几何中常见对称问题的求法

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高考数学专题05 解析几何中的对称解法(解析版)

专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则三．【题型】（一）点关于直线的对称（二）光线的对称问题（三）圆关于直线的对称（四）利用对称求最值（五）圆锥曲线的对称（六）椭圆的中点弦问题（七）双曲线的中点弦（八）抛物线的对称问题（九）椭圆中的对称方法（十）对称的综合应用四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--，圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ，则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=，所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++，因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0，解得x=-7（舍）或x=-2，由x=-2得6（负值已舍）故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上，即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-，所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１，即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=，故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =；（2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+，所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++，因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-，因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ，则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=，由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =，根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-，从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。

点关于直线对称的点的万能公式

点关于直线对称的点的万能公式
直线对称是几何学中非常重要的概念，可以帮助我们解决许多问题。

当我们在平面直角坐标系中考虑直线对称时，有一些万能公式可以帮
助我们快速计算出对称点的坐标。

下面就为大家列举一些常见的直线
对称公式，并给出具体的介绍。

1. 直线对称公式
设点A(x1,y1)关于直线L:y=kx+b对称的点为A'(x2,y2)，则有下列公式：x2 = (x1+k*y1-b*k)/(1+k^2)
y2 = k*x2+b
这个公式可以很方便地计算出对称点的坐标。

首先计算x2，然后代入
直线方程可得y2。

2. 关于x轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于x轴对称，那么对称点的坐标就
是(x,-y)。

这个公式很容易记忆，只需要将原来的y坐标取负号即可。

3. 关于y轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于y轴对称，那么对称点的坐标就
是(-x,y)。

同样，这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x坐标取负号即可。

4. 关于原点对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于原点对称，那么对称点的坐标就是(-x,-y)。

这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x和y坐标都取负号即可。

以上这些公式是直线对称中最常用的公式，可以帮助我们快速计算出对称点的坐标。

在实际运用中，我们可以根据实际情况灵活运用这些公式，从而更好地应对各种问题。

直线中的对称问题方法总结及典型例题

直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。

有关坐标对称及最值问题5种题型

坐标对称及最值问题是数学中的常见问题，常常出现在函数、几何、三角函数等领域。

这类问题需要运用对称思想，以及寻找最值的方法。

下面列举了5种常见的题型及相应的解法。

题型一：函数的最值对于函数f(x)，其最值可能出现在最小值(f(x)min)和最大值(f(x)max)上。

对于这类问题，我们通常需要观察函数的对称性，例如，如果函数是关于原点对称的，那么最小值和最大值可能在左右两侧取得。

解法上，我们通常需要利用导数或其他方法来找到函数的极值点，从而确定最值。

题型二：两点之间的距离在两点之间的距离问题中，如果两个点关于某个轴对称，那么它们之间的距离可以通过简单的轴对称距离公式来计算。

解法上，我们通常需要利用轴对称距离公式，以及两点之间的距离公式来求解。

题型三：圆的半径的最值在圆的半径的最值问题中，如果圆关于某条直线对称，那么我们需要找到圆的半径与对称轴的位置关系，从而确定圆的半径的最值。

解法上，我们通常需要利用圆的半径公式，以及对称轴的位置关系来求解。

题型四：三角形的重心坐标在三角形的重心坐标问题中，如果三个顶点关于某条直线对称，那么我们需要找到重心坐标与对称轴的关系，从而确定重心的坐标。

解法上，我们通常需要利用重心的几何性质，以及对称轴的位置关系来求解。

题型五：椭圆的离心率在椭圆的离心率问题中，如果焦点关于某轴对称，那么我们需要找到椭圆的离心率与对称轴的关系，从而确定椭圆的离心率。

解法上，我们通常需要利用椭圆的离心率公式，以及对称轴的位置关系来求解。

总的来说，坐标对称及最值问题的解法主要依赖于对称性和位置关系。

对于不同类型的题目，我们需要灵活运用这些方法来解决问题。

同时，对于不同类型的题目，也需要进行相应的变化和拓展，以适应更复杂的情况。

希望以上信息对您有所帮助。

如果您有任何具体问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。

(整理版)四种对称问题的解法

四种对称问题的解法几何图形的对称是美观的，又是根本的、常见的、重要的．我们一起来了解解析几何中的点与直线的四种对称问题及其解法．一、点关于点的对称点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点为(22)P m a n b '--，，特例，点()P a b ，关于点(00)O ，的对称点为()a b --，．二、直线关于点的对称例1 求直线1:210l x y -+=关于点(21)P ，的对称直线2l 的方程．解法一：因为为P 不在直线1l 上，且1l 与2l 关于点(21)，对称，所以12l l ∥，故设 2:20l x y C -+=．由于点(21)P ，=所以7C =-，或1C =〔舍去〕，故所求的方程为270x y --=．解法二：直线2l 上任意一点()Q x y ，，关于(21)P ，的对称点(42)x y --，在直线 210x y -+=上，2(4)(2)10x y ---+=∴，2:270l x y --=∴．评注：解法一是利用线线平行及点到两直线距离相等来解；解法二是设动点，运用“轨迹法〞求解，这也是求解曲线方程的一般方法．一般地，直线0Ax By C ++=关于点()a b ，对称的直线方程为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=．三、点关于直线的对称例2 直线:330l x y -+=，求点(45)P ，关于直线l 的对称点．解法一：设(45)P ，关于直线l 的对称点为()P x y '''，，显然4x '≠，那么PP l '⊥，线段PP '的中点在直线l 上．45330225143x y y x ''++⎧⨯-+=⎪⎪⎨'-⎪=-⎪'-⎩，．∴27.x y '=-⎧⎨'=⎩，∴ (27)P '-，∴即为所求的点．评注：此解法最常用，其关键是利用“垂直〞、“平分〞．一般地，假设点00()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=的对称点为()P x y '''，，那么000222()A x x Ax By C A B'=-+++，000222()B y y Ax By C A B '=-+++．解法二：设(45)P ，关于直线l 的对称点为()P x y '''，，那么PP l '⊥，故设直线:30PP x y C '++=．又点(45)P ，在直线PP '上，4350C +⨯+=∴，19C =-． ∴直线:3190PP x y '+-=．由3190330x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，，得16.x y =⎧⎨=⎩，此点即为PP '的中点，(27)P '-，∴．四、直线关于直线的对称例3 求直线:20a x y --=关于直线:210l x y ++=对称的直线b 的方程．解法一：在直线a 上取一点(20)，，运用例2介绍的方法，可求得点(20)P ，关于l 的对称点41255P ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，，由方程组20210x y x y --=⎧⎨++=⎩，，得直线a 与l 的交点(11)Q -，．直线b 过点P '与Q ，由“两点式〞得直线b 的方程：780x y --=。

解析几何：直线中的对称问题

一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。

由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。

【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。

其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。

由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。

但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。

而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。

定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。

解析几何中的对称问题

解析几何中的对称问题一、基础知识1、点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。

（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。

4、常用的对称关系点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m-b,m-a). 二、题型剖析例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 对称的直线方程是（）A 。

浅谈解析几何中的对称问题

浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。

无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。

这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。

后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。

这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。

分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。

小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。

）（依据中点坐标公式）。

特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。

，一％）。

2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。

分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。

思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。

再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。

思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。

平面几何中的对称问题例题和知识点总结

平面几何中的对称问题例题和知识点总结在平面几何的广袤世界里，对称问题宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。

对称不仅具有美学价值，更在解决几何问题中发挥着关键作用。

接下来，让我们一同深入探索平面几何中的对称问题，通过具体例题来揭示其奥秘，并对相关知识点进行系统总结。

一、对称的基本概念对称，简单来说，就是图形在某种变换下保持不变的性质。

常见的对称类型有轴对称和中心对称。

轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线就被称为对称轴。

例如，等腰三角形沿着底边上的高对折，左右两部分完全重合，底边上的高就是对称轴。

中心对称图形绕着一个点旋转 180 度后能与原图重合。

这个点就是对称中心。

比如平行四边形绕着对角线的交点旋转 180 度后与原图重合，对角线的交点就是对称中心。

二、例题解析例 1：已知点 A(3, 5)关于直线 x ＝ 4 的对称点为 B，求点 B 的坐标。

思路：因为对称轴是直线 x ＝ 4，所以点 A 到对称轴的距离为 4 3＝ 1。

点 B 到对称轴的距离也应该是 1，且在对称轴右侧，所以点 B 的横坐标为 4 ＋ 1 ＝ 5。

由于对称点的纵坐标不变，所以点 B 的坐标为(5, 5)。

例 2：在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上一点，若点 E 关于对角线AC 的对称点为 F，连接 DF，求证：DF ＝ DE。

思路：连接 EF。

因为点 E 和点 F 关于对角线 AC 对称，所以 AC垂直平分 EF。

所以 EF ＝ CE。

又因为正方形 ABCD 中，AD ＝ CD，∠DAF ＝∠DCE ＝ 90°，所以△ADF ≌△CDE（HL 定理），从而DF ＝ DE。

例 3：在三角形 ABC 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 6，BC ＝ 8，点 D 在BC 上，且 BD ＝ 3，点 P 是 AB 边上一动点，若将三角形 BDP 沿直线DP 折叠，使点 B 落在点 B'处，当三角形 B'DC 是等腰三角形时，求AP 的长。

解析几何中对称问题的解法探析

解析几何中对称问题的解法探析作者：陈则候来源：《新课程·中旬》2014年第06期一、关于点的对称问题1.点关于点的对称解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，点P（a，b）关于点Q（m，n）的对称点为P′（2m-a，2n-b），中点问题也是其他对称问题的基础.2.直线关于点的对称例1.求直线l∶2x-3y+1=0关于点A（1，2）对称的直线l′的方程.解法一：在直线l∶2x-3y+1=0上任取两点，如，M（1，1），N（-2，-1），则M、N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上，易知由两点式可得l′的方程为2x-3y+7=0.解法二：∵l∶l′，∴可设l′的方程为2x-3y+c=0（c≠1）评析：解法一是取特殊点法；解法二是两直线关于点对称成平行直线，对称点到两直线的距离相等的几何性质.二、关于直线的对称1.点关于直线的对称一般的点关于直线的对称问题例2.求点P（4，0）关于直线l∶5x+4y+21=0的对称点P′.解法：设P（4，0）关于直线l的对称点为P′（x′，y′），显然x′≠4，则PP′⊥l，线段PP 的中点在直线l上.2.直线关于直线的轴对称一般的直线关于直线的对称问题评析：此类型是直线与对称轴相交.四种解法都是常用方法，都注意利用几何性质.解法一是抓住了对称关系的转化（线关于线对称转化为点关于线对称）；解法二抓住P与P′是一对“相关点”，利用“相关点”的性质求出直线l2上的动点的轨迹，这是求曲线关于直线对称方程的常用方法.3.圆锥曲线关于直线的对称例4.求圆C∶（x-2）2+（y+3）2=1关于直线l∶2x-y-1=0的对称圆方程.评析：此题其实就是求圆心（2，-3）关于直线l∶2x-y-1=0的对称点问题.例5.求抛物线y2=2x关于直线2x-y-1=0的对称抛物线方程.总之，求对称问题归根结底都是点的对称，我们通常采用变量替换、数形结合等思想。

求对称问题的通法是：（1）求对称点一般采用，先设对称点P（x，y），再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出x，y的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标；（2）求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点P（x，y），再利用求对称点的方程求出P点的对称点Q点坐标，将Q点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于x，y的关系式，就是所求对称曲线的方程.（作者单位浙江省永嘉县上塘中学）编辑王团兰。

解析几何对称问题

解析几何中对称问题的常见求解方法解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。

对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。

这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。

使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

下面就解析几何中常见的对称问题和解决办法给大家介绍一下。

一、关于点对称。

1、点关于点对称。

①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。

2、直线关于点对称。

① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。

设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。

它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。

2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。

解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。

再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。

解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=且=求设'C 从而可求的及对称直线方程。

平面与空间常见的对称性及其解法

方法：设点为直线关于平面的的对称直线上的任一点，那么关于平面的对称点的坐标为。
，，
显然在直线上，故直线关于平面的对称直线的方程为
化简整理得
即
这就是我们所求的对称直线方程。
2.3平面关于点，直线，平面的对称平面的求法
2.3.1平面关于点的对称平面的求法
已知：平面和点，求平面关于点的对称平面。
方法：设所求的平面为，则的方程可取为
方法：设直线关于点的对称直线为，那么的方程可写为
且到两条直线的距离相等，即
=
所以对称直线的方程为=0
直线关于直线的对称直线的求法
已知：直线和直线，求直线关于直线的对称直线。
方法一：在上任取点设点关于直线的对称点为直线和互相垂直，所以，直线的斜率为
直线的斜率为
一方面直线中、满足中点公式
所以，利用下列方程组
引言
通常，我们把常见的对称问题分为两大类，第一类是在平面上的对称问题；第二类是在空间中的对称问题，在本文中专门讨论了这两类对称问题。
1.平面上的对称问题及其求法
1.1点关于点、直线的对称点的求法
1.1.1点关于点的对称点的求法
已知：点和
求：点关于的对称点。
方法：设关于的对称点由中点公式得
所以点关于的对称点。
2.2.2直线关于直线的对称直线的求法
己知：直线，求直线关于直线的对称直线的方程。
方法：设点是直线关于直线的对称直线的任一点，那么关于直线的对称点的坐标为在直线上，于是有
化简整理得
所以，这就是我们所要求的对称直线方程。
2.2.3直线关于平面的对称直线的求法
如：已知直线和平面，求直线关于平面的对称直线方程。
令
得
故
再设关于直线的对称点为，由中点坐标公式，可得

点关于直线对称的点的万能公式

点关于直线对称的点的万能公式
直线对称是几何学中常见的概念，它是指将一个图形通过一条直线对称后，两侧的图形完全相同。

在直线对称中，我们需要了解的一个重要概念就是“对称轴”，它是指将一个图形对称的那条直线。

在几何学中，有一个万能公式可以帮助我们求出直线对称的点。

这个公式是：“对称点的坐标 = 对称轴上一点的坐标 × 2 - 对称点的坐标”。

换句话说，我们可以通过对称轴上的一点和对称点的坐标，来求出对称点的坐标。

具体来说，我们可以先用对称轴上的一点的横坐标和对称点的横坐标相减，然后将这个差值乘以2，最后再将结果加上对称点的横坐标，就能得到对称点的横坐标。

同样的方法也适用于纵坐标的计算。

这个万能公式不仅可以用于求解直线对称的点，还可以用于解决其他几何问题。

例如，我们可以用它来求解平面上的旋转对称、中心对称等问题。

这个万能公式是几何学中非常实用的工具，它可以帮助我们轻松地求解直线对称的点和其他几何问题。

解析几何中直线方程对称问题

解析几何中直线方程的对称问题我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。

一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键。

如果点a（x1，y1）与b关于点m（a，b）称，则m是线段 ab的中点，a（x1，y1）■b（2a-x1，2b-y1）（依据中点坐标公式），特别的a（x1，y1）■b（-x1，-y1）二、点关于直线的对称问题求一点p（x0，y0）关于一条直线ax+by+c=0的对称点p1的坐标的问题。

（1）直线ax+by+c=0为特殊直线y=x，y=-x。

轴x、y轴x=a、、y=b时，对称点的坐标分别为p1（y0，x0）、p2（-y0，-x0）、p3（x0，-y0）、p4（-x0，y0）、p5（2a-x0，y0）、p6（x0，2b-y0）。

（2）直线ax+by+c=0为一般直线时，可设p1的坐标为（ x1，y1），则pp1的中点满足直线方程ax+by+c=0，并且pp1的斜率与直线ax+by+c=0的斜率之积为-1，可以得到关于 x1，y1的一个二元一次方程组，从而可以解出x1，y1。

（3）公式法. 设p1的坐标为（x1，y1），由公式x1=x0-■y1=y0-■求出x1，y1的值。

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例1：已知点a的坐标为（-4，4），直线l的方程为3x+y-2=0，求点a关于直线l的对称点a0的坐标。

解：设点a0的坐标为（x0，y0），■×（-3）=-13×■+■-2=0解得：x0=2，y0=6三、直线关于点的对称问题求直线a1x+b1y+c1=0关于点p（x0，y0）对称的直线方程。

解析几何中的对称问题方法总结

解析几何中对称问题的常见求解方法一、关于点对称。

1、点关于点对称。

①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。

2、直线关于点对称。

① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。

设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C-+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。

它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。

2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。

解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。

再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。

解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=且='C 从而可求的及对称直线方程。

3、曲线关于点对称，曲线1:(,)0C f x y =关于00(,)M x y 的对称曲线的求法：设(,)P x y 是所求曲线的任一点，则P点关于00(,)M x y 的对称点为00(2,2)x x y y --在曲线(,)0f x y =上。

故对称曲线方程为00(2,2)0f x x y y --=。

二、关于直线对称1、点关于直线对称。

⑴ 点(,)P a b 关于x 轴、y 轴，直线x y =，x y =-的对称点坐标可利用图像分别求设为(,),(,),(,),(,)a b a b b a b a ----。

高考数学中的图像对称解题方法

高考数学中的图像对称解题方法对称是几何学中非常重要的一个概念，它是指一个物体或图形按照某种规则或中心线对称，使得两侧完全一致或相似。

在高考数学中，图像对称的概念被广泛应用于各种数学题型中，尤其在题型的变化和发展方面，对称性更是变化无常，在突出规律计算方面，图像对称的优势更可以得到充分发挥。

下面将就高考数学中的图像对称解题方法，分别从对称线的分类、对称性质的使用和对称化简三个方面进行阐述。

一、对称线的分类在高考数学中，可分为以下五种对称线：1. 关于x轴对称：图形绕x轴旋转180度后和原图形完全一致，即对于图像中任何一点(x,y)，在x轴对称时变成了一个点(x, -y)。

2. 关于y轴对称：图形绕y轴旋转180度后和原图形完全一致，即对于图像中任何一点(x,y)，在y轴对称时变成了一个点(-x, y)。

3. 关于原点对称：图形绕原点旋转180度后和原图形完全一致，即对于图像中任何一点(x,y)，在原点对称时变成了一个点(-x, -y)。

4. 关于直线y = x的对称：图形绕直线y = x旋转180度后和原图形完全一致，即对于图像中任何一点(x,y)，在直线y = x对称时变成了一个点(y, x)。

5. 关于直线y = -x的对称：图形绕直线y = -x旋转180度后和原图形完全一致，即对于图像中任何一点(x,y)，在直线y = -x对称时变成了一个点(-y, -x)。

二、对称性质的使用对称性质是数学中常用的一种性质，它可以对图形或多项式等进行变形或化简，从而更好地求解问题。

在高考数学中，图像对称的性质经常被运用于题目中，这里将介绍如何利用对称性质解题。

1. 利用图形对称性质求解a. 判断一条直线与一个曲线的位置关系当一条直线与一个曲线对称时，它们一定相交于曲线的对称轴上。

因此，对称轴可以用来解决直线与曲线的位置关系问题，如：已知曲线y = x^2 - 4x - 5和直线y = x + 2，试求出它们的位置关系。

怎么求直线关于点对称的直线方程

怎么求直线关于点对称的直线方程直线关于点对称是一个基本的几何性质，在平面几何中有广泛的应用。

如果已知一条直线和一个点，我们可以求出关于这个点对称的直线方程。

这里，我将详细讲解如何求直线关于点对称的直线方程，希望可以帮助您更好地理解和运用这一性质。

首先，让我们考虑一下如何求直线关于点对称的问题。

假设我们已知一条直线的方程为Ax + By + C = 0，而一个点的坐标为(x0, y0)。

现在我们希望求出关于这个点对称的直线方程。

那么该如何做呢？首先，我们需要确定这个点与直线的位置关系。

如果这个点在直线上，那么直线关于自己对称，直线方程也不会改变。

所以我们可以假设这个点不在直线上。

接下来，我们可以利用点对称的性质来求出直线关于点对称的直线方程。

根据点对称的定义，如果P(x, y)关于点A(x0, y0)对称，那么AP的中点就是P'的坐标。

也就是说，P'的坐标为(2x0 - x, 2y0 - y)。

因此，如果我们要求P关于点A对称的直线方程，我们只需求出P'关于A对称的直线方程即可。

接下来，我们来具体讲解如何求直线关于点对称的直线方程。

首先，我们需要求出P'的坐标。

根据上面的公式，P'的坐标为(2x0 - x, 2y0 - y)。

所以P'的直线方程为A(2x0 - x) + B(2y0 - y) + C = 0。

然后，我们可以将P'的直线方程进行化简，得到一个关于点A对称的直线方程。

将A(2x0 - x) + B(2y0 - y) + C = 0进行展开化简，得到2Ax0 - Ax + 2By0 - By + C = 0。

将同类项合并，得到2Ax0 +2By0 + C - Ax - By = 0。

再进行整理，得到Ax + By = 2Ax0 + 2By0 + C。

因此，我们成功求出了直线关于点A对称的直线方程。

可以看到，这个新的直线方程是关于原直线和点A的坐标对称的。

点关于直线的对称点

点关于直线的对称点直线的对称点是指相对于直线上一点，关于这条直线对称的另一点。

对称点的概念在几何学中具有重要意义，它可以帮助我们更好地理解直线的性质和特点。

本文将从不同的角度介绍直线的对称点，以及对称点在几何学中的应用。

一、对称点的定义和性质直线的对称点是指相对于直线上一点，关于这条直线对称的另一点。

直线的对称点有以下性质：1. 对称点在直线上：对称点和原点都在直线上，且对称点在直线上的位置和原点相对称。

2. 对称点与原点的距离相等：对称点和原点之间的距离等于直线与原点之间的距离。

3. 对称点与原点的连线垂直于直线：对称点和原点之间的连线垂直于直线。

二、直线的对称点的求解方法求解直线的对称点可以使用以下方法：1. 垂直线法：过原点作直线的垂线，垂足即为对称点。

2. 平行线法：在直线上取一点，然后通过这个点作直线的平行线，平行线与直线的交点即为对称点。

3. 对称法：通过直线上的一点作直线的垂线，垂线与直线的交点即为对称点。

三、直线对称点的应用直线的对称点在几何学中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 图形的对称性判断：通过求解图形的对称点，可以判断一个图形是否具有对称性。

如果一个图形上的所有点关于某条直线都有对称点，那么这个图形就是关于这条直线对称的。

2. 直线的性质研究：通过对直线的对称点进行分析，可以研究直线的性质和特点。

例如，通过求解直线关于原点的对称点，可以研究直线与原点的距离关系。

3. 直线的延长与截取：通过求解直线的对称点，可以确定直线的延长线和截取线的位置。

这在工程测量和建筑设计中具有重要意义。

4. 空间中的对称体：对称点的概念不仅适用于平面几何，也适用于空间几何。

在空间中，直线的对称点是指相对于直线上一点，关于这条直线对称的另一点。

四、直线对称点的例题分析下面通过几个例题来分析直线的对称点的求解过程：例题1：已知直线L: 2x + y = 4，点P(1, 2)在直线L上，求P关于直线L的对称点P'的坐标。

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