勾股定理专题训练-折叠问题
勾股定理折叠问题
CB ADE一、折叠问题1、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？2、折叠矩形ABCD 的一边AD ，使D 落在BC 边上的F 处，得折痕AE ，若AB ＝8，BC=10， 求CE,CF,EF3、如图，将矩形ABCD 纸片沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在边BC 的F 处，已知3,CE cm =8AB cm =，求图中阴影部分的面积．4、如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.5、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于________ 。
A CD F ／E图56、将矩形ABCD（A B﹤AD）沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8㎝，AB=4㎝，求三角形BED的面积。
7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为8、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
9、P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.二、生活应用D ˊABCD A ˊ B ˊC ˊ1、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.2、八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面。
八年级数学勾股定理的应用——折叠问题(专题)(含答案)
勾股定理的应用——折叠问题（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=5，折叠纸片使AD边与线段BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：由题意得，BD=13；由折叠知D=AD=5，G=AG，∠DA′G=∠A=90°．∴B=8．设AG=x，则，BG=12-x．在Rt△BG中，∠BA′G=90°，由勾股定理得，，即，解得，．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=( )A.4cmB.3cmC.5cmD.6cm答案：C解题思路：如图，AF=AD=BC=10，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=6，所以FC=4，设EF=DE=x，则CE=8-x，在Rt△ECF中，∠C=90°，由勾股定理得，，解得，x=5．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则AE的长为____，△ABE的周长为____．( )A.，7B.，7C.，D.，答案：A解题思路：解：由题意知，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5由勾股定理得，BC=4由折叠知，AE=EC设AE=EC=x，则BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则AE=，BE=∴△ABE的周长为3+x+(4-x) =3+4=7综上，AE的长为，△ABE的周长为7故选A试题难度：三颗星知识点：略4.如图，将一长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为( )A.6B.12C.10D.20答案：A解题思路：解：由题意知，将长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF，∴AF=CF，∵在长方形ABCD中，AB=4，BC=8∴设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，∠B=90°，AB=4，BF=x，AF=8-x，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，42+x2=(8-x)2，解得，x=3，即BF=3，∴△ABF的面积为故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，长方形纸片ABCD中，AD=4，CD=3，折叠纸片使AB边与线段AC重合，折痕为AE，记与点B重合的点为F，则△CEF的面积与纸片ABCD的面积的比为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=AF=3，AD=BC=4，在Rt△ABC中，∠B=90°由勾股定理得，∴∴AC=5由折叠知，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，设BE=x，则EF=BE=x在Rt△EFC中，∠CFE=90°，CF=AC-AF=2，EC=4-x，根据勾股定理得，∴解得，x=1.5∴∵∴故选B．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则CN=_____cm，AM=_____cm．( )A.6，2B.8，3C.10，2D.12，3答案：A解题思路：∵点E是BC边的中点，∴EC BC=8，设CN=x，则EN=DN=16-x，在Rt△ECN中，∠C=90°，由勾股定理得，EC2+CN2=EN2解得，x=6如图，连接DM，EM，则DM=EM，设AM=y，则BM=16-y，在Rt△ADM中，∠A=90°，由勾股定理得，在Rt△BEM中，∠B=90°，由勾股定理得，，∵DM=ME，∴解得，y=2故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E处，折痕为MN．若CE的长为8cm，则AM=_____cm，BN=_____cm．( )A.，1B.，C.，D.，1答案：C解题思路：如图，设AM=x，在Rt△MED中，∠D=90°，由勾股定理，得解得，x=，即AM=，MD=，连接AN，NE，则AN=NE，设BN=y，则CN=12-y，在Rt△ABN中，∠B=90°，由勾股定理，在Rt△CEN中，∠C=90°，由勾股定理，，∵AN=NE，∴解得，故选C．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在处，交BC于点E，已知AB=2cm，BC=4cm，则EC的长为( )A.2cmB.cmC.5cmD.cm答案：D解题思路：如图，由折叠知，∠DAC=∠EAC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC设EC=x，则AE=EC=x∵BC=4，∴BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=2，BE=4-x，AE=x，由勾股定理得，解得，即EC的长为cm故选D．试题难度：三颗星知识点：略9.把长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．若BC=5cm，CD=3cm，则DE=( )cm．A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，由折叠知，∠BFE=∠DFE，BF=DF，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，∴∠DFE=∠DEF，∴DE=DF设DF=x，则BF=DF=x∵BC=5，∴CF=5-x在Rt△CDF中，∠C=90°，CD=3，CF=5-x，DF=x，由勾股定理得，解得，∴DE=DF=故选B．试题难度：三颗星知识点：略10.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是CD边上一点，连接BE，把∠C沿BE折叠，使点C落在点F处．当△DEF为直角三角形时，DE的长为( )A.1B.1或C. D.3或答案：B解题思路：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，分两种情况讨论：①当∠FED=90°时，如图所示，则∠CEF=90°，由折叠的性质得：CE=FE=BC=3，∴DE=CD-CE=1；②当∠DFE=90°时，如图所示，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=4，AD=3，∴BD=5，由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，EF=EC，∴∠DFE=∠BFE=90°，即点B，F，D三点共线，点F在BD上，∴DF=BD-BF=5-3=2，设DE=x，则EF=CE=4-x在Rt△DEF中，∠EFD=90°，DE=x，EF=4-x，DF=2，由勾股定理得，解得，综上所述，DE的长为1或；故选B．试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案)
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案）类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题1．如图 △ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝8 BC ＝6 将△ADE 沿DE 翻折使点A 与点B 重合 则CE 的长为 ．思路引领：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x 在Rt △BCE 中 由勾股定理可得62+x 2＝（8﹣x ）2 即可解得答案．解：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x在Rt △BCE 中 BC 2+CE 2＝BE 2∴62+x 2＝（8﹣x ）2解得x =74故答案为：74． 总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题 解题的关键是掌握折叠的性质 熟练应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•介休市期中）如图所示 有一块直角三角形纸片 ∠C ＝90° AC ＝8cm BC ＝6cm 将斜边AB 翻折 使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处 折痕为AD 则CE 的长为 cm ．思路引领：根据勾股定理可将斜边AB 的长求出 根据折叠的性质知 AE ＝AB 已知AC 的长 可将CE 的长求出．解：在Rt △ABC 中∵∠C＝90°AC＝8cm BC＝6cm∴AB=√AC2+BC2=10cm根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的长为2cm故答案为：2．总结提升：此题考查翻折问题将图形进行折叠后两个图形全等是解决折叠问题的突破口．3．（2020秋•金台区校级期末）如图在△ABC中∠ACB＝90°点E F在边AB上将边AC沿CE翻折使点A落在AB上的点D处再将边BC沿CF翻折使点B落在CD的延长线上的点B′处（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4 B′F＝1 求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB' 再根据∠ACB＝90°即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中根据勾股定理可得BC=√41设AE＝x则AB＝x+5 根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41 求得x=165得出AE的长和AB的长再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1 ∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=√BE2+CE2=√52+42=√41设AE＝x则AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16 5∴AE=165AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2022秋•安岳县期末）如图在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直线DE折叠使△ADE与△BDE 重合．（1）若∠A＝34°则∠CBD的度数为；（2）当AB＝m（m＞0）△ABC的面积为2m+4时△BCD的周长为（用含m的代数式表示）；（3）若AC＝8 BC＝6 求AD的长．思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°进而得到∠CBD＝22°；（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4 进而得到AC•BC＝4m+8 再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左边配成完全平方可得CA+CB的长进而得到△BCD的周长；（3）根据折叠可得AD＝DB设CD＝x则AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值进而得到AD的长．解：（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴∠ABD ＝∠A ＝34°∵∠C ＝90°∴∠ABC ＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD ＝56°﹣34°＝22°故答案为：22°；（2）∵△ABC 的面积为2m +4∴12AC •BC ＝2m +4 ∴AC •BC ＝4m +8∵在Rt △CAB 中 CA 2+CB 2＝BA 2 AB ＝m∴CA 2+CB 2+2AC •BC ＝BA 2+2AC •BC∴（CA +BC ）2＝m 2+8m +16＝（m +4）2∴CA +CB ＝m +4∵AD ＝DB∴CD +DB +BC ＝m +4．即△BCD 的周长为m +4故答案为：m +4；（3）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴AD ＝DB设CD ＝x 则AD ＝BD ＝8﹣x在Rt △CDB 中 CD 2+CB 2＝BD 2x 2+62＝（8﹣x ）2解得：x =74AD ＝8−74=254．总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换 以及勾股定理 完全平方公式 关键是掌握勾股定理 以及折叠后哪些是对应角和对应线段．5．（2021秋•章丘区期中）（1）如图① Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2cm 另一直角边BC 长为6cm 求AC 的长．（2）拓展：如图②在图①的△ABC的边AB上取一点D连接CD将△ABC沿CD翻折使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．思路引领：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的长即可求解；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的长．解：（1）设AB＝xcm则AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②设DE＝DB＝ycm则AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．总结提升：本题考查了翻折变换折叠的性质勾股定理利用勾股定理列出方程是本题的关键．类型二利用勾股定理解决长方形的折叠问题6．（2022•纳溪区模拟）如图在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3 点E为BC上一点把△CDE沿DE翻折 点C 恰好落在AB 边上的F 处 则CE 的长为 ．思路引领：利用勾股定理得出AF 的长度 再利用折叠的性质 在△BEF 中求解BE 的长 即可得出CE 的长度．解：在矩形ABCD 中 AB ＝5 AD ＝3 由折叠的性质可得：DF ＝DC ＝AB ＝5∴AF =√DF 2−AD 2=√52−32=4∴BF ＝AB ﹣AF ＝5﹣4＝1设CE ＝x 则：EF ＝CE ＝x BE ＝BC ﹣CE ＝3﹣x在Rt △BEF 中 由勾股定理可得：12+（3﹣x ）2＝x 2解得：x =53∴CE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点 解题的关键是利用AF 求出BF 的长度．7．（2021•郯城县校级模拟）如图 在长方形ABCD 中 AB ＝3cm AD ＝9cm 将此长方形折叠 使点D 与点B 重合 折痕为EF 则△ABE 的面积为（ ）cm 2．A ．12B ．10C ．6D ．15思路引领：由长方形的性质得BAE ＝90° 再由折叠的性质得BE ＝ED 然后在Rt △ABE 中 由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四边形ABCD是长方形∴∠BAE＝90°∵将此长方形折叠使点B与点D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2）故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．8．（2020春•余干县校级期末）如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠使点B落在边AD上的点B'处点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF；（2）设AE＝a AB＝b BF＝c试猜想a b c之间的关系并说明理由．思路引领：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得a b c之间的关系．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在长方形纸片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：a b c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝a A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图把一张长方形纸片ABCD折叠起来使其对角顶点A与C重合D 与G重合若长方形的长BC为8 宽AB为4 求：（1）DE的长；（2）求阴影部分△GED的面积．思路引领：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；（2）过G点作GM⊥AD于M根据三角形面积不变性AG×GE＝AE×GM求出GM的长根据三角形面积公式计算即可．解：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M则12•AG ×GE =12•AE ×GM AG ＝AB ＝4 AE ＝CF ＝5 GE ＝DE ＝3 ∴GM =125∴S △GED =12GM ×DE =185．总结提升：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性 灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题10．（2019•黔东南州一模）如图 将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处 点C 落在点Q 处 折痕为FH 则线段AF 的长为（ ）A ．32B ．3C ．94D ．154思路引领：由正方形的性质和折叠的性质可得EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90° 由勾股定理可求AF 的长．解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处∴EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点∴AE ＝BE ＝3cm在Rt △AEF 中 EF 2＝AF 2+AE 2∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF=9 4故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换正方形的性质勾股定理利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠使点D落在BC边的中点E处点A落在点F处折痕为MN则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引领：由折叠的性质可得DN＝NE由中点的性质可得EC＝4cm结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中点且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故选：A．总结提升：本题考查翻折变换的问题折叠问题其实质是轴对称对应线段相等对应角相等找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4 BC＝8 D、E分别是边AC、BC上的点将△ABC沿着DE进行翻折点A和点C重合则EC＝．思路引领：设EC ＝x 在Rt △ABE 中 由勾股定理得42+（8﹣x ）2＝x 2 即可解得答案．解：设EC ＝x 则BE ＝8﹣x∵将△ABC 沿着DE 进行翻折 点A 和点C 重合∴AE ＝EC ＝x在Rt △ABE 中 AB 2+BE 2＝AE 242+（8﹣x ）2＝x 2解得x ＝5∴EC ＝5故答案为：5．总结提升：本题考查直角三角形中的翻折问题 解题的关键是掌握翻折的性质 能应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•靖江市期中）如图 在Rt △ABC 中 ∠C ＝90° D 是AB 的中点 AD ＝5 BC ＝8 E 是直线BC 上一动点 把△BDE 沿直线ED 翻折后 点B 落在点F 处 当FD ⊥BC 时 线段BE 的长为 ．思路引领：分点F 在BC 下方 点F 在BC 上方两种情况讨论 由勾股定理可BC ＝4 由平行线分线段成比例可得BD AD =BP BC =DP AC =12 求出FP 由勾股定理可求BE 的长． 解：若点F 在BC 下方时 DF 与BC 交于点P 如图1所示：∵D 是AB 的中点∴BD ＝AD ＝5∴AB ＝2AD ＝10∵∠C ＝90° BC ＝8∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6∵点D 是AB 的中点∵FD ⊥BC ∠C ＝90°∴FD ∥AC∴BD AD =BP BC =DP AC =12 ∴BP ＝PC =12BC ＝4 DP =12AC ＝3∵△BDE 沿直线ED 翻折∴FD ＝BD ＝5 FE ＝BE∴FP ＝FD ﹣DP ＝5﹣3＝2在Rt △FPE 中 EF 2＝FP 2+PE 2∴BE 2＝22+（4﹣BE ）2解得：BE =52；若点F 在BC 上方时 FD 的延长线交BC 于点P 如图2所示：FP ＝DP +FD ＝3+5＝8在Rt △EFP 中 EF 2＝FP 2+EP 2∴BE 2＝64+（BE ﹣4）2解得：BE ＝10故答案为：52或10．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识 熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．3．如图 在Rt △ABC 中 AC ＝6 BC ＝8 D 为BC 上一点 将Rt △ABC 沿AD 折磨 点C 恰好落在AB 边上的E 点 求BD 的长．思路引领：由勾股定理求出AB＝10 由折叠的性质得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6 得出BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6 BC＝8∴AB=√62+82=10由折叠的性质得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2018秋•襄汾县校级月考）如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8 BC＝6 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在边AB上的点C'处求AD的长及四边形BCDC′的面积．思路引领：利用勾股定理列式求出AB根据翻折变换的性质可得BC′＝BC C′D＝CD然后求出AC′设AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根据三角形的面积公式计算即可求出四边形BCDC′的面积．解：∵∠C＝90°AC＝8 BC＝6∴AB=√AC2+BC2=10由翻折变换的性质得BC′＝BC＝6 C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4设CD＝x则C′D＝x AD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折叠可知：S△BCD＝S△BC′D∴四边形BCDC′的面积＝2S△BCD＝2×12×CD•BC＝3×6＝18．总结提升：本题考查了翻折变换的性质勾股定理此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．（2021春•厦门期中）在矩形ABCD中AB＝3 BC＝4 E是AB上一个定点点F是BC上一个动点把矩形ABCD沿直线EF折叠点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3 则AE＝53．思路引领：连接DE则DB′+EB′≥DE由EB′＝EB为定值故当D E B′三点共线时DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如图1 连接DE由折叠性质可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵点E为定点∴EB为定值∴当D E B′三点共线时DB′最小且最小值为3∴DB′＝3如图2∵四边形ABCD 为矩形∴∠A ＝90° AD ＝BC ＝4设AE ＝x 则：EB ′＝EB ＝AB ﹣AE ＝3﹣x∴ED ＝EB ′+DB ′＝3﹣x +3＝6﹣x在Rt △AED 中 由勾股定理可得：x 2+42＝（6﹣x ）2解得：x =53∴AE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点 解题的关键是运用方程思想．6．（2021秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠 使顶点B 和点D 重合 折痕为EF ．若AB ＝3cm BC ＝5cm 则重叠部分△DEF 的面积是（ ）cm 2．A ．2B ．3.4C ．4D ．5.1思路引领：由矩形的性质得AD ＝BC ＝5cm CD ＝AB ＝3cm ∠A ＝90° 再由折叠的性质得A 'D ＝AB ＝3cm ∠A '＝∠A ＝90° AE '＝AE 设AE ＝xcm 则A ′E ＝xcm DE ＝（5﹣x ）cm 然后在Rt △A 'DE 中 由勾股定理得出方程 解方程 进而得出DE 的长 即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是矩形 AB ＝3cm BC ＝5cm∴AD＝BC＝5cm CD＝AB＝3cm∠A＝90°由折叠的性质得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE 设AE＝xcm则A′E＝xcm DE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面积=12DE•CD=12×3.4×3＝5.1（cm2）故选：D．总结提升：此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2017秋•金牛区校级月考）如图在矩形ABCD中E是AD的中点将△ABE沿BE折叠后得到△GBE 延长BG交CD于点F结果发现F点恰好是DC的中点若BC＝2√6则AB的长为？思路引领：连接EF由折叠性质得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB则∠EGF＝90°易证EG＝DE由矩形的性质得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB BF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2即可得出结果．解：连接EF如图所示：由折叠性质得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB ∴∠EGF＝90°∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴EG＝DE∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF ＝∠D ＝90°在Rt △EGF 与Rt △EDF 中 {EG =ED EF =EF∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）∴FG ＝FD∵F 点恰好是DC 的中点∴CF ＝DF ＝FG =12CD =12AB∴BF ＝BG +FG ＝AB +12AB =32AB在Rt △BCF 中 BC 2+CF 2＝BF 2即：（2√6）2+（12AB ）2＝（32AB ）2 解得：AB ＝2√3．总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 熟练掌握折叠的性质 证明三角形全等是解题的关键．8．（2018春•新抚区校级期中）如图 在矩形ABCD 中 已知AD ＝10 AB ＝8 将矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处 求CE 的长．思路引领：先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8 再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝10 EF ＝DE 在Rt △ABF 中 利用勾股定理计算出BF ＝6 则CF ＝BC ﹣BF ＝4 设CE ＝x 则DE ＝EF ＝8﹣x 然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+42＝（8﹣x ）2 再解方程即可得到CE 的长．解：∵四边形ABCD 为矩形∴AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处∴AF＝AD＝10 EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=√AF2−AB2=6∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4设CE＝x则DE＝EF＝8﹣x在Rt△ECF中∵CE2+FC2＝EF2∴x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3即CE＝3．总结提升：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换它属于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变位置变化对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．9．（2018秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2））折痕交AE于点G则EG 的长度是（）A．8﹣4√3B．4√3−6C．4﹣2√3D．2√3−3思路引领：由于正方形纸片ABCD的边长为2 所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1 由折叠的性质得出AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长进而求出EH的长再设EG＝x在Rt△EGH中利用勾股定理即可求解．解：∵正方形纸片ABCD的边长为2∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成∴AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中HF=√HD2−DF2=√22−12=√3∴EH＝2−√3在Rt△EGH中设EG＝x则GH＝AG＝1﹣x∴GH2＝EH2+EG2即（1﹣x）2＝（2−√3）2+x2解得x＝2√3−3．∴EG＝2√3−3．故选：D．总结提升：本题考查了正方形的性质折叠的性质勾股定理关键是学会用方程的思想方法解题．10．（2020秋•新都区校级月考）如图AD是△ABC的中线∠ADC＝45°把△ADC沿着直线AD对折点C落在点E的位置．如果BC＝6 那么以线段BE为边长的正方形的面积为（）A．6B．72C．12D．18思路引领：由题意易得BD＝CD＝DE＝3 再求出∠BDE＝90°然后根据勾股定理求出BE最后由正方形的面积进行求解即可．解：∵D是BC中点BC＝6∴BD＝CD＝3由折叠的性质得：CD＝DE＝3 ∠ADC＝∠ADE＝45°即∠CDE＝90°∴BD＝DE＝3 ∠BDE＝90°在Rt△BDE中由勾股定理得：BE=√BD2+DE2=√32+32=3√2∴以BE为边的正方形面积为：（3√2）2＝18故选：D．总结提升：本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的面积计算等知识熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．。
勾股定理的应用解有关折叠问题
这节课，你学习到了什么？
解决折叠问题的方法： 1. 找到等量关系，相等线段（折叠，垂直平分线，边
角关系，三角形全等……）， 2.运用勾股定理列方程（方程思想） 3.解方程并求出所求量 作业： 1.完成学案 2.补充练习 3.思考题（选做）
动手操作
• 2.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在BC上 一点F处，折痕的两端点分别在AD，CD上(含端 点)，且AB＝6，BC＝10.设CF＝x，
• ①x的取值范围是______________；
• ②当CF取最小值时，折痕与线段CD的交点E与F的
距离为_____________
A
D
B
CБайду номын сангаас
解：由折叠可知
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=8,BC=6
⑴如图1将△ABC折叠，使得A、C重合，折痕MN，
求AM；
(2)如图2将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折 痕为MN，求BN；
(3)如图3将△ABC折叠，使直角边AB折叠使它落在斜 边AC上，折痕为AD，求BD。
图2
图3
用勾股定理列方程是解题的关键
• 思考1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点， 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.
• (1)求证：△ABG≌△AFG；
• (2)求BG的长。
思考2：如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠
(1) 使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，
连接CE.
①求证：AE=AF=EC=CF； ②设AE=a，ED=b，DC=c，请写出一个a，b， c三者之间的数量关系式。 (2)如图2，当C的对应点C′在线段AD里运动时，C′E、
勾股定理专题训练折叠问题PPT课件
纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8 AD,点D落在BC边上的点F处,
㎝。现将直角边AC沿直线AD折 已知AB=8CM,BC=10CM,求
叠，使它落在斜边A突B破上重，点且：学与生动手1.折CF叠、观2.E察C，.
AE重合，求CD的长．将变已换知中量的折和叠未A知找量到通相过等图的形线
D
A
段转换到 一个直角三角形中。
顶点B与学教生师顶小适点组当合引D重作导，，合也然在就后是各一通抒起过己辅见,助，EF为折 痕。AB线=构3,造B直C角=9三,角试形求得到：等以线段E代F为边
长正方换个形。直的将角已三面知角积量形和中？未利知用量勾转股E 化定到理一找
到解决问题的A 突破点。通过这道
D
小组题问合让题作学，生加知深道学用生方对程勾思股想定来理1解 和0 决转
.
4
说教学目标
(1)知识与技能
理解折叠问题的实质，建立方程思想，找 到解决的突破口。
(2)过程与方法
经历观察、比较折叠的过程，在讨论类比中 探索勾股定理解决折叠问题。
(3)情感态度与价值观
锻炼学生的应用能力，感受数学带来的乐趣。体现 数学与生活的紧密联系。
.
5
说教学重难点
教学重点
探究折叠前后图形的变化及元素的对应关系。
人教版八年级数学下册 《勾股定理专题训练-折叠问题》
.
1
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五 教学反思
四
教学程序
三 教、学法分析
二
学情分析
一
教材分析
.
2
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18章内容，是在掌握勾股 定理及逆定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材注重培养 学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过分析，使学生获 得较为直观的印象,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。折 叠问题在中考中的应用也日趋突出。（举例）
勾股定理中的折叠问题(分类整理版)
勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求
线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A 和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）
的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在
斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。
4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。
6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落
在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。
8.C专题 勾股定理与折叠问题
专题 勾股定理与折叠问题【方法归纳】扣住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决.一、折叠直角三角形1.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 为AB 上一点，沿CD 折叠△ABC ，点A 恰好落在边BC 上的A ′处，AB ＝4，AC ＝3，求BD 的长.A BCD A'【解答】由题意得AD ＝A ′D 、AC ＝A ′C ，设AD ＝x ，则BD ＝4－x ,在Rt △A ′BD 中，22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.BD ＝52.二、折叠长方形2.如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，F 为CD 上一点，将长方形沿折痕AF 折叠，点D 恰好落在BC 上的点E 处，求CF 的长.【解答】BE ＝3.设CF ＝x ，DF ＝EF ＝4－x ,CE ＝2, 22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.3. 如图，长方形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，使点C 与点C′重合.(1)求DE 的长; (2)求折痕EF 的长.【解答】(1)由题意得DE ＝EB ，设DE ＝EB ＝x ,则AE ＝8－x .在Rt △AEB 中， x 2＝42＋(8－x )2,x ＝5.(2)作EM ⊥BC 于M ，证∠DEF ＝∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ＝5，MF ＝2.∴EF ＝EM 2＋MF 2＝2 5.4. 如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，沿BD 折叠使点A 到A ′处，DA ′交BC 于点F .(1)求证：FB ＝FD ；(2) 求证：CA ′∥BD ；(3) 求△DBF 的面积.【解答】(1)∠DBF ＝∠ADB ＝∠DBF ，∴FB ＝FD .(2)A ′D ＝AD ＝BC ，FA ′＝FC ，∠DBF ＝∠BDF ＝∠FCA ′＝∠FA ′C ，(3)设FB ＝FD ＝x ,x 2＝(8－x )2＋62,x ＝254,∴S △BFD ＝12×254×6＝754.三、折叠正方形5.如图，长方形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，G 为BC 的中点，连接AG 、CF .(1)求证：AG ∥CF ；(2)求DE CE 的值.【解答】(1)连接BF ，∴BG ＝FG ＝CG .∴CF ⊥BF .∵BG ＝FG ，AB ＝AF ，∴AG 垂直平分BF .∴AG ∥CF .(2)设DE ＝EF ＝x ，BG ＝FG ＝y ,则CE ＝2y －x ，CG ＝y ,在△CEG 中，（x ＋y ）2＝（2y －x ）2＋y 2,3x＝2y ,∴DE CE ＝12。
专题训练二--利用勾股定理解决折叠问题(共13张PPT)
专题 利用勾股定理解决折叠问题(三大题型)(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》专题 利用勾股定理解决折叠问题【例题1】（2021•西城区校级模拟）如图，Rt △ABC 中，AB ＝18，BC ＝12，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．10【变式1-1】（2023•滕州市校级开学）如图，有一张三角形纸片Rt△ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，将△ABC折叠，使点B与A重合，折痕为FE，则AE的长为（ ）A．3B．4C．5D．8【变式1-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC 于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是．【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式1-4】（2021•鞍山一模）如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）A．7B．8C．11D．14【变式1-5】（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D、E 分别在AC、BC边上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点H处．连接AH，则AH长度的最小值为（ ）A．0B．2C．4D．6【变式1-6】（2022秋•秦淮区校级月考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝12，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（ ）A．20B．22C．24D．26【变式1-7】（2022•天津模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点．将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为（ ）A ．3B ．53C ．3或53D ．3或154【变式1-8】（2023•从化区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在AC 上，并且CF ＝2，点E 为BC 上的动点（点E 不与点C 重合），将△CEF 沿直线EF 翻折，使点C 落在点P处，PE 的长为83，则边EF 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．4【变式1-9】（2022春•鲤城区校级期中）如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上．将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处．PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP ＝OF ．则AF 的长为（ ）A ．2B ．85C ．175D ．135【变式1-10】如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 折叠得到△AED ，连接EC ，若DE ＝5，EC ＝6，AB ＝AD 的长是（ ）A．4B．5C．6D．7【变式1-11】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（ ）A．252B．152C．254D．154【变式1-12】如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．【例题2】（2023春•新市区期中）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为（ ）A ．1B ．43C ．32D ．3【变式2-1】（2023春•越秀区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 上一点，把△CDE 沿DE 翻折，C 恰好落在AB 边上的F 处，则CE 的长是（ ）A ．53B ．32C ．43D ．2【变式2-2】（2022秋•锦江区期末）如图，长方形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝25，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．12B ．8C ．10D ．13【变式2-3】（2022秋•胶州市校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）A．12B．20C．16D．40【变式2-4】（2022•斗门区一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF 对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 ．【变式2-5】（2022秋•历城区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 ．【变式2-6】（2023•泰山区校级一模）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为（ ）A．10B．9.8C．D．【变式2-7】如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝12，点M在BC边上，且CM＝4，将矩形纸片折叠使点D落在点M处，折痕为EF，则AE的长为 ．【变式2-8】（2023春•武汉期末）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的中点，将△ABE折叠得到△AFE，点F在矩形内部，AF的延长线交CD于点G，若AD＝12，CG＝4，则AB的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【变式2-9】（2022秋•梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF＝1，BF＝8，则矩形ABCD的面积为（ ）A．420B．360C．D．【变式2-10】（2022秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是（ ）cm2．A．2B．3.4C．4D．5.1【变式2-11】（2022秋•宝安区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF＝AG，则BE的长为 ．【变式2-12】（2023春•东莞市校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3．（1）求CF的长；（2）求AB的长．【例题3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC 边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【变式3-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q 处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式3-2】（2022春•桂林期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）A．3B．158C．1D．2【变式3-3】（2022春•荔城区校级月考）如图，在边长为7的正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 为AD 边上一点，连接AE 、EF ，将△ABE 沿EF 折叠，使点A 恰好落在CD 边上的A ′处，若A ′D ＝2，则B ′E 的长度为（ ）A ．2714B ．137C ．2514D ．2【变式3-4】（2023•南京一模）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，将△ADE 沿AE 翻折至△AD ′E ，延长ED ′交BC 于点F ．若AB ＝15，DE ＝10，则BF 的长是 ．【变式3-5】（2022春•社旗县期末）如图，点E 和点F 分别在正方形纸片ABCD 的边CD 和AD 上，连接AE ，BF ，沿BF 所在直线折叠该纸片，点A 恰好落在线段AE 上点G 处．若正方形纸片边长12，DE ＝5，则GE 的长为（ ）A ．4913B ．5013C ．4D ．3【变式3-6】（2022春•长清区期末）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF 如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ，AD ＝4，则CH 的长为（ ）A ．52B ．65C ．34D ．54【变式3-7】（2022秋•和平区期末）如图，已知正方形ABCD 面积为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）A B ．2C ．8D ．【变式3-8】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）．如果DM ：MC ＝3：2，则DE ：DM ：EM ＝（ ）A ．7：24：25B ．3：4：5C ．5：12：13D ．8：15：17【变式3-9】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求GC的长；（3）求△FGC的面积．。
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题(解析版)
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，将△ABC 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，AD 是折痕，则△BDE 的周长为( )A ．6B ．8C ．12D ．14【答案】C【分析】 利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．【解析】在Rt△ABC 中，△AC =6，BC =8，△C =90°，△AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ，△BE =4，△△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12．故选：C ．【小结】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cm 2D ．5cm 2【答案】C【分析】 先根据勾股定理求出BC 的长度，再由折叠的性质可得CE=DE ，设CE x =，然后在Rt BDE 中利用勾股定理即可求出x 的值.【解析】△90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =△4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中△222DE BD BE +=△2222(4)x x +=- 解得32x =故选C【小结】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键.3．如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为A．5B．4C．4. 25D．154【答案】D【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解析】由折叠的性质可得AE=A1E，△△ABC为等腰直角三角形，BC=6，△AB=6，△A1为BC的中点，△A1B=3，设AE=A1E=x，则BE=6-x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=154，故选：D．【小结】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．4．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（）A．2B．52C．32D．3【答案】C【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG=AB=3，从而求出DG=2，最后再用勾股定理求解即可．【解析】在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，△BD=5由折叠得，△BGE=△A=90°，BG=AB=3，EG=AE，△DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE，在Rt△DEG中，EG2+DG2=DE2，△AE2+4=（4-AE）2，△AE=32．故选：C．【小结】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使边AD与对角线BD重合，点A落在点A′处，折痕为DG，则AG的长为( )A．2B．1C．43D．32【答案】D【解析】【分析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出△ADG△△A′DG，继而得A′G=AG，A′D=AD，A′B=BD-A′G，再Rt△A′BG根据勾股定理构建等式求解即可.【解析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出：△ADG△△A′DG ，△A′G=AG ，A′D=AD=3，A′B=BD -A′G=5-3=2，BG=4-A′G在Rt△A′BG 中，BG 2=A′G 2+A′B 2可得：（4−A′G)2=A′G 2+22，解得A′G=32，则AG=32，故选：D ．【小结】本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG△△A′DG 是解决的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，△A ＝△B ＝90°，△C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】A【分析】作DG△BC ，连接AE ，先根据Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出AB=BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，再根据勾股定理在Rt△ABE 列出方程进行求解.【解析】作DG△BC ，连接AE ，在Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，设BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，在Rt△ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2，即(8-x)22+x 2故选A.【小结】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.7．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【解析】在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，△AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，△FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，△CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，故选C．【小结】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．8．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点AB C'=，则AM的长是（）的对应点为A'，且3A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】C【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【解析】连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，△MB=MB′，△AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，【小结】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．9．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A B C ．2 D 【答案】D【分析】 首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【解析】设AG ＝x ，△四边形ABCD 是矩形，△△A ＝90°，△AB ＝4，AD ＝3，△BD 5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，△DA′G ＝△A ＝90°，△△BA′G ＝90°，BG ＝AB -AG ＝4-x ，A′B ＝BD -A′D ＝5-3＝2，△在Rt△A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，△x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， △AG ＝32，△在Rt△ADG 中，DG =【小结】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．如图，正方形ABCD 的边长为8，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ＝EC ，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据折叠可得DH ＝EH ，在直角△CEH 中，设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，根据BE ＝EC ，可得CE ＝4，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH 的长．【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，△BC ＝8，△BE ＝EC ＝4，在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2+CH 2，△（8﹣x ）2＝42+x 2，解得：x ＝3，即CH ＝3．故选：A ．【小结】本题考查以正方形为背景的折叠问题，掌握正方形的性质，和折叠的轴对称性质，会利用中点求线段的长，会找问题所在的直角三角形，会利用勾股定理解决问题是关键．11．如图，把直角△ABC 沿AD 折叠后，使点B 落在AC 边上点E 处，若AB=6，AC=10，则CDE S =（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】D【分析】 由勾股定理求出BC 的长，再由折叠性质求出EC 的长、证明△DEC 是直角三角形、CD+DE=BC=8，由勾股定理列出关于DE 的方程，求出DE 后，由面积公式求出CDE S ∆【解析】△△ABC 是直角三角形，AB=6，AC=10由勾股定理得：BC= 8，由折叠可知：AE=AB=6，DE=BD ，△AED=△B=90°，△EC=AC -AE=10-6=4，设BD=x ，则DE=x ，，CD=8-x ，在Rt△CDE 中，222EC DE CD +=，即2224(8)x x +=-，解得x=3，即DE=3，所以△CDE 的面积为：3422DE EC ⋅⨯==6． 故选：D△【小结】本题考查用勾股定理计算直角三角形边长．本题中Rt△CDE△△△△△△△△△△△△EC=4，和其它两边△△△△△△△△△DE+CD=8，此时列方程就很关键了．12．如图，将直角△ABC 沿AD 对折，使点C 落在AB 上的E 处，若AC=6，AB=10，则DB 的长度是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．5【答案】D【分析】根据折叠对应边相等，找出对应边，再根据小直角三角形的三边关系即可求出．【解析】△直角△ABC 沿AD 对折，AC=6，AB=10△AE=AC=6，BE=4，DE=DC ，，△BED=△C=900在直角△DEB 中DE 2+BE 2=BD 2△42+（8-BD ）2=BD 2 解得BD=5故选D ．【小结】本题主要考察了勾股定理等知识点，准确找出对应边和找出新的直角三角形是解题关键．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点是点B '，当点B '落在边AD 上时，8AE =，6BB '=，则边AB 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【分析】 由翻折可知，AE BB BF B F ''⊥=，，再根据平行四边形对边平行的性质，解得AB B B BE ''∠=∠，进而证明()BFE B FA ASA '≅，根据全等三角形对应边相等的性质，可解得AF EF =，结合已知条件及勾股定理，可解题．【解析】根据翻折的性质，可知AE BB BF B F ''⊥=，在平行四边形ABCD 中，//AB BE 'AB B B BE ''∴∠=∠AFB BFE '∠=∠()BFE B FA ASA '∴≅AF EF ∴=8AE =，6BB '=，43AF BF ∴==，，由勾股定理得5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查翻折、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．如图，平行四边形纸片ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，将平行四边形纸片沿对角线BD 拆叠，使点C 落在平面上的点C '处，若45AOB ∠=︒，1AC =，则点A ，C '之间的距离是（ ）A ．1B C ．D 【答案】D【分析】 连接A C '，由折叠的性质，解得O C '的长，45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒，根据三角形内角和180°，解得90AOC ∠'=︒，最后根据勾股定理解题即可．【解析】连接A C '，根据折叠的性质可知1122OC OC AO AC '==== 45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒ 18090AOC AOB C OD ∴∠'=︒-∠-∠'=︒在t AO R C '中AC '= 故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．如图，长方形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为（ ）A ．254B ．6C ．74D ．234【答案】A【分析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，利用矩形纸片ABCD 中，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，由勾股定理求AF 即可．【解析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，△矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，△DF=D′F ，在Rt△AD′F 中，△AF 2=AD′2+D′F 2，△x 2=62+（8-x ）2，解得：x=254， 故选：A ．【小结】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．16．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】 根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中利用勾股定理解决．【解析】在RT△ABC 中，△AC ＝6，BC ＝8，△AB =10，△ADE 是由△ACD 翻折，△AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中，△DE 2＋EB 2＝DB 2，△x 2＋42＝（8−x ）2△x ＝3，△CD＝3．故选：B．【小结】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．17．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm2【答案】C【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解析】将此长方形折叠，使点B与点D重合，△BE=ED．△AD=9cm=AE+DE=AE+BE．△BE=9-AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．△△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【小结】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE 的长是（）A ．3B ．3.5C ．3.75D ．4【答案】C【分析】 由勾股定理求解AB ，由对折可得,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==- 利用勾股定理求解x ，再利用勾股定理可得答案．【解析】90,6,8,C BC AC ∠=︒==10,AB ∴===由折叠可得：,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==-()22286,x x ∴-+= 25,4x ∴=15 3.75,4DE ∴==== 故选C ．【小结】本题考查的是求一个数的算术平方根，轴对称的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD 中，8BC =，6CD =，将ABE △沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则折痕BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D【分析】 由折叠性质，可知BEF BAE ≅，根据勾股定理，计算BD 的长，进而计算FD 的长，设EF AE x ==，再用勾股定理解得AE 的长，最终求BE 的长．【解析】在矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，由折叠可得BEF BAE ≅，EF BD AE EF AB BF ∴⊥==，，，在t R ABD 中，AB=CD=6,BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF AE x ==，则8ED x =-，根据勾股定理得：2224(8)x x +=-，解得：3x ，=BE ∴=故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．如图，点F 是长方形ABCD 中BC 边上一点将△ABF 沿AF 折叠为△AEF ，点E 落在边CD 上，若AB ＝5，BC ＝4，则BF 的长为（ ）A ．73B ．52C ．136D ．56【答案】B【分析】根据矩形的性质可得CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°，由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF，利用勾股定理即可求出DE，从而求出CE，设BF=EF=x，利用勾股定理列出方程即可求出结论．【解析】△四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝4，△CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF在Rt ADE中，3=△CE=CD－DE=2设BF=EF=x，则CF=4－x在Rt CEF中，CF2＋CE2=EF2即（4－x）2＋22=x2解得x=5 2即BF=5 2故选B．【小结】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键．21．如图，ABC 中，△C=90°，AC=3，AB = 5，点D 是边BC 上一点，若沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（）A．2B．52C．3D．103【答案】B 【分析】根据勾股定理，求出BC 的长度，设 BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE= 4-x ，BE=2，在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，根据勾股定理即可求出x 的值，即BD 的长度．【解析】△△C= 90°，AC=3，AB=5∴BC= ，设BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE=DC=4-x ，AE=AC=3，△AED= △C=90°，△ BE= AB -AE = 2．在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，即：222x =2(4-x)+，解得：x=52， 即BD=52， 故选：B ．【小结】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键在于写出直角三角形BDE 三边的关系式，即可求出答案．22．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若△1＝40°，则△AEF 的度数为（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】C【分析】 如图，设B 的对应点为K ．由AD△BC ，推出△AEF+△BFE=180°，求出△BFE 即可解决问题．【解析】如图设B 的对应点为K ．△△BFE ＝△EFK ，△1＝40°，△△BFK ＝180°﹣40°＝140°，△△BFE ＝70°，△AD △BC ，△△AEF +△BFE ＝180°，△△AEF ＝110°，故选：C ．【小结】本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质是解题的关键．23．在矩形纸片ABCD 中，6,10AB AD ==．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 根据翻折的性质，△当P 与B 重合时，可得BA′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A′C ，△当Q 与D 重合时，根据勾股定理，可得A′C ，根据线段的和差，可得答案．【解析】△当P 与B 重合时，BA′＝BA ＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，△当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA′8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC 边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B ．【小结】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．24．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为（ ）A ．45B ．35C ．23D ．34【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD ，△A=△CDE ，CE△AB ，Rt△ABC 中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F 的长．【解析】△Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，△AB ＝5，根据折叠的性质可知AC ＝CD ，△A ＝△CDE ，CE △AB ，△B ′D ＝BC ﹣CD ＝4﹣3＝1，△DCE +△B ′CF ＝△ACE +△BCF ，△△ACB ＝90°，△△ECF ＝45°，△△ECF 是等腰直角三角形，△EF ＝CE ，△EFC ＝45°，△△BFC ＝△B ′FC ＝135°，△△B ′FD ＝90°，△S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ， △AC •BC ＝AB •CE ，△CE ＝125，△EF ＝125，ED ＝AE 95=， △DF ＝EF ﹣ED ＝35△B ′F 45=． 选：A ．【小结】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．25．如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上．将AEF 沿EF 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点G 处．若45A ∠=︒，AB =5BE AE =，则AF 长度为（ ）A．152 B ．7 C ．6 D ．【答案】A【分析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，分别求出BN 、EN 、AM 、BM ，继而在Rt△GEN 中求出GN 的值，设FM=BH =x ，在Rt△GFH 中，由勾股定理列方程解出x ，即可得出结果．【解析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，如图1所示：则BM△BC ，BM=FH ，FM=BH ，由折叠的性质得：AE=GE= GF=AF ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，△△EBN=△A=45°，△△ABM 和△BEN 是等腰直角三角形，△BN=EN=，AM=BM= ， △FH=6，在Rt△GEN 中，由勾股定理得：12+GN 2= 2，解得：GN=±7（负值舍去），△GN=7，设FM=BH =x ，则GH=7-1-x=6-x ，GF=AF=x+6，在Rt△GFH 中，由勾股定理得：62+（6-x ）2=（x+6）2， 解得：x=32， △AF=32+6=152； 故选：A ．【小结】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（ ）A ．5B ．4C ．133D ．143【答案】C【分析】 由折叠可得△AEF△△DEF ，可知AE=DE ，由点 D 为边 BC 的中点，可求CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．【解析】 △将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ， △△AEF△△DEF ，△AE=DE ，△点 D 为边 BC 的中点， △CD=118422CB =⨯=， 设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理，222CD CE DE +=即()22246x x +-=， 解得133x =． 故选择：C ．【小结】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．27．如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，5AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点E 在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．【解析】如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，即52=（5-EB）2+32，解得EB=1，如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，△3-1=2，△点E在BC边上可移动的最大距离为2．故选：B．【小结】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．28．如图，已知ABCD 是长方形纸片，3CD =，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且6AFB S =△，则AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256 C ．43 D ．23 【答案】B 【分析】根据面积求出BF 、AF 、CF ，设DE 为x ，列方程求出即可．【解析】ABCD 是长方形纸片，△AB=CD=3，12AFB S AB BF =⋅△， △1632BF =⨯⋅， △BF=4，△AF=5=，△AF=AD=BC=5，CF=1，设DE 为x ，EF=DE=x ，EC=3-x ，x 2=(3-x)2+1，解得，x=53， △1152552236AED S AD ED ∆=⋅=⨯⨯=， 故选：B ．【小结】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．29．如图，点A是y正半轴上一点，点B是x负半轴上一点，3BC=，AB=，点C（在B的右边）在x轴上，且5点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（）A．（0，2）B．（0，2.4）C．（0，2.5）D．（0，1.8）【答案】B【分析】由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．【解析】△将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，△AB＝AE=3，△EC≥AC-AE，△当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，如图，△CE的最小值为1，△AC＝4，△AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，△OC=3.2,OA＝2.4，△点A坐标为（0，2.4），故选：B．【小结】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI ＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2B．52C．4D．6【答案】D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝【解析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，△AB=，AC=，BC=，△△BAC＝90°，△AB2+AC2＝BC2，△2a2+2b2＝2c2，△a2+b2＝c2，△将等腰Rt△ADB 和等腰Rt△AFC 按如图方式叠放到等腰Rt△BEC ，△BG ＝GH ＝a ，△S 四边形GHCE ＝S 四边形GKJE +S 四边形KHCJ ＝9， △12（a +c ）（c ﹣a ）＝9， △c 2﹣a 2＝18，△b 2＝18，△b ＝△AC =＝6，故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．31．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点，连接EF ，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使得点A 落到边CD 上的点A '处，且2DA A C '='，则折痕EF 的长度为（ ）A ．B ．C D【答案】A【分析】 由2DA A C '='，6DC =，可求出DA '，A C '的长，再根据折叠和勾股定理可求出DF 和FA '，依据三角形相似可求出NC 、NA '，进而求出MF ，最后根据勾股定理求出EF ．【解析】如图，过点E 作EM AD ⊥，垂足为M ，2DA A C ''=，6DC =， 243DA DC '==，123A C DC '==，由折叠得，AF FA ='，6AB A B =''=， 设DF x =，则8FA FA x ='=-， 在Rt DFA ∆'中，由勾股定理得， 2224(8)x x +=-，解得3x =，即3DF =，835FA FA ∴='=-=，1809090NA C DA F ∠'+∠'=︒-︒=︒，90NA C A NC ∠'+∠'=︒， DA F A NC ∴∠'=∠'，90C D ∴∠=∠=︒，∴△A NC '∽△FA D '， ∴A C NC A N FD A D FA ''==''，即2345NC A N '==， 解得83NC =，103A N '=， 108633B N A B A N NC ∴'=''-'=-==， ∴△()A CN ENB AAS '≅∆'，103EN A N ∴='=， 108633EC EN NC MD ∴=+=+==， 633MF ∴=-=，在Rt EFM ∆中，EF == 故选：A ．【小结】 本题考查矩形的性质、折叠轴对称、相似三角形、全等三角形以及勾股定理等知识，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是得出答案的前提，建立图形中线段之间的关系是解决问题的关键．32．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把△ACD 沿AD 翻折，得到△AD C '，D C '与AB 交于点E ，连结B C '，若BD ＝B C '＝2，AD ＝3，则点D 到A C '的距离( )AB C D 【答案】B【分析】连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，证BDC '∆为等边三角形，利用解直角三角形求出1DM =，C M '=2AM =，在Rt 'AC M ∆中，利用勾股定理求出AC '的长，在ADC '∆中利用面积法求出DH 的长．【解析】如图，连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，2BD BC ='=，D 是AC 边上的中点，2BD DC ==，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，2DC DC '∴==，AC AC '=，CM C M '=，2BD BC DC '∴='==，BDC '∴∆为等边三角形，60BDC BC D C BC '''∴∠=∠=∠=︒，DC DC '=，160302DCC DC C ''∴∠=∠=⨯︒=︒，在Rt △C DM '中，30DC C '∠=︒，2DC '=，1DM ∴=，C M '=312AM AD DM ∴=-=-=，在Rt 'AC M ∆中，AC ==' 1122ADC S AC DH AD CM ∆''==， ∴3=DH =， 故选：B ．【小结】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．二、填空题33．如图，AD 是ABC 的中线，45ADC ∠=︒，10BC =，把ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在点C '处，那么BC '的长为________．【答案】【分析】由题意可得BD=CD=5，根据折叠的性质可得CD=C'D=5，△ADC=△ADC'=45°，根据勾股定理可求BC'的长．【解析】△AD 是ABC 的中线，10BC =，△BD=CD=5，△把ABC 沿直线AD 折叠，△CD=C'D ，△ADC=△ADC'=45°，△BD=C'D=5，△BDC'=90°，=故答案为：【小结】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．34．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==,折叠纸片，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕BE 与AC 交于点E ，则折痕BE 的长为_____________；【答案】4【分析】根据勾股定理求得BC =AB =△CBE=△ABE=12△ABC=30°，继而证得BE=AE ，在Rt△BCE 中，利用勾股定理列方程即可求得答案．【解析】在Rt△ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==，设BC x =，则2AB x =，△222BC AC AB +=，即()22262x x +=，解得：x =△BC =AB =△折叠△ABC 纸片使点C 落在AB 边上的D 点处，△△CBE=△ABE ，在Rt△ABC 中，△A=30°，△△ABC=60°， △△CBE=△ABE=12△ABC=30°，△△ABE=△A=30°，△BE=AE ，在Rt△BCE 中，△C=90°，BC =6CE AC AE BE =-=-，△222BC CE BE +=，即(()2226BE BE +-=， 解得：4BE =．【小结】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度的直角三角形的性质以及折叠的性质，利用勾股定理构建方程求线段的长是解题的关键．领会数形结合的思想的应用．35．如图，在长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ΔABE 的面积为________cm 2.【答案】6【解析】【分析】由折叠的性质可知AE 与BE 间的关系，根据勾股定理求出AE 长可得面积.【解析】由题意可知BE =ED .因为AD =AE +DE =AE +BE =9cm ，所以BE =(9−AE )cm.在RtΔABE 中，根据勾股定理可知，AB 2+AE 2=BE 2，所以32+AE 2=(9−AE )2，所以AE =4cm ，所以RtΔABE 的面积为12×AB ×AE =12×3×4=6（cm 2）. 故答案为：6【小结】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.36．如图，在Rt ABC ∆中，B 90∠=︒，AB 30=，BC 40=，将ABC ∆折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B'重合，AE 为折痕，则EB'=_________.【答案】15【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC 中求解x即可.【解析】根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30，设BE=EB′=x，则EC=40﹣x，△△B=90°，AB=30，BC=40，△在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50，△B′C=50﹣30=20，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2，解得x=15．故答案是15．【小结】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键.37．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将其沿AC折叠，点D落在E处，CE与AB交于点F，且EF=FB，则重叠部分△ACF的面积是____________【答案】10【分析】因为BF=EF，所以可设EF=x，则在Rt△AFE中，根据勾股定理求x，进而求出即可．【解析】△EF=BF，△设EF =x ，则AF =8-x ，在Rt △AFE 中，（8-x ）2=x 2+42，解之得：x =3，△AF =AB -FB =8-3=5，1102AFC S AF BC ∴==△． 故答案为：10．【小结】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用，利用已知设EF =x ，根据直角三角形AFE 中运用勾股定理求x 是解题的关键．38．如图，在三角形纸片ABC 中，△C ＝90°，AC ＝18，将△A 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，BC ＝12，则EC 的长为__________．【答案】5【分析】由翻折的性质可知BE =EA =18-EC ，最后在Rt △BCE 中由勾股定理求得EC 的长即可．【解析】△AC =18，△BE =AE =18-EC ，△可得()2221218EC EC +=-，解得：EC =5，故答案为：5．【小结】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质求得BE =EA =18-EC 是解题的关键． 39．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．【答案】2.8【分析】过点E 作EH AD ⊥于H ， 根据菱形的性质，得到//AB CD ，4AD BC CD AB ====，继而可证60A HDE ∠=∠=︒，再利用含30°角的直角三角形性质，解得12DH DE =，结合勾股定理解得HE 的长，根据折叠的性质，得到,AG GE AF EF ==，最后在Rt HGE 中利用勾股定理得222GE GH HE =+，据此整理解题即可．【解析】过点E 作EH AD ⊥于H ，ABCD 是菱形//AB CD ∴，4AD BC CD AB ====60A HDE ∴∠=∠=︒ E 是CD 中点2DE ∴=在Rt DHE △中，2DE =HE DH ⊥60HDE ∠=︒30HED ∴∠=︒1,DH HE ∴===折叠,AG GE AF EF ∴==在Rt HGE 中222GE GH HE =+22(41)3GE GE ∴=-++2.8GE ∴=故答案为：2.8．【小结】本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．40．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．【答案】258【分析】 过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．【解析】过点M 作MN BC ⊥于N ，△90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，△//MN AC ，△M 是AB 的中点，△MN 是Rt ABC △的中位线， △MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4， 设CF=x ，则NF=4-x ，△将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，△MF=CF=x ，在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，△()22234x x +-=，解得258x =， △CF=258． 故答案为：258． 【小结】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．41．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AC 边上一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，那么DE 的长度是________．【答案】3【分析】先根据勾股定理得到AB=10，再根据折叠的性质得到DC=DE ，BC=BE=6，则AE=4，设DE=x ，在Rt△ADE 中利用勾股定理得（8-x ）2=x 2+42，解得方程即可．【解析】△△C=90°，BC=6，AC=8，△10AB ==△将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，△△BCD△△BED ，△△C=△BED=△AED=90°，DC=DE ，BC=BE=6，△AE=AB -BE=4，设DC=x ，则AD=8-x ，在Rt△ADE 中，AD 2=AE 2+ED 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，△DE=3【小结】本题考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，利用折叠性质折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分是解题关键．42．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，按图中所示方法将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，则点D 到AB 的距离=________．【答案】3【分析】首先根据勾股定理求出AB 的长，然后利用折叠的性质求出AC ′的长，在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】△△C =90°，AC =8，BC =6，△AB =10．根据折叠的性质，BC =BC ′，CD =DC ′，△C =△AC ′D =90°．△AC ′=10-6=4．在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理得（8-x ）2=x 2+42．解得x =3．△DC ′=CD =3，故答案为3．【小结】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．43．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF 为直角三角形，则DP 的长__________．【答案】52或1 【分析】 先根据矩形的性质、折叠的性质可得90DAB ∠=︒,8AD =,10BD =,5OA OD OE ===，,EP AP E ADB =∠∠=∠，设DP x =，从而可得8EP x =-，再根据直角三角形的定义分90DFP ︒∠=和90DPF ︒∠=两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．【解析】四边形ABCD 是矩形，6AB =，8BC =，90DAB ︒∴∠=，8AD BC ==，10BD =，152OA OD BD ===，。
折叠问题(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：折叠问题的处理思路是什么？问题2：折叠背景下勾股定理的应用，折叠这个条件可以怎么用？勾股定理怎么用？问题3：折叠问题中利用勾股定理建等式时需要注意什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：折叠问题的处理思路是什么？答：折叠问题的处理思路：（1）找折痕（折痕所在直线为对称轴）；（2）表达，转移；（3）利用勾股定理等建等式．问题2：折叠背景下勾股定理的应用，折叠这个条件可以怎么用？勾股定理怎么用？答：折叠这个条件主要是转移条件，转移边，转移角；勾股定理主要用来建立等式．问题3：折叠问题中利用勾股定理建等式时需要注意什么？答：在利用勾股定理建立等式时，将条件转移到直角三角形中，要找准斜边．折叠问题（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长为( )cm．A.5cmB.3cmC.cmD.4cm答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=( )A.4cmB.3cmC.5cmD.6cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则线段CN的长是( )A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图，长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，已知AB=6cm，BC=18cm，则Rt△CDF的面积是( )A.8cm2B.6cm2C.48cm2D.24cm2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题6.如图，在长方形ABCD中，BC=4，DC=3，将该长方形沿对角线AC折叠，使点B落在点F 处，CF交AD于点E，则EF的长为( )A. B.C.1D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.把一张长方形纸片（长方形ABCD）按如图所示方式折叠，使顶点B与点D重合，折痕为EF．若AB=6，BC=10，求重叠部分△DEF的面积为( )A. B.C.20D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，若长方形的长BC 为16，宽AB为8，则折叠后重合部分的面积是( )A.30B.40C.60D.80答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题。
利用勾股定理解决折叠问题及答案
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152 cmC.254 cm D.154cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．54．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154 C ．5 D.1526．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )A．210－2B．6C．213－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.3．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m)．4．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．参考答案类型11．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm29.13310．1.511.因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm.所以CF＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得：x＝6.所以EC＝6 cm.答：EC＝6 cm，CF＝8 cm.类型21．C 2.15 3.2.604．把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理，得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.。
勾股定理与折叠问题(经典题型)
与直角有关的折叠问题〔一〕1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无裂缝无重叠的四边形EFGH，假设EH=9厘米，EF=12厘米，那么边AD的长是( )A. 12厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 21厘米2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，那么折痕EF的长为( )A. 6B. 5C.D.3.如图1，四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm，E是AD上一点，且AE=8cm．操作：〔1〕将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；〔2〕将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．那么△GFC的面积是( )A. B. C. D.4. 如图，边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，那么CE的长是( )A. B. C.D.5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC 上的点F处，且∠AEF=∠CEF，那么AB的长是( )A. 2cmB.C. 4cmD.6. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边，现将△BCD沿CD折叠，点B 恰好落在AB的中点E处，那么图中阴影局部的面积为( )A. 2B. C. D.7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，那么AC′：BD为( )A. B. C. D.8.如图，在矩形ABCD中，点E，F别离在边AB，BC上，且，将矩形沿直线EF 折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，有以下结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的选项是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①④9.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使极点C恰好落在AB边的中点上．假设AB=16，BC=32，那么BF的长为( )A. 15B.C. 16D. 1710. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后取得△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．假设，那么( )A. B. C. D.11.如图，折叠直角三角形纸片ABC的直角∠C，使点C落在斜边AB上的点E处，，∠B=30°，那么DE的长为( )A. B. C. D.12. 如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，假设BC=3，那么折痕CE的长为( )A. B. C. D. 613. 如图，在矩形ABCD中，，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在AD边的中点P处．假设∠DPE=60°，那么矩形的周长为( )cm．A. B. C. D.14.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在处，假设，DE=2，那么的长为( )A. B.C. D.15.如图1是一个直角三角形纸片，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，那么折痕DE的长为( )••• A. 3cm B. C. 2cm D.16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E，F别离是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，假设HG的延长线恰好通过点D，那么CD的长为( )A. 6B.C. 3D.。
勾股定理中的折叠问题(人教版)(含答案)
勾股定理中的折叠问题（人教版）一、单选题(共8道，每道10分)1.如图,将边长为16cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是( )A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图,矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG 的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,已知AB=6cm,BC=18cm, 则Rt△CDF的面积是( )A.8cm2B.6cm2C.48cm2D.24cm2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题4.如图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=4cm,BC=5cm,则EF=( )A.2cmB.cmC.cmD.3cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图,在矩形ABCD中,BC=4,DC=3,将该矩形沿对角线AC折叠,使点B落在点F处,CF交AD于点E,则EF的长为( )A. B.C.1D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图所示方式折叠,使顶点B与点D重合,折痕为EF.若AB=6,BC=10,求重叠部分△DEF的面积为( ).A. B. C.20 D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB为8,则折叠后重合部分的面积是( )A.30B.40C.60D.80答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题8.如图,将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在边CD上的E点,折痕为MN.若CE的长为8cm,则AM=_____cm,BN=_____cm.( )A.,1B.,C.,D.,1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长为____cm．答案：3解题思路：试题难度：知识点：勾股定理的应用10.如图，折叠一个矩形纸片，沿着AE折叠后，点D恰好落在BC边的一点F上，已知AB=8cm，BC=10cm，则=____cm2．答案：6解题思路：试题难度：一颗星知识点：勾股定理之折叠问题。
八年级数学勾股定理应用专题折叠
八年级数学勾股定理专项应用------折叠问题1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。
(1)求EF 的长；(2)求四边形ABCE 的面积。
2、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少?3、如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ．求EC 的长．CDBAE4、如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC 折叠,使AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ，求BD 的长为．5、如图，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长．6、如图所示，在∆ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把∆ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)的面积．B'DCBA7．如图，把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH = ∠，8PF =，6PH =，求矩形ABCD 的边BC 长.8、如图,矩形纸片ABCD 中，AB=6cm,AD=8cm ，在BC 上找一点F ，沿DF 折叠矩形ABCD ，使C 点落在对角线BD 上的点E 处，此时折痕DF 的长是多少？9.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =．（2）AE BD ∥．（3）若AB=6，BC=10，分别求AF 、BF 的长,并求三角形FBD 的周长和面积。
ABCDEF10、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD ，求AF 的值。
(完整版)利用勾股定理解决折叠问题及答案
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152 cmC.254 cm D.154cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．54．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154 C ．5 D.1526．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )A．210－2B．6C．213－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.3．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m)．4．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．参考答案类型11．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm29.13310．1.511.因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm.所以CF＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得：x＝6.所以EC＝6 cm.答：EC＝6 cm，CF＝8 cm.类型21．C 2.15 3.2.604．把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理，得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.。
《勾股定理》典型例题折叠问题
《勾股定理》典型例题折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边A Ｃ＝６,ＢＣ＝8，将△AB Ｃ折叠，使点B 与点A 重合,折痕为DE,则CD 等于( ）A. 425B. 322C. 47D ． 352、如图所示,已知△A ＢＣ中,∠C=9０°,ＡB 的垂直平分线交ＢC •于Ｍ,交AB 于N,若AC ＝4，MB=2M Ｃ,求ＡB 的长．3、折叠矩形AB ＣD 的一边ＡＤ,点D 落在BC 边上的点F 处,已知A Ｂ=8ＣＭ,BC=1０C Ｍ,求C Ｆ 和EC 。
4、如图，在长方形ＡBCD 中，DC=5,在DC 边上存在一点E,沿直线A Ｅ把△ＡBC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30,求折叠的△AE Ｄ的面积B CEDDCBAF E5、如图,矩形纸片ABCD 的长AD ＝9㎝，宽ＡＢ＝3㎝,将其折叠，使点Ｄ与点Ｂ重合，那么折叠后DE 的长是多少?6、如图,在长方形ＡB ＣＤ中,将∆ABC 沿AC 对折至∆ＡEC 位置，C Ｅ与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC ；（2)如果ＡＢ=3,B Ｃ=４,求A Ｆ的长7、如图2所示,将长方形ABCD 沿直线A Ｅ折叠,顶点Ｄ正好落在B Ｃ边上Ｆ点处,已知CE=3cm ，AB ＝8ｃｍ,则图中阴影部分面积为_______．8、如图２-3，把矩形ABＣD沿直线BD向上折叠,使点Ｃ落在C′的位置上,已知ＡB=•3,BC=7,重合部分△EＢＤ的面积为___＿＿_＿_.9、如图５,将正方形AＢCD折叠,使顶点A与ＣD边上的点M重合，折痕交ＡD于Ｅ,交BC于Ｆ，边AＢ折叠后与BC边交于点Ｇ。
如果Ｍ为CD边的中点,求证:DE：DM：EM=3:４:５。
１0、如图2-5,长方形ＡBＣＤ中，ＡB=3,BC＝4,若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹ＥＦ的长为（ )A．3．74 B．３.75 C．3.7６ D．３.7７2-511、如图1-３-11，有一块塑料矩形模板ABCＤ，长为10cｍ,宽为4cｍ，将你手中足够大的直角三角板ＰHＦ的直角顶点Ｐ落在AD边上(不与A、D重合）,在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点Ｃ？若能，请你求出这时ＡP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AＤ上移动,直角边ＰH 始终通过点B,另一直角边PＦ与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E，能否使CE＝２cm?若能，请你求出这时AP 的长;若不能,请你说明理由．１2、如图所示，△ABC是等腰直角三角形,AB＝AC，D是斜边ＢC的中点，E、Ｆ分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF，若BE=12，CF=５．求线段ＥＦ的长。
培优专题11 勾股定理与折叠问题
（2）设 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c .请写出一个 a ， b ， c 三者之间的数量关系式.
◉答案 解：（2） a ， b ， c 三者之间的数量关系式为 a2＝ b2＋ c2.理
由：由（1）得 CE ＝ AE . 因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠ D ＝
A. 1cm
A ）
B. 1.5cm
C. 2cm
D. 3cm
第1题图
2. （烟台莱州期中）如图，Rt△ ABC 中， AB ＝9， BC ＝6，∠ B ＝90°，将△
ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段 BN 的长为 4
第2题图
.
3. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至
90°.因为 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c ，所以 CE ＝ AE ＝ a .在Rt△
DCE 中， CE2＝ ED2＋ DC2，所以 a ， b ， c 三者之间的数量关系式
为 a2＝ b2＋ c2.
FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .因为 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ DE ＝ EF
＝3，所以 EG ＝3＋ x .在Rt△ CEG 中，32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，
解得 x ＝2，所以 BG 的长为2.
类型二：巧用折叠求图形面积
4. （威海文登区期中）如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AB ＝4cm， AD ＝
第三章 勾股定理
培 优 专 题 11 ： 勾 股 定 理 与 折 叠 问 题
类型一：巧用折叠求线段长
人教版勾股定理专题训练-折叠问题
变式1
变式2：
如图，小颍同学折叠一个 如图，在矩形ABCD中，
直角三角形的纸片，使A与 BC=8，CD=4，将矩形沿BD
B重合，折痕为DE，若已 折叠，点C落在C′处，求
知AC=10cm，BC=6cm,你 ：重叠部分△BED的面积
能求出CE的长吗？
C’
D
B
AE
D
E
B
C
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使
人教版八年级数学下册 《勾股定理专题训练-折叠问题》
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五 教学反思 四 教学程序 三 教、学法分析 二 学情分析 一 教材分析
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18 章内容，是在掌握勾股定理及逆定理的 基础上对勾股定理的应用之一。教材注 重培养学生的动手操作能力和分析问题 的能力。通过分析，使学生获得较为直 观的印象,了解勾股定理在实际生活中的 广泛应用。折叠问题在中考中的应用也 日趋突出。（举例）
化思想的理解与应用。
B 教师适当引导
HF
C
G
台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台
阶立的足两于个学相生对的的认端知点基，础A来点选上择有身一边只的蚂素蚁材，想到B 点进去行吃教可学口，的将食立物体.图请形你转想化一为想平，面这图只形蚂构蚁从A点 出成发直，角沿三着角台形阶，面利爬用到勾B股点定，理最解短决线问路题是，多少？
在现实情境中捕捉折叠三角形和四 边形，构造直角三角形，在实际问题中 学会运用勾股定理转化为方程的思想来 解决问题。
说教法、学法
1、教法
根据本课内容特点和八年级学生思维活动特 点，我采用了合作探究教学法，逐步渗透教 学法和师生共研相结合的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说学情
八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础。从心理和生理特征都比 较喜欢较为直观且能吸引他们的内容。在本节内容之前，学生已经能准确 的理解勾股定理及逆定理的内容，同时也具备了建立数学模型的能力。但 学生探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还 不明确，特别是用方程的思想解决数学问题还有困难，自主学习能力也有 待于加强。
D
认识，并能B 够从总结出
的方法中学会解决问A题。
E
D
也为质疑导学做铺垫。
是方程思想在勾股定理
A
中的应用得到升华。
E
B
C
质疑导学
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使
顶点B与学教生师顶小适点组当合引D重作导，，合也然在就后是各一通抒起过己辅见,助，EF为折
痕。AB线=构3,造B直C角=9三,角试形求得到：等以线段E代F为边
出方程思想：
0.5 2
x
x+0.5
合作学习
例1、如图，一块直角三角形的 例2：折叠矩形ABCD的一边
纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8 AD,点D落在BC边上的点F处,
㎝。现将直角边AC沿直突破线重A点D：折学生动已手知折AB叠=、8C观M,BC=10CM,求 叠，使它落在斜边AB察上，，将且已与知量和1.C未F知量2通.E过C.
本节课由情景创设激发学生学习兴趣，再解决问题的过程 中弄清楚问题的本质，借助运动、变化的直观现象，在边演示、 边思考的过程中推进对知识的理解。
本节课的亮点是题型设计的有梯度，由易到难。并且能将 本章知识点汇集到一起。使学生有综合性的练习。不足之处是 学生在折叠问题中不能快速的锁定直角三角形，应用定理解决 实际问题还应多练，我的教学没有彻底放开和新的课程理念的 要求存在着差距，在教学时没有照应到所有学生。
说教学目标
(1)知识与技能
理解折叠问题的实质，建立方程思想，找 到解决的突破口。
(2)过程与方法
经历观察、比较折叠的过程，在讨论类比中 探索勾股定理解决折叠问题。
(3)情感态度与价值观
锻炼学生的应用能力，感受数学带来的乐趣。体现 数学与生活的紧密联系。
说教学重难点
探究折叠前后图形的变化及元素的对应关系。
说教学过程
教学流程图
学 后反思
学习 检测
质 疑导学
合作学习
自学展示
自学展示
荷花问题 平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前, 花离原位二尺远; 能算诸君请解题, 湖水如何知深浅.
体现文理结合的思想 激发学生学习的兴趣， 用课件展示图形动态 变化的直观性，刺激 学生的学习热情。 引
阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B
立点足去于吃学可生口的的认食知物基.请础你来想选一择想身，边这的只素蚂材蚁从A点
进出行发教，学沿，着将台立阶体面图爬形到转B点化，为最平短面线图路形是构多少？
成直角三角A形，利用勾股定理解决问题，
培养学生空间想像5 能力。使教学A 内容充满5
C
趣味性和吸引力，使学3 生在轻松愉悦的学 习氛围中理解了用勾1股定理解决际问题的
长正方换个形。直的将角已三面知角积量形和中？未利知用量勾转股E 化定到理一找
到解决问题的A 突破点。通过这道
D
小组题问合让题作学，生加知深道学用生方对程勾思股想定来理1解 和0决转
化思想的理解与应用。
B 教师适当引导
HF
C
G
学习检测
台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五 教学反思
四 教学程序
三 教、学法分析
二
学情分析
一
教材分析
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18章内容，是在掌握勾股 定理及逆定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材注重培养 学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过分析，使学生获 得较为直观的印象,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。折 叠问题在中考中的应用也日趋突出。（举例）
AE重合，求CD的长．图形变换中的A 折叠找到相等
D
A
的线段转换到 一个直角三角
E
形中。最终运用本章学习的 勾股定理求得线段的长度，
E
做到用数形结合来解决几 B
F
C
解题步骤:
1、标已知，标问题，明确目标在 哪个 直 角三角形中，设适当的未知数x。
2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转换到同一直角三角形中表示出来。
在现实情境中捕捉折叠三角形和四边形，构造直角三角形， 在实际问题中学会运用勾股定理转化为方程的思想来解决问 题。
说教法、学法
1、教法
根据本课内容特点和八年级学生思维活动特点，我采用了合作探究教 学法，逐步渗透教学法和师生共研相结合的方法。
2、学法
新课改提倡以学生发展为本，引导学生主动探究新知，合作交流，体 现学习的自主性，从不同层次发掘学生的创新精神。
勾股定理（折叠问题）
解题步一板骤目书了：的然设（，（计1以让2）提）学标高生设学（对（生本已的未节知记课知忆、的数效重未率）点知， 量）
从而更好的（达3到）本找节（课的找教直学角目标三。角形）
E
D
C
（4）换（转换）
F
（5）列（方程）
A
B
今
日 课本P39习题第12 作 题、第13题。
业
说教学反思：
方法，体现了数学源于生活，并用于生活。
12
B
B
学后反思：
学生通过自我评价及形成性评价逐渐养成了正确的价 值观和科学的学习观，同时也养成了良好的反思习惯。
课堂小结：归纳折叠问题的解题步骤： （1）标（已知、未知量） （2）设（未知数） （3）找（找直角三角形） （4）换（转换） （5）列（方程）
板书设计：
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
变式1
变式2：
如图，小颍同学折叠一个 如图，在矩形ABCD中，
直B知能重角A求合C三出=，1角C0折Ec形的m变边巩这痕的，长式 形 固 一为纸B吗训折类，DC片？E=练叠问目，，6c是问题的若使m对题有是,已A你三的更使与角全练学B折重形面生习C=叠叠四的对和8，，部C点分D=△C4落，B在E将DC的矩′C面形处’积沿，B求D：