高二数学必修三知识点：变量间的相关关系.doc

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高中数学必修三：2.3变量间的相关关系)

40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
这些点大致分布在一条直线附近. 2019年5月13日
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思考3：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
n
n
(xi x)( yi y) xi yi nx y
b i1 n
i1 n
, a y bx
(xi x)2
xi2 nx 2
i1
i1
时，总体偏差
Q

n

(
yi

yˆi
)2
为最小，这样
i1
就得到了回归方程，这种求回归yÙ方= 程bx 的+ a
方法叫做最小二乘法.回归方程中，a，
（万元）
画出数据对应的散点图，并指出销售
价格与房屋面积这两个变量是正相关
还是负相关.
2019年5月13日
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售价
35 30 25 20 15 10 5 0
0
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50
100
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面积
150
15
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知识探究（一）：回归直线
一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.
思考6：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗?
2019年5月13日
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高中数学人教版必修3课件2-3-1变量之间的相关关系2

跟踪练习
对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 [答案] C [解析] 图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．
⑤代入公式计算b^ ，a^，公式为b^ ＝i＝n1 xi2－n－x2 ，
i＝1
a^＝
y
－b^ －x.
⑥写出回归直线方程^y＝b^ x＋a^.
跟踪练习
(1)(2015·石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点中心(即( x ， y ))为(4,5)，则回归直线的方程是( )
(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，
由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．
[答案] (1)A
[规律总结] 两个变量x与y相关关系的判断方法： (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断． [特别提醒] 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间就有相关关系．
④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线．
A．①②

高中数学必修3第二章：统计2.3变量间的相关关系

答案 (3,2.5)
Y 研考点·知规律
探究悟道点拨技法
题型一相关关系的判断【例 1】河北国欣农研会的科研人员在 7 块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量 y 330 345 365 405 445 450 455
D 读教材·抓基础
回扣教材扫除盲点
课本导读
1．两个变量的线性相关 (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布在整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
() (A)她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm (B)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上 (C)她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右 (D)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下
2.经调查知,某品牌汽车的销售量y(辆)与广告费用x(万元)之间的回归直线方程为 yˆ =250+4x,当广告费用为50万元时,预计汽车销售量约为 ______辆.
2．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方
和最小的方法叫最小二乘法．
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，
^^ ^
y1)、(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程为y＝bx＋a，则
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y

高中数学必修三_2.3_变量间的相互关系

§2.3变量间的相关关系编者：1．经历用不同方法确定线性回归直线方程的过程，通过确定线性回归直线方程，知道最小二乘法的原理．学习重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。

学习难点：变量间的相关关系，利用散点图直观体会这种相关关系。

使用说明：（1）预习教材9184P P ，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接（1）客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.（2）某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：从表中我们能感觉到热茶的销量与气温之间存在着某种关系，它们之间的关系是什么呢？我们能否根据气温的变化预测热饮的杯数呢？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.组长评价：教师评价：二．新知导学（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？探究案（30分钟）例1：我们来解决预习案中的问题，假如经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表如下：（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：例2：下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.（计算相应的数据之和：∑=81i ix=1 031，∑=81i iy=71.6,∑=812i ix=137 835，∑=81i ii yx =9 611.7）解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．三．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1）（）（2）（）（3）（）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟满分：30分）计分：1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高 2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（） A.^y =5.75-1.75x B.^y =1.75+5.75x C.^y =1.75-5.75x D.^y =5.75+1.75x3．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元）,有如下统计资料：设y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）线性回归方程a bx y +=∧的回归系数,a b ；（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？A B C D（掌握两变量的相关性及回归直线方程）1．有关线性回归的说法中,下列不正确的是( )A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程2. 判断下图中的两个变量，具有线性相关关系的是（）3．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：经计算得回归方程abxy+=∧的系数b=0.575,则a等于（）A. 14.9B.13.9C. 12.9D. 14.94．线性回归直线方程abxy+=∧必过定点（）()()()()y x DyCxBA,.,0.0,.0,0.5.已知回归直线方程为：81.05.0-=∧xy，则20x=时，y的估计值为。

高中数学知识点：变量之间的相关关系

高中数学知识点：变量之间的相关关系变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。

1．函数关系
函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y 都有唯一确定的值和它相对应。

2．相关关系
变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性
相关关系分为两种:
正相关和负相关
要点诠释：
对相关关系的理解应当注意以下几点：
（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下
可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.
3．散点图
将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。

通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。

人教版高二数学必修3知识点整理：变量间的相关关系

一、變數間的相關關係1.常見的兩變數之間的關係有兩類：一類是函數關係，另一類是相關關係;與函數關係不同，相關關係是一種非確定性關係.2.從散點圖上看，點分佈在從左下角到右上角的區域內，兩個變數的這種相關關係稱為正相關，點分佈在左上角到右下角的區域內，兩個變數的相關關係為負相關.二、兩個變數的線性相關1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分佈在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變數之間具有線性相關關係，這條直線叫回歸直線.當r>0時，表明兩個變數正相關;當r<0時，表明兩個變數負相關.r的絕對值越接近於1，表明兩個變數的線性相關性越強.r的絕對值越接近於0時，表明兩個變數之間幾乎不存在線性相關關係.通常|r|大於0.75時，認為兩個變數有很強的線性相關性.三、解題方法1.相關關係的判斷方法一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關係數作出判斷.2.對於由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區域較窄，說明兩個變數有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性.3.由相關係數r判斷時|r|越趨近於1相關性越強.【同步練習題】1.(2014•銀川模擬)為了解兒子身高與其父親身高的關係，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x(cm)174176176176178；兒子身高y(cm)175175176177177，則y對x的線性回歸方程為()A.y^=x-1B.y^=x+1C.y^=88+12xD.y^=176解析：因為x=174+176+176+176+1785=176，y=175+175+176+177+1775=176，又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(x，y)，所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗知選C.答案：C2.(2014•衡陽聯考)已知x與y之間的一組數據：x0123ym35.57已求得關於y與x的線性回歸方程y^=2.1x+0.85，則m的值為()A.1B.0.85C.0.7D.0.5解析：回歸直線*樣本中心點(1.5，y)，故y=4，m+3+5.5+7=16，得m=0.5.答案：D3.有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績，得到如下所示的列聯表：優秀非優秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為27，則下列說法正確的是()A.列聯表中c的值為30，b的值為35B.列聯表中c的值為15，b的值為50C.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”解析：由題意知，成績優秀的學生數是30，成績非優秀的學生數是75，所以c=20，b=45，選項A、B錯誤.根據列聯表中的數據，得到K2=105×10×30-20×45255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”.答案：C4.在吸煙與患肺病這兩個分類變數的計算中，下列說法正確的是()①若K2的觀測值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那麼在100個吸煙的人中必有99人患有肺病;②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那麼他有99%的可能患有肺病;③從統計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤.A.①B.①③C.③D.②解析：①推斷在100人吸煙的人中必有99人患有肺病，說法錯誤，排除A，B;③正確.答案：C5.調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關係，並由調查數據得到y對x的回歸直線方程：y^=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.解析：解法一：特殊值法.令x1=1得y^1=0.254+0.321.令x2=1+1=2得y^2=2×0.254+0.321.y^2-y^1=0.254.解法二：由y^1=0.254x1+0.321，y^2=0.254(x1+1)+0.321，則y^2-y^1=0.254. 答案：0.254。

高中数学必修三第二章《随机抽样》2.3.1变量之间的相关关系-2.3.2两个变量的线性相关

跟踪训练1 下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？解答
年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.64 13.69 13.33 12.84 13.05 年降雨量(mm) 748 542 507 813 574 701 432
命题角度2 函数关系与相关关系的区别与联系例2 下列关系中，是相关关系的是__②__④____. 答案解析 ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
命题角度1 判断两个变量的相关性例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下：
质量(g)
5
10
15
20
25
30
弹簧长度(cm) 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80
判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关. 解答
反思与感悟
在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系； (2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关关系； (3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的.
梳理回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直附线近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. (2)线性回归方程：对回应归的直方线程叫做回归直线的方程，简称回归方程.

人教版高中数学必修三第二章 2.3.1 变量之间的相关关系

负相关：如果散点图的点散布的位置是从在左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也近似的由大变小，对于两个变量的这种相关关系，我们称为负相关.
探究：5个学生的数学和物理成绩如下表：
ABCDE 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系。
思考:
在学校里,老师经常对学生说:如果你的数学成绩好,那么你的物理成绩就没有什么大问题.
这种说法有根据吗?
一. 两变量之间的关系 ①函数关系：当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定；
例:正方形面积S与其边长x之间的函数关系：S=x2
②相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性；
解：
80
物理成绩
75
70
65
60
55
50
数学成绩
40
50
60
70
80
90
由散点图可见，两者之间具有相关关系。
1、下列关系属于负相关关系的是（） A. 父母的身高与子女的身高 B. 农作物产量与施肥的关系 C. 吸烟与健康的关系 D. 数学成绩与物理成绩的关系
2、下列图形中具有线性相关关系的是( )
⑷ 如果所有的样本点杂乱无章，几乎没有什么规律，则这两个变量之间不具有相关关系。
总结:
变量间关系散点图
函数关系相关关系线性无关
正相关与负相关
作业： P94 习题 2.3 A组：1，2;
谢谢观看

例:一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系。
③、相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系不同点：函数关系是一种确定的关系；

高二数学必修三第二章重点：变量间的相关关系(Word版)

高二数学必修三第二章重点：变量间的相关关系（2021最新版）作者：______编写日期：2021年__月__日1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系;与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.2.从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.二、两个变量的线性相关1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.当r>0时，表明两个变量正相关;当r3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.答案：C4.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误.A.①B.①③C.③D.②解析：①推断在100人吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B;③正确.答案：C5.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y–0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.解析：解法一：特殊值法.令x1=1得y =0.254+0.321.令x2=1+1=2得y =2×0.254+0.321.y -y =0.254.解法二：由y =0.254x1+0.321，y =0.254(x1+1)+0.321，则y -y =0.254.答案：0.254。

人教版高中数学必修三第二章统计变量间的相关关系(线性回归)

变量间的相关关系(线性回归)一、变量之间的相关关系1、凭我们的学习经验可知，物理成绩与数学成绩有一定的关系，数学成绩的好坏会对物理成绩造成影响。

但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素。

例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等。

当我们主要考虑数学成绩对物理成绩的影响时，就要考察这两者之间的相关关系。

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

2、相关关系与函数关系的异同点相同点：两者均是指两个变量的关系。

不同点：（1）函数关系是一种确定的关系。

如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系。

如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系。

事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。

例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素――年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大。

（3）相关关系的分析方向由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用。

我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断。

二、两个变量的线性相关 1、回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。

通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。

一般地，对于某个家庭来说，它的年饮食支出不一定随年收入的增加而增加或减少。

但如果是大量的个体，可能就会表现出一定的规律来。

观察表中数据，大体上来看，随着家庭看收入的增加，年饮食支出也在增加。

为了确定这一相关关系的细节，我们需要进行数据分析。

与以前一样，我们可以作统计图、表。

通过作统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。

高中数学_变量间的相关关系

变量间的相关关系知识图谱变量的相关性知识精讲一.变量间的相关关系1．两个变量之间的关系:（1）常见的关系有两类：①确定性的函数关系；②相关关系：变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的；当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．（2）相关关系与函数关系的异同点：相同点：两者均是指两个变量的关系．不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．散点图：将样本中的n 个数据点()(12)i i x y i n = ，，，，描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系．3．正相关与负相关：（1）正相关：如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域．（2）负相关：如果一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．此时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域．二.两个变量的线性相关1．回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性．2．回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．3．最小二乘法（1）最小二乘法设(),Q a b 是直线y bx a =+与各对应数据表示的散点在纵轴方向上的距离的平方和，可以用来衡量直线y bx a =+与图中各点的接近程度，设法取,a b 的值，使(),Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小二乘法.（2）用最小二乘法求回归直线方程用最小二乘法求回归系数a b ，有如下的公式：1221ˆniii nii x yn x y bxn x ==⋅-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆa y b x =-⋅.（11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑）其中a b ，上方加“^”，表示是由观察值按最小二乘法求得的回归系数．由此得到的直线ˆˆybx a =+ 就称为回归直线方程.其中ˆa ，b 分别为a ，b 的估计值，b 称为回归系数，ˆa称为回归截距，ˆy 称为回归值．三点剖析一．注意事项1.回归直线方程的求法根据最小二乘法的思想和公式，通过计算就可以方便地求出回归方程；（1）先求2,,x y x x y ⋅（2）求1ni ii x y =∑（3）求21n i i x =∑（4）代入公式求^121ni ii ni i x ynxyb x nx==-=-∑∑（5）代入公式^^a yb x=-（6）代入直线方程得：ˆˆybx a =+ 2.散点图的制作方法对于两条轴的长度单位可以取得不一致；点既可以是实心点，也可以是空心点，；回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，实际画线时，先观察有哪两点在直线上即可．3.回归直线的另外两种求法（1）选点法：作出散点图，用一条透明的直尺边缘在这些点间移动，选出直线上的两点或最靠近直线的两点（选点不当，精确度就比较低）．（2）平均值法：首先设出方程y kx b =+，把观测值代入得几个关于,k b 的一次方程，将其平均分为两组，分别相加得到 k b ，的两个方程，联立解出 k b ，．两变量间的相关关系例题1、一次调查男女学生喜欢语文学科情况，共调查了90人，具体如下：据此材料，你认为喜欢语文学科与性喜欢不喜欢男2025女3015A.有关B.无关C.不确定D.无法判断例题2、四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y=2.347x-6.423；②y 与x 负相关且y =-3.476x+5.648；③y 与x 正相关且y =5.437x+8.493；④y 与x 正相关且y =-4.326x-4.578．其中一定不正确的结论的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①④例题3、根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关随练1、对变量，有观测数据（），得散点图1；对变量，有观测数据（），得散点图2．由这两个散点图可以判断（）A.变量与正相关，与正相关B.变量与正相关，与负相关C.变量与负相关，与正相关D.变量与负相关，与负相关随练2、某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1成绩/性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力/性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商/性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量/性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量线性回归x014m3y m3 5.57根据数据可求得y关于x的线性回归方程为ˆy=2.1x+0.85，则m的值为______________．例题2、已知x 、y 取值如表：，则实数m=．例题3、已知x 、y 取值如表：，则m=（）A.1.5B.1.55C.3.5D.1.8随练1、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如表所示：由表可得回归直线方程ˆy=ˆb x+ˆa 中的ˆb =﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（）A.26个B.27个C.28个D.29个y 的统计数据如表：根据上表可得回归方程y=bx+a 的b 为9.2，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A.63.6万B.65万C.66.1万D.67.7万数学成绩（x ）（1）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程；（2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+的系数公式：1221ˆniii nii x ynxybxnx==-=-∑∑，ˆa y ax =-．参考数据：832+782+732+682+632+732=32224，83×75+78×65+73×75+68×65+63×60+73×80=30810．拓展1、5个学生的数学和物理成绩如下表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7065686462画出散点图，判断它们是否具有相关关系．2、下列关系中，是相关关系的为（）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A.①②B.①③C.②③D.②④3、两个随机变量x，y的取值表为x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7若x，y具有线性相关关系，且 y= b x+2.6，则下列四个结论错误的是（）A.x与y是正相关B.当x=6时，y的估计值为8.3C.x每增加一个单位，y增加0.95个单位D.样本点（3，4.8）的残差为0.564、已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A.x与y负相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y正相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关5、已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x=3，y=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.ˆy=0.4x+2.3B.ˆy=2x﹣2.4C.ˆy=﹣2x+9.5D.ˆy=﹣0.3x+4.46、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据表格已得回归方程为ˆy=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________7、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据表格已得回归方程为ˆy=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________。

人教版高中数学选择性必修第三册8-1-1变量的相关关系

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
判断所给的两个变量之间是否存在相关关系． [思路分析] 在研究两个变量之间是否存在某种关系时，一般从散点图入手．
[变式训练 2] 如下四个散点图中，是正相关的是( A )
解析：对于 A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关；对于 B，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关；对于 C、D，散点图中的点杂乱无章，无规律可言，没有明显的相关关系．故选 A.
检测篇·达标小练
3．怎样理解两个变量之间的关系？
提示：两个变量间的关系分为三类： ①确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系． ②相关关系，变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与 “数学成绩”之间的关系． ③不相关，即两个变量间没有任何关系．
2．有几组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程
②平均日学习时间和平均学习成绩
③立方体的棱长和体积
④人体脂肪含量与年龄
其中，两个变量成正相关的是( C )
A．①③
B．②③ C．②④
D．③④
解析：①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系；④是正相关．故
选 C.
3．观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是( A ) 解析：直接根据线性相关关系的定义判断，显然只有 A 正确．故选 A.
3．某商场近 5 个月的销售额和利润额如表所示：销售额 x/千万元 3 5 6 7 9 利润额 y/百万元 1 3 3 4 5

数学知识点人教B版必修3高中数学2.3.1《变量之间的相关关系》word教案-总结

2.3.1变量之间的相关关系
教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学过程：
案例分析:
一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。

为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。

2020年高中数学必修三第二章《统计》2.3.1变量之间的相关关系-2.3.2两个变量的线性相关

2020年高中数学必修三第二章《统计》2．3.1变量之间的相关关系2．3.2两个变量的线性相关学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图；2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系；3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程．知识点一变量间的相关关系思考1粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？答案在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关．思考2怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？答案画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系．梳理1．相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．2．散点图将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．3．正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．知识点二两个变量的线性相关思考任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？答案用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．梳理回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法：求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中，b ^是线性回归方程的斜率，a ^是线性回归方程在y 轴上的截距．类型一相关关系的判断与应用命题角度1 判断两个变量的相关性例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下：判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关．解散点图如图：由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线附近，因此可以得出结论：质量与弹簧长度这两个变量具有相关关系，且它们是正相关关系．反思与感悟在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关关系；(3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的．跟踪训练1下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？解以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图．因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，即使用公式法求出线性回归方程也是没有意义的．命题角度2函数关系与相关关系的区别与联系例2下列关系中，是相关关系的是________．①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．答案②④解析①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人达到一定年龄后，身高就不发生明显变化了，所以它们不具有相关关系；④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．反思与感悟相关关系与函数关系的区别与联系如表所示：跟踪训练2 下列图形中两个变量具有相关关系的是( )答案 C解析A 是一种函数关系；B 也是一种函数关系；C 中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D 中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．类型二回归直线的求解与应用例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：(1)画出散点图；(2)如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －67，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解 (1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y ≤10得5170x －67≤10，解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．引申探究1．本例(3)中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？解因为y ＝5170x －67，所以当x 增加一个单位时，y 大约增加5170.2．本例(3)中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速．解因为y ＝5170x －67，所以当y ＝7时，7＝5170x －67，解得x ≈11.反思与感悟求线性回归方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x ，y 具有线性相关关系． (3)把数据制成表格x i ，y i ，x 2i ，x i y i . (4)计算x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i .(5)代入公式计算b ^，a ^，公式为⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .(6)写出线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.跟踪训练3 (1)变量y 与x 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，现在将y 的单位由厘米变为米，x的单位由毫米变为米，则在新的线性回归方程y ^＝b ^*x ＋a ^*中，b ^*是b ^的____________倍．(2)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地区若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年教育支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年教育支出y 具有相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程为y ^＝0.15x ＋0.2.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．答案 (1)10 (2)0.15解析 (1)由回归系数公式知，当y 的值变为原来的10－2倍，x 的值变为原来的10－3倍时，b^*的值应为原来的10倍．(2)回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．1．设有一个线性回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加1个单位时，y 平均( ) A ．增加1.5个单位 B ．增加2个单位 C ．减少1.5个单位 D ．减少2个单位答案 C2．由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)确定的线性回归方程为( ) A.y ^＝1.75x －5.75 B.y ^＝1.75x ＋5.75 C.y ^＝－1.75x ＋5.75 D.y ^＝－1.75x －5.75答案 B解析设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x y x 21＋x 22＋x 23－3x2＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×189＋49＋121－3×49＝1.75，a ^＝y －b ^x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ^＝1.75x ＋5.75，故选B.3．某地区近10年居民的年收入x 与年支出y 之间的关系大致符合y ^＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．答案 12.1解析将x ＝15代入y ^＝0.8x ＋0.1，得y ^＝12.1.4．某市居民2012～2016年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出y (单位：万元)的统计资料如表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__________万元，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．答案 13 正解析考查中位数的定义，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时需取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．5．某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如表所示：(1)画出散点图；(2)求y 对x 的线性回归方程(结果保留到小数点后3位数字)； (3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩．解 (1)散点图如图所示：(2)由题中数据计算可得x ＝391.6，y ＝67.8，∑i ＝15x 2i ＝770 654，∑i ＝15x i y i ＝133 548.代入公式得b ^＝133 548－5×391.6×67.8770 654－5×391.62≈0.204，a ^＝67.8－0.204×391.6≈－12.086，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－12.086＋0.204x .(3)由(2)得当总成绩为450分时，y ^＝－12.086＋0.204×450≈80，即这个学生的数学成绩大约为80分．1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关． 2．求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x 与y 成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的． (2)用公式计算a ^、b ^的值时，要先计算b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.40分钟课时作业一、选择题1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200答案 A解析 x 的系数为负数，表示负相关，排除B 、D ，由实际意义可知x ＞0，y ＞0，C 中，散点图在第四象限无意义，故选A.2．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D解析由柱形图可知：A 、B 、C 均正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少，所以排放量与年份负相关，所以D 不正确．3．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2,3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以判断( )A ．y 与x 正相关，v 与u 正相关B ．y 与x 正相关，v 与u 负相关C ．y 与x 负相关，v 与u 正相关D ．y 与x 负相关，v 与u 负相关答案 C解析根据散点图直接进行判断．4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4答案 A解析由变量x 与y 正相关知C 、D 均错，又回归直线经过样本点的中心(3,3.5)，代入验证得A 正确，B 错误．故选A. 5．已知x 与y 之间的一组数据：若y 与x 线性相关，则y 与x 的回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过( ) A ．点(2,2) B ．点(1.5,0) C ．点(1,2) D ．点(1.5,4)答案 D 解析 ∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4)．故选D. 6．已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋132，则b ^等于( )A ．－12B.12 C ．－110D.110答案 A 解析 ∵x ＝2＋3＋43＝3，y ＝6＋4＋53＝5， ∴回归直线过点(3,5)，∴5＝3b ^＋132，∴b ^＝－12，故选A.二、填空题7．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的数据，计算得回归方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________.答案 6解析 x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c 5，代入回归方程中得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.8．如图所示的五组数据(x ，y )中，去掉________后，剩下的四组数据相关性增强．答案 (4,10)解析去掉点(4,10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强． 9．在一次试验中测得(x ，y )的四组数据如下：根据上表可得线性回归方程y ^＝－5x ＋a ^，据此模型预报当x ＝20时，y 的值为________．答案 26.5解析 x ＝16＋17＋18＋194＝17.5，y ＝50＋34＋41＋314＝39，∴回归直线过点(17.5,39)， ∴39＝－5×17.5＋a ^， ∴a ^＝126.5，∴当x ＝20时，y ＝－5×20＋126.5＝26.5.10．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：由表中数据得到的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．答案 14.5解析由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入线性回归方程得a ^＝4.6，∴当x ＝9时，y ^＝1.1×9＋4.6＝14.5. 三、解答题11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求两变量之间的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)利用(1)中所求出的回归方程预测该地第6年的粮食需求量．解 (1)由所给数据得 x ＝3，y ＝5.8，b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝1.1，a ^＝y －b ^x ＝2.5， ∴y ^＝1.1x ＋2.5.故所求的回归方程为y ^＝1.1x ＋2.5. (2)第6年的粮食需求量约为 y ^＝1.1×6＋2.5＝9.1(万吨)．12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求月储蓄y (千元)关于月收入x (千元)的线性回归方程； (2)若该居民区某家庭的月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝110x i ＝110×80＝8，y ＝1n ∑i ＝110y i ＝110×20＝2，又∑i ＝110x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， ∑i ＝110x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入线性回归方程，可以得到该家庭的月储蓄约为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 13．为了分析某高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩(单位：分).(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？并说明理由；(2)已知该学生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少分，并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．解 (1)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100，s 2数学＝142，s 2物理＝2507，因为s 2数学＞s 2物理，所以他的物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，经计算得b ^＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50. 所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50. 当y ＝115时，x ＝130. 估计他的数学成绩是130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．。

人教版高中数学必修三课件：2.3变量间的相关关系

【解析】散点图．
①根据表中提供的数据，可以画出如图所示的
②能．从散点图上可以看出，当天最高气温与卖出的热茶杯数近似地呈线性相关关系，并且当天最高气温越高，所卖出热茶的杯数就越少．
(3)下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是线性相关关系吗？求回归方程有意义吗？
年平均气温(℃) 年降雨量(mm) 12.51 748 12.84 542 12.84 507 13.69 813 13.33 574 12.74 701 13.05 432
①画出数据对应的散点图； ②判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？
【思路】
建立直角坐标系 → 画散点图 → 相关关系
【解析】
①数据对应的散点图如下图所示．
②通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．
(3)观察两相关变量得如下数据： x y －1 －9 －2 －7 －3 －5 －4 －3 －5 －1 5 1 4 5 3 3 2 7 1 9
画出散点图，判断它们是否有线性相关关系．
【解析】
由数据可得相应的散点图如图所示．
由散点图可知，两者之间不具有线性相关关系．
题二例2
求线性回归方程
一台机器由于使用时间较长，生产零件有一些会缺损，
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
授人以渔
题型一例1 ( ) A．角度和它的余弦值 B．正方形的边长和面积
相关关系的判断
(1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系
C．正n边形的边数和内角度数之和 D．人的年龄和身高
【解析】函数关系就是一种变量之间有确定性的关系，选项A， B，C都是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同身高的人．选项D符合题意．【答案】 D

人教A版高中数学必修3：2.3.1 变量之间的相关关系

( x1, y1 )
yi yi
n
Q (yi yˆi )2 i1
( x2, y2 )
x
( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ( yn bxn a)
根据有关数学原理分析，当
n
n
y
(xi x)( yi y)
xi
nx y
回归直线
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。
这条回归直线的方程，简称为回归方程。
脂肪含量
四、如何具体的求出这个回归方程呢？方案：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
观察散点图的大致趋势，两个变量的散点图中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，我们称这种相关关系为正相关。
思考3：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？
散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.
存活比例
量、居民收入等因素有关。
2〉粮食产量与施肥量之间的关系。
• 在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。
3〉人体内脂肪含量与年龄之间的关系。

高中数学必修三-变量间的相关关系

变量间的相关关系知识集结知识元变量之间的相关关系知识讲解1、变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．2、线性相关和非线性相关：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例题精讲变量之间的相关关系例1.用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中___（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．例2.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）例3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．例4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．两个变量的线性相关知识讲解1．散点图【知识点的知识】1．散点图的概念：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念：从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．3．正相关和负相关：（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．2．线性回归方程【概念】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【实例解析】例：对于线性回归方程，则＝解：，因为回归直线必过样本中心（），所以．故答案为：58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．【考点点评】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．3．最小二乘法【概念】最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．最小二乘法还可用于曲线拟合．其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达．【例题解析】例：关于x与y有如表数据：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+0.35．解：∵由题意知，，∴＝0.7∴要求的线性回归方程是y＝0.7x+0.35，故答案为：y＝0.7x+0.35．集体步骤就是先做出x，y的平均数，代入的公式，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【考点解析】最小二乘法一般在线性拟合中应用的比较多，主要是一种方法，能够熟记如何操作就可以了，剩下的就是计算要认真．例题精讲两个变量的线性相关例1.'2018年9月17日，世界公众科学素质促进大会在北京召开，国家主席习近平向大会致贺信中指出，科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据{x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6），如表（1）求出p的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价：x（百元）的线性国归方程y=bx+a（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x对应的产品销的估计值当销售数据（x i，y i）的残差的绝对值|y i-y|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组销售数中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率．参考公式及数据=y i=80，=1606，=91，，'例2.'某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00的可能性为20%．统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①．统计近10年杂交稻β的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i=1，2，..10），并得到散点图如图②．（1）根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；（3）①判断杂交稻β的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：=1.60，=2.82，（x i）（y i）=-0.52，（x i）2=0.65，附：线性回归方程=bx+a，b=．'当堂练习单选题练习1.用模型y=ce kx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+2，则c=（）A．e2B．e4C．2D．4练习2.根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i=1，2，…，300），求得的回归方程是=x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线=x+上B．若所有样本点都在回归直线=x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i=1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线=x+的斜率b>0，则变量x与y正相关练习3.已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则=（）A．2B．11C．12D．14练习4.根据如下样本数据得到的回归直线方程为=bx+a，则（）A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b<0D．a<0，b>0练习5.下列表格所示的五个散点数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为，则表格中m的值应为（）A．8.3B．8.2C．8.1D．8练习6.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.5练习1.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）练习2.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中是相关关系的为_____．练习3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．练习4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．练习1.'2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中心任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码x=t-2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率．'练习2.'某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i=1，2…，10）的数据，得到散点图如图所示．（1）利用散点图判断y=a+bx和y=c∙x d（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（2）对数据作出如下处理，令u i=lnx i，v i=lny i，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=18y-x（其中e≈2.71828），根据第（2）问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=．'基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命表如下经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据（x i）2=17.5，（y i）2=76，（x i）（y i）=35，≈36.5参考公式：相关系数r=回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y=a∙b x拟合y与x的关系（1）求y关于x的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．附：①参考数据表中v i=lgy i，=lgy i②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=-β．'习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示作出这组数的散点图如图．（1）请根据散点图判断，y=ax+b与y=c+d中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度（结果保留1位小数）附：=，参考数据：'某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）参考公式对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，=，=-。

高中数学人教版必修三课件：第二章 2-3 变量间的相关关系

7
0.55， 7≈2.646.
i＝1
ti－ t yi－ y
，
n
参考公式：相关系数r＝
i＝1
ti－ t yi－ y 2
2 i＝1
n
n
回归方程 ^ y ＝^ a ＋^ b t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
^ b＝
i＝1
ti－ t yi－ y ti－ t 2
[类题通法] 回归分析的三个步骤 (1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义； (2)求回归直线方程，其关键是正确地求得^ a ，^ b； (3)根据直线方程进行预测．
[活学活用] (全国乙卷)如图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
合计
3 5 6 7 9 30
2 3 3 4 5 17
9 25 36 49 81 200
6 15 18 28 45 112
可以求得^ b ＝0.5，^ a ＝0.4，线性回归方程为^ y ＝0.5x＋0.4.
[类题通法] 求线性回归方程的步骤 (1)计算平均数 x ， y ； (2)计算xi与yi的积，求
[例 3]
一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不
同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：
转速x/转/秒(x∈N*) 每小时生产有缺点的零件数y/件 16 11 14 9 12 8 8 5
(1)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求回归方程； (2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为 10 个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？