因式分解式讲义精讲

教育学科教师辅导讲义

原式 = (a 2+4a +4) – (b 2–2b +1) = (a +2)2 – (b –1)2 = (a +b +1)(a –b +3)

练习15、分解因式

（1）893+-x x （2）4

2

2

4

)1()1()1(-+-++x x x

（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++

x^4+x^2+2ax+1-a^2 = x^4+2x^2+1-x^2+2ax-a^2 =(x^2+1)^2-(x-a)^2

=(x^2+1+x-a)(x^2+1-x+a)

（5）4

44)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++ -(a^2-b^2)^2-2c^2(a^2-b^2)+c^4=(a^2-b^2-c^2)^2

（7） x 4 + 4 原式 = x 4 + 4x 2 + 4 – 4x 2= (x 2+2)2 – (2x )2= (x 2+2x +2)(x 2–2x +2) （8）x 4–23x 2y 2+y 4 （9）(m 2–1)(n 2–1)+4mn

七、待定系数法。

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例16、分解因式61362

2

-++-+y x y xy x

分析：原式的前3项2

2

6y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++

令多项式f(x)=0,求出其根为x 1,x 2 ,x 3 ,……x n ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x 1 )(x-x 2)(x-x 3 )……(x -x n ) （一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是程的根） 例8、分解因式2x 4 +7x 3 -2x 2 -13x+6

解：令f(x)=2x 4 +7x 3 -2x 2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 , 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9: 主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a 2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b)

分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列 解：a 2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b)=a 2 (b-c)-a(b 2 -c 2)+bc(b-c) =(b-c) [a 2 -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 10双十字相乘法

十字相乘法是利用))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。

运用双十字乘法对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型的多项式分解因式的步骤： 1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；

2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D 。

一、用双十字相乘法分解多项式

我们先看一下两个多项式相乘的计算过程： 计算)13)(532(-++-y x y x 。

5

32-+-y x y y xy 5322

+-x

xy

x 15962+-1

3)-+⨯y x 532+-y x 5

81337622-++--y x y xy x