江苏省—高一数学苏教必修四单元测试:三角函数1

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苏教版2018-2019学年高一数学必修4学业分层测评:第一章 三角函数1.2.1

苏教版2018-2019学年高一数学必修4学业分层测评:第一章 三角函数1.2.1

学业分层测评(三)任意角的三角函数(建议用时:45分钟)学业达标]一、填空题1.已知sin α=35,cos α=-45,则角α终边在第________象限.【解析】由sin α=35>0得,角α的终边在第一或第二象限;由cos α=-45<0得,角α的终边在第二或第三象限,故角α的终边在第二象限.【答案】二2.若角α的终边落在y=-x上,则tan α的值为________.【解析】设P(a,-a)是角α上任意一点,若a>0,P点在第四象限,tan α=-aa=-1,若a<0,P点在第二象限,tan α=-aa=-1.【答案】-13.有三个结论:①π6与5π6的正弦线相等;②π3与4π3的正切线相等;③π4与5π4的余弦线相等.其中正确的是________.【解析】在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线,余弦线,分析可知①正确,②正确,③错误.【答案】①②4.在△ABC中,若sin A·cos B·tan C<0,则△ABC是________三角形.【解析】∵A,B,C是△ABC的内角,∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0,∴cos B·tan C<0,∴cos B和tan C中必有一个小于0,即B ,C 中必有一个钝角,故△ABC 是钝角三角形.【答案】 钝角5.(2016·扬州高一检测)如果α的终边过点P (2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值等于________.【解析】 ∵P (1,-3),∴r =12+(-3)2=2,∴sin α=-32. 【答案】 -326.(2016·南通高一检测)在(0,2π)内,使sin α>cos α成立的α的取值范围是________.【解析】 如图所示,当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,5π4时,恒有MP >OM ,而当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4,2π时,则是MP <OM . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,5π4 7.若α为第二象限角,则|sin α|sin α-cos α|cos α|=________.【解析】 由已知sin α>0,cos α<0,∴|sin α|sin α-cos α|cos α|=sin αsin α-cos α(-cos α)=1+1=2. 【答案】 28.(2016·无锡高一检测)已知角α的终边经过点(3a -9,a +2),且sin α>0,cos α≤0,则α的取值范围是________.【解析】 因为cos α≤0,sin α>0,所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上.因为α的终边过点(3a -9,a +2),所以⎩⎪⎨⎪⎧3a -9≤0,a +2>0,所以-2<a ≤3. 【答案】 (-2,3]二、解答题9.判断下列各式的符号:(1)sin 340°cos 265°;(2)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角). 【导学号:06460008】 【解】 (1)∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,∴sin 340°<0,cos 265°<0,∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵θ为第二象限角,∴0<sin θ<1<π2,-π2<-1<cos θ<0,∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0,∴sin (cos θ)cos (sin θ)<0. 10.已知1|sin α|=-1sin α,且lg cos α有意义.(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,m ,且|OM |=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.【解】 (1)由1|sin α|=-1sin α可知sin α<0,∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角.由lg cos α有意义可知cos α>0,∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角.综上可知角α是第四象限的角.(2)∵|OM |=1,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352+m 2=1, 解得m =±45.又α是第四象限角,故m <0,从而m =-45.由正弦函数的定义可知sin α=y r =m |OM |=-451=-45.能力提升]1.(2016·南京高一检测)若α为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________.(填序号)①sin α2;②cos α2;③tan α2;④cos 2α.【解析】 由α为第四象限角,得2k π+3π2<α<2k π+2π(k ∈Z ),故k π+3π4<α2<k π+π(k ∈Z ).当k =2n (n ∈Z )时,α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π+3π4,2n π+π, 此时,α2是第二象限角;当k =2n +1(n ∈Z )时,α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π+7π4,2n π+2π,此时,α2是第四象限角. 故无论α2落在第二还是第四象限,tan α2<0恒成立.又4k π+3π<2α<4k π+4π,(k ∈Z ).故cos 2α有可能为正也有可能为负.【答案】 ③2.若角α的终边与直线y =3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP |=10,则m -n 等于________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n =3m <0,m 2+n 2=10,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m =-1,n =-3,∴m -n =2. 【答案】 23.点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ,则点Q 的坐标为________.【解析】 设Q (cos α,sin α),由2π3=α·1可知α=2π3,所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3,sin 2π3,即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32 4.已知:cos α<0,tan α<0.(1)求角α的集合; (2)试判断角α2是第几象限角;(3)试判断sin α2,cos α2,tan α2的符号.【解】 (1)因为cos α<0,所以角α的终边位于第二或第三象限或x 轴负半轴上.因为tan α<0,所以角α的终边位于第二或第四象限,所以角α的终边只能位于第二象限.故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π2+2k π<α<π+2k π,k ∈Z . (2)因为π2+2k π<α<π+2k π(k ∈Z ),所以π4+k π<α2<π2+k π(k ∈Z ).当k =2n (n ∈Z )时, π4+2n π<α2<π2+2n π(n ∈Z ).所以α2是第一象限角; 当k =2n +1(n ∈Z ), 5π4+2n π<α2<3π2+2n π(n ∈Z ),所以α2是第三象限角. (3)当α2为第一象限角时, sin α2>0,cos α2>0,tan α2>0. 当α2为第三象限角时,sin α2<0,cos α2<0,tan α2>0.。

苏教版高中数学必修4三角函数的图象和性质单元练习题

苏教版高中数学必修4三角函数的图象和性质单元练习题

高中数学学习材料 (灿若寒星 精心整理制作)三角函数的图象和性质单元练习题一、选择题(5×12=60分) 1.函数y =tan 35x 是A.周期为π的偶函数B.周期为53π的奇函数C.周期为53 π的偶函数 D.周期为π的奇函数2.已知f (x )=sin(x +π2 ),g(x )=cos(x -π2),则f (x )的图象A.与g(x )的图象相同B.与g(x )的图象关于y 轴对称C.向左平移π2个单位,得到g(x )的图象D.向右平移π2 个单位,得到g(x )的图象3.若x ∈(0,2π),函数y =sin x +-tan x 的定义域是A.( π2 ,π]B.( π2 ,π)C.(0,π)D.( 3π2 ,2π)4.函数y =sin(2x +5π2 )的图象的一条对称轴方程为A.x =5π4B.x =-π2C.x =π8D.x =π45.函数y =log cos1cos x 的值域是 A.[-1,1]B.(-∞,+∞)C.]0,(D.[0,+∞)6.如果|x |≤π4 ,那么函数f (x )=cos 2x +sin x 的最小值是A.2-12B.1-22C.-2+12D.-17.函数f (x )=sin x +5π2 ,g (x )=cos x +5π2,则A.f (x )与g (x )皆为奇函数B.f (x )与g (x )皆为偶函数C.f (x )是奇函数,g (x )是偶函数D.f (x )是偶函数,g (x )是奇函数 8.下列函数中,图象关于原点对称的是 A.y =-|sin x | B.y =-x ·sin |x | C.y =sin(-|x |) D.y =sin |x |9.要得到函数y =sin(2x -π4 )的图象,只要将y =sin2x 的图象A.向左平移π4B.向右平移π4C.向左平移π8D.向右平移π810.下图是函数y =2sin(ωx +ϕ)(|ϕ|<π2 )的图象,那么A .ω=1011 ,ϕ=π6B.ω=1011 ,ϕ=-π6C .ω=2,ϕ=π6D.ω=2,ϕ=-π611.在[0,2π]上满足sin x ≥12 的x 的取值范围是A.[0,π6]B.[π6 ,5π6 ]C.[π6 ,2π3]D.[5π6,π]12.函数y =5+sin 22x 的最小正周期为 A.2πB.πC. π2D. π4二、填空题(4×6=24分)13.若函数y =A cos(ωx -3)的周期为2,则ω= ;若最大值是5,则A = . 14.由y =sin ωx 变为y =A sin(ωx +ϕ),若“先平移,后伸缩”,则应平移 个单位;若“先伸缩,后平移”,则应平移 个单位即得y =sin(ωx +ϕ);再把纵坐标扩大到原来的A 倍,就是y =A sin(ωx +ϕ)(其中A >0). 15.不等式sin x >cos x 的解集为 . 16.函数y =sin(-2x +π3)的递增区间是 .17.已知f (x )=ax +b sin 3x +1(a ,b 为常数),且f (5)=7,则f (-5)= . 18.使函数y =2tan x 与y =cos x 同时为单调递增的区间是 .第Ⅱ卷一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13 14 15 16 17 18 三、解答题19.求y =2cos x -1lg (tan x +1)的定义域.20.已知:cos (-α)tan (π+α)cos (―π―α)sin (2π-α)=3,求:2cos 2(π2+α)+3sin (π+α)cos (π+α)cos (2π+α)+sin (-α)cos (―π2 ―α)的值.21.若f (x )=A sin(x -π3 )+B ,且f (π3 )+f (π2 )=7,f (π)-f (0)=23 ,求f (x ).22.若⎩⎨⎧=+=θθθθcos sin cos sin y x ,试求y =f (x )的解析式.23.设A 、B 、C 是三角形的三内角,且lgsin A =0,又sin B 、sin C 是关于x 的方程4x 2-2( 3 +1)x +k =0的两个根,求实数k 的值.三角函数的图象和性质单元复习题答案一、选择题 题号123456789101112答案 B D A B D B D B D C B C二、填空题13 π 5 14 |ϕ| |ωϕ| 15 x ∈(2k π+π4 ,2k π+5π4 )(k ∈Z)16 k π+5π12 ≤x ≤k π+11π12 (k ∈Z ) 17 -5 18 (kπ-π2 ,kπ)k ∈Z三、解答题19.求y =2cos x -1lg (tan x +1)的定义域.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥-11tan 01tan 01cos 2x x x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->≥0tan 1tan 21cos x x x ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠+<<-+≤≤-πππππππππk x k x k k x k 432423232(k ∈Z )⇒2kπ-π4 <x <2kπ或2k π<x ≤2k π+π3 (k ∈Z )20.21.若f (x )=A sin(x -π3 )+B ,且f (π3 )+f (π2)=7,f (π)-f (0)=2 3 ,求f (x ).解:由已知得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++-=32)0()(7)2()3()3sin()(f f f f B x A x f ππππ⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=++⇒32322323721B A B A B A B A B f (x )=2sin(x -π3 )+322.若⎩⎨⎧=+=θθθθcos sin cos sin y x ,试求y =f (x )的解析式.解:由x =sin θ+cos θ⇒x 2=1+2sin θcos θ⇒sin θcos θ=x 2-12∴y =f (x )=sin θcos θ=x 2-1223.设A 、B 、C 是三角形的三内角,且lgsin A =0,又sin B 、sin C 是关于x 的方程4x 2-2( 3 +1)x +k =0的两个根,求实数k 的值. 解:已知得sin A =1,又0<A <π ∴A =π2 ,∴B +C =π2则sin B =sin(π2-C )=cos C∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+4cos sin 213cos sin k C C C C ∴1+2sin C ·cos C =2+32∴2sin C cos C =23∴k =4sin C cos C = 3。

苏教版高中数学必修4三角函数测试.doc

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三角函数测试选择(5分×7=35分):1、若6α=-,则角α的终边在 【 】A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、已知角α的终边过点P(-4,3) ,则2sin cos αα+ 的值是 【 】A 、-1B 、1C 、52- D 、 25 3、函数44cos sin y x x =-的最小正周期是 【 】A 、2πB 、πC 、2πD 、4π 4、sin163sin 223sin 253sin313+等于 【 】A 、12-B 、12C 、32-D 、32 5、函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴是 【 】 A 、4x π=- B 、2x π=- C 、8x π= D 、54x π= 6、若32,1sin 1sin 2πθπθθ<<++-则式子可化简为 【 】 (A )2sin 2θ (B )2sin 2θ- (C )2cos 2θ (D )2cos 2θ- 7、设sin13cos13a =+,222cos 142b =-,62c =,则a,b,c 之间的大小关系是 【 】A 、b>c>aB 、c>a>bC 、a>c>bD 、c>b>a二.填充(5分×4=20分): 8、若的值是则)4tan(,21)4tan(,32)tan(παπββα+=-=+_ _______9、设函数lg(tan 1)y x =-,则该函数的定义域为10、函数x x y cos 2sin 2-=的值域为11、(1tan1)(1tan 2)(1tan 43)(1tan 44)(1tan 45)+++++=三.解答:12、证明:2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x x x x x --=-+ (10分)13、已知tan 3,θ=求下列各式的值: (10分)(1)θθθθcos 3sin cos 2sin 3+- (2)1cos sin 2sin 2+-θθθ14、已知(0,)2πα∈,(,)2πβπ∈,35cos ,sin()513βαβ=-+=, 求sin α的值. (10分)15、已知函数22()53cos 3sin 4sin cos 33f x x x x x =++-⑴求()f x 的周期和最大值、最小值以及此时的x ; ⑵求()f x 的单调增区间; ⑶该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的变换得到? (15分)答案:一.选择:ADBBB DA二.填充:(8)81 (9)},24|{Z k k x k x ∈+<<+ππππ (10)[-2,2] (11)223三.解答:(12)(略) (13) (1)67 ; (2)1013 (14) 6533 (15) (1)f(x)=)32sin(4π+x , T=π 当Z k k x ∈+=,12ππ时,f(x)max=4; 当Z k k x ∈-=,125ππ时,f(x)min=-4. (2)[12,125ππππ+-k k ],Z k ∈. (3)f(x)的图象可以由y=sinx 的图象先向左平移3π个单位,然后将所得图象上的点的横坐标变为原来的21(纵坐标不变),再将得到图象上的点的纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变)而得到.。

苏教版高中数学必修四:第1章-三角函数1.2.2课时作业(含答案)

苏教版高中数学必修四:第1章-三角函数1.2.2课时作业(含答案)

1.2.2 同角三角函数关系 课时目标1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明.1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:________________.(2)商数关系:________________(α≠k π+π2,k ∈Z ) 2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α+cos 2α=1的变形公式:sin 2α=________;cos 2α=________;(sin α+cos α)2=________________;(sin α-cos α)2=________________;(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=________;sin α·cos α=____________=__________.(2)tan α=sin αcos α的变形公式: sin α=____________;cos α=____________.一、填空题1.化简sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α的结果是________.2.已知α是第四象限角,tan α=-512,则sin α=______. 3.若sin α+sin 2α=1,,则cos 2α+cos 4α=________.4.若sin α=45,且α是第二象限角,则tan α的值等于________. 5.已知tan α=-12,则1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α的值为________. 6.已知sin α-cos α=-52,则tan α+1tan α的值为________. 7.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=______.8.已知sin αcos α=18且π4<α<π2,则cos α-sin α=________. 9.若sin θ=k +1k -3,cos θ=k -1k -3,且θ的终边不落在坐标轴上,则tan θ的值为________. 10.若cos α+2sin α=-5,则tan α=____.二、解答题11.化简:1-cos 4α-sin 4α1-cos 6α-sin 6α.12.求证:1-2sin 2x cos 2x cos 2 2x -sin 2 2x =1-tan 2x 1+tan 2x.能力提升13.证明:(1)1-cos 2αsin α-cos α-sin α+cos αtan 2α-1=sin α+cos α; (2)(2-cos 2α)(2+tan 2α)=(1+2tan 2α)(2-sin 2α).14.已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2-ax +a =0的两个根(a ∈R ).(1)求sin 3θ+cos 3θ的值;(2)求tan θ+1tan θ的值.般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式.3.在进行三角函数式的求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当的选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点.1.2.2 同角三角函数关系知识梳理1.(1)sin 2α+cos 2α=1 (2)tan α=sin αcos α2.(1)1-cos 2α 1-sin 2α 1+2sin αcos α1-2sin αcos α 2 (sin α+cos α)2-121-(sin α-cos α)22 cos αtan α sin αtan α作业设计1.1 2.-513 3.1 4.-435.-13解析 1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α=(sin α+cos α)(sin α+cos α)(sin α+cos α)(sin α-cos α)=sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=-12+1-12-1=-13. 6.-8解析 tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α. ∵sin αcos α=1-(sin α-cos α)22=-18, ∴tan α+1tan α=-8. 7.45解析 sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ =tan 2θ+tan θ-2tan 2θ+1, 又tan θ=2,故原式=4+2-24+1=45. 8.-32解析 (cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=34, ∵π4<α<π2,∴cos α<sin α.∴cos α-sin α=-32. 9.34解析 ∵sin 2θ+cos 2θ=⎝ ⎛⎭⎪⎫k +1k -32+⎝ ⎛⎭⎪⎫k -1k -32=1, ∴k 2+6k -7=0,∴k 1=1或k 2=-7.当k =1时,cos θ不符合,舍去.当k =-7时,sin θ=35,cos θ=45,tan θ=34. 10.2解析 方法一 由⎩⎨⎧cos α+2sin α=-5cos 2α+sin 2α=1联立消去cos α后得(-5-2sin α)2+sin 2α=1. 化简得5sin 2α+45sin α+4=0∴(5sin α+2)2=0,∴sin α=-255. ∴cos α=-5-2sin α=-55. ∴tan α=sin αcos α=2. 方法二 ∵cos α+2sin α=-5,∴cos 2α+4sin αcos α+4sin 2α=5,∴cos 2α+4sin αcos α+4sin 2αcos 2α+sin 2α=5, ∴1+4tan α+4tan 2α1+tan 2α=5, ∴tan 2α-4tan α+4=0,∴(tan α-2)2=0,∴tan α=2.11.解 原式=(1-cos 4α)-sin 4α(1-cos 6α)-sin 6α=(1-cos 2α)(1+cos 2α)-sin 4α(1-cos 2α)(1+cos 2α+cos 4α)-sin 6α=sin 2α(1+cos 2α)-sin 4αsin 2α(1+cos 2α+cos 4α)-sin 6α=1+cos 2α-sin 2α1+cos 2α+cos 4α-sin 4α=2cos 2α1+cos 2α+(cos 2α+sin 2α)(cos 2α-sin 2α)=2cos 2α1+cos 2α+cos 2α-sin 2α=2cos 2α3cos 2α=23. 12.证明 左边=cos 2 2x +sin 2 2x -2sin 2x cos 2x cos 22x -sin 22x=(cos 2x -sin 2x )2(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )=cos 2x -sin 2x cos 2x +sin 2x =1-tan 2x 1+tan 2x=右边. ∴原等式成立.13.证明 (1)左边=sin 2αsin α-cos α-sin α+cos αsin 2αcos 2α-1 =sin 2 αsin α-cos α-sin α+cos αsin 2α-cos 2αcos 2α=sin 2αsin α-cos α-cos 2α(sin α+cos α)sin 2α-cos 2α=sin 2αsin α-cos α-cos 2αsin α-cos α=sin2α-cos2αsin α-cos α=sin α+cos α=右边.∴原式成立.(2)∵左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α=2+2tan2α+2sin2α-sin2α=2+2tan2α+sin2α,右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)=1+2tan2α+cos2α+2sin2α=2+2tan2α+sin2α∴左边=右边,∴原式成立.14.解(1)由韦达定理知:sin θ+cos θ=a,sin θ·cos θ=a. ∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴a2=1+2a.解得:a=1-2或a=1+ 2∵sin θ≤1,cos θ≤1,∴sin θcos θ≤1,即a≤1,∴a=1+2舍去.∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ)=a(1-a)=2-2.(2)tan θ+1tan θ=sin θcos θ+cos θsin θ=sin2θ+cos2θsin θcos θ=1sin θcos θ=1a=11-2=-1- 2.。

苏教版高中数学必修4三角函数单元测试

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南京师范大学附属扬子中学三角函数(苏教版必修4)单元测试一、选择题(每小题5分,共60分,请将所选答案填在括号内)1.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于:A.52B.-52C.51D.-51 2.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于:A.-23B.23C.21D.±23 3.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是:A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos βB.若α,β是第二象限角,则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角,则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角,则tan α>tan β4.若sin x +cos x =1,那么sin n x +cos nx 的值是:A .1B .0C .-1D .不能确定 5.函数y=-x ·cos x 的部分图象是:6.函数x x y sin cos 2-=的值域是: A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,17.已知:函数sin()y A x ωϕ=+,在同一周期内,当12x π=时取最大值4y =;当712x π=时,取最小值4y =-,那么函数的解析式为: A .4sin(2)3y x π=+ B.4sin(2)3y x π=-+C 4sin(4)3=+y x π.D.4sin(4)3y x π=-+8.在函数y =|tan x |,y =|sin(x +2π)|,y =|sin2x |,y =sin(2x -2π)四个函数中,既是以π为周期的偶函数,又是区间(0,2π)上的增函数个数是:A .1B .2C .3D .49.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为: A.21-B.23C.23-D 2110.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3π=x 对称的是:A.)32sin(π-=x y B.)62sin(π-=x y C .)62sin(π+=x yD .)62sin(π+=x y11.函数f(x)=cos(3x +φ)的图象关于原点中心对称,则:A .φ=π2B .φ=k π+π2C .φ=k πD .φ=2k π-π2(k ∈Z)12.2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于:A .1B .2524-C .257D .725-二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。

苏教版高中数学必修四:第1章-三角函数1.3.2(1)课时作业(含答案)

苏教版高中数学必修四:第1章-三角函数1.3.2(1)课时作业(含答案)

1.3.2 三角函数的图象与性质(一)课时目标1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象.1.正弦曲线、余弦曲线2.“五点法”画图画正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是________________;画余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是________________________. 3.正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,要得到y =cos x 的图象,只需把y =sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可.一、填空题1.函数y =sin x 的图象的对称中心的坐标为________.2.函数f (x )=cos x +1的图象的对称中心的坐标是________.3.函数y =sin x ,x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________.4.函数y =2cos x +1的定义域是________________. 5.函数y =|sin x |的图象的对称轴方程是________. 6.方程x 2-cos x =0的实数解的个数是________.7.设0≤x ≤2π,且|cos x -sin x |=sin x -cos x ,则x 的取值范围为________. 8.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是________. 9.方程sin x =lg x 的解的个数是________.10.若函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是______. 二、解答题11.分别作出下列函数的图象. (1)y =|sin x |,x ∈R ; (2)y =sin|x |,x ∈R .12.作出下列函数的图象,并根据图象判断函数的周期性:(1)y =12(cos x +|cos x |);(2)y =|sin x +12|.能力提升13.求函数f (x )=lg sin x +16-x 2的定义域.14.函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.1.3.2 三角函数的图象与性质(一)知识梳理2.(0,0),⎝⎛⎭⎫π2,1,(π,0),⎝⎛⎭⎫32π,-1,(2π,0) (0,1),⎝⎛⎭⎫π2,0,(π,-1),⎝⎛⎭⎫32π,0,(2π,1) 3.左 作业设计1.(k π,0),k ∈Z 2.(k π+π2,1),k ∈Z3.y =-cos x解析∵sin ⎝⎛⎭⎫x -π2=-sin ⎝⎛⎭⎫π2-x =-cos x , ∴y =-cos x . 4.⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+23π,k ∈Z 解析 2cos x +1≥0,cos x ≥-12,结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+2π3,k ∈Z . 5.x =k π2,k ∈Z解析函数y =|sin x |的图象如右图所示,图中虚线与y 轴均为对称轴. 6.2解析 作函数y =cos x 与y =x 2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.7.⎣⎡⎦⎤π4,5π4解析 由题意知sin x -cos x ≥0,即cos x ≤sin x ,在同一坐标系画出y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,如图所示:观察图象知x ∈[π4,54π].8.⎝⎛⎭⎫π4,3π4 解析∵sin x >|cos x |,∴sin x >0,∴x ∈(0,π),在同一坐标系中画出y =sin x ,x ∈(0,π)与y =|cos x |,x ∈(0,π)的图象,观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4,34π. 9.3解析 用五点法画出函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移2π个单位,得到y =sin x 的图象.描出点⎝⎛⎭⎫110,-1,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y =lg x 的图象,如图所示.由图象可知方程sin x =lg x 的解有3个.10.4π 解析作出函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象,函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =2围成的平面图形,如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积,又∵OA =2,OC =2π, ∴S 平面图形=S 矩形OABC =2×2π=4π.11.解 (1)y =|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π+π)-sin x (2k π+π<x ≤2k π+2π)(k ∈Z ).其图象如图所示,(2)y =sin|x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)-sin x (x <0),其图象如图所示,12.解 (1)y =12(cos x +|cos x |)=⎩⎪⎨⎪⎧cos x ,cos x ≥0,0, cos x <0.作出图象如图1,由图知周期为2π.图1(2)y =|sin x +12|=⎩⎨⎧sin x +12,sin x ≥-12,-sin x -12,sin x <-12.作出图象如图2,由图知周期为2π.图213.解 由题意,x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >016-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧-4≤x ≤4sin x >0,作出y =sin x 的图象,如图所示.结合图象可得:x ∈[-4,-π)∪(0,π).14.解 f (x )=sin x +2|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0,π],-sin x x ∈(π,2π].图象如图,若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,根据上图可得k的取值范围是(1,3).。

苏教版高中数学必修四学同步训练三角函数一Word含答案(2)

苏教版高中数学必修四学同步训练三角函数一Word含答案(2)

1.3.2 三角函数的图象与性质(一)一、填空题1.函数y =2cos x +1的定义域是______________. 2.在(0,π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是________.3.方程sin x =x10的根的个数是________.4.设0≤x ≤2π,且|cos x -sin x |=sin x -cos x ,则x 的取值范围为________.5.方程cos (52π+x )=(12)x 在区间(0,100π)内解的个数是________.6.若函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是________. 7.方程sin x =1-a 2在x ∈[π3,π]上有两个实数解,则a 的取值范围是________.8.函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围为________. 二、解答题9.利用“五点法”画出函数y =2-sin x ,x ∈[0,2π]的简图. 10.已知0≤x ≤2π,试探索sin x 与cos x 的大小关系. 11.分别作出下列函数的图象. (1)y =|sin x |,x ∈R ; (2)y =sin|x |,x ∈R .三、探究与拓展 12.试问方程x100=cos x 是否有实数解?若有,请求出实数解的个数;若没有,请说明理由.答案1.⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+23π,k ∈Z2.⎝⎛⎭⎫π4,3π4 3.7 4.⎣⎡⎦⎤π4,5π4 5.100 6.4π 7.-1<a ≤1- 3 8.1<k <39.解 (1)(2)描点连线,图象如图所示:10.解 用“五点法”作出y =sin x ,y =cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知①当x =π4或x =5π4时,sin x =cos x ;②当π4<x <5π4时,sin x >cos x ;③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时,sin x <cos x .11.解 (1)y =|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π+π),-sin x (2k π+π<x ≤2k π+2π)(k ∈Z ).其图象如图所示,(2)y =sin|x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)-sin x (x <0),其图象如图所示,12.解 可借助函数y =x100和y =cos x 的图象,通过判断图象是否有交点来判定方程是否有实数解.如有交点,可通过讨论交点个数来获得实数解的个数.如图所示,y=x100的图象关于原点O对称,y=cos x的图象关于y轴对称,所以y轴两侧的交点是成对出现的.可以先在(0,+∞)上研究y=x100和y=cos x图象交点的情况.因为cos 100≈0.86<1,且当x>100时,y=x100是增函数,所以当x≥100时,y=x100≥1.又31π<100<32π,从图象中可得知直线y=x100与曲线y=cos x在(0,30π]中从0开始每相隔2π会有两个交点,所以,在(0,30π]上共有30个交点,在(30π,31π]上有一个交点.总之,当x>0时有31个交点.所以,函数y=x100和y=cos x的图象总共有2×31=62个交点,即方程x100=cos x的解一共有62个.。

苏教版高中数学必修四:第1章-三角函数1.3.2(2)课时作业(含答案)

苏教版高中数学必修四:第1章-三角函数1.3.2(2)课时作业(含答案)

1.3.2 三角函数的图象与性质(二)课时目标1.能准确迅速绘出正弦曲线和余弦曲线,并会利用图象研究函数的有关性质.2.掌握y =sin x 与y =cos x 的周期、最值、单调性、奇偶性等性质,并能解决相关问题.______时,y min =-1时,一、填空题1.函数y =sin x 和y =cos x 都递增的区间是________. 2.函数y =sin x -|sin x |的值域为________.3.函数f (x )=|sin x |的单调递增区间是__________. 4.函数y =sin 2x +sin x -1的值域是________.5.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为__________________. 6.函数y =2cos 2x +5sin x -1的值域是________.7.sin ⎝⎛⎭⎫sin 38π与sin ⎝⎛⎭⎫cos 38π的大小关系是______. 8.已知sin α>sin β,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,β∈⎝⎛⎭⎫π,32π,则α+β与π的大小关系是________. 9.欲使函数y =A sin ωx (A >0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,则ω的最小值是________.10.已知奇函数f (x )在[-1,0]上为单调递减函数,又α、β为锐角三角形两内角,则下列结论正确的序号是________.①f (cos α)>f (cos β); ②f (sin α)>f (sin β); ③f (sin α)>f (cos β); ④f (sin α)<f (cos β). 二、解答题11.判断函数f (x )=ln(sin x +1+sin 2x )的奇偶性.12.已知函数f (x )=2a sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0,π2,最大值为1,最小值为-5,求a 和b 的值.能力提升13.已知函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最小值是-2,则ω的最小值等于________.14.设0<a ≤2,且函数f (x )=cos 2x -a sin x +b 的最大值为0,最小值为-4,求a ,b 的值.1.判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则,即先求定义域,看它是否关于原点对称.2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围.1.3.2 三角函数的图象与性质(二)知识梳理R R [-1,1] [-1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [-π2+2k π,π2+2k π](k ∈Z ) [π2+2k π,3π2+2k π] (k ∈Z ) [-π+2k π,2k π] (k ∈Z ) [2k π,π+2k π] (k ∈Z ) x =π2+2k π (k ∈Z ) x =-π2+2k π (k ∈Z ) x =2k π (k ∈Z ) x =π+2k π (k ∈Z )作业设计1.[2k π-π2,2k π],k ∈Z2.[-2,0]解析 y =sin x -|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧0, sin x ≥0,2sin x , sin<0.∴y ∈[-2,0].3.⎣⎡⎦⎤k π,k π+π2,k ∈Z 解析 f (x )=|sin x |的周期T =π,且f (x )在区间[0,π2]上单调递增,∴f (x )的单调增区间为[k π,k π+π2],k ∈Z .4.⎣⎡⎦⎤-54,1 解析 y =sin 2x +sin x -1=(sin x +12)2-54,当sin x =-12时,y min =-54;当sin x =1时,y max =1. 5.sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π,sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3.y =sin x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上递增,且0<π-3<1<π-2<π2, ∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2), 即sin 3<sin 1<sin 2. 6.[0,2]解析 ∵2cos 2x +5sin x -1 =-2sin 2x +5sin x +1=-2(sin x -54)2+338.∵-1≤sin x ≤1,∴2cos 2x +5sin x -1∈[-6,4]. ∵2cos 2x +5sin x -1≥0,∴y ∈[0,2].7.sin ⎝⎛⎭⎫sin 38π>sin ⎝⎛⎭⎫cos 38π 解析 ∵cos 38π=sin π8,∴0<cos 38π<sin 38π<1.而y =sin x 在[0,1]上单调递增.∴sin ⎝⎛⎭⎫sin 38π>sin ⎝⎛⎭⎫cos 38π. 8.α+β>π解析 ∵β∈⎝⎛⎭⎫π,32π, ∴π-β∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,且sin(π-β)=sin β. ∵y =sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0上单调递增, ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π-β) ⇔α>π-β⇔α+β>π. 9.1992π 解析 要使y 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,则y 在[0,1]上至少含49 34个周期,即⎩⎨⎧49 34T ≤1T =2πω,解得ω≥1992π.10.④解析 ∵α+β>π2,∴π2>α>π2-β>0,∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2-β,即sin α>cos β. ∴-1<-sin α<-cos β<0, ∵f (x )在[-1,0]上单调递减, ∴f (-sin α)>f (-cos β),∴-f (sin α)>-f (cos β),∴f (sin α)<f (cos β). 11.解 ∵sin x +1+sin 2x ≥sin x +1≥0,若两处等号同时取到,则sin x =0且sin x =-1矛盾, ∴对x ∈R 都有sin x +1+sin 2x >0. ∵f (-x )=ln(-sin x +1+sin 2x ) =ln(1+sin 2x -sin x )=ln(1+sin 2x +sin x )-1=-ln(sin x +1+sin 2 x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.12.解 ∵0≤x ≤π2,∴-π3≤2x -x 3≤23π,∴-32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3≤1,易知a ≠0. 当a >0时,f (x )max =2a +b =1, f (x )min =-3a +b =-5. 由⎩⎨⎧ 2a +b =1-3a +b =-5,解得⎩⎨⎧a =12-63b =-23+123. 当a <0时,f (x )max =-3a +b =1, f (x )min =2a +b =-5.由⎩⎨⎧ -3a +b =12a +b =-5,解得⎩⎨⎧a =-12+63b =19-123. 13.32解析 要使函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间[-π3,π4]上的最小值是-2,则应有T 4≤π3或34T ≤π4,即2π4ω≤π3或6πω≤π,解得ω≥32或ω≥6.∴ω的最小值为32.14.解 f (x )=-sin 2x -a sin x +b +1=-(sin x +a 2)2+b +1+a 24,∵0<a ≤2,∴-1≤-a2<0.当sin x =-a 2,f (x )max =b +1+a 24,当sin x =1时,f (x )min =b -a .故由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧b +1+a 24=0,b -a =-4,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2.。

高中数学 第1章 三角函数单元检测 苏教版必修4

高中数学 第1章 三角函数单元检测 苏教版必修4

数学苏教必修4第1章三角函数单元检测(满分:100分 时间:60分钟)一、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ,则这个圆心角所夹的扇形的面积是__________ cm 2.2.若4sin 5θ=-,tan θ>0,则cos θ=__________. 3.要得到函数y =sin x 的图象,只需将函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向__________平移__________个单位.4.sin(-120°)cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=__________.5.函数y =cos x ,ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是__________. 6.函数π2cos 3y x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭=的最小正周期是4π,则ω=__________.7.若πsin 2x ⎛⎫-=⎪⎝⎭,且π<x <2π,则x =__________. 8.已知tan θ=2,则33sin sin cos θθθ-=__________. 9.设a 为常数,且a <0,0≤x <2π,则函数f (x )=cos 2x -2a sin x -1的最小值是__________.10.如果函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称,那么|φ|的最小值为__________.二、解答题(本大题共4小题,共50分)11.(12分)若sin αcos α<0,sin αtan α<012.(12分)已知π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππ32α⎛⎫<< ⎪⎝⎭,求sin 3(2π-α)+cos 3(2π-α)的值.13.(12分)已知函数()πsin 262af x a x b ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+(x ∈R ,a >0,ω>0)的最小正周期为π,函数f (x )的最大值是74,最小值是34.(1)求ω,a ,b 的值;(2)求f (x )的单调增区间.14.(14分)函数f 1(x )=A sin(ωx +φ)π00||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭,,的一段图象过点(0,1),如图所示.(1)求函数f1(x)的表达式;(2)将函数y=f1(x)的图象向右平移π4个单位,得到函数y=f2(x)的图象,求y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量x的取值.参考答案1. 答案:1解析:由弧长公式l =|α|R 得2=2R , ∴R =1 cm ,则S =12Rl =12×1×2=1(cm 2). 2. 答案:35-解析:∵4sin 5θ=-,tan θ>0,∴cos θ<0.∴3cos 5θ==-.3. 答案:右π6解析:因为πsin cos 2y x x ⎛⎫-⎪⎝⎭== =πcos 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=ππcos 63x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以只需将函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位即可得到函数y =sin x 的图象.4. 答案:1解析:原式=-sin 120°cos 210°+cos 60°sin 30°=11=122⎛+⨯ ⎝⎭. 5. 答案:[0,1]解析:结合单位圆中的三角函数线或余弦函数图象知函数的值域为[0,1].6. 答案:12± 解析:2π=4π||T ω=, ∴12ω=,12ω±=.7. 答案:7π6解析:∵πsin 2x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴cos 2x -=. 又π<x <2π,∴7π6x =. 8. 答案:107解析:33sin sin cos θθθ-=2233sin (sin cos )sin cos θθθθθ+- =33tan tan tan 1θθθ+-=332210217+=-.9. 答案:2a -1 解析:f (x )=cos 2x -2a sin x -1=1-sin 2x -2a sin x -1=-sin 2x -2a sin x =-(sin 2x+2a sin x +a 2-a 2)=-(sin x +a )2+a 2.∵a <0,∴当sin x =-1时,f (x )取得最小值. f (x )min =-(-1+a )2+a 2=2a -1.10. 答案:π6解析:∵函数y =3cos(2x +φ)的对称中心为4π,03⎛⎫⎪⎝⎭, ∴2×4π3+φ=k π+π2(k ∈Z ). ∴φ=k π+π2-8π3(k ∈Z ).∴|φ|的最小值为π6.11. 解:∵sin αcos α<0,sin αtan α<0, ∴α是第二象限角,即2k π+π2<α<2k π+π(k ∈Z ), 故k π+π4<2α<k π+π2, 即2α是第一或第三象限角.2cos2α, ∴当2α是第一象限角时,原式=2cos 2α;当2α是第三象限角时,原式=2cos 2α-.12. 解:由π3πsin cos =223αα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得cos sin αα+. ∴1+2sin αcos α=29,2sin αcos α=79-.∵π2<α<π,∴sin α>0,cos α<0. 从而sin α-cos α=43.于是原式=cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(cos 2α+sin αcos α+sin 2α)=47221=31827⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭. 13. 解:(1)由函数的最小正周期为π,得2π2ω=π,∴ω=1. 又f (x )的最大值是74,最小值是34, 则7=243=24a ab a a b ⎧++⎪⎪⎨⎪-++⎪⎩,,解得1=2a ,b =1.(2)由(1)知:1π5()=sin 2264f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.当2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2(k ∈Z ),即k π-π3≤x ≤k π+π6(k ∈Z )时,f (x )单调递增,∴f (x )的单调增区间为ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,(k ∈Z ).14. 解:(1)由图知,T =π,于是ω=2πT=2.将y =A sin 2x 的图象向左平移π12个单位,得y =A sin(2x +φ)的图象,于是ππ=2=126ϕ⋅.将(0,1)代入πsin 26y A x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=,得A =2.故()1π2sin 26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.(2)依题意,()2ππ2sin 246f x x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-.当2x +π6=2k π+π,即x =k π+5π12(k ∈Z )时,y max =2.此时x 的取值为5π=π12x x k k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ,.。

苏教版高中数学必修4学业分层测评:第一章 三角函数1.2.2 Word版含解析

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学业分层测评(四) 同角三角函数关系(建议用时:45分钟)学业达标]一、填空题1.(2016·南通高一检测)若sin θ=-35,tan θ<0,则cos θ=________. 【解析】 ∵sin θ=-35<0,tan θ<0,∴θ为第四象限角,∴cos θ=1-sin 2θ =45. 【答案】 452.化简:(1+tan 2α)·cos 2α=________.【解析】 原式=⎝⎛⎭⎪⎫1+sin 2αcos 2α·cos 2α=cos 2α+sin 2α=1. 【答案】 13.已知sin α=55,则sin 4α-cos 4α=________. 【解析】 ∵sin α=55, ∴sin 4α-cos 4α=(sin 2α-cos 2α)(sin 2α+cos 2α)=sin 2α-cos 2α=2sin 2α-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552-1 =-35. 【答案】 -354.已知α是第二象限角,tan α=-12,则cos α=________. 【导学号:06460011】【解析】 ∵tan α=sin αcos α=-12,∴cos α=-2sin α. 又sin 2α+cos 2α=1,∴54cos 2α=1, 又α为第二象限角,∴cos α<0, ∴cos α=-255. 【答案】 -255 5.(2016·扬州高一检测)化简:1-cos 2 4=________.【解析】 1-cos 2 4=sin 2 4=|sin 4|,∵π<4<3π2,∴sin 4<0,∴|sin 4|=-sin 4. 【答案】 -sin 46.(2016·泰州高一检测)已知cos x sin x -1=12,则1+sin x cos x等于________. 【解析】 由1-sin 2x =cos 2x ,可得1+sin xcos x=-cos xsin x-1=-12.【答案】-1 27.若sin α+cos α=2,则tan α+1tan α的值为________.【解析】tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α.又sin α+cos α=2,∴sin αcos α=1 2,∴tan α+1tan α=2.【答案】 28.已知0<α<π,sin α·cos α=-60169,则sin α-cos α的值等于________.【解析】∵sin α·cos α<0,0<α<π,∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0,∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=289 169,∴sin α-cos α=17 13 .【答案】17 13二、解答题9.已知tan x=2,求:(1)cos x+sin xcos x-sin x的值;(2)23sin2x+14cos2x的值.【解】(1)cos x+sin xcos x-sin x=1+tan x1-tan x=1+21-2=-3.(2)23sin2x+14cos2x=23sin2x+14cos2xsin2x+cos2x=23tan2x+14tan2x+1=23×4+144+1=712.10.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1. 【证明】因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2α+1=2tan2β+2,所以sin2αcos2α+1=2⎝⎛⎭⎪⎫sin2βcos2β+1,所以1cos2α=2cos2β,所以1-sin2β=2(1-sin2α),即sin2β=2sin2α-1.能力提升]1.(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x+y=0上,则sin α1-cos2α+1-sin2αcos α=________.【解析】∵sin α1-cos2α+1-sin2αcos α=sin α|sin α|+|cos α|cos α. 又角α的终边落在x+y=0上,故角α的终边在第二、四象限.当α在第二象限时,原式=sin αsin α+-cos αcos α=0, 当α在第四象限时,原式=sin α-sin α+cos αcos α=0. 【答案】 02.(2016·常州高一检测)化简:1-2sin 20°cos 20°sin 20°-1-sin 2 20°=________. 【解析】 原式=-2sin 20°-cos 2 20°=|sin 20°-cos 20°|sin 20°-|cos 20°|=cos 20°-sin 20°sin 20°-cos 20°=-1. 【答案】 -13.若A ∈(0,π),且sin A +cos A =713,则5sin A +4cos A 15sin A -7cos A=________. 【解析】 (sin A +cos A )2=49169,∴1+2sin A cos A =49169,∴2sin A cos A =-120169<0, ∵A ∈(0,π),∴sin A >0,cos A <0,∴(sin A -cos A )2=1-2sin A cos A =289169,∴sin A -cos A =1713, ∴sin A =1213,cos A =-513,故5sin A +4cos A 15sin A -7cos A =843. 【答案】 8434.已知关于x的方程2x2-(3+1)x+2m=0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0,π)),求:(1)m的值.(2)sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ的值⎝⎛⎭⎪⎫其中cot θ=1tan θ.(3)方程的两根及此时θ的值.【解】(1)由根与系数的关系可知,sin θ+cos θ=3+12,①sin θ·cos θ=m.②将①式平方得1+2sin θ·cos θ=2+32,所以sin θ·cos θ=3 4,代入②得m=3 4.(2)sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ=sin2θsin θ-cos θ+cos2θcos θ-sin θ=sin2θ-cos2θsin θ-cos θ=sin θ+cos θ=3+12.(3)因为已求得m=34,所以原方程化为2x2-(3+1)x+32=0,解得x1=32,x2=12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ=32,cos θ=12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ=12,cos θ=32. 又因为θ∈(0,π),所以θ=π3或π6.。

数学苏教版必修4 第1章 三角函数 综合检测

数学苏教版必修4 第1章 三角函数 综合检测

(时间:120分钟,满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把★答案★填在题中横线上) 1.72°=________rad.解析:72°=72·π180 rad =2π5.★答案★:2π52.若角α的终边经过点P (1,-2),则tan α的值为________.解析:由三角函数定义得tan α=-21=-2.★答案★:-23.若cos(2π-α)=53,且α∈(-π2,0),则sin(π-α)=________.解析:cos(2π-α)=cos α=53,又α∈(-π2,0),∴sin α=-23,∴sin(π-α)=sin α=-23.★答案★:-234.某扇形的面积为1 cm ,它的弧长为2 cm ,那么该扇形圆心角弧度数为________.解析:由⎩⎨⎧12lr =1,|α|=l r,得α=2.★答案★:25.设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P旋转过的弧AP ︵的长为l ,弦AP 的长为d ,有下列图象:其中,函数d =f (l )的图象大致是________.解析:令AP ︵所对的圆心角为θ,由OA =1,知l =θ,sin θ2=d 2,所以d =2sin θ2=2sin l2,即d =f (l )=2sin l2(0≤l ≤2π).结合四个图象可知填③.★答案★:③6.函数y =tan(x -π6)的定义域是________.解析:由x -π6≠π2+k π(k ∈Z ),解得x≠2π3+k π(k ∈Z ).★答案★:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠k π+2π3,k ∈Z7.将函数y =sin 2x 的图象向左平移π4个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是________.解析:将函数y =sin 2x 的图象向左平移π4个单位,得到函数y =sin 2(x +π4),即y =sin(2x+π2)=cos 2x 的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为y =1+cos 2x . ★答案★:y =1+cos 2x8.为了使函数y =sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________.解析:由函数图象可知,要出现50次最大值,至少需要4914个周期.∴T ≤1-04914=4197.∴ω=2πT ≥2π4197=197π2.★答案★:197π29.若0≤α≤2π,sin α>3cos α,则α的取值范围是________. 解析:∵sin α>3cos α,∴⎩⎨⎧cos α>0,tan α>3,或⎩⎨⎧cos α<0,tan α<3,或⎩⎪⎨⎪⎧cos α=0,sin α>0.又∵0≤α≤2π,∴π3<α<π2或π2<α<4π3或x =π2,即x ∈(π3,4π3).★答案★:(π3,4π3)10.已知函数f (x )=3sin πxk的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2+y 2=k 2上,则f (x )的最小正周期为________.解析:T =2π⎪⎪⎪⎪πk =2|k |.由题意知⎝⎛⎭⎫k 2,3在圆上, 得k 24+3=k 2, 所以|k |=2,所以T =4. ★答案★:411.先将y =sin x 的图象向右平移π3个单位,再变化各个点的横坐标(纵坐标不变),得到最小正周期为2π3的函数y =sin(ωx +φ)(其中ω>0)的图象,则ω=________,φ=________.解析:因为函数y =sin(ωx +φ)的最小正周期为2π3,所以ω=3.又因为将函数y =sin x 的图象向右平移π3个单位,可得函数y =sin(x -π3)的图象,故可判断函数y =sin(ωx +φ)中φ=-π3.★答案★:3 -π312.方程2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3+2a -1=0在[0,π]上有两个不相等的实根,则实数a 的取值范围是________.解析:∵x ∈[0,π],∴x +π3∈⎣⎡⎦⎤π3,4π3, ∴2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3∈[-3,2]. 作出函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3与y =1-2a 在[0,π]上的图象(图略),当3≤1-2a <2时,原方程有两个不等的实根,故-12<a ≤1-32.★答案★:⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,1-3213.函数f (x )=2cos(x -π4)-1在区间(0,π)内的零点是________.解析:函数f (x )=2cos(x -π4)-1的零点即方程2cos(x -π4)=1的解,也就是方程cos(x -π4)=12的解,∴x -π4=2k π±π3(k ∈Z ),即x =2k π+7π12或x =2k π-π12(k ∈Z ),∴在区间(0,π)内的解是x =7π12.★答案★:7π1214.函数f (x )=3sin(2x -π3)的图象为C .①图象C 关于直线x =1112π对称;②函数f (x )在区间(-π12,5π12)内是增函数;③由y =3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中,正确论断的个数是________.解析:①f (11π12)=3sin(116π-π3)=3sin 32π=-3,∴直线x =1112π为对称轴,①对;②由-π12<x <5π12⇒-π2<2x -π3<π2,由于函数y =3sin x 在(-π2,π2)内单调递增,故函数f (x )在(-π12,5π12)内单调递增,②对;③∵f (x )=3sin 2(x -π6),∴由y =3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y =3sin2(x -π3)的图象,得不到图象C ,③错.★答案★:2二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知函数f (x )=cos(2x +π3).(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)用五点法作出函数f (x )在一个周期内的图象.解:(1)∵f (x )=cos(2x +π3),∴T =π.(2)列表:x -π6 π12 π37π12 5π6 2x +π3 0 π2π 3π2 2π cos(2x +π3)1 0 -1 0116.(本小题满分14分)已知-π2<x <0,sin x +cos x =15.(1)求sin x -cos x 的值;(2)求1cos 2x -sin 2x的值.解:(1)法一:联立方程:⎩⎪⎨⎪⎧sin x +cos x =15, ①sin 2x +cos 2x =1. ②由①得sin x =15-cos x ,将其代入②,整理得25cos 2x -5cos x -12=0.∵-π2<x <0,∴⎩⎨⎧sin x =-35,cos x =45.所以sin x -cos x =-75.法二:∵sin x +cos x =15,∴(sin x +cos x )2=(15)2,即1+2sin x cos x =125,∴2sin x cos x =-2425.∵(sin x -cos x )2=sin 2x -2sin x cos x +cos 2x=1-2sin x cos x =1+2425=4925.③又∵-π2<x <0,∴sin x <0,cos x >0,∴sin x -cos x <0.④由③④可知sin x -cos x =-75.(2)由已知条件及(1)可知⎩⎨⎧sin x +cos x =15,sin x -cos x =-75,解得⎩⎨⎧sin x =-35,cos x =45.∴tan x =-34.∴1cos 2x -sin 2x =sin 2x +cos 2x cos 2x -sin 2x =sin 2x +cos 2x cos 2x cos 2x -sin 2xcos 2x=tan 2x +11-tan 2x=(-34)2+11-(-34)2=257. 17.(本小题满分14分)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+32,x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间;(2)函数f (x )的图象可以由函数y =sin x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到?解:(1)∵f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+32, ∴f (x )的最小正周期T =2π2=π.由题意得2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z ,即k π-π3≤x ≤k π+π6,k ∈Z .∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π3,k π+π6,k ∈Z . (2)先把y =sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y =sin 2x的图像,再把y =sin 2x 图象上所有点向左平移π12个单位长度,得到y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+32的图象. 18.(本小题满分16分)(1)已知角α终边上一点P (-3,y )且sin α=24y ,求cos α的值.(2)若f (x )=sin πx6,试求f (1)+f (2)+…+f (2 015)的值.解:(1)由y 3+y 2=24y 解得y =±5或y =0;当y =±5时cos α=-64;当y =0时,x =-3,r =3+y 2=3,故cos α=x r =-33=-1,∴cos α=-64或-1.(2)∵f (x )=sin πx6的周期为T =12,∴f (1)+f (2)+…+f (12), f (13)+f (14)+…f (24),…,f (1 993)+f (1 994)+…+f (2 004)是相等的,把它们看成一个个整体,则有: f (1)+f (2)+…+f (2 015)=167[f (1)+f (2)+…+f (12)]+f (2 005)+…+f (2 015),∵f (1)+f (2)+…f (12)=sin π6+sin 2π6+sin 3π6+…+sin 12π6=0,∴f (1)+f (2)+…+f (2 015) =167×0+f (2 004+1)+…+f (2 004+11)=f (1)+…+f (11)=0.19.(本小题满分16分)设函数f (x )=cos 2x +sin x +a -1,已知不等式1≤f (x )≤174对一切x∈R 恒成立,求a 的取值范围.解:f (x )=(1-sin 2x )+sin x +a -1=-sin 2x +sin x +a =-(sin x -12)2+a +14.∵-1≤sin x ≤1,∴当sin x =12时f (x )max =a +14;当sin x =-1时,f (x )min =a -2.∵1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立,∴f (x )max ≤174且f (x )min ≥1.即⎩⎪⎨⎪⎧a +14≤174,a -2≥1,得3≤a ≤4,故a 的取值范围是[3,4].20.(本小题满分16分)求关于x 的函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值.解:设cos x =t ,则函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)即为关于t 的二次函数y =2t 2-2at -(2a +1)(-1≤t ≤1);该二次函数图象关于t =a2对称,故分三种情况讨论:(1)当a2≤-1即a ≤-2时,关于t 的二次函数y =2t 2-2at -(2a +1)在区间[-1,1]上为增函数,所以t =-1时y min =2+2a -(2a +1)=1;(2)当-1<a 2<1即-2<a <2时,关于t 的二次函数y =2t 2-2at -(2a +1)在区间[-1,a2]上为减函数、在区间[a 2,1]上为增函数,所以t =a 2时,y min =2×a 24-2a ×a 2-(2a +1)=-a22-2a-1;(3)当a2≥1即a ≥2时,关于t 的二次函数y =2t 2-2at -(2a +1)在区间[-1,1]上为减函数,所以t =1时,y min =2-2a -(2a +1)=1-4a ;综上知:原函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值y min=⎩⎪⎨⎪⎧1,a ≤-2,-a22-2a -1,-2<a <2,1-4a ,a ≥2.。

苏教版高中数学必修4学业分层测评:第一章 三角函数1.2.3.1 Word版含解析

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学业分层测评(五)三角函数的诱导公式(一~四)(建议用时:45分钟)学业达标]一、填空题1.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=cos π3=12. 【答案】 122.若sin(π+α)=12,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,则tan α=________. 【解析】 ∵sin(π+α)=-sin α=12,∴sin α=-12,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0, ∴α=-π6,tan α=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=-33. 【答案】 -333.(2016·南京高一检测)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,tan(π-α)=-34,则sin α=________. 【解析】 由于tan(π-α)=-tan α=-34,则tan α=34,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α=34,sin 2α+cos 2α=1,得sin α=±35,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以sin α>0, 所以sin α=35.【答案】 354.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=32,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4-α的值为________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4-α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4 =sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=32. 【答案】 325.设tan(5π+α)=m (α≠k π+π2,k ∈Z ),则sin (α-3π)+cos (π-α)sin (-α)-cos (π+α)的值为________.【解析】 ∵tan(5π+α)=m ,∴tan α=m ,原式=-sin α-cos α-sin α+cos α=-tan α-1-tan α+1=-m -1-m +1=m +1m -1. 【答案】 m +1m -1 6.已知f (x )=sin x ,下列式子中成立的是________(填序号).①f (x +π)=sin x ;②f (2π-x )=sin x ;③f (-x )=-sin x ;④f (π-x )=f (x ).【解析】 正确的是③④,f (-x )=sin(-x )=-sin x ,f (π-x )=sin(π-x )=sin x =f (x ).【答案】 ③④7.tan 300°+sin 450°=________.【解析】 tan 300°+sin 450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)=tan(-60°)+sin 90°=-tan 60°+sin 90°=1- 3.【答案】 1- 38.(2016·苏州高一检测)若cos 100°=k ,则tan 80°的值为________.【导学号:06460014】【解析】 cos 80°=-cos 100°=-k ,且k <0.于是sin 80°=1-cos 280°=1-k 2,从而tan 80°=-1-k 2k .【答案】-1-k2 k二、解答题9.若cos(α-π)=-2 3,求sin(α-2π)+sin(-α-3π)cos(α-3π)cos(π-α)-cos(-π-α)cos(α-4π)的值.【解】原式=-sin(2π-α)-sin(3π+α)cos(3π-α)-cos α-(-cos α)cos α=sin α-sin αcos α-cos α+cos2α=sin α(1-cos α)-cos α(1-cos α)=-tan α.∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-2 3,∴cos α=23,∴α为第一象限角或第四象限角.当α为第一象限角时,cos α=2 3,sin α=1-cos2α=5 3,∴tan α=sin αcos α=52,∴原式=-52.当α为第四象限角时,cos α=2 3,sin α=-1-cos2α=-5 3,∴tan α=sin αcos α=-52,∴原式=52.综上,原式=±5 2.10.在△ABC中,若sin(2π-A)=-2sin(π-B),3cos A=-2cos(π-B),求△ABC的三个内角.【解】由条件得sin A=2sin B,3cos A=2cos B,平方相加得2cos 2A =1,cos A =±22,又∵A ∈(0,π),∴A =π4或34π.当A =34π时,cos B =-32<0,∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π, ∴A ,B 均为钝角,不合题意,舍去.∴A =π4,cos B =32,∴B =π6, ∴C =712π.能力提升]1.(2016·盐城高一检测)已知sin(π-α)+3cos(π+α)=0,则sin αcos α的值为________.【解析】 ∵sin(π-α)+3cos(π+α)=0,即sin α-3cos α=0,∴tan α=3,∴sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=310. 【答案】 3102.(2016·南通高一检测)已知600°角的终边上有一点P (a ,-3),则a 的值为________.【解析】 由于tan 600°=tan(360°+240°)=tan 240°=tan(180°+60°)=tan 60°=3,又tan 600°=-3a ,∴3=-3a ,即a =- 3.【答案】 - 33.已知α∈(0,π),若cos(-α)-sin(-α)=-15,则tan α=________.【解析】 cos(-α)-sin(-α)=cos α+sin α=-15,①∴(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=125,∴2sin αcos α=-2425<0,又∵sin α>0,∴cos α<0,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=4925,∴sin α-cos α=75,②由①②得sin α=35,cos α=-45,∴tan α=-34.【答案】 -344.已知tan α,1tan α是关于x 的方程3x 2-3kx +3k 2-13=0的两实根,且3π<α<7π2,求cos(2π-α)+sin(2π+α)的值. 【解】 因为tan α,1tan α是关于x 的方程3x 2-3kx +3k 2-13=0的两实根,所以tan α·1tan α=13×(3k 2-13)=1, 可得k 2=163.因为3π<α<7π2,所以tan α>0,sin α<0,cos α<0,又tan α+1tan α=--3k 3=k ,所以k >0,故k =433,所以tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α=433,所以sin αcos α=3 4,所以(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=1+2×34=2+32.因为cos α+sin α<0,所以cos α+sin α=-3+1 2,所以cos(2π-α)+sin(2π+α)=cos α+sin α=-3+1 2.。

高一数学苏教版必修4学案:第一章 三角函数

高一数学苏教版必修4学案:第一章 三角函数

1.三角函数的概念重点掌握以下两方面内容:①理解任意角的概念和弧度的意义,能正确迅速进行弧度与角度的换算.②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义,能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题,能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域.2.同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明;能逆用公式sin2α+cos2α=1巧妙解题.3.诱导公式能用公式一至公式六将任意角的三角函数化为锐角三角函数,利用“奇变偶不变,符号看象限”牢记所有诱导公式.善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用,通过这些公式进行化简、求值,达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的.4.三角函数的图象与性质ππ5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”,会进行三角函数图象的变换,能从图象中获取尽可能多的信息,如周期、半个周期、四分之一个周期等,如轴对称、中心对称等,如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等.能从三角函数的图象归纳出函数的性质.(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性.在运用三角函数性质解题时,要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答.题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线,能够利用三角函数的定义求三角函数值,利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求与三角函数有关的定义域. 例1 求函数y =sin x + cos x -12的定义域.解 由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0,cos x -12≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,cos x ≥12, 如图,结合三角函数线知:⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π+π(k ∈Z ),2k π-π3≤x ≤2k π+π3(k ∈Z ), 解得2k π≤x ≤2k π+π3(k ∈Z ),∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π+π3,k ∈Z .跟踪演练1 设f (x )=1-2sin x . (1)求f (x )的定义域;(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值.解 (1)由1-2sin x ≥0,根据正弦函数图象知:定义域为{x |2k π+56π≤x ≤2k π+13π6,k ∈Z }.(2)∵-1≤sin x ≤1, ∴-1≤1-2sin x ≤3, ∵1-2sin x ≥0, ∴0≤1-2sin x ≤3, ∴f (x )的值域为[0,3],当x =2k π+3π2,k ∈Z 时,f (x )取得最大值.题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2 α+cos 2α=1及sin αcos α=tan α,并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中,要注意掌握解题的技巧,同时要体会数学思想方法,如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用.(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变);若是偶数倍,则函数名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号. 例2 已知2+tan (θ-π)1+tan (2π-θ)=-4,求(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)的值.解 方法一 由已知2+tan θ1-tan θ=-4,∴2+tan θ=-4(1-tan θ),解得tan θ=2. ∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ) =4sin θcos θ-sin 2 θ-3cos 2θ =4sin θcos θ-sin 2 θ-3cos 2θsin 2 θ+cos 2θ=4tan θ-tan 2θ-3tan 2θ+1=8-4-34+1=15.方法二 由已知2+tan θ1-tan θ=-4,解得tan θ=2.即sin θcos θ=2,∴sin θ=2cos θ. ∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)=(2cos θ-3cos θ)(cos θ-2cos θ)=cos 2θ=cos 2θsin 2 θ+cos 2θ=1tan 2θ+1=15.跟踪演练2 已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15.(1)求tan α的值; (2)把1cos 2α-sin 2 α用tan α表示出来,并求其值.解 (1)方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α+cos α=15, ①sin 2 α+cos 2 α=1, ②由①得cos α=15-sin α,将其代入②,整理得25sin 2 α-5sin α-12=0.∵α是三角形内角,∴sin α>0,∴⎩⎨⎧sin α=45,cos α=-35,∴tan α=-43.方法二 ∵sin α+cos α=15,∴(sin α+cos α)2=⎝⎛⎭⎫152, 即1+2sin αcos α=125,∴2sin αcos α=-2425,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+2425=4925.∵sin αcos α=-1225<0且0<α<π,∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, ∴sin α-cos α=75,由⎩⎨⎧sin α+cos α=15,sin α-cos α=75,得⎩⎨⎧sin α=45,cos α=-35,∴tan α=-43.(2)1cos 2α-sin 2α=sin 2α+cos 2αcos 2α-sin 2α=sin 2α+cos 2αcos 2αcos 2α-sin 2αcos 2α =tan 2α+11-tan 2α, ∵tan α=-43,∴1cos 2α-sin 2α=tan 2α+11-tan 2α=⎝⎛⎭⎫-432+11-⎝⎛⎭⎫-432=-257.题型三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中,主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定,以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求:(1)用“五点法”作y =A sin (ωx +φ)的图象时,确定五个关键点的方法是分别令ωx +φ=0,π2,π,3π2,2π.(2)对于y =A sin (ωx +φ)+b 的图象变换,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.(3)由已知函数图象求函数y =A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A ,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y =A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一的解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一. 例3 已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在一个周期内的图象如图.(1)求y =f (x )的解析式;(2)若函数y =g (x )与y =f (x )的图象关于直线x =2对称,求y =g (x )的解析式. 解 (1)由题意,知A =2,T =7-(-1)=8,故ω=2πT =π4.∵图象过点(-1,0),∴-π4+φ=0.∴φ=π4.∴所求的函数解析式为f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x +π4. (2)∵g (x )与f (x )的图象关于直线x =2对称,∴g (x )的图象是由f (x )沿x 轴平移得到的,找出f (x )上的点(1,2)关于直线x =2的对称点(3,2),代入g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x +θ得θ=-π4, ∴g (x )的解析式为g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π4.跟踪演练3 若0<x <π2,则2x 与πsin x 的大小关系是________.①2x >πsin x ;②2x <πsin x ;③2x =πsin x ;④与x 的取值有关. ★答案★ ②解析 在同一坐标平面内作出函数y =2x 与函数y =πsin x 的图象,如图所示.观察图象易知:当x =0时,2x =πsin x =0;当x =π2时,2x =πsin x =π;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,函数y =2x 是直线段,而曲线y =πsin x 是上凸的.所以2x <πsin x . 题型四 三角函数的性质三角函数的性质,重点应掌握y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质,在此基础上掌握函数y =A sin(ωx +φ),y =A cos(ωx +φ)及y =A tan(ωx +φ)的相关性质.在研究其相关性质时,将ωx +φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧.例4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,对任意实数x 满足f (x +2)=f (x ),且f (x )在[-3,-2]上单调递减,而α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f (sin α)>f (cos β). 证明 ∵f (x +2)=f (x ),∴y =f (x )的周期为2. ∴f (x )在[-1,0]与[-3,-2]上的单调性相同. ∴f (x )在[-1,0]上单调递减.∵f (x )是偶函数, ∴f (x )在[0,1]上的单调性与[-1,0]上的单调性相反. ∴f (x )在[0,1]上单调递增.① ∵α,β是锐角三角形的两个内角, ∴α+β>π2,∴α>π2-β,且α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,π2-β∈⎝⎛⎭⎫0,π2. 又∵y =sin x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上单调递增, ∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2-β=cos β,即sin α>cos β.② 由①②,得f (sin α)>f (cos β).跟踪演练4 已知a >0,函数f (x )=-2a sin(2x +π6)+2a +b ,当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1. (1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间. 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1, ∴-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈[-2a ,a ]. ∴f (x )∈[b,3a +b ],又∵-5≤f (x )≤1,∴b =-5,3a +b =1, 因此a =2,b =-5. (2)由(1)得a =2,b =-5, ∴f (x )=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1, g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +7π6-1 =4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1, 又由lg g (x )>0得g (x )>1,∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1>1,∴sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6>12, ∴2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π,k π+π6,k ∈Z . 又∵当2k π+π2<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )单调递减,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z .三角函数的性质是本章复习的重点,在复习时,要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得到函数的性质,或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也能利用函数的性质来描述函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练运用数形结合的思想方法.。

高中三角函数测试题及答案

高中三角函数测试题及答案

高中三角函数测试题及答案高一数学必修4第一章三角函数单元测试班级:________ 姓名:________ 座号:________ 评分:________一、选择题:共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(48分)1、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是()A.B=A∩CB.B∪C=CC.A∩C=DD.A=B=C2、将分针拨慢5分钟,则分钟转过的弧度数是A.$\frac{\pi}{3}\sin\alpha-2\cos\alpha$frac{3}{\pi}$B.$-\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{6}$D.$-\frac{\pi}{6}$3、已知$\tan\alpha=-5$,那么$\tan\alpha$的值为A.2B.$\frac{1}{6}$C.$-\frac{1}{6}$D.$-2$4、已知角$\alpha$的余弦线是单位长度的有向线段,那么角$\alpha$的终边()A.在x轴上B.在直线y=x上C.在y轴上D.在直线y=x或y=-x上5、若$f(\cos x)=\cos 2x$,则$f(\sin 15°)$等于()A.$-\frac{2}{3}$B.$\frac{3}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$6、要得到$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})$的图象只需将$y=3\sin 2x$的图象A.向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位B.向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位C.向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位D.向右平移$\frac{\pi}{4}$个单位7、如图,曲线对应的函数是()A.$y=|\sin x|$B.$y=\sin|x|$C.$y=-\sin|x|$D.$y=-|\sin x|$8、化简$1-\sin^2 160°$的结果是()A.$\cos 160°$B.$-\cos 160°$C.$\pm\cos 160°$D.$\mp\cos 160°$9、$A$为三角形$ABC$的一个内角,若$\sin A+\cos A=\frac{1}{2}$,则这个三角形的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形10、函数$y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象A.关于原点对称B.关于点($-\frac{2}{3}\pi$,0)对称C.关于y轴对称D.关于直线$x=\frac{\pi}{6}$对称11、函数$y=\sin(x+\frac{\pi}{2})$,$x\in R$是()A.$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上是增函数B.$[0,\pi]$上是减函数C.$[-\pi,0]$上是减函数D.$[-\pi,\pi]$上是减函数12、函数$y=2\cos x+1$的定义域是()A.$\left(2k\pi-\frac{\pi}{3},2k\pi+\frac{\pi}{3}\right)(k\in Z)$B.$\left(2k\pi-\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{2\pi}{3}\right)(k\in Z)$C.$\left(2k\pi+\frac{\pi}{3},2k\pi+\frac{2\pi}{3}\right)(k\i n Z)$D.$\left(2k\pi-\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{2\pi}{3}\right)(k\in Z)$二、填空题13、2π/3 < 2α < π14、f(x) = sin(π/2 - x)15、-116、cosα + sinα = 8/17三、解答题17、sin120° + cos180° + tan45° - cos(-330°) + sin(-210°)3/2 - (-1) + 1 - (-1/2) + (-1/2)3 + 118、由tanα = 3/√10,得sinα = -3/√19,cosα = -√10/√19sinα - cosα = -3/√19 + √10/√19 = (√10 - 3)/√1919、每分钟旋转4圈,即每秒旋转2π/15圈,绳子每秒上升的速度为v = (2π/15) * 50 = 20π/3 cm/s所以需要5秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm。

高中数学苏教版高一必修4学业分层测评:第一章_三角函数1.3.2.3

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学业分层测评(十) 正切函数的图象与性质(建议用时:45分钟)学业达标]一、填空题1.下列正确命题的序号为________.①y =tan x 为增函数;②y =tan(ωx +φ)(ω>0)的最小正周期为2πω;③在x ∈-π,π]上y =tan x 是奇函数;④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上y =tan x 的最大值是1,最小值为-1. 【解析】 函数y =tan x 在定义域内不具有单调性,故①错误;函数y =tan(ωx +φ)(ω>0)的最小正周期为πω,故②错误;当x =-π2,π2时,y =tan x 无意义,故③错误;由正切函数的图象可知④正确.【答案】 ④2.比较大小:tan π5________tan 13π10.【解析】 tan 13π10=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+3π10=tan 3π10. ∵y =tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上是增函数且0<π5<3π10<π2, ∴tan π5<tan 3π10,即tan π5<tan 13π10.【答案】 <3.函数f (x )=tan 2x tan x 的定义域为________.【解析】 函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π2+k π,x ≠k π,2x ≠k π+π2(k ∈Z ),∴x ≠k π2且x ≠k π2+π4,∴x ≠k π4,k ∈Z .【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π4,k ∈Z4.函数y =6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8-6x 的对称中心为________. 【解析】 y =6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8-6x =-6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x -π8, 由6x -π8=k π2,k ∈Z 得x =k π12+π48,k ∈Z ,故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12+π48,0,k ∈Z . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12+π48,0(k ∈Z ) 5.函数y =1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4≤x ≤π4且x ≠0的值域为________. 【解析】 ∵-π4≤x ≤π4且x ≠0,∴-1≤tan x ≤1且tan x ≠0,∴1tan x ≥1或1tan x ≤-1,故所求函数的值域为(-∞,-1]∪1,+∞).【答案】 (-∞,-1]∪1,+∞)6.函数y =3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6的最小正周期是π2,则ω=________. 【解析】 由π|ω|=π2,可知ω=±2.【答案】 ±27.已知函数y =tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2内是减函数,则ω的取值范围是________. 【解析】 ∵y =tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2内是减函数, ∴T =π|ω|≥π,∴|ω|≤1.∵y =tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2内为增函数, ∴ω<0,∴-1≤ω<0.【答案】 -1≤ω<08.若f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,试比较f (-1),f (0),f (1),并按从小到大的顺序排列:________. 【解析】 ∵f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π4,π4上单调递增, 且T =π,∴f (1)=f (1-π),又-3π4<1-π<-1<0<π4,∴f (1-π)<f (-1)<f (0),即f (1)<f (-1)<f (0).【答案】 f (1)<f (-1)<f (0)二、解答题9.设函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3. (1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间;(2)求不等式-1≤f (x )≤3的解集.【导学号:06460029】【解】 (1)由x 2-π3≠π2+k π,k ∈Z 得x ≠5π3+2k π,∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠5π3+2k π,k ∈Z . ∵ω=12,∴周期T =πω=2π.由-π2+k π<x 2-π3<π2+k π,k ∈Z 得-π3+2k π<x <5π3+2k π,k ∈Z ,∴函数f (x )的单调递增区间是-π3+2k π,5π3+2k π(k ∈Z ).(2)由-1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3≤3,得-π4+k π≤x 2-π3≤π3+k π,k ∈Z ,解得π6+2k π≤x ≤4π3+2k π,k ∈Z ,∴不等式-1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ π6+2k π≤x ≤4π3+2k π,k ∈Z . 10.设函数f (x )=tan(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,0<φ<π2,已知函数y =f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2,且图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8,0对称,求f (x )的解析式.【解】 由题意可知,函数f (x )的最小正周期T =π2,即πω=π2,∴ω=2,从而f (x )=tan(2x +φ).∵函数y =f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8,0对称, ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8+φ=k π2π,k ∈Z , 即φ=k π2+π4(k ∈Z ).∵0<φ<π2,∴φ只能取π4.故f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4. 能力提升]1.已知函数y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan x 2,则下列说法中:①周期是π且有一条对称轴x =0;②周期是2π且有一条对称轴x =0;③周期是2π且有一条对称轴x =π;④非周期函数但有无数条对称轴.上述结论正确的有________(填以上所有正确的结论的序号).【解析】 如图是函数的图象,由图象可知函数周期为2π,对称轴为x =k π(k ∈Z ).【答案】 ②③2.函数f (x )=tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y =π4所得线段长为π4,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________.【解析】 T =π4,∴πω=π4,∴ω=4,∴f (x )=tan 4x ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0. 【答案】 03.函数y =tan x +sin x -|tan x -sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2内的图象是________.(只填相应序号)图1-3-6【解析】 当π2<x <π时,tan x <sin x ,y =2tan x <0;当x =π时,y =0;当π<x <32π时,tan x >sin x ,y =2sin x .故填④.【答案】 ④4.已知f (x )=x 2+2x ·tan θ-1,x ∈-1,3],其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2.求θ的取值范围,使y =f (x )在区间-1,3]上是单调函数.【解】 函数f (x )=(x +tan θ)2-1-tan 2θ的图象的对称轴为直线x =-tan θ. ∵y =f (x )在-1,3]上是单调函数,∴-tan θ≤-1或-tan θ≥3,即tan θ≥1或tan θ≤- 3.因此,θ角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-π2,-π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4,π21.3.3 函数y =A sin(ωx +φ)的图象。

苏教版高中数学必修4章末综合测评(一) 三角函数.docx

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章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟,满分160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)1.若sin α<0且tan α>0,则α是第________象限角. 【解析】 ∵sin α<0,tan α>0, ∴α是第三象限角. 【答案】 三2.已知圆的半径是 6 cm ,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________.【解析】 15°化为弧度为π12,设扇形的弧长为l , 则l =6×π12=π2, 其面积S =12lR =12×π2×6=3π2.【答案】3π23.cos 675°=________.【解析】 cos 675°=cos(675°-720°)=cos(-45°) =cos 45°=22. 【答案】 224.把-11π4表示成θ+2k π(k ∈Z )的形式,使|θ|最小的θ的值是________.【解析】 ∵-11π4=-2π-3π4,∴-11π4与-3π4是终边相同的角,且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪-3π4=3π4是最小的.【答案】 -3π45.角α,β的终边关于x 轴对称,若α=30°,则β=________. 【解析】 画出图形,可知β的终边与-α的终边相同,故β=-30°+k ·360°,k ∈Z .【答案】 -30°+k ·360°,k ∈Z6.函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2的值域是________. 【导学号:48582068】【解析】 由0≤x ≤π2,得π6≤x +π6≤2π3, ∴-12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,327.设α是第二象限角,则sin αcos α·1sin 2α-1等于________. 【解析】 因为α是第二象限角, 所以sin αcos α·1sin 2α-1 =sin αcos α·1-sin 2αsin 2α=sin αcos α·|cos α||sin α|=sin αcos α·-cos αsin α=-1.【答案】 -18.将函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y =sin x 的图象,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=________.【解析】 将y =sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍可得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π6的图象,故f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin=sin π4=22.【答案】229.若3sin α+cos α=0,则1cos 2α+2sin αcos α的值为________.【解析】 由3sin α+cos α=0,得tan α=-13,∴1cos 2α+2sin αcos α=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sin αcos α =tan 2α+11+2tan α=⎝ ⎛⎭⎪⎫-132+11+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=103. 【答案】10310.已知点P (tan α,sin α-cos α)在第一象限,且0≤α≤2π,则角α的取值范围是________.【解析】 ∵点P 在第一象限, ∴{ tan α>0,①sin α-cos α>0,②由①知0<α<π2或π<α<3π2, ③由②知sin α>cos α.作出三角函数线知,在[0,2π]内满足sin α>cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,5π4.④由③,④得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π,5π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π,5π411.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0)的图象如图1所示,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12=________.图1【解析】 由图象知32T =π,∴T =2π3,A =2,又∵T =2πω,∴ω=3,将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0代入y =2sin(3x +φ)得:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π4+φ=0,取φ=-34π,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x -3π4,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12-3π4=2sin π=0. 【答案】 012.化简:1-2sin 200°cos 160°=________.【解析】 原式=1-2sin (180°+20°)cos (180°-20°) =1-2sin 20°cos 20°=(sin 20°-cos 20°)2 =cos 20°-sin 20°. 【答案】 cos 20°-sin 20°13.如图2为一半径是3 m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y =A sin(ωx +φ)+2,则ω=________,A =________. 【导学号:48582069】图2【解析】 由题意知,半径即是振幅,A =3,因为水轮每分钟旋转4圈,即周期为T =604=15 s ,所以ω=2πT =2π15. 【答案】2π153 14.关于函数,有下列命题:①其最小正周期为23π;②其图象由y =2sin 3x 向左平移π4个单位而得到;③其表达式可以写成f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +34π;④在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,512π为单调递增函数.则其中真命题为________.(需写出所有真命题的序号) 【解析】 ①由f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -34π得T =2π3,故①正确.②y =2sin 3x 向左平移π4个单位得y =2sin3x +34π,故②不正确. ③由f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -3π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +3π4-3π2 =-2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +3π4 =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +3π4 =2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x +34π, 故③正确. ④由2k π-π2≤3x -34π≤2k π+π2(k ∈Z )得23k π+π12≤x ≤23k π+512π(k ∈Z ),∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -34π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π+π12,23k π+512π(k ∈Z ).当k =0时,增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,5π12,故④正确. 【答案】 ①③④二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)(1)已知角α的终边经过点P (4,-3),求2sin α+cos α的值;(2)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4,求2sinα+cos α的值.【解】 (1)∵r =x 2+y 2=5,∴sin α=y r =-35,cos α=x r =45,∴2sin α+cos α=-65+45=-25.(2)当点P 在第一象限时,sin α=35,cos α=45,2sin α+cos α=2;当点P 在第二象限时,sin α=35,cos α=-45,2sin α+cos α=25;当点P 在第三象限时,sin α=-35,cos α=-45,2sin α+cos α=-2;当点P 在第四象限时,sin α=-35,cos α=45,2sin α+cos α=-25.16.(本小题满分14分)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π). (1)求sin (π-α)+5cos (2π-α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α的值;(2)求sin 2α+2sin αcos α-cos 2α+2的值. 【解】 由已知,得-sin(3π-α)=2cos(4π-α), ∴-sin(π-α)=2cos(-α), ∴sin α=-2cos α. ∵cos α≠0,∴tan α=-2. (1)原式=sin α+5cos α-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α+sin α=sin α+5cos α-2cos α+sin α =tan α+5-2+tan α=-2+5-2-2=-34.(2)原式=sin 2α+2sin αcos α-cos 2αsin 2α+cos 2α+2=tan 2α+2tan α-1tan 2α+1+2=4+2×(-2)-14+1+2=95.17.(本小题满分14分)已知函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;图3(2)写出f(x)的值域、周期、对称轴、单调区间. 【解】(1)列表如下:(2)由上图可知:值域为[-3,3],周期为2π, 对称轴为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =π4+k π,k ∈Z, 单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4+2k π,π4+2k π(k ∈Z ), 单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4+2k π,5π4+2k π(k ∈Z ).18. (本小题满分16分)在△ABC 中,AC =6,cos B =45,C =π4.求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A -π6的值.【解】在△ABC 中,A +B +C =π,所以A =π-(B +C ), 于是cos A =-cos(B +C )=-cos ⎝⎛⎭⎪⎫B +π4 =-cos B cosπ4+sin B sin π4. 又cos B =45,sin B =35,故cos A =-45×22+35×22=-210.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =7210. 因此,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A -π6=cos A cos π6+sin A sin π6=-210×32+7210×12=72-620.19.(本小题满分16分)已知函数y =a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+b 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的值域为[-5,1],求a ,b 的值. 【导学号:48582070】【解】 由题意知a ≠0.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6,∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1.当a >0时,⎩⎨⎧ a +b =1,-a2+b =-5,解得⎩⎨⎧a =4,b =-3.当a <0时,⎩⎨⎧-12a +b =1,a +b =-5,解得⎩⎨⎧a =-4,b =-1.综上,a =4,b =-3或a =-4,b =-1.20.(本小题满分16分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的一系列对应值如下表:(1)(2)根据(1)的结果,若函数y =f (kx )(k >0)的周期为2π3,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3时,方程f (kx )=m 恰有两个不同的解,求实数m 的取值范围.【解】 (1)设f (x )的最小正周期为T ,得T =11π6-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=2π.由T =2πω,得ω=1.又⎩⎨⎧B +A =3,B -A =-1,解得⎩⎨⎧A =2,B =1,令ω·5π6+φ=π2+2k π,k ∈Z , 即5π6+φ=π2+2k π,k ∈Z ,即φ=-π3+2k π,k ∈Z . 又|φ|<π2,解得φ=-π3,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3+1.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷(2)∵函数y =f (kx )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫kx -π3+1的周期为2π3,又k >0,∴k =3. 令t =3x -π3,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3,∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3. 如图,sin t =s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3上有两个不同的解的条件是s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,1,∴方程f (kx )=m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3时,恰有两个不同的解的条件是m ∈[)3+1,3,即实数m 的取值范围是[3+1,3).。

苏教版数学高一- 必修4第1章《三角函数》过关检测卷

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章末过关检测卷(一)(测试时间:120分钟 评价分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·广东卷)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2+α=15,那么cos α=()A .-25B .-15 C.15 D.25解析:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2+α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+π2+α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+α=cos α=15,故选C. 答案:C 2.把-114π表示成θ+2k π(k ∈Z)的形式,使|θ|最小的角θ的值是( )A .-3π4B .-π4 C.π4 D.3π4解析:-114π=-2π-34π,故选A.答案:A3.(2013·大纲卷)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( )A .-1213B .-513C.513 D.1213解析:∵α是第二象限角,且sin α=513,∴cos α=-1213.故选A.答案:A4.如果函数f (x )=sin(πx +θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ,且当x =2时取得最大值,那么( )A .T =2,θ=π2 B .T =1,θ=πC .T =2,θ=πD .T =1,θ=π2解析:T =2π|ω|,当ωx +θ=2k π+π2(k ∈Z)时取得最大值.由题意知T =2ππ=2,又当x =2时,有2π+θ=2k π+π2,∴θ=2(k -1)π+π2,0<θ<2π,∴k =1,则θ=π2,故选A.答案:A5.(2013·福建卷)将函数f (x )=sin(2x +θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象,若f (x ),g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0,32,则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析:把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32代入f (x )=sin(2x +θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<θ<π2,解得θ=π3,所以g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3-2φ,把P ⎝⎛⎭⎪⎫0,32代入得,φ=kπ或φ=k π-π6,故选B.答案:B6.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=35,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,32π,则tan α=()A.43B.34 C .-34 D .±34解析:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-sin α=35,sin α=-35,∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,32π,∴cos α=-45,∴tan α=34.答案:B7.(2013·四川卷)函数f (x )=2sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A .2,-π3B .2,-π6C .4,-π6D .4,π3解析:T 2=1112π-512π,所以T =π,所以2πω=π,ω=2,f (x )=2sin(2x +φ),所以2×512π+φ=π2+2k π,k ∈Z.所以φ=-π3+2k π,k ∈Z ,又-π2<φ<π2,所以φ=-π3,故选A.答案:A8.圆心角为60°的扇形,它的弧长为2π,则它的内切圆的半径为( )A .2 B. 3 C .1 D.32解析:由已知扇形所在圆的半径R =2ππ3=6,设该扇形内切圆半径为r ,则6-r =2r ,∴r =2,故选A.答案:A9.函数y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫-2x -π6(x ∈)为增函数的区间是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,512πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,23πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,1112πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,1112π解析:由函数y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x -π6=-3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6且x ∈知,π6≤2x +π6≤2π+π6,由y =sin x 的性质可知从x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,32π上函数y=sin x 单调递减,故π2≤2x +π6≤32π,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,23π上,y =-3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6单调递增.答案:B10.函数y =3x -x 2tan x 的定义域是( )A .(0,3-5,1hslx3y3h ,求a 、b 的值.解析:∵0≤x ≤π2,∴-π3≤2x -π3≤2π3.∴-12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3≤1.当a >0时,-a +b ≤2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3+b ≤2a +b .由已知得,⎩⎨⎧-a +b =-5,2a +b =1,∴⎩⎨⎧a =2,b =-3.当a <0时,2a +b ≤2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3+b ≤-a +b .由已知得,⎩⎨⎧2a +b =-5,-a +b =1,∴⎩⎨⎧a =-2,b =-1.18.(本小题满分14分)函数f 1(x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,⎪⎪⎪⎪φ<π2的一段图象如下图所示,(1)求函数f 1(x )的解析式;(2)将函数y =f 1(x )的图象向右平移π4个单位,得函数y =f 2(x )的图象,求y =f 2(x )的最大值,并求此时自变量x 的集合.解析:(1)由图象可知,A =2,T 2=π3-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=π2,T =π, ∴ω=2πT =2.又∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0,∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6+φ=2k π(k ∈Z),又∵|φ|<π2,∴φ=π3.∴f 1(x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.(2)∵将函数f 1(x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象向右平移π4个单位长度,得到函数f 2(x )=2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4+π3=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6的图象.∵函数f 2(x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的定义域是R ,∴函数f 2(x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的最大值是2,此时2x -π6=π2+2k π, x =π3+k π,k ∈Z.∴当函数f 2(x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6的最大值是2时,自变量x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =π3+k π,k ∈Z .19.(本小题满分14分)设函数f (x )=sin(2x +φ)(-π<φ<0),y =f (x )图象的一条对称轴是直线x =π8.(1)求φ;(2)求函数y =f (x )的单调增区间.解析:(1)∵x =π8是函数y =f (x )的图象的对称轴,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8+φ=±1,∴π4+φ=k π+π2,k ∈Z. ∵-π<φ<0,∴φ=-3π4.(2)由(1)知φ=-3π4,因此y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4.由题意得2k π-π2≤2x -3π4≤2k π+π2,k ∈Z.即k π+π8≤x ≤k π+58π,k ∈Z ,所以函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+5π8,k ∈Z.20.(本小题满分14分)2013年的元旦,N 市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y =A sin(ωx +φ)+b (A ,ω>0,|φ|≤π).从天气台得知:N 市在2013年的第一天的温度为1到9度,其中最高气温只出现在下午14时,最低气温只出现在凌晨2时.(1) 求函数y =A sin(ωx +φ)+b 的表达式.(2)若元旦当天M 市的气温变化曲线也近似地满足函数y 1=A 1sin(ω1x +φ1)+b 1,且气温变化也为1到9度,只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N 市迟了4个小时.①求早上7时,N 市与M 市的两地温差;②若同一时刻两地的温差不超过2度,我们称之为温度相近,求2013年元旦当日,N 市与M 市温度相近的时长.解析:由已知可得:b =5,A =4,T =24⇒ω=π12. 又最低气温出现在凌晨2时,则有2ω+φ=2k π-π2, 又|φ|≤πφ=-23π. 则所求的函数表达式为y =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x -23π+5. (2)由已知得M 市的气温变化曲线近似地满足函数y 1=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x -π+5, y -y 1=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x -23π-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x -π =4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x -23π+sin π12x=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x -13π. ①当x =7时,y -y 1=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×7-13π=2 2.②由|y -y 1|≤2⇒-2≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x -13π≤2⇒ 2≤x ≤6或14≤x ≤18.则2012年元旦当日,N 市与M 市温度相近的时长为8小时.。

高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题

高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题

1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数.你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?改变终边上的点的位置,这个比值会改变吗?把角扩充为任意角,结论成立吗?一、任意角的三角函数1.单位圆:在平面直角坐标系中,以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆称为________.2.三角函数的定义:设角α的顶点与原点重合,始边与x 轴非负半轴重合.在平面直角坐标系中,角α终边与单位圆交于一点P (x ,y ),则r =|OP |=1.那么:(1)y 叫做________,记作sin α,即y =sin α; (2)x 叫做________,记作cos α,即x =cos α; (3)y x 叫做________,记作tan α,即y x=tan α(x ≠0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们把它们统称为________.答案:1.单位圆2.(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1.由三角函数的定义,以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数在各象限的符号.sin α=y r,其中r >0,于是sin α的符号与y 的符号相同,即:当α是第________象限角时,sin α>0;当α是第________象限角时,sin α<0.cos α=x r,其中r >0,于是cos α的符号与x 的符号相同,即:当α是第__________象限角时,cos α>0;当α是第________象限角时,cos α<0.tan α=y x,当x 与y 同号时,它们的比值为正,当x 与y 异号时,它们的比值为负,即:当α是第________象限角时,tan α>0;当α是第 ________象限角时,tan α<0.2.根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1:“sin α=yr :上正下负横为0;cos α=x r :左负右正纵为0;tan α=y x:交叉正负.” 形象的识记口诀2:“一全正、二正弦、三正切、四余弦.” 答案:1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知,三角函数值是由角的终边的位置确定的,因此,终边相同的角的同一三角函数的值________,这样就有下面的一组公式(诱导公式一):sin(2k π+α)=sin α,cos(2k π+α)=cos α,tan(2k π+α)=tan α,k ∈Z. 答案:相等四、三角函数线1.有向线段:有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段,它是________、 ________的.在平面直角坐标系中,和坐标轴同向的有向线段为正,反向的为负.2.正弦线、余弦线、正切线:三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段.有向线段的________表示三角函数值的________,有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________.三角函数线的作法如下:设角α的终边与单位圆的交点为P ,过点P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则有向线段MP ,OM 就分别是角α的正弦线与余弦线,即MP =y =sin α,OM =x =cos α.过点A (1,0)作单位圆的切线,设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ,则有向线段AT 就是角α的正切线,即AT =tan α.3.填写下表中三角函数的定义域、值域:函数定义域值域 y =sin α y =cos α y =tan α答案:1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y =sin α R [-1,1] y =cos α R[-1,1]y =tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2+k π,k ∈ZR任意角的三角函数的定义1.正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.2.三角函数值是比值,是一个实数.这个实数的大小和点P (x ,y )在终边上的位置无关,而是由角α的终边位置所决定.对于确定的角α,其终边的位置也是唯一确定的.因此,三角函数是角的函数.(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关,与点P 在终边上的位置无关. (2)三角函数值是一个比值,没有单位.三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置,具体说取决于x,y的符号,记忆时结合三角函数定义式记,也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.三角函数线对于三角函数线,须明确以下几点:(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致,三种有向线段的长度与三种三角函数值相同.三角函数的定义域1.由三角函数的定义式可以知道,无论角α终边落在哪里,sin α,cos α都有唯一的值与之对应,但对正切则要求α终边不能落在y轴上,否则正切将无意义.2.角和实数建立了一一对应关系,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数,所以就可以借助单位圆,利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数.基础巩固1.sin 810°+tan 765°+tan 1125°+cos 360°=________.答案:42.若α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值为________.答案:-3 23.若角α的终边过点P (3cos θ,-4cos θ)(θ为第二象限角),则sin α=________.答案:454.cos θ·tan θ<0,则角θ是________象限角. 答案:第三或第四5.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第________象限. 答案:二6.角α的正弦线与余弦线长度相等,且符号相同,那么α(0<α<2π)的值为________.答案:π4或54π7.sin 1,sin 1.2,sin 1.5三者的大小关系是________. 答案:sin 1.5>sin 1.2>sin 1能力升级8.函数y =sin x +-cos x 的定义域是________.解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,-cos x ≥0,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,cos x ≤0,即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上.∴2k π+π2≤x ≤2k π+π,k ∈Z.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+π(k ∈Z)9.已知角α的终边在直线y =kx 上,若sin α=-255,cos α<0,则k =________.解析:∵sin α=-255,cos α<0,∴α的终边在第三象限.令角α的终边上一点的坐标为(a ,ka ),a <0,则r =-1+k 2·a ,sin α=-ka 1+k 2a=-255,∴k =2. 答案:210.在(0,2π)内,满足tan 2α=-tan α的α的取值X 围是________. 解析:由tan 2α=-tan α,知tan α≤0,在单位圆中作出角α的正切线,知π2<α≤π或3π2<α<2π. 答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,2π11.解不等式2+2cos x ≥0. 解析:2+2cos x ≥0⇔cos x ≥-22,利用单位圆,借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-34π,2k π+34π(k ∈Z).12.若π4<θ<π2,则下列不等式中成立的是( )A .sin θ>cos θ>tan θB .cos θ>tan θ>sin θC .sin θ>tan θ>cos θD .tan θ>sin θ>cos θ解析:作出角θ的三角函数线(如图),数形结合得AT >MP >OM ,即tan θ>sin θ>cosθ.答案:D13.函数y =sin x |sin x |+cos x |cos x |+tan x|tan x |的值域是( C )A .{-1,0,1,3}B .{-1,0,3}C .{-1,3}D .{-1,1}14.若0<α<π2,证明:(1)sin α+cos α>1; (2)sin α<α<tan α.证明:(1)在如图所示单位圆中, ∵0<α<π2,|OP |=1,∴sin α=MP ,cos α=OM . 又在△OPM 中,有 |MP |+|OM |>|OP |=1. ∴sin α+cos α>1.(2)如图所示,连接AP ,设△OAP 的面积为S △OAP ,扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ,△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT , ∴12OA ·MP <12AP ︵·OA <12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ,即sin α<α<tan α.15.已知f (n )=cosn π5(n ∈Z),求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 014)的值.解析:角n5π(n =1,2,…,10)表示10个不同终边的角,这10条终边分成五组,每组互为反向延长线.∴f (1)+f (2)+…+f (10)=0,f (11)+f (12)+…+f (20)=0,…f (2 001)+f (2 002)+…+f (2 010)=0.∴f (1)+f (2)+…+f (2 010)=0.∴f (1)+f (2)+…+f (2 014)=f (2 011)+f (2 012)+f (2 013)+f (2 014)=cos π5+cos 2π5+cos 3π5+cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5,cos 2π5与cos 3π5互为相反数,故f (1)+f (2)+…+f (2 014)=0.。

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高一单元检测—三角函数(1)
一、填空题
1、与︒880终边相同的角的集合为________________,最小正角是_____,最大负角是____。

2、一个半径为R 的扇形,其周长为R 4,则此扇形的面积为__________。

3、若0sin <x ,0cos >x ,则角是第_____象限角。

4、若5
4cos -
=x ,x 是第三象限角,则=x sin __________,=x tan __________。

5、若2tan =α,则=-+α
αααcos sin cos sin __________,=-αα22sin cos __________。

6、若函数1sin )(++=x b ax x f ,7)5(=f ,则=-)5(f __________。

7、已知1312)4cos(=-x π,40π<<x ,则=+)4
cos(x π__________。

8、在ABC ∆中,若B A 2sin 2sin =,则该三角形是_________________三角形。

9、函数2cos x x y =是________函数,)25sin()(π+=x x f 是_______函数(研究奇偶性)。

10、函数1)3sin(2--=π
x y 的最小值和最大值分别是__________,__________。

11、把函数)63sin(π
-=x y 图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式是____________________。

12、要得到函数)32sin(π+
=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象_______________。

13、函数)32sin(π
-=x y 的对称中心是____________________。

14、函数)ln(sin x y =的定义域是____________________。

15、函数)3
2tan(x y π=的周期是__________。

16、函数)0(sin 2)(> =ωωx x f 在]4
,3[ππ-
上递增,则ω的取值范围是____________。

二、解答题 17、已知角α的终边经过点)4,3(m m P -)0(≠m ,求α的三个三角函数值。

18、(1)求值:︒︒-+︒︒-750sin )1020cos(1110cos )1380sin(
(2)求值:)4
tan(4cos 45sin
2πππ-+-
(3)化简:x x x x x x x sin 1
tan cos sin cos sin sin 22--+--
(4)已知33)6cos(
=-απ,求)3
4(cos )65cos(2απαπ+++的值。

19、求下列函数的单调区间和最值。

(1))32cos(π-
=x y (2))3sin(x y -=π
20、在匀强磁场中,匀速运动的线圈所产生的电流强度I 和时间t 有如下关系:)6
2sin(3π+=t I ,),0[+∞∈t 。

(1)求这个函数的振幅和周期;
(2)求这个函数的单调减区间;
(3)作出这个函数在一个周期内的图象。

21、(1)设函数)cos()sin()(βπαπ+++=x b x a x f (其中βα,,,b a 为非零实数)
,若5)2006(=f ,求)2007(f 的值。

(2)函数)4sin(πω-
=x y 的周期是T ,且42<<T 。

①、求正整数ω; ②、设1ω是正整数ω的最大值,用“五点法”作出)4sin(1πω-
=x y 在一个周期内的图象; ③、说明函数)4sin(1πω-
=x y 的图象可由正弦曲线怎样变化而得。

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