第一节傅立叶级数与傅里叶积分

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第一节傅立叶级数与傅里叶积分

Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
6. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ，得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
n 1
A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
n 1

A0 An cos(n 0 t n ) .
n 1
3. Fourier 级数的三角形式定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类续点处有

傅立叶积分

- 14 -
第一节
傅里叶积分
(1.1.8) 或 (1.1.9) 称为 f ( t ) 傅立叶积分的实数形式。
第一章傅里叶变换
特别如果 f ( t ) 为偶函数， 1 f ( t ) ~ [ f ( )(cos wt cos w sin wt sin w )d ]dw
在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有 1 iw ( t ) f (t ) ~ [ f ( ) e d ]dw 2 1 [ f ( )(cos w( t ) i sin w( t ))d ]dw 2 注意到
f ( )sin w( t )d 为 w 的奇函数，因此 1 [ f ( )cos w ( t )d ]dw (1.1.8) f (t ) ~ 2

注意到
f ( )cos w( t )d 为 w 的偶函数，因此 1 f ( t ) ~ [ f ( )cos w( t )d ]dw (1.1.9) 0
-8-
(1.1.6)
1 T T ( w ) [ fT ( )e iw d ]e iwt 2 T 1 ( w ) [ f ( )e iw d ]e iwt 2
第一章傅里叶变换
第一节
傅里叶积分
注意到
T
lim T ( w ) ( w )
(1.1.4) 式称为 f ( t ) 傅里叶级数的复数形式。如果将 (1.1.3) 式代入(1.1.4) 式，我们有
-5-
cn e n

i
n t T
(1.1.4)
第一节
傅里叶积分

傅里叶级数与傅里叶变换的关系

傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。

一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。

它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。

傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。

二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。

它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。

傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。

傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。

三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。

当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。

具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。

通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。

四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。

以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。

而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。

傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。

总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。

复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换

证：f t 1 F ejt d
2
1
2

2d

0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2

f ( )cos(t )d

j

f
(
) sin
(t

)d

d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是的偶函数,
定义
d
t

lim
0
d

t

0
t 0。 t 0
O

d t dt

lim 0

d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3

19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
从 f t 1
2

f

复变函数第1节傅氏积分,傅氏变换

解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外，还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。

它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。

本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。

一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。

它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。

在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。

将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。

傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。

线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。

对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。

频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。

傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。

此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。

二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。

它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。

傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。

傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。

《高数课件：傅里叶级数与傅里叶变换》

《高数课件：傅里叶级数与傅里叶变换》
傅里叶级数是数学中的一种重要工具，用于将任意函数展开为三角函数的无穷级数。本课件将介绍傅里叶级数的定义、应用领域以及性质。
什么是傅里叶级数？
傅里叶级数是将周期函数分解为一组频率不同的正弦和余弦函数的总和。它在信号处理、图像处理等领域有广泛的应用。
傅里叶级数的性质
线性性质
傅里叶级数具有线性叠加性质，可以对信号进行加法和乘法操作。
对称性质
有些函数的傅里叶级数具有对称性，可以利用对称性简化级数的计算。
周期性质
傅里叶级数可以看作是周期函数的频谱表达，具有与原函数相同的周期。
收敛性质
傅里叶级数在一定条件下收敛，能够逼近原函数的近似值。
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是将一个函数在连续频域和时域之间进行转换的数学工具。它为信号的频谱分析提供了一种强大的方法。
傅里叶变换的频谱解释
频域高频成分低频成分频谱幅度频谱相位
时域快速变化的信号缓慢变化的信号信号幅度的变化情况相邻波形之间的偏移角度
傅里叶变换的应用案例
信号处理
傅里叶变换广泛应用于音频、图像和视频信号的处理和压缩。
图像处理
傅里叶变换在图像频域滤波、图像锐化和边缘检测等方面具有重要作用。
通信系统
傅里叶变换用于信号的调制、解调以及频谱分析，是现代通信系统的关键技术之一。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特例，是一种将函数展开为频谱成分的方法。
傅里叶级数与傅里叶变换的应用领域
1Hale Waihona Puke 音乐傅里叶变换在音乐信号分析和合成中有广泛的应用。
2 图像处理

工程数学第八章傅里叶变换课件

[
f ( )e j d ]ejtd
2π
2π
（8-5）
这样就得到了 f (t) 的一个积分形式的展开式，称为非周期函
数 f (t) 的傅里叶积分公式,等号右端称为傅里叶积分．
定理 1（傅里叶积分定理）若函数 f (t) 在 (-,+) 上的任一
有限区间内满足狄利克雷条件，并且在 (-,+) 上绝对可积，
2
2π
j
1 1 sin t d
2 π0
利用狄利克雷积分 sin d π ，可知
0
2
若 t 0 ，令 t u ，则
sin t d sin u du π
0
0u
2
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结束
若 t 0 ，令t u ，则
sin t d
sin u
π
du
0
2
a0
1( 2
0
0d t
2
2
1d t) 1
0
an
1 2
2 0
cos
ntdt
1
2n
sin
nt
|02
sin 2n sin nπ 0(n 0) 2n nπ
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返回
结束
bn
1 2
2 0
sin
n
tdt
1
2n
cos
nt
|02
1 (1 cos 2n) 1 (1 cos nπ)
2n
nπ
2
t
d
.
注意到上式被积函数关于的奇偶性，可得 f (t) 的傅里叶积分公式为
f (t) 1
π
0

第一+二节(傅里叶级数和积分)

代入展开式: 代入展开式 g(x) = a0 + ∑(ak cosωk x + bk sin ωk x) 即可. 然后取极限 l → ∞ 即可对于系数a 如果对于系数 0,如果 lim
l →∞ −l
∫
l
f (ξ )dξ 有限则有有限,则有
1 l lim a0 = lim ∫ f (ξ )dξ = 0 l →∞ l → ∞ 2l −l
kπx kπx f (x) = a0 + ∑ak cos + bk sin l l k =1
叫做周期函数f(x)的的叫做周期函数
傅里叶级数展开式展开系数称为傅里叶系数展开式, 展开系数称为傅里叶系数
满足:(1)处处连续或者在每个周期狄里希利定理: 若函数f(x)满足狄里希利定理: 若函数满足处处连续或者在每个周期中只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值在每个周期中只有有限个极值中只有有限个第一类间断点则级数收敛,且点,则级数收敛且则级数收敛
f ( x) 级数和 = 1 2 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} (连续点x) (间断点x )
7
(二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f(x)是奇函数则傅里叶系数的计算公式可得是奇函数,则傅里叶系数的计算公式可得若周期函数是奇函数 a0及ak都等于零则展开式变为都等于零,则展开式变为则展开式变为: ∞ kπx f (x) = ∑bk sin l k=1 由于对称性,展开系数为这里称为傅里叶正弦级数,由于对称性展开系数为由于对称性展开系数为:
13
又 l →∞
∆ω k =

应用高等数学-6.1 傅里叶变换

例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解：由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．

第一+二节(傅里叶级数和积分)

函数在fx区间满足1在任一有限区间满足狄利希利条件2fx在绝对可积收敛则fx可表示成傅里叶积分且积分值fx0fx02振幅谱振幅谱相位谱相位谱1111奇函数奇函数fx的傅里叶积分是傅里叶正弦积分傅里叶正弦积分是fx的傅里叶正弦变换傅里叶正弦变换偶函数偶函数fx的傅里叶积分是傅里叶余弦积分傅里叶余弦积分是fx的傅里叶余弦变换傅里叶余弦变换奇函数偶函数傅里叶正弦变换傅里叶正弦变换傅里叶余弦变换傅里叶余弦变换1212写成对称的形式如下
展开成傅里叶级数,为了能让这类函数可以展开,采用如下办法:
将非周期函数f(x)看成某个周期函数f(x)当周期 2l 的极限
形式,这样g(x)的傅里叶级数展开
f
(x)

a0

k 1

ak
cos
kx
l
bk
sin
kx
l

在 l 的极限形式就是要找的非周期函数f(x)的傅里叶展开.
整理得:
0
0
f (x) 1 [ A() iB()]eixd 1 [ A() iB()]eixd
02
02
右边第二个积分中换成
f (x) 1 [ A() iB()]eixd 0 1 [ A( ) iB( )]eixd
B( )

2

0
f
( )sin
d
偶函数f(x)的傅里叶积分是傅里叶余弦积分

f (x) 0 A() cosxd
其中 B( ) 是f(x)的傅里叶余弦变换
A( )

2

0
f
( ) cosd
f (0) 0 f (0) 0

傅里叶级数与傅里叶变换的数学原理

傅里叶级数与傅里叶变换的数学原理我们都知道，信号在通信中起着重要的作用，例如音频、视频和图像等。

在这些信号中，每个数据点代表着信号在某个时间或空间位置的值。

要理解这些信号，就需要了解信号如何以及为什么能够被表示为不同频率的正弦或余弦波的组合。

傅里叶级数和傅里叶变换是用于分解和表示信号的重要数学工具。

一、傅里叶级数在介绍傅里叶级数之前，我们先了解一下周期函数。

周期函数是指满足$f(x+T)=f(x)$的函数$f(x)$，其中$T$是一个固定的周期。

我们可以将其表示为三角函数的和，即$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omegax)+b_n \sin(n \omega x)]$$其中$a_0$、$a_n$和$b_n$是常数，$\omega$是角频率，表示单位时间内正弦波的循环数。

这个式子就是傅里叶级数的定义。

如何求出傅里叶系数呢？可以使用以下公式：$$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(x)\cos(n \omega x)\mathrm{d}x}$$$$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(x)\sin(n \omega x)\mathrm{d}x}$$这两个公式可以通过积分的方式求解出来，而系数$a_0$可以这样求解：$$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(x) \mathrm{d}x}$$于是我们可以将周期函数表示为傅里叶级数的形式。

这种分解方法为我们理解信号提供了重要的数学工具。

二、傅里叶变换当信号不再是周期函数时，我们需要使用傅里叶变换来分析信号。

傅里叶变换是傅里叶级数的推广。

傅里叶变换定义为：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i \omega t}\mathrm{d}t}$$其中$i$是虚数单位，$\omega$是频率。

傅里叶变换课件

快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将低频信号转换为高频信号，以便在信道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器对图像进行滤波操作，以减少噪声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以突出图像的边缘信息，使图像更加清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以改变图像的对比度，使图像更加鲜明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。

积分变换第1讲傅里叶(Fourier)级数展开

因此, 如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即Sa 函数的形状看作是f(t)在各个频率成份上的分布, 称作f(t)的傅里叶变换.

a0 2

n 1
an
- jbn 2
e jnw t

an
jbn 2
e
-
j
nw
t

如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令 c0

a0 2
,
cn

an
2
jbn
,n
1,2,3,
c-n

an
2
jbn
,n
1,2,3,

fT (t) c0
T
-T 2
2
即a0
2 T
T 2 -T 2
fT(t)dt
为求an, 须计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 - T 2
nwtd t

T

am
2 cos
-T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
1 e - jw nt d t
-1
1

1
e - jw n t
1
e jw n - e - jw n
-8 jw n
-1 8 jw n

1 4
sin w n wn

1 4
Sa(w n )

傅里叶积分

f (t 0) 2
f (t)
f (t
0)
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退出
第第‹#6›页
2.Fourier级数的复指数表示形式
积分变换
在其连续点处，利用Euler公式：
cos
e j
e j
, sin
e j j
e j
2
2
f
(t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
a0 2
an
（ f ）ej d
e j t
d
Fourier积分公式
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第第‹1#4›页
2. Fourier积分定理
积分变换
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.
定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件: 1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
（在(, )绝对可积即
|
f (t) | d t收敛）
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第第‹1#5›页
2. Fourier积分定理
积分变换
f
(t)
1 2π
f
(
)e j
d
e jt
d
成立.
F() f (t ) e jtdt
称为f的Fourier变换。
f (t) 1
F
(
)
e
jt
d
2
称为F的Fourier逆变换。
T 2 T 2

傅立叶积分变换

第一章傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),(这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在：数学上：求解方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n nn ib a c -=, 2n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 .于是()()t i n TT i TT n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim , 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t e t t β的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=，上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2t Ae β-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Aei t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语：在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea a e i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶积分变换整理1 基本概念首先理清下面的概念：三角函数形式傅里叶级数（系数含1/T ）三角函数形式傅里叶级数改写为复指数形式傅里叶级数（系数含1/T ）复指数形式傅里叶积分，系数1/T 变为1/(2π)三角函数形式傅里叶积分(将复指数核函数改写为三角函数形式，利用奇偶性变为余弦核函数).复指数形式傅里叶积分与更一般的积分变换：象函数，象原函数和核2 基本公式和变换过程欧拉公式，是连接复指数和三角函数，频域和时域的桥梁cos()sin()i e t i t ωωω=+三角函数改写为复指数形式：cos 2i i e e θθθ-+=，sin 2i i e e i θθθ--=2.1 三角函数形式的傅里叶级数“级数”就是对数列求和。

三角函数形式傅里叶级数, 系数1/T复指数形式傅里叶级数, 系数1/T复指数形式傅里叶积分, 系数1/(2π)上述四种形式都包括了傅里叶正变换和逆变换的过程 f (t ) = F -1 ( F ( f (t ) ) )更一般的积分变换形式三角函数形式傅里叶积分, 系数1/(2π)01()(cos sin )2T n n n a f x a n x b n x ωω∞==++∑其中/20/2/2/2/2/222()2()cos 2()sin T T T T n T T T n T TT a f x dx T a f x n xdx T b f x n xdx T πωωω---====⎰⎰⎰注意这里的系数含1/T2.2 复指数形式的傅里叶级数我们可以把三角函数形式的傅里叶级数改写为复指数形式，最后甚至合并成一个简单的式子：0101011/2000/2/2/2()()222()2221()21()cos ()sin 2n n in x in x in x in xT n n n in x in x n n n n n i xi x n n n n T i x T T T n n n T T T T a e e e e f x a b i a a ib a ib e e c c ec e a c f x e dx T a ib c f x n dx i f x n dx T ωωωωωωωωωω--∞=∞-=∞∞-==-⋅⋅---+-=++-+=++=++==-==-∑∑∑∑⎰⎰，其中/2/2/2/2/2/21()1()2()n T T i n xT T T i n xn n n T T i xT n f x e dx T a ib c f x e dx T f x c e ωωω-⋅⋅-⋅⋅--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+===⎰⎰⎰∑最后其中/2/21()n T i xn T Tc f x e dx T ω--=⎰，n n ωω= 即/2/21()()n n T i xi x T T T f x f x e dx e T ωω∞--∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰2.3 复指数形式的傅里叶积分要知道傅里叶级数最初是用于周期函数的。

傅里叶级数与傅里叶积分的区别

傅里叶级数与傅里叶积分的区别哎呀，今天咱们聊聊傅里叶级数和傅里叶积分这两个家伙。

听到这些名字，可能很多人就觉得有点头疼，像是吃了个酸梅子一样，唉，数学嘛，总是让人又爱又恨。

不过，别担心，咱们就用轻松的方式来捋一捋这两个概念，让你明白它们到底有什么区别。

先说傅里叶级数。

这东西就像是把音乐分解成不同的音符。

想象一下，你在听一首流行歌曲，耳边飘来的是那动听的旋律。

其实这旋律可以拆解成一堆简单的正弦波，每个波就像乐器在演奏。

傅里叶级数就是帮我们把这些复杂的波形拆分开来的工具。

用一句话来说，就是把一个周期信号拆解成一系列简单的波。

就像做菜，你把各种材料准备好，最后组合起来就是一顿美味大餐。

这种方法特别适合处理那些周期性信号，比如说，一个轮子转动的时候发出的声音，或者是电流的波动，哎呀，真是好用得很。

再说说傅里叶积分，这可不是个简单的角色。

想象一下，生活中有很多东西是非周期性的，比如说噪音、风声、甚至是你老妈的唠叨，哈哈。

傅里叶积分就像是给这些无规律的声音找个秩序。

它能把任意信号表示为不同频率的正弦波的组合，不管这个信号是周期性的还是非周期性的，通通都能搞定。

就好比你在厨房里，做菜的时候可能用到很多种调料，不管是咸的、甜的、酸的，都能调出一锅好汤。

这就是傅里叶积分的魅力所在。

它的适用范围比傅里叶级数要广得多，像个万金油，哪里需要哪里贴。

傅里叶级数和傅里叶积分在数学上的实现方式也有一些小差别。

傅里叶级数是通过离散的频率来表示信号，像是把音符一个一个地列出来。

而傅里叶积分则是用连续的频率表示，像是在乐谱上画出一条流畅的线，音乐随之而来。

这样的区别让傅里叶级数在周期信号的处理中更有优势，而傅里叶积分则可以处理那些复杂的、无规律的信号。

再来聊聊傅里叶级数的一个特性，叫做“周期性”。

这就意味着，你每次听到这首歌，都是从头到尾地循环播放，像个永不停歇的转盘，实在让人陶醉。

而傅里叶积分则不受这个限制，随时随地都可以产生出新信号，像是生活中的每一次新发现，总是让人充满惊喜。

第一节傅立叶级数与傅里叶积分