / k!2. 1/(b-a)3. σ² + τ²4. np(1-p)三、解答题1. 根据标准正态分布表，P(-1 < X < 2) = Φ(2) - Φ(-1) =0.9772 - 0.1587 = 0.8185。
概率论参考答案
概率论参考答案概率论参考答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定性事件的发生概率。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的不确定性事件，比如抛硬币的结果、掷骰子的点数、购买彩票中奖的概率等等。
概率论的研究可以帮助我们理解这些事件的规律，从而做出更加明智的决策。
一、基本概念概率是描述事件发生可能性的一个数值，它的取值范围在0到1之间。
当事件发生的可能性为0时，我们称该事件为不可能事件；当事件发生的可能性为1时，我们称该事件为必然事件。
对于任意一个事件A，概率的计算公式为P(A) = N(A) / N(S)，其中N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中的总次数。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终为非负数，即P(A) ≥ 0。
2. 规范性：对于必然事件S，其概率为1，即P(S) = 1。
3. 可列可加性：对于两个互不相容的事件A和B，它们的并集事件的概率等于它们各自概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
条件概率的概念在实际问题中有着广泛的应用，比如在医学诊断中，根据某些症状出现的概率，可以推断出某种疾病的可能性。
四、独立性如果事件A和事件B的发生是相互独立的，那么它们的概率满足P(A∩B) = P(A) × P(B)。
简单来说，事件A的发生与事件B的发生没有关系。
独立性是概率论中一个重要的概念，它在统计学和概率模型中有着广泛的应用。
五、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
贝叶斯定理的公式为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
概率论期末试题及解析答案
概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。
1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。
1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。
1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。
2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。
解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。
解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。
现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。
解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。
P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
概率论参考答案
一、单项选择题 1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C．X与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)=( B )。
A ．nk k m q p CB．kn k k n qp C -C ．k n pq -D ．k n k q p -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．24 6．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭B．1a n n μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭C ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭D ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为Y X0 1 2-1 0 10.2 0 0.10 0.4 0 0.1 0 0.2则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.68．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F分布 D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
(广外)概率论试题答案+答案
一、填空：（20%）1．设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.5，P （B/A ）= 0.4，则P （A B ）＝ 。
2．两封信随机的向编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒投寄，前两个邮筒中各有一封信的概率是 。
3. 设三次独立重复的伯努利试验中事件A 发生的概率均为p ，若已知A 至少发生一次的概率为19/27，则p = _______________。
4．设三个相互独立的事件A 、B 、C 都不发生的概率为1/27，而且P(A)=P(B)=P(C)，则 P （A ）＝ 。
5． 设连续型随机变量X 的概率密度函数为： ax+1 0<x<2f (x) =0 其他 , 则a = ________________。
6．已知E ξ=3，E η=3，则E(3ξ-4η+3)=____________。
7. 设随机变量X 在[-6，6]上服从均匀分布，则DX ＝＿＿＿＿＿＿。
8．某汽车站每天出事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布，且已知一天内发生一次事故和发生两次事故的概率相同，则λ = 。
9．设随机变量X 服从均值为10，方差为202.0的正态分布，即X ~()202.0,10N ，已知()9938.05.20=Φ，则X 落在区间（∞-，10.05）上的概率()10.05P X <= ____________10．设随机变量ξ在[2，5]服从均匀分布，现在对ξ进行四次独立观测，则恰好有两次观测值大于3的概率为_______________。
二、单项选择题：（20%）1．A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （A + B ）=0.7，则P （B ）= 。
（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.82．某人购买某种奖券，已知中奖的概率为P ，若此人买奖券直到中奖时停止，则其第k 次才中奖的概率为： （ ） A ．P k-1×(1－P)B ．P×(1－P)k - 1C ．P kD ．(1－P )k3．下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量X 的概率密度函数： （ ）A ． sin ()0xf x ⎧=⎨⎩ 32x ππ≤≤其它B ． sin ()0xf x -⎧=⎨⎩ 32x ππ≤≤其它C ． cos ()0xf x ⎧=⎨⎩ 32x ππ≤≤其它D ． cos ()0x f x ⎧=⎨⎩ 32x ππ≤≤其它4．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使()()()x bF x aF x F 21+=是某随机变量的分布函数在下列给定的各组数值中应取。
《概率论》期末考试答案及解题思路
(1) 参数 a 的值（4 分）；
(2) ξ 的分布函数（4 分）．
解：
(1) 由分布律的性质可得1− 2a ≥ 0 ， a2 ≥ 0 且 1 + (1− 2a) + a2 = 1 2
解得 a = 1− 2 2
ξ −1
(2) 由第(1)题的结论可知ξ 的分布律为
1
pi 2
0
1
2 −1 3 − 2 2
最后一个等号成立是因为奇函数在 (−1,1) 的积分一定等于零．
∫ ∫ ∫ 同理 Eη =
+∞
−∞ y ⋅ fη ( y)dy =
+1 y ⋅ 2
−1
1− y2 dy = 2
π
π
+1
y
−1
1− y2 dy = 0 ，
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ E(ξη) =
+∞ −∞
+∞ xy ⋅ f (x, y)dxdy = 1
−1 ≤
y
≤
1
=
⎧ ⎪
2
⎨
1− y2 ,
π
其它 ⎪⎩ 0,
−1 ≤ y ≤ 1 其它
因为 f (x, y) ≠ fξ (x) fη ( y) ，所以ξ 和η 不独立．
∫ ∫ ∫ (2)
因为 Eξ =
+∞
−∞ x ⋅ fξ (x)dx =
+1 x ⋅ 2
−1
1− x2 dx = 2
π
π
+1
x
−1
1− x2 dx = 0 ，
x 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67
附表：
Φ(x) 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525
概率论答案详解
第一章 随机变量 习题一7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品； (1) 43211A A A A B =(2)至少有一个产品是次品；(2) 432143212A A A A A A A A B =⋃⋃⋃= (3)只有一个产品是次品；(3) 43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃= (4)至少有三个产品不是次品4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃⋃=8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)()()F E F E (2) ()()()E F F E （3）()()G F F E 解 :(1) 原式 ()()()()E F F F E F E E E == (2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E === (3) 原式 ()()()()()G E F G F F F G E F E ==12. (1)设事件 A , B 的概率分别为 51 与 41，且 A 与 B 互 斥，则 )(B A P =51. (2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 ___14285____。
(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率等于 ___1324___。
(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件，已知P(A1) = α , P(A2) = β，P(A3) = γ ，则A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1- (1- α)(1- β)(1- γ) .(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __3457____。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1)等于：A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：B2. 随机变量X和Y相互独立，且都服从二项分布，其中X~B(3, 0.5)，Y~B(2, 0.5)，则P(X+Y=3)等于：A. 0.5B. 0.375C. 0.25D. 0.75答案：B3. 设随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则P(X=1)等于：A. 0.2707B. 0.1353C. 0.5000D. 0.2707答案：B4. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)等于：A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A5. 设随机变量X服从指数分布，其参数为λ=2，则D(X)等于：A. 1/4B. 1/2C. 2D. 4答案：C6. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=3，σ^2=4，则P(1<X<5)等于：A. 0.6826B. 0.9545C. 0.6830D. 0.9500答案：B7. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，则P(X≥5)等于：A. 0.5B. 0.7C. 0.3D. 0.8答案：B8. 设随机变量X服从几何分布，其成功概率为p=0.4，则P(X=3)等于：A. 0.064B. 0.256C. 0.064D. 0.256答案：A9. 设随机变量X服从超几何分布，其中总体大小为N=20，成功状态的个体数为M=5，样本大小为n=4，则P(X=2)等于：A. 0.4B. 0.6C. 0.2D. 0.8答案：C10. 设随机变量X服从t分布，自由度为10，则P(|X|<2)等于：A. 0.9500B. 0.9545C. 0.975D. 0.9800答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从二项分布B(5, 0.2)，则P(X=3)=________。
概率论与数理统计习题解答
概率论与数理统计习题解答第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4）A 、B 、C 都不发生； （5）A 、B 、C 不都发生； （6）A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B C A B C A B CA B CA B C A B CA B B C A CA BB CC A3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？（2）在什么条件下ABC =C 成立？（3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立.（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ⊂是正确的.（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝0.7，P (A －B )＝0.3，试求()P AB 解 由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3,所以 P (AB )=0.4, 故()P AB= 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,⊂=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)1111500044488=++---+=6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}.解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=, 则2211222()()a b a ba ba bA A A AP A P B A A +++==7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则 333333101016()()120720或者====C A P A P A C A .（2）设B={取到三个次品}, 则33327()101000==P A .8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率.解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC(2)()()()P ABC P AB P ABC =-()01()P A B P A B =+-=-+1()()()P A P B P AB =--+433532541100100100100=--+=（1） 取到的都是白子的概率；（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则 3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C .(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.7=-=P C P A . (4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273+==C C P D C .10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则 500500364()1()10.746365=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)412612611()0.007312⨯⨯==C C P B11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE 的概率p.解 由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，而基本事件总数为77A ，因此有 2222770.000794A Ap A ==12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有⋅4452C 中取法.设A={4只手套都不配对}，则有⋅==445410280()210C P A C13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为=+11i p i，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i==+ 所以()11i i i P A p i=-=+ 123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++由于零件制造相互独立，有：123123()()()()P A A A P A P A P A =11112111311,(2)23423423424P x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式12()()()()()(|)()(()|)P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36由加法公式P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.解 设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303=========P B A C C P B A C C C P B A CC C P B A C C C P B A C由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式40()()(|)0.196===∑i i i P B P A P B A由Bayes 公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()======P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B故2()(|)0.588==∑i P C P A B16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解 设B={三件都是好的}，A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%}，则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05. 因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式31333()()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624===⨯+⨯+⨯=∑i i i P B P A P B A由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为313233()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624⨯===⨯===⨯===i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设H i ={箱中实际有的次品数},0,1,2=i , A={通过验收}则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有：042314244222424(|)1,5(|),695(|)138P A H C P A H C C P A H C =====(1)由全概率公式20()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H(2)由Bayes 公式 得00()(|)0.81(|)0.83()0.96β⨯====i P H P A H P H A P A18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故 (1) 223155(2)(0.1)(0.9)0.0729===P P C(2) 2555(3)(4)(5)P P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=第二章 随机变量及其分布1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：2. 进行某种试验，设试验成功的概率为34，失败的概率为14，以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：113(),1,2,3,44k P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭X 取偶数的概率：2113{}(2)4411116331165116k k P X P X k -∞∞∞⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⨯=⎪-⎝⎭∑∑∑k=1k=1k=1为偶数 3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数123,,x x x .求：X ＝max (123,,x x x )的分布律及P(X ≤4)； Y ＝min (123,,x x x )的分布律及P(Y>3). 解 基本事件总数为：3510C =，X 34 5(1)X 的分布律为：P(X ≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为P(X>3) =04. C 应取何值，函数f(k) =!kC k λ，k ＝1，2，…，λ>0成为分布律？解 由题意, 1()1k f x ∞==∑, 即0110(1)1!!!0!kkk k k k C C C C e k k k λλλλλ∞∞∞===⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑ 解得：1(1)C e λ=-5. 已知X的分布律 X －112P162636求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ⎛⎫< ⎪⎝⎭；（3）312P X ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭.解 (1) X 的分布函数为()()k k x xF x P X x p ≤=≤=∑0,11/6,11()1/2,121,2x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩;(2) 11(1)26P X P X ⎛⎫<==-= ⎪⎝⎭(3)31()02P X P ⎛⎫<≤=∅= ⎪⎝⎭6. 设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.6，求一次投篮时投中次数X解 X 的分布函数00()0.60111x F x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p ，求：（1）三次射击中恰好命中两次的概率；（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=-8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解(1) P(X=6) =6440.104!6!k e e k λλ--==或者P(X=6) =!kek λλ-446744!!k k k k e e k k ∞∞--===-∑∑= 0.21487 – 0.11067 =0.1042.(2) P(X ≤10)104401144110.00284!!kkk k e e k k ∞--====-=-∑∑ =0.997169. 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X ＝1)＝P(X ＝2)，求P(X ＝4) 解 由已知可得，12,1!2!e e λλλλ--=解得λ=2， (λ=0不合题意)422,(4)4!P X e -==因此= 0.0910. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X 服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此(1) P(X=2)2330.2242!e -==(2)323(2)1(2)110.80080.1992!k k P X P X e k ∞-=<=-≥=-=-=∑(3)333(2)(2)0.5768!k k P X P X e k ∞-=>=>==∑(4)313(1)0.9502!k k P X e k ∞-=≥==∑11. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：（1）系数k ；（2）P(0.25<X<0.75)；（3）X 的密度函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率.解 (1) 由于当0≤x ≤1时，有F(x )=P(X ≤x )=P(X<0)+P(0≤X ≤x )=k x 2 又F(1) =1, 所以k ×12=1因此k=1.(2) P(0.25<X<0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.752-0.252=0.5(3) X 的密度函数为2,01()'()0,x x f x F x Other ≤≤⎧==⎨⎩(4) 由(2)知，P(0.25<X<0.75) = 0.5， 故P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} =334340.5(10.5)0.25C --=.12. 设连续型随机变量X 的密度函数为1()0,1x F x x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩求：（1）系数k ；（2）12P X⎛⎫<⎪⎝⎭；（3）X 的分布函数.解 (1)由题意，()1f x dx +∞-∞=⎰, 因此111()a r c s i n 111kf x d x d x k x kk ππ+∞+-∞====-=⎰⎰解得:(2)1/21/1/21111arcsin 1/22663k P x x ππππ--⎛⎫⎛⎫<===-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰ (3) X 的分布函数1()()1/2arcsin /11111/x x F x f x dx x x x k ππ-∞<-⎧⎪==+-≤≤⎨⎪>⎩=⎰解得: 13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z 表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度为212(1),01()0,x x x F x ⎧-<<=⎨⎩其他若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=120.812(1)0.0272x x dx -=⎰如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=120.912(1)0.0037x x dx -=⎰ 14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为6001,0()6000,xe x F x x⎧<⎪=⎨⎪≥⎩试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.解 设X 表示该型号电子元件的寿命，则X 服从指数分布，设A={X ≤200}，则 P(A)=1200600311600x e dx e --=-⎰设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：10033331(1)1(0)1()(1())1()1P Y P Y C P A P A e e--≥=-==--=-=- 15. 设X 为正态随机变量，且X ～N(2，2σ)，又P(2<X<4) = 0.3，求P(X<0) 解 由题意知()222422(24)00.3X P X P σσσσ---⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即20.30.50.8σ⎛⎫Φ=+= ⎪⎝⎭故20222(0)10.2X P X P σσσσ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<=Φ=-Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭16. 设随机变量X 服从正态分布N(10，4)，求a ，使P(|X －10|<a ) = 0.9.解 由于()()10|10|10222a X a P X a P a X a P --⎛⎫-<=-<-<=<<⎪⎝⎭210.9222a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以0.952a ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭查表可得， 2a =1.65即 a = 3.3 17. 设某台机器生产的螺栓的长度X 服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X 在范围(10.05±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 解 由题意，设P 为合格的概率，则()10.05(|10.05|0.12)0.1210.050.12220.06X P P X P X P -⎛⎫=-<=-<-<=-<< ⎪⎝⎭(2)(2)2(2)120.977210.9544=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=则不合格的概率=1-P = 0.045618. 设随机变量X 服从正态分布N(60，9)，求分点x 1，x 2，使X 分别落在(－∞，x 1)、(x 1，x 2)、(x 2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题，111116060603()()0.253333456060()1()0.75,33x x X P X x P x x ---⎛⎫<=<=Φ== ⎪++⎝⎭--Φ-=-Φ=查表可得1600.673x --=解得, x 1 = 57.9922260606034()()0.5833333345x x X P X x P ---+⎛⎫<=<=Φ== ⎪++⎝⎭又查表可得2600.213x -=解得, x 2 =60.63. 19. 已知测量误差X （米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p , 则由题可知107.57.5107.5(10)101010(0.25)(1.75)(0.25)1(1.75)0.598710.95990.5586X p P X P ----⎛⎫=<=<< ⎪⎝⎭=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设 Y 为n 次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586)于是 P(Y ≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n ≥0.98 0.4414n ≤0.02, n ≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n ≥4.784取n=5, 即，需要进行5次测量. 20.设随机变量X 的分布列为X －2 023P11 3 2试求：（1）2X 的分布列；（2）x 2的分布列. 解 (1) 2X 的分布列如下(2) x 2的分布列21. 设X 服从N(0，1)分布，求Y ＝｜X ｜的密度函数.解 y=|x|的反函数为,0h(y)=,x x x x -<⎧⎨≥⎩,从而可得Y=|X|的密度函数为：当y>0时，222222()()|()'|()|'|yyy Y X X f y f y y f y y e e e---=--+==当y ≤0时，()Y f y =0 因此有 22,0()0,0yY e y f y y ->=≤⎩22. 若随机变量X 的密度函数为23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其他求Y ＝1x的分布函数和密度函数.解 y=1x在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)=1y,y>1, h ’(y)=21y -222411113()[()]|()|3Y X X f y f h y h y f y y y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此有43,1()0,Y y y f y other ⎧>⎪=⎨⎪⎩Y 的分布函数为：433131,1()10,y Y y y dy y y y F y other---⎧=-=->⎪=⎨⎪⎩⎰23. 设随机变量X 的密度函数为22,0(1)()0,0x x f x x π⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩试求Y ＝lnX 的密度函数.解 由于ln y x =严格单调，其反函数为(),'()y y h y e h y e ==且,则2()[()]|()|()2(1)2,()y yY X X yy y y f y f h y h y f e e e e y e e ππ-'===+=-∞<<+∞+24. 设随机变量X 服从N(μ,2σ)分布，求Y ＝x e 的分布密度.解 由于x y e =严格单调，其反函数为1()ln ,'(),h y y h y ==且yy>0,则221(ln )21()[()]|()|(ln ),0Y X X y f y f h y h y f y yey μσ--'===>当0y ≤时()0Y f y =因此221(ln )2,0()0,y Y e y f y y μσ--⎧>=≤⎩25. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Y ＝21x e --在区间(0, 1)上服从均匀分布.解 由于21x y e -=-在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：1()ln(1),01,2h y y y =--<<并且1'()2(1)h y y =-，则当01y << 12(ln(1))2()[()]|()|11(ln(1))22(1)1212(1)Y X X y f y f h y h y f y y ey ---'==---==-当y ≤0或y ≥1时，()Y f y =0.因此Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布. 26. 把一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中正面出现的次数，Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X ，Y ）的联合概率分布.解 根据题意可知, (X ,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y 的取值及概率分别为P(X=3, Y=3)=18P(X=2,Y=1)=223113228C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P(X=1, Y=1)=3113113228C -⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭P(X=0, Y=3)=31128⎛⎫= ⎪⎝⎭ 于是，（X ，27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X 表示其中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求： （1）X 与Y 的联合概率分布；（2）X 、Y 的边缘概率分布； （3）X 与Y 相互独立吗？解 根据题意，X 只能取0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1) 271310(,),i j k ijC C C p P X i Y j C====其中,3,0,1,2,i j k i ++==0,1,2,3j =0,1k =,可以计算出联合分布表如下j(2) X,Y 的边缘分布如上表(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y 不相互独立. 28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X 和Y ，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X ＋Y>6)解 (1) X,Y 可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率j(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,求：（1）系数A 、B 及C ； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X ，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X 与Y 是否独立？解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：a r c t a n 022arctan 023022122x A B C y A B C A B C A B C ππππππ⎧⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎛⎫⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得：21,,,22A B C πππ===(2)2222(,)6(,)(4)(9)F x y f x y x y x y π∂==∂∂++(3) X 与Y 的边缘分布函数为：211()(,)arctan arctan 222222X x x F x F x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∞=++=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 211()(,)arctan arctan 222322Y y y F y F y ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∞=++=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X 与Y 的边缘概率密度为：'22()()(4)X X f x F x x π==+'23()()(9)Y Y f y F y y π==+(4) 由(2),(3)可知：(,)()()X Y f x y f x f y =, 所以X ，Y 相互独立.30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为-(x+y)e ,0,(,)0,x f x y ⎧<<+∞=⎨⎩其他（1）求分布函数F(x, y)；（2）求(X ，Y)落在由x ＝0，y ＝0，x ＋y ＝1所围成的三角形区域G 内的概率.解 (1) 当x>0, y>0时， ()00(,)(1)(1)yxu v x y F x y e dudv e e -+--==--⎰⎰ 否则，F (x, y ) = 0.(2) 由题意，所求的概率为11()10((,))(,)120.2642Gxx y P x y G f x y dxdydx e dy e --+-∈===-=⎰⎰⎰⎰31. 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为-(3x+4y)Ae ,0,0,(,)0,x y f x y ⎧>>=⎨⎩其他求：（1）常数A ；（2）X ，Y 的边缘概率密度；（3）(01,02)P X Y <≤<≤.解 (1) 由联合概率密度的性质，可得(34)00(,)1/12x y f x y dxdy Ae dxdy A +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ 解得 A=12.(2) X, Y 的边缘概率密度分别为：(34)30123,0()(,)0,x y x X edy e x f x f x y dy other +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰ (34)40124,0()(,)0,x y y Y edx e y f y f x y dx other +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰(3) (01,02)P x y <≤<≤21(34)03812(1)(1)x y edxdye e -+--==--⎰⎰32. 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为2,01,02,(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求 P(X ＋Y ≥1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G 中, 则122012310((,))(,)3456532672G x P x y G f x y dxdyxy dx x dy x x x dx -∈==+=++=⎰⎰⎰⎰⎰33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G 上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G的面积A 为：2112001(,)()6x x GA f x y dxdy dx dy x x dx ===-=⎰⎰⎰⎰⎰,(X, Y)的联合概率密度为：6,01(,)0,x f x y other≤<⎧=⎨⎩.X,Y 的边缘概率密度为：2266(),01()(,)0,x x X dy x x x f x f x y dy other +∞-∞⎧=-≤<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰ ),01()(,)0,y Y dy y y f y f x y dx other +∞-∞⎧=≤<⎪==⎨⎪⎩⎰34. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y 的概率密度是55,0()0,0y y e y f y y -⎧ >=⎨≤⎩求：（1）X 和Y 和联合概率密度； （2）P(Y ≤X).解 由于X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以()1/0.25X f x == (1) 由于X ，Y 相互独立，因此X, Y 525,0,00.2(,)()()0,y X Y e y x f x y f x f y other -⎧><<==⎨⎩(2) 由题意，所求的概率是由直线所围的区域，如右图所示， 因此0.2500.2511()(,)255111xy Gx P Y X f x y dxdy dx e dye dx e e ----≤===-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰35. 设（X ，Y ）的联合概率密度为1,01,02(,)20,x y f x y ⎧ ≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求X 与Y中至少有一个小于12的概率.解 所求的概率为0.50.5120.50.511()()22111,221(,)15128P X Y P XY f x y dxdydxdy +∞+∞⎛⎫<< ⎪⎝⎭⎛⎫=-≥≥ ⎪⎝⎭=-=-=⎰⎰⎰⎰ 36. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X －113 Y －3 1P1215310P 1434求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律.解 由独立性，计算如下表37. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为X 1 2 3Y116191182 a bc（1）求常数a ，b ，c 应满足的条件；（2）设随机变量X 与Y 相互独立，求常数a ，b ，c. 解 由联合分布律的性质，有：11116918a b c +++++=, 即 a + b + c =12133-= 又，X, Y 相互独立，可得 111::::6918a b c =从而可以得到： 121,,399a b c ===38. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为22232,0,1,1(,),0,01,10,x x y x x y F x y x y x⎧ >>⎪+⎪⎪= ><≤⎨+⎪⎪ ⎪⎩其他， 求边缘分布函数()x F x 与()y F y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 由题意, 边缘分布函数2222lim,0()(,)110,0y X x x x F x F x x x x →+∞⎧=>⎪=+∞=++⎨⎪≤⎩下面计算F Y (y )2332220,0()(,)lim ,011lim1,11Y x x y x y F y F y y y xx y x →+∞→+∞⎧⎪≤⎪⎪=+∞==<≤⎨+⎪⎪=>⎪+⎩可以看出，F(x,y)= F x (x ) F Y (y ), 因此，X ，Y 相互独立.39.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为132,1,1(,)0,ye x yf x y x -⎧ ≥≥⎪=⎨⎪ ⎩其他，求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 先计算()X f x , 当x <1时, ()0X f x =当x ≥1时,113331222()1y y X f x e dy e x x x+∞--+∞-===⎰再计算()Y f y , 当y <1时, ()0Y f y =当y ≥1时, 11132121()1y y y Y f y e dx e e x x+∞---+∞-===⎰可见, (,)()()X Y f x y f x f y =, 所以随机变量X, Y 相互独立40.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为,(,)0,x y x y f x y + 0≤,≤1,⎧=⎨ ⎩其他，求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 先计算()X f x , 当x <0或者x >1时, ()0X f x = 当1≥x ≥0时,1212011()02X f x x y dy xy y x =+=+=+⎰ 再计算()Y f y , 当y <0或者y >1时, ()0Y f y =当1≥y ≥0时, 120111()022Y f y x ydx xy x y =+=+=+⎰ 由于11(,)()()22X Y f x y x y f x f y x y ⎛⎫⎛⎫=+≠=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以随机变量X,Y 不独立41.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为22,00(,)0,x y e x y f x y --⎧ >,>=⎨⎩其他求随机变量Z ＝X －2Y 的分布密度. 解 先求Z 的分布函数F(z ) :2()()(2)(,)D X Y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy -≤=≤=-≤=⎰⎰当z<0时，积分区域为：求得2220()2z z yx y F z dy e dx +∞+---=⎰⎰224122z y y z z e e dy e +∞----=-=⎰ 当z ≥0时，积分区域为：z}，2200()2z yx y F z dy e dx +∞+--=⎰⎰ 2401212yy zz eedy e +∞----=-=-⎰由此, 随机变量Z 的分布函数为11,02()1,02zz e z F z e z -⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩ 因此, 得Z 的密度函数为：1,02()1,02zz e z f z e z -⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩42. 设随机变量X 和Y 独立，X ～2()N μ,σ，Y 服从［－b ，b ］(b>0)上的均匀分布，求随机变量Z ＝X ＋Y 的分布密度. 解 解法一 由题意，22()21()()()2z y a bX Y F z f z y f y dy dy bσ---+∞-∞-=-=⋅⎰⎰令)/,,[,],z y a t dy dt y b b σσ--==-∈-(则()()()2211()22z b az b a t z b a z b aF z e dt b bσσσσ+----+---==Φ-Φ⎰ 解法二22()()(),()1()221122111212X Yz bz bF z f x f z x dx-b<z-x<b,z-b<x<z+bx aF z dxbz bx a z b a z b az bb ba zb a z bba z bbσσσσσσσ+∞-∞+-=-∴--=⋅+-⎛+---⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ=Φ-Φ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛-+⎫⎛⎫⎛⎫=-Φ--Φ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰⎰a z bσ⎛--⎫⎛⎫-Φ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭43.设X服从参数为12的指数分布，Y服从参数为13的指数分布，且X与Y独立，求Z＝X＋Y 的密度函数.解由题设，X~12120,0(),0X xxf xe x-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,Y~13130,0(),0Y xxf ye x-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩并且，X，Y相互独立，则()()()Z X YF z f x f z x dx+∞-∞=-⎰由于()Xf x仅在x>0时有非零值，()Yf z x-仅当z-x>0，即z>x时有非零值，所以当z<0时，()Xf x=0, 因此()Zf z=0.当z>0时，有0>z>x, 因此1132()11()23z z xxZF z e e dx---=⎰1633216zz zz xe dx e e----==-⎰44.设（X，Y）的联合分布律为X0 1 2 3Y0 0 0.05 0.08 0.121 0.01 0.09 0.12 0.152 0.02 0.11 0.13 0.12求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律.解(1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) =0.19P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) =0.35P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12同理，U=max(X,Y)的分布如下U∈{0,1,2,3}同理，V=min(X,Y)的分布分别如下V∈{0,1,2}概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第30页 (共80页)第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量X 的分布列为X －1 0 1212P13161611214求E(X)，E(－X ＋1)，E(X 2) 解 111111136261243()1012E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=111111236261243(1)((1)1)(01)(1)(11)(21)E X -+=--+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯=或者1233(1)()(1)()11E X E X E E X -+=-+=-+=-+= 22222235111111362612424()(1)(0)()(1)(2)E X -=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X 的取值为0, 1, 2, 3, A k 表示取出废品数为k 的事件， 则有：1391121230(),0,1,2,3,66()()0.3220k k k kk k C C P A k C C E X k P A -==∙==⋅==∑3. 已知离散型随机变量X 的可能取值为－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X 2)＝0.9，求P(X=-1)，P(X ＝0)，P(X ＝1). 解 根据题意得：2222()1(1)0(0)1(1)0.1()(1)(1)0(0)1(1)0.9E X P X P X P X E X P X P X P X =-=-+=+===-=-+=+==可以解得 P(X =-1)=0.4, P(X=1)=0.5,P(X=0) = 1- P(X =-1) - P(X=1) = 1-0.4-0.5=0.14. 设随机变量X 的密度函数为2(1),()x x f x - 0<<1,⎧=⎨0, ⎩其他. 求E(X). 解 由题意,11()()2(1)3E X xf x dx x xdx ∞-∞==-=⎰⎰,5. 设随机变量X 的密度函数为,0()x e x f x x -⎧ ≥,=⎨0, <0.⎩ 求E(2X)，E(2x e -). 解(2)2()2x E X xf x dx xe dx ∞∞--∞==⎰⎰()()0002|20|2x x x xe e dx e∞-∞--∞=+=-=⎰ 22230()()11|33Xx x xx E ee f x dxee dx e ∞---∞∞---∞===-=⎰⎰6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a ，b ］上，求球的体积的数学期望.解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=()3432D π因此，341()()32bax E V Vf x dx dx b aπ∞-∞⎛⎫== ⎪-⎝⎭⎰⎰ 4220|()()24()24x a b a b b a ππ∞==++-7. 设随机变量X ，Y 的密度函数分别为22,0()x X e x f x x -⎧ >,=⎨0, ≤0.⎩ 44,0()y Y e y f y y -⎧ >,=⎨0, <0.⎩ 求E(X ＋Y)，E(2X －3Y 2). 解()()(E X Y E X E Y+=+240()()24113244X Y x y x f x dx y f y dyxe dx ye dy+∞+∞-∞-∞+∞+∞--=+=+=+=⎰⎰⎰⎰22222400(23)2()3()2()3()223435188X Y xy E X Y E X E Y x f x dx y f y dyxedx y e dy+∞+∞-∞-∞+∞+∞---=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰8. 设随机函数X 和Y 相互独立，其密度函数为2,1()X x x f x 0≤≤,⎧=⎨ 0, .⎩其他5,5() 5y Y e y f y y -⎧ >,=⎨ 0, ≤.⎩（－）求E(XY).解 由于XY 相互独立, 因此有()()()12(5)05(5)(5)5(5)()()()()()225320553225(01)(6)433X Y y y y y E XY E X E Y x f x dx y f y dyx dx ye dyye e dy e +∞+∞-∞-∞+∞--+∞------===⎛⎫⎛+∞⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛+∞⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-----=-⨯-=⎰⎰⎰⎰⎰9. 设随机函数X 的密度为()f x <,= 0, ≥⎩x 1x 1.求E(X), D(X). 解11()()0E X x f x dx +∞-∞-===⎰⎰π221122211001012()()2222211()arcsin |1422E X x f x dx x +∞-∞-====-=-+=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππ()221()()()2D XE X E X =-=10. 设随机函数X 服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为2222,0()x x e x f x x σ-⎧ >,⎪=σ⎨⎪ 0, ≤0.⎩其中σ>0是常数，求E(X)，D(X). 解22222222()()x x x E X x f x dx edx xdeσσσ--+∞+∞+∞-∞===-⎰⎰⎰2222222222200/0022x x x u u x xe e dx e dxedu σσσσππσσσ---+∞+∞+∞-=⎛⎫+∞=--= ⎪⎝⎭−−−→===⎰⎰⎰22222222222222222232222200222()()2202220x x x x x x u u ux E X x f x dx edx x dex e xe dx xe dx e du e σσσσσσσσσσ=+∞+∞+∞---∞+∞+∞---+∞--===-⎛+∞⎫=--= ⎪⎝⎭+∞−−−→==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22222()()()2(2)22D XE X E X ππσσσ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭11. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差.解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X 2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X 2)-(E(X)) 2 = 35/12掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X 1+X 2+…+X 12)=12E(X) = 42 D(X 1+X 2+…+X 12) =D(X 1)+D(X 2)+…+D(X 12)=12D(X)=35 12. 将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求E(X), D(X).解 （1）直接求X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量X k1,0,k k X k ⎧=⎨⎩第只球装入第k 号盒子第只球没装入第k 号盒子,则有：1nkk X X ==∑，X k 服0-1分布因此：11(0)11,(1),kk P X p P X p n n==-=-===()11111(),()11()1k k n nk k k k E X p D X n n n E X E X E X n n ==⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭∑∑ （2）k j X X 服从0-1分布，则有11(1)(1)(1)(1,1),()k j k j k j n n n n P X X P X X E X X --======1()n k k D X D X =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()112222(,)1112(()()())11112(1)1111112111(1)nk k j k k jnk j k j k k jk j n D X Cov X X E X X E X E X n n n n n n n C n n n n n n =<=<<=+⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=-+-=-+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑故，E(X)=D(X)=1.我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X 服从参数为1的泊松分布. 13. 在长为l 的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差.解 设所取的两点为X,Y, 则X,Y 为独立同分布的随机变量, 其密度函数为11,01,01(),(),0,0,X Y x x f x f y l l other other ⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩ 21,0,1(,)()(),0,Y Y x y f x y f x f y l other ⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩依题意有()(,)E X Y x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞-=-⎰⎰()()2200011lxl l x x y dydx y x dydx l l=-+-⎰⎰⎰⎰222220011222l l x l x dx lx dx l l=+-+⎰⎰ 322322110032262l l x l x lx x l l ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 663l l l =+= ()22()(,)E X Y x yf x y dxdy +∞+∞-∞-∞-=-⎰⎰()22001l lx y dxdy l=-⎰⎰ ()222003222012103ll l dx x xy y dyl l yx y xy dxl =-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 3222033222213111032316ll x l xl dx l ll x l x l x l l =-+⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰ D(X -Y) = E((X -Y)2)-(E(X -Y))2 = 2221116918l l l -= 14.设随机变量X 服从均匀分布，其密度函数为12,()2x f x ⎧0<<,⎪=⎨⎪0, .⎩其他,求E(2X 2)，D(2X 2). 解12222201(2)2()2()226E X E X x f x dx x dx +∞-∞====⎰⎰ 124442011()()2,()8012E X x f x dx x dx E X +∞-∞====⎰⎰ ()()22242111(2)4()4()()48014445D X D X E X E X ⎛⎫==-=⨯-=⎪⎝⎭15. 设随机变量X 的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率(()7.5)P X E X -≥。
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------(广外)概率论试题答案+答案一、填空：（20%） 1．设 A、 B 为随机事件， P（A）＝0. 5， P（B/A ）= 0. 4，则 P（）＝。
2．两封信随机的向编号为Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ、Ⅳ的 4 个邮筒投寄，前两个邮筒中各有一封信的概率是。
3. 设三次独立重复的伯努利试验中事件 A 发生的概率均为 p，若已知 A 至少发生一次的概率为 19/27，则 p = _______________。
4．设三个相互独立的事件 A、 B、 C 都不发生的概率为 1/27，而且 P(A)=P(B)=P(C)，则 P（A）＝。
5．设连续型随机变量 X 的概率密度函数为：ax+1 0x2 f (x) = 0 其他 , 则 a = ________________。
6．已知 E =3， E =3，则 E(3 -4 +3) =____________。
7. 设随机变量 X 在[-6， 6]上服从均匀分布，则 DX＝＿＿＿＿＿＿。
8．某汽车站每天出事故的次数 X 服从参数为的泊松分布，且已知一天内发生一次事故和发生两次事故的概率相同，则= 。
9．设随机变量服从均值为 10，方差为202. 0的正态分布，即 ~ ()202. 0 ,10N，已知(5 . 2)9938. 00=，则落在区间（，1 / 710.05）上的概率 ()10.05P X = ____________ 10．设随机变量在[2， 5] 服从均匀分布，现在对进行四次独立观测，则恰好有两次观测值大于 3 的概率为_______________。
二、单项选择题：（20%） 1． A、 B 为相互独立的事件， P（A） =0. 4， P（A + B） =0. 7，则 P（B） = 。
（） A． 0.5 2．某人购买某种奖券，已知中奖的概率为 P，若此人买奖券直到中奖时停止，则其第 k 次才中奖的概率为：（） B． 0.6 C． 0.7 D． 0.8 A． P k-1(1－P) B． P(1－P)k - 1 C． Pk D． (1－P )k 3．下列函数中，（）可以作为连续型随机变量 X 的概率密度函数：（） A．其它B．其它C．其它x D．其它 4．设)(1xF与)(2xF分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使 ( )( )x( )xbFaFxF21+=是某随机变量的分布函数在下列给定的各组数值中应取。
( ) 1=a ，21=a，2 A．211=a ，21=b B. 21=b C. 2=a，21=b D. 21=b 5．设---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------DX＝25， DY＝16， XY＝0.4，则 D（X－2Y）＝＿＿＿＿。
（） A． 121 B． 89 6．已知两个随机变量，满足D D 0, 且 D( + )=D +D , 则下列结论中不能确定的是：（） A. ，相互独立 B. ，不相关 C． 57 D． -7 C. COV( , )=0 D.=0 7. 已知二维随机变量),( 的联合分布表为-1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 00.1 ，则0=的概率() == 0P__________ （） A. 0. 1 B. 0. 2 C. 0.3 D. 0. 35 8．已知某电子产品的寿命服从参数为的指数分布，)(xϕ＝)( 0) 0(其他xex，且这种产品平均寿命为 10 年，则该类产品使用寿命在 10 年以上的概率为：A． 0.5 （）―1 B． 1 C．e―1 D． 1－ e}x=（） 9．设连续型随机变量 X 的分布函数是( )F x,密度函数是( )f x,则{p X=A.( )F x B .( )f x C. 0 D . 以上都不对 10. 设随机变量 X～N（2, ）， Y= a X+b , , ab 为常数，且 a 不为 0，则 Y～（） A． N（， 2）B． N（0， 1） C． N（ a ， b ） D． N（ ab +，22a ）三、计算题：3 / 7（60%） 1．设二维随机向量（X,Y）服从区域 D 上的均匀分布, 其中 D={ (x, y) | 0 x 2, 0y2} , 求 X 与 Y 的边缘密度函数( ) xfX与( ) xfY. （10%）2．二维随机变量（X， Y）的联合分布如下：Y X －1 0 1 －1 71 0 72 0 0 71 0 1 72 0 71 求：（1） EX， EY， DX， DY （2） XY， D（X＋Y）（3）说明 X 与 Y 是什么关系？它们是否独立？分别说明理由。
（10%） 3．若连续型随机变量 X 的概率密度函数是 ( )f其它已知 EX＝0， DX＝1/3，求参数 a,b, c。
（10%） 4．在电源电压不超过 200V，在 200V～240V 和超过240V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 0. 1， 0. 01和 0. 2，假设电源电压服从正态分布 N（220，225 ） , 试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在 200V～240V 的概率。
（10%） x= 0 0.5 0.8 1.5 2.0 2.5 3.0 0(x) 0.500 0.692 0.788 0.933 0.977 0.994 0.999 5．设随机变量 X 服从区间 []0,1 上的均匀分布，已知随机变量 Y= 3X + 1 ，求Y 的概率密度函数。
（10%）6．随机变量X, Y 相互独立，离散型随机变量X～---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------6 . 04 . 021 , 连续型随机变量 Y～)(yϕ (概率密度函数, 其中yR ) ，求 U=X+Y 概率密度 f(u)?（10%）一、填空：（20%） 1、 0.8 2、14 3、13 4、 23 5、12 6、 0 7、 12 8、 2 9、 0.9938 10、827 二、单项选择题：（20%） 1、 A 2、 B 3、 B 4、 D 5、C 6、 A 7、D 8、 C 9、 C 10、 D 三、计算题：（60%） 1、解：由题意，随机向量（X， Y）的密度函数为：其它则 X 的边缘密度函数为：当 02x时， 2201911( )( , )f x y dy442xf xdyy+====x其它同理，得其它 2、解：边缘分布如下表(1)EX=EY=0，EX2= EY2=6/7，DX=DY=6/7，Y X －1 0 1 X －1 71 0 72 71 3 0 0 71 0 73 1 73 2 0 73 1 7Y 771 7 (2) EX Y=0，COV(X,Y)=EX Y－EX EY=0，而且DX=DY=6/70， XY=0 D（X＋Y） =DX+DY+2COV(X,Y)=DX+DY+0=12/75 / 7(3) X 与 Y 完全不相关（不线性相关），∵XY=0 但是 X 与 Y 不独立！显然， P(X=－1,Y=0)=0P(X=－1)P(Y=0)=3/49 3、解：22( )f x dx()11(1)( )02(2)()(0)( )f x dxbabacdxc bacbaxabEXxf x dxdxbabaDXE XEXx+++====+==又又22211()(3)3312311,1,2baxdxaabbbaabc==++== 所以联立（）（）（）解得：4、解：设 C：损坏，则由题意：1 . 0)200(=Xcp 01. 0)240200(= Xcp2 . 0)240(=Xcp2119. 0) 8 . 0()25220200()200(00===Xp 5762. 01) 8 . 0(02)240200(== Xp 2119. 0)200()240(==XpXp 所以：P(C)=0.21190. 1+0. 57620. 01+0. 21190. 2=0. 06931 而由贝叶斯定理有：)()240200,()240200(cpxcpcXp=083. 006931. 001. 05762. 0== 5、解：11313311 1( )333Y（）（Y）（）（X）（）XYY（）（）（）XXyyF yPyPXyPFyyf yF yFf==+ ===== 已知01x其它其它 6、解：设 F(y)是 y 的分布函数，有全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为：FU(u)=P(X+Yu)---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ =P(X=1)P(X+Yu|X=1)+ P(X=2)P(X+Yu|X=2) =0.4P(Yu－1| X=1)+0.6 P(Yu－2|X=2) 由于 X, Y 相互独立，得：FU(u)= 0.4P(Yu－1)+0.6 P(Yu－2) =0.4F(u－1)+0.6F(u －2) 两边求导得：f(u)=0.4) 1( uϕ+0. 6) 2( uϕ7 / 7。