近年高考试题中涉及极值点偏移问题的统一解法

近年高考试题中涉及极值点偏移问题的统一解法

广东省佛山市南海区狮山石门高级中学(528225))徐正印陈基耿

函数极值点偏移问题在近年高考试题中出现了四次，已经引起了众多老师们的关注。文[18]-对极值偏移问题都作了深入的研究，大都给出了极值点偏移的定义，阐述了极值点偏

移的原因与本质，并各自给出其解法，都有新意，甚至是独到的见解。

纵览文[18]-，解决极值偏移问题共有四种办法：（1）构造一元差函数，如文[1,35,78]--，都总结了解题的步骤；（2）对称法构造函数，如文[6]给出一个结论（定理），归纳其解题步骤，举例详细说明如何使用定理； （3）使用对数平均不等式，如文[2,4]都明确给出对数平均不等式的定理，并对这个定理加以证明；（4）单调性法，如文[1].遗憾的是在文章快结束时才出现，未给出其解题步骤。

构造一元差函数(文[18]-都涉及),大部分学生难以领悟其解题要领,只会机械的套用,解题的过程中常常这样或那样的错误,导致问题得不到解决.文[1]开头的导入(一次测试的平均分)就很好的说明这个问题.

对称法构造函数是构造一元差函数的改进,是2010年天津高考数学(理)第21题的提炼.前者引人的函数是()()()F x f x f x =+--后者引人的函数是()()

)2(h x f x f x x =--,因此,对称法构造函数的本质与构造一元差函数从本质上来说是一样的.

对数平均不等式目前还不是高中教材的内容。限于高中数学课时节数、学生的认知水平等原因，笔者相信大部分高中，尤其是非重点高中的数学教师不会为了解决极值点偏移：的问题而专门补充对数平均不等式对应的知识！

笔者喜欢“一题多解”，崇尚“多题一解”，倡导“高中的问题尽量采用高中课本所涉及的思想方法去解决”为此，笔者查阅了大量涉及“函数极值点偏移问题”的论文，得到极值点偏移问题的统一方法。实践表明，学生能较好地掌握这种解法。 ―、方法归纳

涉及极值点偏移问题的统一解法的大致步骤: (1)不妨确定102x x x <<

(2)把+>1202x x x 或1202x x x +<化为1022x x x >-或1022x x x <-； (3)利用f(x)的单调性得到102()()2f x f x x >-或102()()2f x f x x <- (4)利用12()()f f x x =得到()()

2022f x f x x >-或

(5)分两种情况:情况一,需要证明()()2022f x f x x >-或()()

2022f x f x x <-进入下一步;情况二,利用题设条件可以(如例3的第II 问)确定: ()()

2022f x f x x >-或

()()

2022f x f x x <-,不等式得到证明.

(6)在证明()()()()

20220222f x f x x f x f x x >-<-或时,一般先进行等价转换,如:

()

()2022f x f x x >-⇔()()20220f x f x x -->或()()

2022f x f x x <-⇔()()

20220f x f x x --<,…,然后用类比思想引入函数.不直接引人函数()

0()()2F x f x f x x =--的主要原因是为了降低运算量，避免求二阶导数。 例1（2013 年高考湖南省文科）已知函数21()1x x f x e x

-=+

（1）求()f x 的单调区间；

（2）求证：()()()

1212120f x f x x x x x =≠+<当时，

证明()()I f x 单调递增区间为()(),0,f x -∞单调递减区间为()

0,+∞。 (II)由(I)知: ()f x 在(),0-∞上单调递增;在()

0,+∞

上单调递减.因为()

()()

1212f x f x x x =≠,所以不妨设120x x <<.

()

()

1212120x x x x f x f x +<⇔<-⇔<- ()()

2

2

2

222222222222

2

2

2

111110101111z x z x x x x e

f x f x e e

e

x x x

x

π

---+-⇔-<⇔<-⇔

<

⇔

-<++++

设21()1(0)1x

x F x e x x -=-+，则222

2()(1)

x x e F x x '=-+，在(0,)+∞上()0F x '<，()F x 单调递减，()(0)0F x F <=，不等式120x x +<得证。

例2(2016年高考全国Ⅰ卷理科)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围；

(II)设1x ,2x 是()f x 的两个零点,证明: 122x x +<

证明(I)a 的取值范围为(0,)+∞.在求a 的取值范围

时,已经确定()f x 单调递减区间为(,1)-∞；()f x 单调递增区间为(1,)+∞。

(II)因为1x ,2x 是()f x 的两个零点,所以()()

120f x f x ==.不妨设12x x <.由(I)知: 121x x <<.

()

()

()()()()

()

()

()

()22

2

2

212121222222

2

222222

2

2

222222*********

210x

x x x x

x x x x f x f x f x f x f x f x x e a x x e a x x e x e e e x --+<⇔<-⇔>-⇔>-⇔-->⇔-+-+-->⇔-+>⎛⎫⇔-⋅+< ⎪ ⎪⎝⎭

设222()1(1)x F x e e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

，则222

2(1)()x e x F x x '

-=，在(1,)+∞上，()0F x '>，()F x 单调递增，()(1)0F x F >=，不等式122x x +<得证

例3 （2010年高考天津理科）已知函数-=∈()()x f x xe x

（I ）求函数()f x 的单调区间和极值；

(II)已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,求证:当1x >时, ()()f x g x >；

(III)如果12x x ≠，且()()

12f x f x =,求证: 122x x +>。

证明(I) ()f x 单调递增区间(,1)-∞，单调递减区间为()

+∞1,.()f x 的极大值为1(1)f e

=,没有

极小值.过程略.

(II) ()(2)y g x f x ==-,当1x >时,

222()()()(2)()(2)0(2)0210

x x x f x g x f x f x f x f x xe x e e e x -->⇔>-⇔-->⇔-->⎛⎫

⇔--⋅> ⎪⎝⎭

设2

22()1(1)x F x e e x x ⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭

，则222

2(1)()x e x F x x '

-=,在(1,)+∞上, ()0F x '>，()F x 单调递增, ()(1)0F x F >=,不等式()()(1)f x g x x >>得证.

例4(2011年高考辽宁理科)已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+- (I)讨论()f x 的单调性;

(II)设0a >,证明:当10x a <<，11f x f x a a ⎛⎫

⎛⎫

+>

- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

(III)若函数()y f x =的图像与x 轴交于A 、B 两点,线段AB 中点的横坐标为0x ,证明:

()

00f x '<