七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题04 三角形的角平分线及其规律
初一数学：角平分线(含解析)
5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。
三角形角平分线专题讲解
二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法图1-1B图1-2DBC来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
中考培优竞赛专题经典讲义第1讲角平分线
第1讲角平分线1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的数学表示：如图，已知0E是/ AOB的平分线，F是0E上一点，若CF点C, DF OB 于点D，则CF = DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型! 模型讲解模型1-BD平分/ ABC,且DC BC理由：角平分线的性质结论：△ DCB2 △ DEB模型 2 一BD 平分/ ABC, 且CD BD理由：等腰三角形三线合一结论：△ BDC BDE模型3-BD 平分/ ABC, AD// BC理由：平行线的性质结论：△ ABD为等腰三角形OA于【例题讲解】例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC// AB，/ DAB =90 °, AC BC, AC=BC,BF/ ABC的平分线交AD , AC于点E、F，贝U BS的值是EFBFEF值得一试.【解答】解：如图，作FG AB于点GQAC BC，/ ACB =90°又QBF 平分/ ABC，FG = FC 在Rt A BGF 和Rt A BCF 中BF BFAC =16，贝U DE的长度为_________【分析】有AE平分/ BAC，且AE EC，套用模型2，即可解决该题△ BGF BCF ( HL) ，BC = BGQ AC=:BC，/ CBA =45°，AB = 2 BCBF BG BC BC1 . 2 .EF AG AB BG.2BC BC、2 ICF GF例题2、如图，D是厶ABC的BC边的中点,当过点F作FG AB时，即可将转化为竺，又会出现模型EF AG1，所以这个辅助线与思路Q / DAB-90°，FG/AD，BFEFBGAGAE 平分/ BAC，AE CE 于点E，且AB =10，【分析】要求B匚的值，一般来说不会直接把EFBF和EF都求出来，所以需要转化【解答】解：如图，延长CE, AB交于点F.QAE 平分/ BAC, AE EC/ FAE = / CAE ,Z AEF = / AEC =90°在厶AFE和厶ACE中/ EAF / EACAE AE/ AEF / AEC△ AFE 也ACE (ASA)AF = AC = 16, EF = EC,BF = 6又QD是BC的中点，BD =CDDE是厶CBF的中位线1DE = — BF =32故答案为：3.例题3、如图所示，在△ ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射1线EF 上, BP交CE于D，/ CBP的平分线交CE于Q,当CQ =- CE时，EP+BP= .3 -------------【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M.QE、F分别是AB、AC的中点，EF// BC/ CBM = / EMBQ BM 平分/ ABC , / ABM = / CBM/ EMB = / EBM , EB = EMEP +BP = EP +PM =EM1QCQ = CE, EQ =2CQ3由EF// BC 得，△ EMQ CBQEM EQ2 EM 2BC 12 EP BP 12BC CQ（第 5 题）（第 7 题）【巩固练习】1、如图，/ AOB 是一个任意角，在边 OA , OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺 两边相同的刻度分别与 M , N 重合，过角尺顶点 C 的射线OC 便是/ AOB 的平分线OC ,做 法用得到三角形全等的判定定方法是（） A. SASB.SSSC.ASAD.HL2、三角形中到三边距离相等的点是（ A 、三条边的垂直平分线的交点 C 、三条中线的交点3、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE 平分/ ABC , CF 平分/ BCD , BE 、CF 交于 1G.若使EF = AD ，那么平行四边形 ABCD 应满足的条件是（）4A. /ABC =60°B. AB ： BC = 1 : 4C. AB ： BC = 5： 2D. AB ： BC = 5： 84、 如图，△ ABC 的周长为26,点D , E 都在边BC 上,/ ABC 的平分线垂直于 AE ,垂 足为Q ,/ ACB 的平分线垂直于 AD ，垂足为P ,若BC = 10，则PQ 的长为（）3 5 A 3B. -C.3D. 4'225、 如图，在△ ABC 中，/ C =90°, AC =BC , AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D , DE AB 于点丘，若厶BDE 的周长是5cm ,则AB 的长为_. ________（第 1 题）（第 3 题）（第 4 题））B 、三条高的交点D 、三条角平分线的交点（第 6题）6、如图，已知 OB 、OCABC 的角平分线，DE // BC 交AB 、AC 于D 、E ,A ADE的周长为15, BC 长为7,则厶ABC 的周长为 _. _______7、 如图，在△ ABC 中，点 D 在BC 上, BM 平分/ ABD , BM AD , N 是AC 的中点， 连接 MN ，若 AB = 5, BC = 8，贝MN =.8、 如图，△ ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF AE 于F , AB =5, AC = 2，则 DF 的长为 .9、 如图，已知/ BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点 D , DE AB , DF AC , 垂足分别为 E 、F , AB =6, AC = 3,贝U BE =.10、 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD/ // BC , CE 是/ BCD 的平分线，且 CE AB , E 为垂足，BE =2AE ，若四边形AECD 的面积为1,则四边形 ABCD 的面积为 _.11、 如图，在 e O 的内接四边形 ABCD 中，AB =3, AD =5,/ BAD =60°,点 C 为弧 BD 的中点，贝U AC 的长是——（第11题）（第12题）12、已知：如图， AD 、BE 分别是△ ABC 的中线和角平分线， AD BE , AD = BE = 6, 则AC 的长等于—.13、将弧BC 沿弦BC 折叠，交直径 AB 于点D ，若AD =8, DB =10,则BC 的长是14、如图，F , G 是OA 上两点，M , N 是OB 上两点，且 FG = MN , S/FG =&PMN ，试 问点P 是否在/ AOB 的平分线上？A（第 8题） （第 9题）（第 10 题）（第13题）15、已知：在厶ABC中，/ B的平分线和外角/ ACE的平分线相交于D，DG// BC，交AC 于F，交AB 于G，求证：GF = BG CF.16、在四边形ABCD中，/ ABC是钝角，/ ABC+Z ADC =180°，对角线AC平分/ BAD.(1)求证：BC = CD ;(2 )若AB +AD = AC，求Z BCD 的度数;17、如图，在△ ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△ BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC = a、AC = b、AB =c.(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分Z EDF.A18、如图，BA MN，垂足为A, BA = 4，点P是射线AN上的一个动点(点P与点A 不重合)，/ BPC = / BPA, BC BP,过点C作CD MN，垂足为D，设AP =x. CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.19、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0 (0, 0)、A (5, 0)、B(m, 2)、C ( m- 5, 2)(1) 问：是否存在这样的 m ,使得在边BC 上总存在点P ,使/ OPA = 90°?若存在, 求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由(2) 当/ AOC 与/ OAB 的平分线的交点 Q 在边BC 上时，求 m 的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯 形”。
解三角形的角平分线问题(最新版)
解三角形专题------角平分线与三角形4心秒杀秘籍一：张角定理在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，连接AD ，设βα=∠=∠CAD BAD ,，则一定有ABAC AD βαβαsin sin )sin(+=+，（证明：等积法） 【例1】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC=120°，BD△BC 交AC 于点D ，且BD=1，则2a +c 的最小值为 .【例2】在在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知点D 在BC 边上，AD△AC ，sin△BAC=322，AB=23，AD=3，则CD 的长为【例3】（2015年全国课标卷II ）在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分△BAC ，△ABD 的面积是△ACD 面积的2倍.（1）求CBsin sin 的值；（2）若22,1==DC AD ，求BD 和AC 的长.秒杀秘籍二：角平分线张角定理，当βα=时， ①)(21cos c AD b AD +=α（角平分线张角定理） ②ααtan sin )(212AD c b AD S ABC ≥+=∆（角平分线面积） 证明：αααααααtan sin 2sin 2sin sin )(21sin )11(212sin 21∆∆==≥+=+⋅==S AD S AD bc AD c b AD AD c b bc bc S 【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b cosC=a ,点M 在线段AB 上，且△ACM=△BCM ，若b=6CM=6，则cos△BCM=（ ）46.47.43.410.D C B A 【例5】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，△ABC 的平分线交AC 于点D ，BD=1，则a +c 的最小值为 .【例6】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 的面积的最小值为（ ）36.35.34.33.D C B A秒杀秘籍3：角平分线之斯库顿定理如图，AD 是△ABC 的角平分线，则DC BD AC AB AD ⋅-⋅=2.就其位置关系而言：中方=上积-下积 求证：AC AB DC BD AD ⋅=⋅+2,,~ACAEAD AB ADC ABE =∴∆∆ 即,)(,AC AB DE AD AD AC AB AE AD ⋅=+⋅∴⋅=⋅证毕注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.【例7】在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=6，△A 的平分线AD 交BC 于点D ，则AD= . 【例8】在△ABC 中，△C=2△B ，AC=3，BC=5，求AB 之长. 秒杀秘籍4：角平分线之倍角定理)(2);(2);(2222b c c a C A a b b c B C c a a b A B +=⇔=+=⇔=+=⇔=，这样的三角形称为“倍角三角形”【例9】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ）2524.257.257.257.D C B A ±-【例10】设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=1，A=2C ，则△ABC 周长的取值范围为（ ）]33,22.()33,22.()33,0.()22,0.(++++++D C B A【例11】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若bc b a +=22且)2,3(ππ∈A ，则ba的取值范围是 .【12】如图，四边形ABCD 中，CE 平分△ACD ，AE=CE=32，DE=3，若△ABC=△ACD ，则四边形ABCD 周长的最大值为（ ）3315.318.3312.24.++D C B A例1、设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为_______例2、若点O 在ABC ∆的内部，且053=++OB OC OA ，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是________. 例3、若点O 在ABC ∆的内部，且02 =++OC m OB OA ，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________. 例4、（2016清华大学自主招生）若点O 在ABC ∆的内部，2:3:4::=∆∆∆AOC BOC AOB S S S ,设AC AB AO μλ+=，则实数λ=_____，μ=_____.例5、已知ABC Δ的外接圆的圆心为O ，且60∠=A ，若)∈β,α(βαR AC AB AO +=，则βα+的最大值是 能力提升1、已知ABC ∆中，I 为内心，,4,3,2===AB BC AC 且AC y AB x AI +=,则，则y x +的值为______ .2、设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC PA ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是_______.3、在ABC ∆中，H BC AC AB ,2,3,4===为ABC ∆的垂心，AC y AB x AH +=，则xy=______. 4、已知G 是ABC ∆的重心，点N M ,分别在边AC AB ,上，满足AN y AM x AG +=,1=+y x ，若,43AB AM =则ABC ∆和AMN ∆的面积之比是____________.5、正三角形ABC 内一点M ，满足CB n CA m CM +=，45=∠MCA ，则nm=______________. 6、已知ABC ∆的外接圆O 的半径为1，且BC BA BO μλ+=，若60=∠ABC ，则μλ+的最大值是________. 7、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3π=∠A ，且OC y OB x OA +=，则y x -2的取值范围是_______________.三角形的四“心”，四“线”① 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.② P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．③ 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．④ 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题04 三角形的角平分线及其规律
()专题04 三角形的角平分线及其规律专题解读】无论是中考，或者是竞赛中，常常有与三角形的角平分线（包括内、外角的平分线）相关的问题.这类题目形式多样，变化方向非常广泛。
如果我们能够善于对这类有关三角形的角平分线的基本图形进行归类，并对角平分线的性质和结论做好总结，那么必将对我们的学习产生很大的帮助，也将更有利于我们有效地找寻到解决有关的较难几何证明题的思路与方法.思维索引例1.（1）如图（1），在△ABC 中，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，已知：∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数； （2）如图（2），∠BAC 的角平分线AF 交BC 于点E ，过点F 作FD ⊥BC 于点D ，若∠C -∠B=30°，求∠F 的度数.E DAED AB BF图（1） 图（2）例2.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D .设OAC x ∠=︒图1 图2 （1）如图1，若AB /∥ON ，则 ①∠ABO 的度数是____________②当∠BAD =∠ABD 时，x =__________；当∠BAD =∠BDA 时，x =____________（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由.例3.已知：△ABC 中，记,BAC ACB αβ∠=∠=.（1）如图1，若AF 平分∠BAC ，BF 、CF 分别平分△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE ，BG ⊥AF 于点G . ①用α的代数式表示∠BFC 的度数；②用β的代数式表示∠FBG 的度数；（2）如图2，若点F 为△ABC 的三条内角平分线的交点，且BG ⊥AF 于点G . ①请补全图形；②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请直接写出正确的结论.EB图1 图2素养提升1.△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点D ，连接AD ，若∠BDC =130°，则∠BAD 为（ ） A.65° B.60° C.40° D.35°2.如图，在△ABC 中，∠B=42°，△ABC 的外角∠EAC 和∠FCA 的平分线交于点D ，则∠ADC 为（ ） A.75° B.69° C.63° D.45°3.如图，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点F 、D ，若∠BEC=132°，∠BGC=118°，则∠A 为（ ） A.65° B.66° C.70°D.78°BBEB第1题图 第2题图 第3题图4.如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于1D ，∠AB 1D 与∠AC 1D 的角平分线于点2D ，依次类推，∠AB 5D 与∠AC 5D 的角平分线交于点6D ，则∠B 6D C 的度数是（ ） A.56° B.60° C.68° D.54°5．如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF .以下结论：①AD //BC ；②∠ACB=2∠ADB ；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 平分∠ADC ；⑤∠BDC =12∠BAC .其中正确的结论有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个BBB第4题图 第5题图 第6题图6．△ABC 的外角平分线CD 与∠ABC 平分线BD 交于点D ，若∠BDC =40°，则∠CAD =________． 7．如图，在△ABC 中，∠A =m °，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点1A ，∠1A BC 的平分线与1ACD ∠的平分线交于点21,,n A A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，则n A ∠=__________°.（用含m 的代数式表示） 8.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC 的角平分线与∠DCB 的外角平分线相交于点F ，且∠A +∠D=210°，则∠F =_____________°.9.如图，若AB //CD ，BF 平分∠ABE ，CF 平分∠DCE ，∠BEC=86°，则∠BFC =__________°.2BB第7题图 第8题图 第9题图10.如图，在△ABC 中，∠A=60°，HI 、FI 分别平分∠ABC 、∠ACB ，BD 、CD 分别平分∠HBC 、∠BCF ，BE 、CE 分别平分∠DBC 、∠DCG ，则∠E =_________°.11.（1）如图甲，在凹四边形ABCD 中，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点E ，∠A=60°，∠BDC=140°，则∠E =__________°（2）如图乙，∠ABD ，∠BAC 的角平分线交于点E ，∠C=40°，∠BDC=140°，求∠AEB 的度数； （3）如图丙，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点1F 、2F 、…、9F ，若∠BDC =120°，∠B 3F C =64°，则∠A 的度数为___________.B图甲 图乙 图丙12.如图，已知点A 、B 分别在∠ECF 的两边上（不与点C 重合），AD 、BD 平分∠EAB 和∠ABF 相交于点D .（1）如图1，若∠ECF =90，试猜想∠ADB =________________°； （2）在（1）的基础上，若∠ECF 每秒钟变小10°，经过了1秒（09t <<）， ①试用含t 的代数式表示∠ADB 的度数；②并求出当t 取何值时，∠ECF 与∠ADB 的度数相等；（3）如图3，在（2）的条件下，若BG 平分∠ABC ，其它条件不改变，是否存在t ，使得23BGD ADB ∠=∠，若存在直接写出t 的值，若不存在，请说明理由.CA图（1） 图（2）13．（1）如图1，BD 、BC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠A ＝70°，则∠BDC ＝ ．（2）如图2，将△ABC 沿BC 向右平移后可得△FCE ，BD 、DE 分别平分∠ABC 、∠FE C ．∠A ＝n °，求∠BDE 的度数；（3）如图3，将△ABC 绕点C 旋转180°得△EFC ，DA 平分∠BAC ，DB 平分∠ABC ，GF 平分∠CFE 、GE 平分∠CEF 的外角，试探究∠ADB 与∠FGE 有何确定的数量关系，并说明理由．BCD A BCDEFAAH GFEDCB图1 图2 图314．直线EF 与直线MN 垂直相交于O ，点A 在直线EF 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AG 、BG 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AGB 的大小是否会发生变化?若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AGB 的大小；（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠EAB 和∠ABM 的角平分线，又DG 、CG 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CGD 的大小是否会发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，延长AB ，已知∠BAO 和它的外角平分线分别与∠AON 的角平分线及其延长线相交于G 、C ，在△BCG 中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求∠BAO 的度数．AOMGF E BNAONM GFED CB A ONMG FECB图1 图2 图3专题04三角形的角平分线及其规律思维索引】例1．(1)∠DAE ＝10° (2)∠F ＝15°例2．(1)①∠ABO ＝20° ②120；60 (2)20；35；50；125例3．(1)①∠BFC ＝90°－12α； ②．∠FBG ＝90°－12β (2)①∠BFC ＝90°＋12α； ②∠FBG ＝12β．素养提升】1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．C ； 6．50°； 7．2nm； 8．15°； 9．43°； 10．30°； 11．(1)100°； (2)130°； (3)40°；12．(1)45°； (2)①45°＋5t ； ②t ＝3秒； (3)t ＝1.8． 13．(1)125°； (2) 90°＋12n ； (3)∠ADB ＝90°＋∠FGE ．14．(1)45°； (2)67.5°； (3)45°或36°．。
中考培优竞赛专题经典讲义 第1讲 角平分线
第1讲角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF =DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！模型讲解模型1-BD平分∠ABC，且DC⊥BC理由：角平分线的性质结论：△DCB2△DEB模型2一BD平分∠ABC，且CD⊥BD理由：等腰三角形三线合一结论：△BDC≌△BDE模型3-BD平分∠ABC，AD//BC理由：平行线的性质结论：△ABD为等腰三角形【例题讲解】例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交AD ，AC 于点E 、F ，则BF EF的值是___________.【分析】要求BF EF 的值，一般来说不会直接把BF 和EF 都求出来，所以需要转化BF EF，当过点F 作FG ⊥AB 时，即可将BF EF 转化为BG AG ，又会出现模型1，所以这个辅助线与思路值得一试.【解答】解：如图，作FG ⊥AB 于点GQ ∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BG AGQ AC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又Q BF 平分∠ABC ，∴FG =FC在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BF CF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGQAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴===- 例题2、如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【分析】有AE 平分∠BAC ，且AE ⊥EC ，套用模型2，即可解决该题.【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .Q AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC∴∠FAE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中EAF EAC AE AEAEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△AFE ≌ACE （ASA ）∴AF =AC =16，EF =EC ，∴BF =6又Q D 是BC 的中点，∴BD =CD∴DE 是△CBF 的中位线∴DE =12BF =3 故答案为：3.例题3、如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .Q E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC∴∠CBM =∠EMBQ BM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM∴EP +BP =EP +PM =EMQ CQ =13CE ，∴EQ =2CQ 由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ ∴ 2 212 12EM EQ EM BC EP BP BC CQ ==∴==∴+=【巩固练习】1、如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，做法用得到三角形全等的判定定方法是（）A.SASB.SSSC.ASAD.HL（第1题）（第3题）（第4题）2、三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点3、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于G.若使EF =14AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A.∠ABC =60°B.AB:BC =1：4C.AB:BC =5：2D.AB:BC =5：84、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC =10，则PQ的长为（）A.32B.52C.3D.45、如图，在△ABC中，∠C =90°，AC =BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE AB 于点E，若△BDE的周长是5cm，则AB的长为 .（第5题）（第6题）（第7题）6、如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE 的周长为15，BC长为7，则△ABC的周长为 .7、如图，在△ABC中，点D在BC上，BM平分∠ABD，BM⊥AD，N是AC的中点，连接MN，若AB =5，BC =8，则MN = .8、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC =2，则DF的长为 .（第8题）（第9题）（第10题）9、如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB =6，AC =3，则BE = .10、如图所示，在四边形ABCD中，AD/∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE =2AE，若四边形AECD的面积为1，则四边形ABCD的面积为 .11、如图，在e O的内接四边形ABCD中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 .（第11题）（第12题）12、已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD =BE =6，则AC的长等于 .13、将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=8，DB=10，则BC的长是.（第13题）14、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG =S△PMN，试问点P是否在∠AOB的平分线上？15、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.16、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；17、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF.18、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A 不重合），∠BPC =∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.19、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B （m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
三角形角平分线的结论及应用
三角形角平分线的结论及应用浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。
本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。
关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。
（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。
（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。
在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。
下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。
结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。
试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。
∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。
1∠Ａ。
则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3: 在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典 专题4
专题4.6用尺规作三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•恩施市期末）按下列语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，下列图形符合题意的是（）A．B．C．D．2．（2020秋•邢台期中）如图是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容（）A．♡表示点E B．☺表示PQC．⊗表示OQ D．⊕表示射线EF3．（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是（）A．a，b均无限制B．a＞0，b DE的长C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，b DE的长4．（2020秋•滦南县期末）如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（2020秋•涪城区期末）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝7 B．AC＝4，BC＝6，∠A＝60°C．∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°D．AB＝5，BC＝4，∠C＝90°6．（2020秋•丛台区校级期末）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°D．AB＝5，AC＝4，∠C＝45°7．（2020秋•莒南县期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠F AC；②AF＝AC；③F A平分∠EFC；④∠BFE＝∠F AC中，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．（2020秋•卢龙县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE ＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）A．3 B．5 C．6 D．79．（2020秋•卢龙县期末）如图，已知线段AB＝20米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（）A．5 B．5或10 C．10 D．6或1010．（2020秋•恩施市期末）已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是（）A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•海淀区校级期末）为作∠AOB的平分线OM，小齐利用尺规作图，作法如下：①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点P、Q；②分别以点P、Q为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点M．则射线OM为∠AOB的平分线．OM为∠AOB的平分线的原理是．12．（2020秋•东城区校级期中）阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题：尺规作图：作∠A′O′B′＝∠AOB．已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′＝∠AOB．小米的作法如下：如图：（1）作射线O′A′；（2）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，OC为半径作弧C′E′，交O′A′于点C′；（4）以点C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C′E′于D′；（5）过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是所求作的角．老师说：“小米的做法正确．”请回答：小米的作图依据是．13．（2019春•海淀区校级期末）阅读下面材料．数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示，其中他所画的弧MN是以E为圆心，以CD长为半径的弧老师说：“小明作法正确．”请回答小明的作图依据是：14．（2020秋•中山区期末）如图，已知AO＝CO，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△COD，还要添加的条件．15．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC与△A′B′C′中，AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，且∠B和∠B′都是钝角，那么能否证明△ABC与△A′B′C′全等？．（填“能”或“否”）16．（2020秋•沂源县期中）如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM 摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明．17．（2020秋•天津期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB ＝CB，M，N分别是AE、CD的中点．若BN＝4cm，则BM的长为cm．18．（2020秋•长汀县期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF＝54°，则∠A＝°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•天河区期末）如图，已知线段a和线段AB．（1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝a（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝2，取线段AC的中点O，求线段OB的长．20．（2020秋•西城区校级月考）尺规作图：已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．（不写作法，保留作图痕迹，画在答题纸的方框中）写出这样作图的两点依据：①；②．21．（2020春•碑林区校级期中）如图（1）利用尺规作∠CED，使得∠CED＝∠A．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线DE与AB的位置关系：．22．（2020秋•武威期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．23．（2020秋•南关区校级期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A 出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．24．（2020秋•盘龙区期末）如图，已知C是线段AE上的一点，DC⊥AE，DC＝AC，B是CD上一点，且CB＝CE．（1）△ABC与△DEC全等吗？请说明理由．（2）若∠A＝20°，求∠E的度数．。
初中数学角平分线问题的六种方法
初中数学角平分线问题的六种方法
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线。
在初中数学中，有六种常见的方法可以求解角平分线问题。
方法一：作弧上的等分线法
以角的顶点为圆心，画一个圆，并将圆分成需要的等分数。
然后将等分点和角的两个端点相连，这些线段就是所求的角平分线。
方法二：作垂线法
以角的一边为直径作一个圆，然后将另一边的端点与圆上的点连成线段。
连接角的两个顶点与圆心，这两条线段就是所求的角平分线。
方法三：作过顶点的角平分线法
以角的顶点为圆心，任意作一个大于角的两边的弧，将弧上的两个点与角的两个端点连成线段。
连接圆心与弧的两个端点，这两条线段就是所求的角平分线。
方法四：作等距离线段法
以角的一边为直径作一个圆，在圆上选择等距离原点的多个点，然后将这些点与角的两个端点连成线段。
与角度相等的线段即为所求的角平分线。
方法五：作锐角三等分线法
将角分成三个相等的锐角，然后以这三个锐角的顶点为圆心，分别作三个圆。
连接圆心与圆上的点，这些线段即为所求的角平分线。
方法六：利用角度性质法
利用角的度数关系来求解角平分线。
如果角的两边垂直，则角平分线就是两边的垂线；如果角的两边相等，则角平分线就是两边的中垂线；如果角的两边呈比例关系，则角平分线是两边之比的垂线。
以上六种方法是初中数学中常见的角平分线求解方法。
每种方法都有其独特的应用场景，根据题目给出的条件，选择合适的方法来求解即可。
同时，理解角平分线的定义和性质，掌握角的几何构造技巧，也能在解决问题中起到很好的帮助作用。
角平分线的性质和判定(共张)课件
作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
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角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
初中数学角平分线问题的六种方法(初中数学图形系列)
初中数学角平分线问题的六种方法（初中数学图形系列）在历年的中考中，有关图形问题中一般都会有与角平分线、中点有关的条件出现，那么，问题就来了，当出现这几个条件时，我们该如何去梳理思路，解决问题呢？接下来，我们就从角平分线与中点这两个类型进行总结一下。
类型一：角平分线的相关考点及做题思路。
对于角平分线，相信都不陌生，从初一就开始接触，慢慢地深入研究，我们对角平分线的利用通常有三种用法：一是利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，作为解题依据，为自己做辅助线提供一个思路，具体做法是在角平分线上找到一点，分别边两边做垂直，从而可以得到两个三角形全等，在借助全等的一些知识解决问题；二是利用等腰三角形的“三线合一”构造等腰三角形，角平分线在所构造的等腰三角形的高线上，这样既出现了等腰三角形，又出现了直角三角形，在具体做题时，就可以把相关知识点加以应用；三是利用“两直线平行，内错角相等”构造等腰三角形，从而去求线段长或者角度。
对角平分线做了这三类总结以后，我们在平时做题时就要有意识地去积累做题方法，知道常用的思路有哪些，便于节省时间。
类型二:中点的几种考法。
对于中点，经常在题目中是一个比较不显眼的存在，如果你不知道它所涉及到的几种解题思路。
那么有哪些解题思路呢？思路一:条件中图形是三角形，既出现中点又出现平行，我们可以先找到中位线或者构造中位线，当出现中位线以后。
中位线的性质就是解决这道题的一个关键点；思路二:条件中出现直角三角形，出现斜边上的中点，那么我们借助的就是直角三角形斜边上的中线是斜边的一半这个性质，为求线段长或者找线段相等提供依据；思路三:条件中出现等腰三角形，出现底边的中点，我们利用等腰三角形的“三线合一”，找到线段之间的关系；思路四:条件中出现三角形，出现中点，这个具有普遍性，一般可以考虑周长与面积，很明显，在三角形中，中线是可以把三角形分成两个面积相等的三角形的，因为“等底同高的两个三角形面积是相等的”；思路五:条件中出现中点，出现求全等，我们可以借助倍长中线去构造全等三角形，这个思路往往在解答题出现，所以需要我们好好理解，掌握一些技巧。
初中数学知识点精讲精析 角平分线
第五节角平分线要点精讲一、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．二、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半三、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．四、角平分线的作法在角AOB中，画角平分线作法1：1．以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N．2．分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P．3．作射线OP．则射线OP为角AOB的角平分线．当然，角平分线的作法有很多种．下面再提供一种尺规作图的方法供参考．作法2：1．在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB;2．连接AN与BM，他们相交于点P;3．作射线OP．则射线OP为角AOB的角平分线．相关链接三角形的角平分线定义三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．（也叫三角形的内角平分线．）由定义可知，三角形的角平分线是一条线段．由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线．且，三角形的角平分线交点一定在三角形内部．典型分析1．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．∵42+92=97＜122，∴三角形为钝角三角形，∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．故选C．中考案例1．（2012江苏泰州）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 _______．【答案】4【解析】过点D作DE⊥AB于点E，则DE即为点D到AB的距离．∵AD是∠BAC的平分线，CD=4，∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等性质，得DE=CD=4，即点D到AB的距离为4．针对训练1．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：（1）作∠A的角平分线交BC于D点．（2）作AD的中垂线交AC于E点．（3）连接DE．根据他画的图形，判断下列关系何者正确？（）A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD=DE D．CD=BD3．如图，三边均不等长的△ABC，若在此三角形内找一点O，使得△OAB．△OBC．△OCA的面积均相等．判断下列作法何者正确（）A．作中线AD，再取AD的中点OB．分别作中线AD．BE，再取此两中线的交点OC．分别作AB．BC的中垂线，再取此两中垂线的交点OD．分别作∠A．∠B的角平分线，再取此两角平分线的交点O4．在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AB＝10cm，D为AB的中点，则CD＝_________cm．5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于_________cm．6．如图：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，则∠2=_________度．7．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_________．8．如图，在△ABC中，点P是的△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=_________度．参考答案1．【答案】B【解析】∵S△ABC=12，EC=2BE，点D是AC的中点，∴S△ABE=×12=4，S△ABD=×12=6，∴S△ABD-S△ABE，=S△ADF-S△BEF，=6-4，=2．故选B．2．【答案】B【解析】依据题意画出右图可得知∠1=∠2，AE=DE，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，即DE∥AB．故选B．3．【答案】B【解析】分别作中线AD．BE，再取此两中线的交点O，∴O为△ABC的重心，∴S△OAB＝S△BOC＝S△OCA，∴B正确．故选B．4．【答案】5【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD：如图，∵∠ACB＝900，D是AB的中点，∴CD=12AB又∵AB＝10cm，∴CD＝5cm．5．【答案】2【解析】∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴NA＝NB，又∵△BCN的周长是5cm，∴BC＋BN＋NC＝5cm，∴BC＋AN＋NC＝5cm，而AC＝AN＋NC＝3cm，∴BC＝2cm．6．【答案】60°【解析】已知CD平分∠ACB，DE∥AC，可推出∠ACB=∠2，易求解．∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠1；∵DE∥AC，∴∠ACB=∠2；又∵∠1=30°，∴∠2=60°．7．【答案】50°【解析】延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PM=PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP=∠PAC=50°．故答案为：50°．8．【答案】90°【解析】根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题目中的三个角的和．∵点P是的△ABC的内心，∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°，故答案为：90°扩展知识角平分线的判断角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．判定定理的证明：如图，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于饿，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB证明：在RT△OPD和RT△OPE中：OP=OP，PD=PE∴RT△OPD≌△RT△OPE（HL）∴∠1=∠2∴OP平分∠AOB。
三角形中线与角平分线专题(二)
三角形中线与角平分线专题（二）1、三角形内外角平分线的四个经典结论：结论一：三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系已知如图1，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠P与∠A的数量关系.1902P A∠=+∠结论二：三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系．已知如图2，BP平分外角CBE∠，CP平分外角BCF∠，求P∠与A∠的数量关系.1902P A∠=-∠结论三：三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系如图，BP平分ABC∠，CP平分外角ACD∠，求P∠与A∠的数量关系.12P A∠=∠结论四：结论三延伸平分ACDABC∠∠和，连结EA，则如图，CEBE、分别EA为HAC∠的平分线应用举例：例1：在四边形ABCD中，︒=∠120D，︒=∠100A、ABC∠、ACB∠的角平分线的交与点E，试求BEC∠的度数.21AEFB C21PBAC例2：在ABC ∆中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ∆，试判断DEF ∆的形状.例3：如图3，在ABC ∆中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若︒=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A .图三 图四例4：点M 是ABC ∆两个内角的平分线的交点，点N 是ABC ∆两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB例5：（ 2011年湖北省鄂州是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．2、角平分线性质的应用3、角平分线与等腰三角形的构造问题：【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形如图（1）中，AD平分∠BAC，AD//EC；如图（2）中，AD平分∠BAC，DE//AC；如图（3）中，AD平分∠BAC，CE//AB；如图（4）中，AD平分∠BAC，EF//AD。
七年级数学角的平分线人教四年制知识精讲
七年级数学角的平分线人教四年制【本讲教育信息】一. 教学内容：角的平分线二. 重点、难点：角平分线的性质是辅助线的一种基本类型，还存在运用角平分线到角两边的距离时，应直接用性质得出距离相等，不要再证一次全等，在证明角平分线时也要想到利用判定。
【典型例题】[例1] 如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，BD=DC ，求证：C B ∠=∠。
ABCE FD证明：∵ AD 平分BAC ∠AC DF AB DE ⊥⊥∴ DE=DF ︒=∠=∠90DFC DEB 在BDE Rt ∆与CDF Rt ∆中，⎩⎨⎧==DFDE CDBD∴CDF BDE ∆≅∆∴C B ∠=∠[例2] 如图，已知ABC ∆中，A B ∠=∠2，AB BC 21=，求证：︒=∠90C 。
证明：作ABC ∠的角平分线BD ，过D 作DE ⊥AB 于E ∵A ABC ∠=∠2∴A ∠=∠1∴ 在BDE ∆与ADE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠DE DE AED BED A 901∴ADE BDE ∆≅∆∴BC AB AE BE ===21∴ 在BCD ∆与BED ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BD BE BC 12∴BED BCD ∆≅∆又 ∵ AT 平分CAB ∠ TC ⊥AC ，TF ⊥AB ∴ CT=TF ∴ CD=TF ∵ DE ∥AF ∴B CED ∠=∠又 ∵ CH ⊥AB ∴ CD ⊥DE ∴ 在CDE ∆与TFB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠TF CD TFB CDE B CED ∴TFB CDE ∆≅∆∴ CE=TB ∴ CT=EB[例4] 如图，已知点B 在线段AC 上，等边ABE ∆和等边BCD ∆在线段AC 的同侧，AD与︒=∠=∠60CBD ABE 又 ∵︒=∠180ABC ∴︒=∠60EBD在ABD ∆与EBC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=BC BD EBC ABD BEAB 120∴EBC ABD ∆≅∆∴ECB ADB ∠=∠ 在MBD ∆和NBC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠NCB MDB BC BD NBC MBD 60∴NBC MBD ∆≅∆∴ BM=BN （2）作BF ⊥AD 于F ，BH ⊥EC 于H ∵EBC ABD ∆≅∆∴EBC ABD S S ∆∆=，AD=ECBH EC BF AD ⋅=⋅11∴ BF=BH ∴ BP 平分APC ∠在BCE ∆与FCE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE CF BC 21∴FCE BCE ∆≅∆∴ BE=FE ∴︒=∠=∠100EBC EFC ∵︒=∠20DBC ∴︒=∠=∠80EBH EFG ∵︒=∠=∠90EGF EHB ∴EHB EGF ∆≅∆ ∴ EG=EH 43∠=∠又 ∵2143∠+∠+∠=∠+∠DBC 即2242∠+∠=∠DBC[例过P 作BC PG ⊥于G ，过P 作AC PF ⊥于F 过K 作KN ⊥AC 于N ，过K 作KQ ⊥BM 于Q 过K 作KR ⊥AB 交AB 延长线于R ∵︒=∠120ABC BM 平分ABC ∠∴︒=∠=∠60MBC ABM 而︒=∠60CBP ︒=∠60EBP ∴ BP 平分EBC ∠∴ PE=PG PC 平分BCF ∠∴ PG=PF ∴ PE=PF ∴ MP 平分BMC ∠∴ KQ=KN 又 BC 平分MBP ∠∴ KQ=KR ∴ KR=KN∴ AK 平分BAC ∠KAM AKM KMC ∠+∠=∠BAC AKM BMC ∠+∠=∠2121)(21BAC BMC AKM ∠-∠=∠ ︒=︒⨯=∠=∠30602121ABM AKM【模拟试题】（答题时间：90分钟）7. 等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于︒260，则它的底角等于。