21平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念
主讲人:王海田老师
北
前言:
西
Ａ 南
东 Ｂ
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表 示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置. 如图,如何由A点确定B点的位置? 一种常用的方法是,以A点为参照点,用B点与A点之间 的方位和距离确定B点的位置,如,B点在A点南偏东45度,30 千米处.这样在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示 . A B , AB B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的 位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种 既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章将要研究 的向量. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几 何背景,是解决几何问题的有力工具.向量是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在 数学和物理学科中具有广泛的应用。 那么你能举出一些这样既有方向，又有大小的量吗？
练习
练习： 练习： （1）下列各量中是向量的是（ B ） ）下列各量中是向量的是（ A．动能 B．重力 ． ． C．质量 D．长度 ． ．
F （2）等腰梯形 ABCD ，对角线 AC BD相交于点腰 AD 、 上， 过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 确的是（ 确的是（ D ） A． AD = BC B．AC = BD ． ．
× ×
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 ）若两个向量在同一直线上，
例
的中心， 例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 ．如图，
OB 、 相等的向量． OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： = CB = DO OA OB = DC = EO
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
21平面向量的实际背景及基本概念(全)-2022年学习资料
23-2020/4/29-如图，D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF-是平行四边形，请分别 出：-1与ED共线的向量；-2与F共线的向量；-3与ED相等的向量；-4与FE相等的向量。-解：1DE、B 、FB、FA、-AF、CMi、MC-E乐、D、DB、DC-c0、-EN、ME-FB、、MC-4BD、-DC EM-BACK
162020/4/29-练习-1、若两个向量在同一直线上，则-这两个向量是什么向量？-共线向量或者说平行向 -2、共线向量一定在一条直线上吗？-不一定-BACK
172020/4/29-练习：-在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、-体积这些量中，哪些是数量？哪些是 量？-数量有：质量、身高、面积、体积-向量有：重力、速度、加速度-BACK
122020/4/29-例1：如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量中：-（1-试找出 FE共线的向量；-确定与FE相等的向量；-3-OA与BC相等吗？-解：-1与FE共线的向量有BC和OA;c-23个-相同，故E-31-因为OA和BC方间，故-OA+BC-问题2：与OA长度相等的向量有多少个？题3：是否存在与OA长度相等、方向-问题1：OA=FE?-相反的向量？-存在：F正-OB=AF?-问题4： 向量OA共线的向量有哪些？-AO、BC、CB、FE、EF、DO、OD、AD、DA
92020/4/29-三、向量之间的关系：-一平行向量：方向相同-或相反的非零向量-a-记作：aMbc-共 向量-规定0向量与任一向量平行-二共线向量：-任意一组平行向量都可以-平移到同一直线上，所平行向量也叫共线 量
102020/4/29-演示说明：平行向量就是共线向量-请看下面-NEXT
112020/4/29-三、相等向量：长度相等且方向相同向量记作：-a=b。-6-a=6=c-V1=V2= 3=V4-说明：在平行向量、共孩向量、相等向量-的桡念中应滋意零向量的特珠性-NEXT
2.1平面向量的实际背景及基本概念
（2）直角坐标平面内的x轴，y轴是向量。 （3）如果两个向量所在的直线互相平行，那么这 两个向量是平行向量。
（4）平行向量所在的直线一定互相平行。 （5）单位向量都相等。
二、课堂互动讲练
（6）不相等的向量一定不平行。 （7）若 | a | > | b | 则 a > b 。
二、课堂互动讲练
（三）解决问题
3、掌握平行向量、相等向量、共线向量的概念。 重、难点 重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单
位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念。 难点：向量的方向、相等向量、共线向量。
一、课前自主探究 1、什么是位移？ 2、什么是向量？你还能从物理学中举 出一些这样的量吗？
3、什么是数量？生活中哪些量是数量
？ 4、什么是有向线段？怎样表示？它的 长度怎样表示？它由哪几个要素组成？
5、向量的大小（或称模），怎样表示?
一、课前自主探究 6、对比线段的表示方法，向量怎样表 示？ 7、你知道两个特殊向量吗？它们是？ 8、什么是平行向量？ 9、什么是相等向量？ 10、什么是共线向量?
二、课堂互动讲练
（一）选择
1、下列物理量不是向量的是（ ① ⑥ ⑦
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④
）
力
⑤
加速度 ⑥
路程
⑦
密度
2、下列说法中错误的是（ A ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任 意的
二、课堂互动讲练
（二）辨析
（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量。
（1）与零向量相等的向量必定是什么向量？
零向量 （2）与任意向量都平行的向量是什么向量？ 零向量
（3）平行向量是否一定方向相同？ 不一定
2. 1平面向量的实际背景及基本概念(教＼教案)
2.1平面向量的实际背景及基本概念教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。
因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。
之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标>的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分五大节。
第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。
教案目标：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教案重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教案难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教案过程：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？<画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. A B C D分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：<一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量<二）请同学阅读课本后回答：<可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？<三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ<黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：<1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；<2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.A(起点> B <终点）a说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：<1）综合①、②才是平行向量的完整定义；<2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：<1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；<2）零向量与零向量相等；<3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上<与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．.说明：<1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；<2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.<四）理解和巩固：例1 书本86页例1.例2判断：<1）平行向量是否一定方向相同？<不一定）<2）不相等的向量是否一定不平行？<不一定）<3）与零向量相等的向量必定是什么向量？<零向量）<4）与任意向量都平行的向量是什么向量？<零向量）<5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？<平行向量）<6）两个非零向量相等的当且仅当什么？<长度相等且方向相同）<7）共线向量一定在同一直线上吗？<不一定）例3下列命题正确的是< ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？<11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？<存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？<）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题2.1平面向量的实际背景及基本概念课前预习学案一、预习目标通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、预习内容<一）、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？<画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？<二）、新课预习：1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2、请同学阅读课本后回答：<可制作成幻灯片）1) 数量与向量有何区别？2) 如何表示向量？3) 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4) 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5) 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6) 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7) 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各 向量的终点之间有什么关系？三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、学习过程1、数量与向量的区别？-2.向量的表示方法？A B C D A(起点> B <终点）a①②③④向量的大小――长度称为向量的模，记作。
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。
2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。
3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。
2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。
3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。
4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。
5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。
6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。
7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。
2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。
3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。
四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。
2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。
3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。
五、教学资源：1. 教案、PPT课件。
2. 几何图形和物理情境的图片或视频。
3. 练习题和案例分析题。
4. 小组讨论和报告的评价标准。
六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。
2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。
七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。
2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。
3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。
4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.学习重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.学习难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学习过程：一、复习引入 请同学想想哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：1.向量的概念：我们把____________________________________叫向量数量与向量的区别：_______________________________________2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；.有向线段：____________线段就叫做有向线段，三个要素：______________- ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.零向量、单位向量概念：①_______________叫零向量，记作____ 的方向是任意的注意0 与0的区别②__________________________叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①__________________________叫平行向量；②我们规定_________与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .6、相等向量定义：___________________________________叫相等向量.A(起点) B （终点）a说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与．有向线段的起点无关．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有．．向线段的起点无关）．．．．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.三：理解和巩固：例1 书本第75页例1.例2 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？练习1.（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？2．课本77页练习四小结：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量课后作业：课本77页习题2.1A组第3、4、5题。
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
基础梳理 一、向量的概念
1．向量的实际背景
有下列物理量：位移，路程，速度，速率，力，质量， 密度，其中位移，速度，力都是既有________又有________ 的量．路程，速率都是________的量． 2．平面向量是既有________又有________的量，向量 ________比较大小．
向量．
→
→ → → → → 解析：与OA相等的向量有CB、DO、EF，与OB相等 → → → → → → → 的向量有FA、EO、DC，与OC相等的向量有AB、FO、ED.
点评： 两个向量相等要求大小相等且方向相同，缺一 不可．
跟踪训练
2．例2中与向量 AD 共线的向量有哪些？ → → → → 解析：与向量AD共线的向量有 9 个：DA、EF、FE、 → → → → → → AO、OA、OD、DO、BC、CB. 3．在下列命题中： ①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行； ③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等 的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共 线向量． 其中不正确的命题是________． ①②③⑤
→
向量在实际生活中的应用 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最 后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点． (1)作出向量 AB ，→ ，→ ； BC CD
→
(2)求| AD |.
分析：解答本题应首先确定指
→
向标，然后根据行驶方向确定出有
思考应用 3．共线向量有几种情况？方向为南偏西的向量与北偏东
的向量是共线向量吗？
解析：共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向 相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．方 向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，它们是共线向 量．
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ） ）
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 23
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC ， 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中 ， 一 定 有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
12
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。向量 a 与 b 相等，记作：a b
a b V4 c a=b=c
注：1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
人教a版必修4学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)
回顾归纳 对于命题判断正误题， 应熟记有关概念， 看清、 理解各命题， 逐一进行判断， 有时对错误命题的判断只需举一反例即可． 变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它 的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行， 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常 记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫 共线向量． 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．
人教版数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念 说课
• 4．从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素 （方向、大小）及向量可以平移的特点．
• 学习新课之前，我先介绍两个预备知识。
• 预备知识1：如果由你来简略介绍实数，你准备介绍什么？按 照什么顺序介绍？
• 请看投影.同学们思考的基本线索可能是：什么是实数→几何 表示→特殊的实数→简单的相互关系等．）
• 反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的 重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性 质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．
• 如果采用全新的思维视角，恰当的教与学，可以使得向量不仅 生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
• 建议教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解， 以避免空洞说教．
• §2.1是《平面向量》的最基本内容，教材首先从学生熟知的力、位 移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了 平面向量的有关知识.
• 这节课将直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间 关系、向量的加法、减法以及乘法等运算，还有向量的坐标运算 等．
• 基于以上分析，具体教学时，需要设计一个能让学生开展概括活 动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领 悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表 示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关 系认识向量的基本关系．
• 要使学生从中体会到学情分析】从§2.1内容上看，“平面向量的实际背景及基本概念”概 念多但不难理解，但从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的 不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、 认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实 事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程．
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14
向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。
平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。
一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。
所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。
由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。
2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。
但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。
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向量 a与 b 相等，记作： a b
•向量不能比较大小，但可以说相等不相等
•向量可以自由平移
例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用 向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、 C两地的实际距离(精确到1km).
解： AB表示A地到B地的位移 AC表示A地到C地的位移
把所有单位向量的起点平移到同一起点P,向量的终点的集 合是什么图形?
是以P点为圆心，以1个单 位长为半径的圆。
练习：判断下列命题是否正确
(1)向量AB和向量BA长度相等; (2)向量就是有向线段;
(3)向量0 0;
(4)向量AB大于向量CD.
其中正确命题的个数是 B
A.0
B.1
C .2
D.3
(四）向量间的关系
(4)平 行 四 边 形ABCD中 ， 一 定 有AB DC;
(5)若m n, n k, 则m k;
(6)若a // b, b // c, 则a // c
其 中 不 正 确 命 题 的 个 数是 B
A.2
B.3
C .4
D.5
练习.下列说法是否正确 A.若 | a || b |,则a b B.若 | a | 0,则a 0 C.若 | a || b |,则a b或a b D.若a // b,则a b E.若a b,则 | a || b | F.若a b,则a与b不是共线向量 G.若a 0,则 a 0
（三）向量的模及两个特殊向量
向量 AB的模 (或长度) 就是向量 AB 的大小
记作： | AB |
注：向量的模是可以比较大小的
如：| CD | | EF | , 但CD EF无意义
两个特殊向量
1.零向量: 长度（模）为0的向量，记作 0 规定：0 方向是任意的。
2.单位向量: 长度（模）为1个单位长度 的向量
AB 2.7 8000000 21600000cm 216km
AC 3.48000000 27200000cm 272km 1:8000000
2.平行向量：方向 相同 或 相反 的非零向量如
下图：a , b , c 平行
a
bห้องสมุดไป่ตู้
c 记作：a // b// c
①规定：零向量与任一向量平行
②平行向量也叫共线向量
5N f
许多物理量都有这样的性质．．．
抽 象 概 括
向量
（一）向量的概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素：大小，方向
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。 ②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能 比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做 矢量、标量
AB，CD 共线,则A、B、C、D四点共线？
例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出
图中与 OA、OB、OC 相等的向量。
解：OA CB DO
OB DC EO OC AB ED FO
B
A
C
F
O
D
E
练习：判断下列命题的真假，并注意体会它们之间的联系与 不同
⑴若a∥b，则a=b（× ）
引例
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
力：重力 ，浮力，弹力等
12N
5N f
1kg
小结
概念
向 量
向量
长度（或模）符 概号 念表示
特殊向量
零向量 单位向量
几何：有向线段
表示符号小 有写 向字 线母 段： 的a起点终点（大写字母）：AB
关系 相等 平行（共线）
P
判断题
1.身高是一个向量（ ） 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( )
(二）向量的表示方法
1、几何表示法：用有向线段表示 。 问：什么是有向线段？ 答：有向线段——具有方向的线段
有向线段三要素：起点、方向、长度
2、字母表示法：AB或 a , b , c（印刷用黑体）等。
⑵若│a│=│b│则a=b（ × ） ⑶若│a│=│b│则a∥b（ × ） ⑷若a=b，则│a│=│b│（ √ ）
练 习 ： 判 断 下 列 命 题 是否 正 确
(1)两 个 向 量 相 等 ， 则 它 们的 起 点 相 同 ， 终 点 相 同;
(2)若 | a || b |, 则a b;
(3)若 AB DC， 则 四 边 形ABCD是 平 行 四 边 形;