高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题

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2023版高考数学一轮总复习8-2空间点线面的位置关系习题

8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。

高考数学一轮总复习课时规范练34空间点直线平面之间的位置关系北师大版

课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2.如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点，则下列判断正确的是()A.直线AC与BF是相交直线B.直线C1E与AC互相平行C.直线C1E与BF是异面直线D.直线DB与AC互相垂直3.(2020浙江，6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱B1C1的中点，则平面AD1E截该正方体所得的截面面积为()A.4√2B.2√2C.4D.926.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的是()7.已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是.8.如图，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是.9.如图，点A在平面α外，△BCD在平面α内，E，F，G，H分别是线段BC，AB，AD，DC的中点.(1)求证:E，F，G，H四点在同一平面上;(2)若AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成角为60°，求EG的长.综合提升组10.如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论不正确的是()A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1四点共面C.C1，O，C，M四点共面D.D，B1，O，M四点共面11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M 为线段AP的中点，则下列说法中不正确的是()A.CM与PN是异面直线B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BB1D1DD.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有条.13.(2021湖南长沙一中月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点，F为棱AA1的中点，且CE=2C1E，AB=2，AA1=3，BC=4，则平面BEF截该长方体所得截面为边形，截面与侧面ADD1A1，侧面CDD1C1的交线长度之和为.14.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ∥AD ，且BC=12AD ，BE ∥AF 且BE=12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形. (2)C ，D ，E ，F 四点是否共面?为什么? (3)证明:直线FE ，AB ，DC 相交于一点.创新应用组15.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K 为棱A1B1的中点，则截面面积为，若截面把正方体分成体积之比为2∶1的两部分，则A1K=.KB1课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系1.C解析:由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线.若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.故选C.2.D解析:由题知，AC⊂平面ABCD，BF与平面ABCD交于点B，B∉AC，所以直线AC与BF是异面直线，故A错误;AC⊂平面ACC1A1，EC1与平面ACC1A1交于点C1，C1∉AC，所以直线C1E与AC是异面直线，故B错误;根据正方体性质EF∥AD1∥BC1，所以E，F，B，C1四点共面，所以直线C1E与BF不是异面直线，故C错误;正方体各个表面均为正方形，所以直线DB与AC互相垂直，故D正确.故选D.3.B解析:由条件可知，当m，n，l在同一平面内时，三条直线不一定两两相交，有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来，当空间中不过同一点的三条直线m，n，l两两相交时，如图，三个不同的交点确定一个平面，则m，n，l在同一平面内，所以“m，n，l”共面是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件.故选B.4.B解析:对于A，通过常见的正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错误;对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B正确;对于C，如三棱柱中的三条侧棱平行，但不共面，故C错误;对于D，如三棱锥的三条侧棱共点，但不共面，故D错误.故选B.5.D解析:由题意可得，如图所示，因为E，F分别是B1C1，BB1的中点，所以BC1∥EF，在正方体中，AD1∥BC1，所以AD1∥EF，所以A，D1，E，F在同一平面内，所以平面AD1E截该正方体所得的截面为平面AD1EF.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以EF=√2，AD 1=2√2，等腰梯形的高为√2，所以四边形AD 1EF 的面积S=(√2+2√2)×√22=92，故选D .6.C 解析:对于A ，连接PR ，QS ，得PR ，QS 与正方体的(竖立的)棱平行且相等，因此四边形PQSR 是平行四边形，故PQ ，RS 共面;对于B ，RS 与正方体的面对角线AB 平行，PQ 与CD 平行，又AB ∥CD ，故PQ ∥RS ，则PQ ，RS 共面;对于C ，RS ⊂平面PRS ，P ∈平面PRS ，P ∉RS ，Q ∉平面PRS ，所以QP 与RS 是异面直线，故PQ 与RS 不共面;对于D ，设QP 与BA 延长线交于点C 1，SR 与BA 延长线交于点C 2，P ，Q 是正方体棱的中点，所以EP=EQ.又∠C 1AP=∠QEP=90°，所以∠EPQ=∠EQP=45°，所以∠C 1PA=∠EPQ=45°，从而∠AC 1P=45°，所以AC 1=AP.同理AC 2=AR ，所以AC 1=AP=AR=AC 2，即C 1，C 2重合，所以PQ ，RS 相交，即PQ ，RS 共面.故选C . 7.平行或异面解析:如图，由于ABCD 是梯形，AB ∥CD ，所以AB 与CD 无公共点，又CD ⊄平面α，所以CD 与平面α无公共点.当m ∥AB 时，则m ∥DC ;当m 与AB 相交时，则m 与DC 异面.8.直线CD 解析:由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β.因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上. 又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β=CD.9.(1)证明因为E ，F ，G ，H 分别是线段BC ，AB ，AD ，DC 的中点.故FG ∥BD ，且FG=12BD ，同理EH ∥BD ，且EH=12BD ，故FG ∥EH ，且FG=EH.故四边形EFGH 为平行四边形.故E ，F ，G ，H 四点在同一平面上.(2)解由(1)知四边形EFGH 为平行四边形，且FG=12BD=4，FE=12AC=3.又异面直线AC 与BD 所成角为60°，故∠GFE=60°或120°.当∠GFE=60°时，EG 2=FE 2+FG 2-2FE ·FG cos60°=25-12=13. 此时EG=√13;当∠GFE=120°时，EG 2=FE 2+FG 2-2FE ·FG cos120°=25+12=37. 此时EG=√37，所以EG 的长为√13或√37.10.D 解析:平面AA 1C ∩平面AB 1D 1=AO ， ∵直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ， ∴M ∈AO ，即A ，O ，M 三点共线; 根据A ，O ，M 三点共线，知A 1A ∩AO=A ， ∴M ，O ，A 1，A 四点共面; 同理，M ，O ，C 1，C 四点共面;由图知，OM ，B 1D 是异面直线，故O ，M ，B 1，D 四点不共面. 故选D .11.A 解析:由题知，点C ，N ，A 共线，即CN ，PM 交于点A ，所以A ，N ，C ，P ，M 共面，因此CM ，PN 共面，故A 错误;记∠PAC=θ，则PN 2=AP 2+AN 2-2AP ·AN cos θ=AP 2+14AC 2-AP ·AC cos θ，CM 2=AC 2+AM 2-2AC ·AM cos θ=AC 2+14AP 2-AP ·AC cos θ，又AP<AC ，CM 2-PN 2=34(AC 2-AP 2)>0，CM 2>PN 2，即CM>PN ，故B 正确;在正方体中，AN ⊥BD ，BB 1⊥平面ABCD ，则BB 1⊥AN ，BB 1∩BD=B ，可得AN ⊥平面BB 1D 1D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面BB 1D 1D ，故C 正确;过P ，A ，C 三点的正方体的截面与C 1D 1相交于点Q ，则AC ∥PQ ，且PQ<AC ，因此一定是等腰梯形，故D 正确，故选A .12.无数解析:(方法1)在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点.如图所示.(方法2)在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α.因为CD 与平面α不平行，所以CD 与平面α相交，设CD 与平面α交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线.由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交. 13.五10+9√56解析:如图，设平面BEF 与棱C 1D 1，A 1D 1分别交于G ，H ，则截面为五边形BEGHF.易知BF ∥EG ，BE ∥FH ，则∠ABF=∠EGC 1，∠CBE=∠A 1HF ， ∴C 1EC1G=AFAB =322,A 1F A 1H=CE CB =24，而C 1E=1，A 1F=32， ∴C 1G=43，A 1H=3.则FH=√9+94=3√52，GE=√169+1=53，故交线长度之和为FH+GE=3√52+53=10+9√56.14.(1)证明因为G ，H 分别为FA ，FD 的中点，AD.所以GH∥AD，且GH=12AD，又BC∥AD，且BC=12故GH∥BC，且GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解C，D，E，F四点共面.理由如下:AF，G是FA的中点可知，由BE∥AF且BE=12BE∥GF且BE=GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF BG.由(1)知BG CH，所以EF∥CH，所以四边形ECHF为平行四边形，所以EC∥FH，故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，E，F四点共面.(3)证明由(2)可知，EC∥DF.所以四边形ECDF为梯形.所以FE，DC交于一点.设FE∩DC=M.因为M∈FE，FE⊂平面ABEF，所以M∈平面ABEF.同理M∈平面ABCD.又平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以点M在AB的延长线上，所以直线FE，AB，DC交于一点.15.98√5-12解析:(1)取B 1C 1的中点M ，连接KM ，MC ，∵KM ∥A 1C 1，而A 1C 1∥AC ， ∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，且AK=MC. ∴四边形ACMK 是等腰梯形，如图，KM=√22，AC=√2，AK=√12+(12) 2=√52，AH=√2-√222=√24， ∴KH=√AK 2-AH 2=√(√52)2-(√24)2=3√24， ∴S 四边形ACMK =12×√22+√2×3√24=98.(2)设B 1K=x ，取B 1C 1上的点M ，使B 1K=B 1M=x ，连接KM ，MC ，∵KM ∥A 1C 1，A 1C 1∥AC ，∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，∵V B 1MK -BCA =13V A 1B 1CD 1-ABCD =13，∴V B 1MK -BCA =13×12+12x 2+√12×12x 2×1=13，即x 2+x-1=0. ∵x>0， ∴解得x=-1+√52.即B 1K=-1+√52，则A 1K=1--1+√52=3−√52，故A 1KKB 1=3−√52-1+√52=√5-12.。

2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3

直线与平面垂直的性质基础巩固一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．不确定[答案] C2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1，则有( )A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交[答案] B[解析] 因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B．3．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案] C4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC 所在平面，那么( )A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PA≠PC[答案] C5．(2015·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α、β所成的角相等[答案] D6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析] ∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C．又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C．又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C．故选A．二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.[答案] 4[解析] 如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.8．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC 垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号)．(1)直线DE∥平面ABC；(2)直线DE⊥平面VBC；(3)DE⊥VB；(4)DE⊥AB．[答案] (1)(2)(3)三、解答题9．(2013·陕西)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.证明：A1C⊥平面BB1D1D．[分析] 先把线面垂直转化为线线垂直，再通过计算得出另一组线线垂直，最后可以得到线面垂直．[证明] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．10．如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD．[证明] (1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.因此，MN ⊥CD ，而CD ∥AB ，故MN ⊥AB ．(2)在Rt △PAD 中有PA ＝AD ，取PD 的中点K ，连接AK ，KN ，则KN 綊12DC 綊AM ，且AK ⊥PD ．∴四边形AMNK 为平行四边形，从而MN ∥AK. 因此MN ⊥PD ．由(1)知MN ⊥DC ，又PD∩DC＝D ， ∴MN ⊥平面PCD ．能力提升一、选择题1．(2015·深圳高一检测)直线l 垂直于梯形ABCD 的两腰AB 和CD ，直线m 垂直于AD 和BC ，则l 与m 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定[答案] D[解析] ∵AD ∥BC ，∴梯形ABCD 确定一个平面α. ∵l ⊥AB ，l ⊥CD ，AB 和CD 相交． ∴l ⊥α.由于AD ∥BC ，m ⊥AD ，m ⊥BC ，则m ⊥α或m ∥α或m ⊂α或m 与α相交，则l ∥m 或l 与m 异面或l 与m 相交．2．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 [答案] C3．下列命题正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α.A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②④[答案] A[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．4．(2015·河北衡水中学六模)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°[答案] D[解析] A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．二、填空题5．三棱锥P－ABC中，O是P在底面内的射影．①若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的________心；②若P到△ABC三条边的距离相等，则O是△ABC的________心；③若PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心．[答案] ①外②内③外6．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________.[答案] 3 cm[解析] 如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC 的重心为G ，连接CG 并延长交AB 于中点E ，又设E 、G 在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝12(A′A＋B′B)＝52，CC′＝4，CG GE ＝21，在直角梯形EE′C′C 中，可求得GG′＝3.三、解答题7．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C∩BC 1＝E.求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[答案] (1)详见解析；(2)详见解析．[分析] (1)由三棱锥性质知侧面BB 1C 1C 为平面四边形，因此点E 为B 1C 的中点，从而由三角形中位线性质得DE ∥AC ，再由线面平行判定定理得DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中BC ＝CC 1，所以侧面BB 1C 1C 为正方形，因此BC 1⊥B 1C ，又AC ⊥BC ，AC ⊥CC 1(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直判定定理得AC ⊥平面BB 1C 1C ，从而AC ⊥BC 1，再由线面垂直判定定理得BC 1⊥平面AB 1C ，进而可得BC 1⊥AB 1.[解析] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ．又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1，BC∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC ．因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C ．因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ．又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.8．(2015·浙江模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值．[解析] (1)证明：设点O 为AC ，BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 垂直平分线段AC ．所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC ．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD ．又PA∩AC＝A ，所以BD ⊥平面APC ．(2)连接OG.由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面PAC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AO ＝CO ，所以∠ABO ＝12∠ABC ＝60°，所以AO ＝OC ＝AB·sin60°＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG. 在Rt △PAC 中，PC ＝32＋232＝15.所以GC ＝AC·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。

新高考总复习数学第七章第2节空间点、直线、平面之间的位置关系

多维层次练37[A级基础巩固]1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD 平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A3．(2019·邯郸调研)如图所示，在三棱锥S-ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：连接SG 1并延长交AB 与M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN (图略)．由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，所以在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，所以G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，所以MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC ，即直线G 1G 2与BC 的位置关系是平行．答案：B4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对解析：如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1，CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案：B5．(2020·湛江调研)三棱锥A-BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.13B.24C.33D.23解析：连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，因为M 是AD 的中点，所以MO ∥AN ，所以∠BMO (或其补角)是异面直线BM 与AN 所成的角，设三棱锥A-BCD 的所有棱长为2，则AN ＝BM ＝DN ＝22－12＝3，则MO ＝12AN ＝32＝NO ＝12DN ，则BO ＝BN 2＋NO 2＝1＋34＝72，在△BMO 中，由余弦定理得cos ∠BMO ＝BM 2＋MO 2－BO 22·BM ·MO ＝3＋34－742×3×32＝23，所以异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 答案：D6．(2019·珠海模拟)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，P 为边AB 的中点，现将△DAP 绕直线DP 翻转至△DA ′P 处，若M 为线段A ′C 的中点，则异面直线BM 与PA ′所成角的正切值为( )A.12B ．2 C.14 D ．4解析：取A ′D 的中点N ，连接PN ，MN ，因为M 是A ′C 的中点，所以MN ∥CD ，且MN ＝12CD ，因为四边形ABCD 是矩形，P 是AB 的中点，所以PB ∥CD ，且PB ＝12CD ，所以MN ∥PB ，且MN ＝PB ，所以四边形PBMN 为平行四边形，所以MB ∥PN ，所以∠A ′PN (或其补角)是异面直线BM 与PA ′所成的角．在Rt △A ′PN 中，tan ∠A ′PN ＝A ′N A ′P ＝12，所以异面直线BM 与PA ′所成角的正切值为12.故选A. 答案：A7．(2020·惠州质检)设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P 、Q 分别在棱AD 、CD 上，若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z >0)，则下列结论中正确的是________(填序号)．①EF∥平面DPQ；②三棱锥P-EFQ的体积与y的变化有关，与x，z的变化无关；③异面直线EQ和AD1所成角的大小与x，y，z的变化无关．解析：在①中，平面DPQ外一直线EF平行于平面DPQ内直线DQ，所以EF∥平面DPQ，故①正确．在②中，由点Q到EF的距离等于22，而EF＝1，故S△EFQ的值为定值，而随着点P在AD上运动，点P到平面EFQ的距离为变量，从而使得三棱锥P-EFQ的体积跟着变化，所以三棱锥P-EFQ的体积与x，y大小无关，与z大小有关，故②错误．在③中，由线面垂直的判定定理得AD1⊥平面A1DCB1，而直线EQ在平面A1DCB1内运动，不论EQ怎样运动，总有EQ与AD1互相垂直，即异面直线EQ和AD1所成角为90°，与x，y，z的变化无关，故③正确．答案：①③8.(2020·南京期末)如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝3AB.记异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cos θ的值为________．解析：因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝3AB，连接AD1，B1D1，所以BD∥B1D1，所以∠AB1D1是异面直线AB1与BD所成的角(或所成角的补角)．设AA1＝3AB ＝3，所以AD1＝AB1＝1＋3＝2，B1D1＝ 2.记异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2－42×2×2＝24. 答案：249．已知正六棱锥S-ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．解析：设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO＝BC ＝CO ＝1，所以△SOC 为等腰直角三角形，所以∠SCO ＝π4.答案：π410．(2020·石家庄调研)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：如图所示，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形．又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.故D1，H，O三点共线．[B级能力提升]11．(2019·临汾模拟)如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是()A．B，C，A1B．B1，C1，A C．A1，B1，C D．A1，B，C1解析：过点B作BD∥AC，则BD∥A1C1，连接A1B，C1D，CD，如图所示，则平面α可以为平面A1BDC1，则α∩平面ABC＝BD＝l，且l∥A1C1，所以这3个点可以是A1、C1、B.故选D.答案：D12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E-ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析：因为AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因为B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则V E-ABC＝16V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案：①②③13.如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O-ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O-ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图所示，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，所以ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，因为(2)2＋(3)2＝(5)2，所以△DEM 为直角三角形，所以tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. 所以异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63. [C 级素养升华]14.下图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④素养培育数学建模——构造平面研究直线相交问题(自主阅读)把立体几何问题转化为平面几何问题是求解立体几何题目的一种重要的思想方法．下面举例说明，如何根据确定平面的条件，构造平面研究直线相交问题．[典例1](一题多解)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．解析：法一如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案：无数[典例2](一题多解)设l是直线，α，β是两个不同的平面，() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：法一设α∩β＝a，若直线l∥α，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．法二借助于长方体模型解决本题：对于A，如图①，α与β可相交；对于B，如图②，不论β在何位置，都有α⊥β；对于C，如图③，l可与β平行或l⊂β；对于D，如图④，l⊥β或l⊂β或l∥β.答案：B。

高考数学一轮复习全套课时作业7-2空间点线面的位置关系

题组层级快练7.2空间点线面的位置关系一、单项选择题1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是()A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α2．下列各图是正方体和正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()3．将下面的平面图形(图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是()A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③4．空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A ．1B ．4C ．7D ．85.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.456．(2020·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是()A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7．(2020·广西钦州质检)在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，AD ＝6，BC ＝4，EF ＝2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为()A.34B.56C.910D.11128.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是()A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行9．(2021·吉林长春模拟)已知直线a 和平面α，β有如下关系：①α⊥β；②α∥β；③a ⊥β；④a ∥α.则下列命题为真命题的是()A ．①③⇒④B ．①④⇒③C ．③④⇒①D ．②③⇒④10．(2021·福建三明质检)已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，PA ＝2，E 为BC 的中点，则异面直线AE 与PD 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D ．π11．(2021·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是()A.0，π2B.0，π2C.0，π3D.0，π312．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，PA ＝23，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是()A.18B.16C.14D.13二、多项选择题13．(2021·山东烟台二模)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，则()A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β14.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是()A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 不共面15．(2021·广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个结论，其中正确的是()A ．AF ⊥GCB ．BD 与GC 为异面直线且夹角为60°C ．BD ∥MND ．BG 与平面ABCD 所成的角为45°16.(2021·江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．17.如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？7.2空间点线面的位置关系参考答案1．答案D解析b 与α相交或b ⊂α或b ∥α都可以．2．答案D解析在A 中，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在B 中，P ，Q ，R ，S 四点共面，如图所示，证明如下：取BC 中点N ，可证PS ，NR 交于直线B 1C 1上一点E ，∴P ，N ，R ，S 四点共面，设为α.可证PS ∥QN ，∴P ，Q ，N ，S 四点共面，设为β.∵α，β都经过P ，N ，S 三点，∴α与β重合，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在C 中，易证PQ ∥SR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在D 中，∵QR ⊂平面ABC ，PS ∩平面ABC ＝P 且P ∉QR ，∴直线PS 与QR 为异面直线．∴P ，Q ，R ，S 四点不共面．3．答案C解析图②翻折后点N 与点Q 重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行．故选C.4．答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图．当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个．5.答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角(或其补角)．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.6．答案C解析在题图①中，AD ⊥BC ，故在题图②中，AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，又因为BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，D 不在BC 上，所以AD ⊥BC ，且AD 与BC 异面，故选C.7．答案D解析本题考查异面直线所成角的余弦值．取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，EG ∥AD ，则∠EGF 为异面直线AD 与BC 所成的角(或补角)．因为FG ＝12BC ＝2，EG ＝12AD ＝3，所以cos ∠EGF ＝4＋9－22×2×3＝1112，故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112.8.答案D解析如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．9．答案C解析本题考查空间中有关线面位置关系的命题真假的判断．由①③可知，a ∥α或a ⊂α，A 错误；由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错误；过直线a 作平面γ，使得γ∩α＝b ，∵a ∥α，∴a ∥b.∵a ⊥β，∴b ⊥β.∵b ⊂α，∴α⊥β，C 正确；由②③可知，a ⊥α，D 错误．10．答案C解析本题考查异面直线所成角的大小．分别取AD ，PA 的中点F ，G ，连接CF ，AC ，FG ，CG.∵四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴AF 綊EC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴CF ∥AE.∵F ，G 分别为AD ，PA 的中点，∴FG ∥PD.∴异面直线PD 与AE 所成角即为∠CFG(或其补角)．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC.∴CG ＝AG 2＋AC 2＝1＋1＋4＝ 6.又CF ＝1＋1＝2，FG ＝1＋1＝2，∴cos ∠CFG ＝CF 2＋FG 2－CG 22CF ·FG ＝2＋2－62×2×2＝－12，∴∠CFG ＝2π3，即异面直线AE 与PD 所成的角为π3，故选C.11．答案D解析当点P 与点D 1重合时，CP ∥BA 1，所成角为0；当点P 与A 点重合时，CA ∥A 1C 1，连接BC 1，△A 1BC 1为正三角形，所成角为π3，又由于异面直线所成角为，π2，所以选D.12．答案A解析分别取PA ，PB ，BC 的中点E ，F ，G ，连接EF ，EG ，FG ，GA ，PG ，如图所示，由PB ＝PC ＝AB＝AC ＝BC ＝4可得PG ＝AG ＝32BC ＝23，所以EG ⊥PA ，在△GPA 中，PG ＝AG ＝PA ＝23，可得EG ＝3，由中位线的性质可得EF ∥AB 且EF ＝12AB ＝2，FG ∥PC 且FG ＝12PC ＝2，所以∠GFE 或其补角即为异面直线PC 与AB 所成角，在△GFE 中，cos ∠GFE ＝GF 2＋EF 2－GE 22GF ·EF ＝4＋4－92×2×2＝－18，所以异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为18.故选A.13．答案BC解析本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m 和n 平行、相交或异面，故A 错误；若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，由线面、面面垂直的性质可知m ⊥n ，故B 正确；若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，又n ⊥β，所以α∥β，故C 正确；若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，故D 错误．故选BC.14.答案AD解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．又BB1与平面AB1D1仅有B1一个交点，所以B与B1，O，M不共面．15．答案AB解析将平面展开图还原成正方体，如图所示．对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD 与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得A、B正确．16.答案62解析当CQ＝1时，Q与C1重合．如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，∴其面积为12AC1·PF＝12×3×2＝62.17.答案(1)略(2)共面，证明略解析(1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH綊12AD.又∵BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C，D，F，E四点共面．。

2014高考数学一轮复习单元练习--点、直线、平面之间的位置关系

2014高考数学一轮复习单元练习--点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1．设有直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是（）A ．若n m n m //,//,//则ααB ．若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂C ．若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D ．若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥【答案】D2．高为2的四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )A ．102B ．2＋32C ．32D ． 2 【答案】A3．若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（）A ．过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行B ．过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行C ．过A 在平面α内可作两条直线与l 平行D ．与A 的位置有关【答案】B4．若三个不同的平面α、β、γ满足α⊥γ，β⊥γ，则它们之间的位置关系是（）A ． α∥βB ． α⊥βC ． α∥β或α⊥βD ．α∥β或α与β相交【答案】D5．已知三条直线a,b,c 和平面β，则下列推论中正确的是（） A ．若a//b,b β⊂,则a //β B ．//αβ，b//β，则a//bC ．若a ,b //,a,b ββ⊂共面，则a //bD ．a c,b c ⊥⊥，则a//b【答案】C6．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 ( ）A ．充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B7．已知直线l 与平面α成30°角，则在α内 ( ）A ．没有直线与l 垂直B ．至少有一条直线与l 平行C ．一定有无数条直线与l 异面D ．有且只有一条直线与l 共面【答案】C8．已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面,αβ，有下列命题①若//,//,//,//l m l m αβαβ且则 ②,,//,//l m l m αβαβ⊥⊥若且则③若,,//,//,//m n m n ααββαβ⊂⊂则 ④若,,,,m n n m αβαββα⊥=⊂⊥⊥ 则n其中真命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ． 1【答案】C9．已知α、β是两上不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若,,m m αβαβ⊥⊂⊥则；②若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么n 与α相交； ④若,//,,,m n m n n αβαβ=⊄⊄ 且则////n n αβ且。

高考数学大一轮复习配套课时训练：第七篇立体几何第3节空间点、直线、平面的位置关系(含答案)

第3节空间点、直线、平面的位置关系课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( A )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件解析:两直线异面⇒两直线没有公共点,反之不然,所以“两直线异面”是“这两直线没有公共点”的充分不必要条件,故选A.2.有以下命题:①若平面α与平面β相交,则它们只有有限个公共点;②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;③经过两条相交直线有且只有一个平面;④两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.其中,真命题的个数是( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:将四个命题一一验证知,只有①不正确,故选B.3.以下四个命题中,正确命题的个数是( B )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A、B、C、D、E共面;③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①正确;②中,若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E有可能不共面,故②错误;③中,如图所示正方体的棱中,a、b共面,a、c共面,而b、c异面,故③错误;④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误,故选B.4.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( D )(A)平行(B)异面(C)相交(D)平行、异面或相交解析:经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.5.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( C )(A)直线AC(B)直线AB(C)直线CD(D)直线BC解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β,又∵D∈AB,AB⊂平面ABC,∴D∈平面ABC,即D在平面ABC与平面β的交线上,又∵C∈平面ABC,C∈β,∴C在平面β与平面ABC的交线上.从而有平面ABC∩平面β=CD.故选C.6.已知A、B是两个不同的点,m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,则①m⊂α,A∈m⇒A∈α;②m∩n=A,A∈α,B∈m⇒B ∈α;③m⊂α,n⊂β,m∥n⇒α∥β;④m⊂α,m⊥β⇒α⊥β.其中真命题为( C )(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④解析:根据平面的性质,可知①正确,②中不能确定B∈α,③中α与β可能平行、也可能相交,④中根据面面垂直判定定理可知正确,故①④为真命题.故选C.7.(2013唐山统考)四棱锥P ABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为( B )(A) (B)(C)(D)解析: 如图在四棱锥P ABCD中,CD与PA所成的角即是AB与PA所成的角,即∠PAB,取AB中点M,连接PM.在Rt△PAM中,PA=,AM=1,所以cos∠PAB==.故选B.二、填空题8.下列命题中不正确的是.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;如果与两异面直线中一条交于一点,则两直线相交,故命题②错;命题③:若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c、b不可能平行,③正确;命题④正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理2可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.答案:①②9.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件有.解析:易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②错;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③错;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:①④10.下列如图所示的是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是.(填上图形的序号)解析: 图①中,由于PS∥QR,所以P、Q、R、S四点共面;图②中,如图,容易知道,PMQNRS为六边形,所以图②中四点共面;图③中,易证PQ RS,所以图③中四点共面;图④中,Q点所在棱与平面PRS平行,因此四点不共面.综上可知,四点共面的图形有①②③.答案:①②③11. 如图所示,在三棱锥A BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需AC⊥BD.答案:AC=BD AC⊥BD三、解答题12. 如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K,求证:M、N、K三点共线. 证明:∵M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂平面BCD,∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.又如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以M、N、K三点共线.13.点A是△BCD所在平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)解:如图所示,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,FG∥AC,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角. 又由FG∥AC,AC⊥BD,AC=BD知△EGF为等腰直角三角形,则∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.B组14.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD 的中点,则异面直线AE与BC所成角的正切值为( A )(A) (B)(C)2 (D)解析:如图所示正方形ABCD及折叠后图形,取BD中点O,连接OE、AO,则OE∥BC,则∠AEO就是异面直线BC与AE所成的角(或其补角), 设正方形边长为2,则OE=1,AO=,由平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,AO⊥DB,知AO⊥平面BDC,则AO⊥EO.在Rt△AOE中,tan∠AEO==.故选A.15. 如图所示,ABCD A1B1C1D1是长方体,AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,则AB与A1C1所成的角为,AA1与B1C所成的角为.解析:∵AB∥A1B1,∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角,∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1,∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角,由已知条件可以得出BB1=a,AB1=A1C1=2a,AB=a,∴B1C1=BC=a,∴四边形BB1C1C是正方形,∴∠BB1C=45°.答案:30°45°16. 如图所示 ,在四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF、GH、BD交于一点.证明:连接GE,FH.因为E、G分别为BC、AB的中点,所以GE∥AC,且GE=AC,又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,且FH=AC.所以FH∥GE,且GE≠FH.所以E、F、H、G四点共面,且四边形EFHG是一个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条, 所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF、GH、BD交于一点.。

2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》(含解析)

2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β②若m//α，m//β，则α//β③若m//α，n//α，则m//n④若m⊥α.n⊥α，则m//n上述命题中，所有真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④2.（5分）直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，下列命题正确的是：A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l至多与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交3.（5分）已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是()A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥βB. 若m//α，α∩β=n，，则m//nC. 若m//n，m⊥α，则n⊥αD. 若m⊥α，m⊥β，则α//β4.（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n①m//n，m//α⇒n//α①α//β，m//n，m⊥α，⇒m⊥β其中正确命题的序号是()A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α//β的是()①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α．A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①6.（5分）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 不相交7.（5分）若α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题错误的是()A. 若m⊂α，l∩α=A，且A∉m，则l与m不共面B. 若m，l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥αC. 若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//βD. 若l//α，m//β，α//β，则l//m8.（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=n，直线l⊂α，直线m⊂β，则下列说法正确的个数是()①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l//n，则l//β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α．A. 0B. 1C. 2D. 39.（5分）已知a，b为两条不同直线，α、β为两个不同平面.下列命题中正确的是()A. 若a//α，b//α，则a与b共面B. 若a⊥α，α//β，则a⊥βC. 若a⊥α，α⊥β，则a//βD. 若α//b，β//b，则α//β10.（5分）若直线l平行于平面α，则()A. α内所有直线与l平行B. 在α内不存在直线与l垂直C. α内存在唯一的直线与l平行D. α内存在无数条直线与l成60°角11.（5分）在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面．下列结论正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l//α，α//β，则l//βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β12.（5分）直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m//n，则l与n异面；②若l//α，α//β，则l//β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m//α，m//n，则n//α．其中正确命题的序号有 ______ .(请将你认为正确命题的序号都填上)14.（5分）作直线a、b和平面α，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 ______组(请填写个数).A组：“a//b”和“a⊥b”；B组：“a、b为异面直线”和“a⊥b”；C组：“a//α或a⊂α”和“a与α相交”．15.（5分）已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m//α且n//α，则m//n；②若m⊥β且m⊥n，则n//β；③若m⊥α且m//β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n.其中正确命题的序号为______．16.（5分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．17.（5分）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=1AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC2与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP//平面BEF；(2)求证：GH//平面PAD.19.（12分）用符号语表示图中点、直线、平面的位置关系.20.（12分）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)PC和NC的长(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)21.（12分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点．判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由．22.（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF。

2020年高考数学必刷题《34 空间点、线、面的位置关系》(解析版)

专题八立体几何34 空间点、线、面的位置关系1．空间中可以确定一个平面的条件是 A ．三个点 B ．四个点 C ．三角形D ．四边形【答案】C【解析】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误；在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确；在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 2．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行【答案】C【解析】若与，都不相交，则与，都平行. 根据公理4，则，与，异面矛盾. 故直线c 一定至少与a b ，中的一条相交.3．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么与 A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能．．．是相交直线 D ．不可能．．．是平行直线【答案】D【解析】∵直线a 与b 是异面直线，直线c ∥a ，∴直线b 和c 有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b 和c 在同一平面上，二者的位置关系为相交；如果b 和c 不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b ∥c ，则a ∥b ，与已知a ，b 是异面直线矛盾，故答案为D. 4．已知直线和平面，若，，则过点且平行于的直线 A ．只有一条，不在平面内 B ．只有一条，且在平面内 C ．有无数条，一定在平面内 D ．有无数条，不一定在平面内【答案】B【解析】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l ，由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交于点P 相矛盾，故过点且平行于的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内．故选B.5．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【答案】D【解析】只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 选项中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．6．如图所示，平面平面，，，，，则平面和平面的交线是A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线ABC D E F A 1B 1C 1D 1【答案】D【解析】∵l α⊂，，∴ ，又，∴CD α⊂．又在平面内，∴ 为平面与平面的交线．故选D. 7．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么 A ．直线l 不平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面 C ．直线l 与直线m 没有公共点 D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C【解析】∵直线l 与平面α平行，∴由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点，又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点，故选C ．8．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果，交于一点，则 A ．一定在直线上 B ．一定在直线上C ．一定在直线或上D ．既不在直线上，也不在直线上【答案】B【解析】由题意，，相交于点，则点，且，又平面，平面，则平面，且平面，则点必在平面与平面的交线上，即点一定在直线上．故选．9．空间中A B C D E ，，，，五点不共面，已知A B C D ，，，在同一平面内，B C D E ，，，在同一平面内，那么B C D ，，三点 A ．一定构成三角形 B ．一定共线 C ．不一定共线D ．与AE ，共面【答案】B【解析】设平面ABCD 为α，平面BCDE 为β，且A B C D E ，，，，不共面，则,BC CD αα⊂⊂，,BC CD ββ⊂⊂，则,αβ必相交于直线l ，且,,B l C l D l ∈∈∈，故B C D ，，三点一定共线且位于平面ABCD 与平面BCDE 的交线上. 故选B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为A ．23-B ．53 C ．23D ．255【答案】C【解析】如图，连结BE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点， ∴CD AB ∥，∴BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成的角（或所成角的补角），设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则2AB =，415BE =+=，AB BE ⊥，则22453AE AB BE =+=+=，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为2cos 3AB BAE AE ∠==. 故异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23．故选C ．11．平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为 _____ .【答案】平行或相交【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行；若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．故与的位置关系为平行或相交.12．若直线和平面平行,且直线 ,则两直线和的位置关系为 _____ . 【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线和没有公共点,故直线和的位置关系为平行或异面.13．若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交【答案】D【解析】可用反证法. 假设l 与1l ，2l 都不相交，因为l 与1l 都在平面内，于是1l l ∥，同理2l l ∥，于是12l l ∥，与已知矛盾，故l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选D ．14．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则【答案】D【解析】对于A ，若，则m ，n 可能相交、平行、异面，A 错；对于B ，若，则、可能相交、平行，B 错；对于C ，若，则、可能相交、平行，C 错；对于D ，若，根据线面垂直的性质定理可得，D 正确. 故选D.15．设,a b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线,a b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线,a b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则平面α、β相交于直线a，过直线b作一平面γ与平面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确.故选C．16．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A．9130130B．7130130C．97D．79【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为尺，尺，且侧面为等腰梯形，则尺，间的距离为尺，故尺，由勾股定理得尺，所以77130sin 130130FDC ∠==. 故选B.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，O 是DB 的中点，直线1A C 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是①1C 、M 、O 三点共线； ②1C 、M 、A 、C 四点共面； ③1C 、O 、1B 、B 四点共面；④1D 、D 、O 、M 四点共面．A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．③④【答案】C【解析】∵O AC ∈，AC ⊂平面11ACC A ，∴O ∈平面11ACC A ， ∵O BD ∈，BD ⊂平面1C BD ，∴O ∈平面1C BD ， ∴O 是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点；同理可得，点M 和1C 都是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点，根据公理3可得1C 、M ，O 在平面11ACC A 和平面1C BD 的交线上，因此①正确． ∵11AA BB ∥，11BB CC ∥，∴11AA CC ∥,1AA ，1CC 确定一个平面，又1M A C ∈，1AC ⊂平面11ACC A ，∴M ∈平面11ACC A ，故②正确．根据异面直线的判定定理可得1BB 与1C O 为异面直线，故1C 、O 、1B 、B 四点不共面，故③不正确．根据异面直线的判定定理可得1DD 与MO 为异面直线，故1D 、D 、O 、M 四点不共面，故④不正确．故选C ．18．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）【答案】①【解析】如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.19．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_____________.（填序号）【答案】②④【解析】①中，GH MN ∥，③中，连接GM ，则GM HN ∥且GM HN ≠，故GH ，MN 必相交，②④符合题意.20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，若异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，则1AA 的长为_____________.【答案】6【解析】如图，连接1CD AC ，.由题意得四棱柱1111ABCD A B C D -中，11∥A D BC ，11A D BC =， ∴四边形11A BCD 是平行四边形，11A B CD ∴∥，1AD C ∴∠（或其补角）为1A B 和1AD 所成的角.∵异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，190AD C ∴∠=︒.∵四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，1△ACD ∴是等腰直角三角形，122AD AC ∴=.∵底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，23sin 6026AC ∴=⨯︒⨯=，12322AD AC ==， ()()2222111132236AA AD A D ∴=-=-=.21．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠. 故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．22．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅. 故选C.23．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为21111,2,21221cos603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===. 故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．24．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线，故C 不正确；由D ，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确. 所以选D.25．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n . 连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒，故,m n 所成角的正弦值为32，选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.26．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，2AB AD ==,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在Rt BDE △中，2,2BE DE =∴=，过点B 作BF ∥DE ，交圆C于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知2BF DE ==,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.。

高考数学必考点专项第22练点、线、面的位置关系(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第22练点、线、面的位置关系一、单选题1. 已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图，四棱锥P ABCD -，AC BD O ⋂=，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD于点N ，则下列结论正确的是( )A. ,,,O N P M 四点不共面B. ,,,O N M D 四点共面C. ,,O N M 三点共线D. ,,P N O 三点共线4. 已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E 是PD中点，2PA AB =，则直线BD 与CE 所成角的余弦值为( )A.6B.6C.8D.85. 设A 、B 、C 、D 的空间四个不同的点，在下列结论中，不正确的是( ) A. 若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B. 若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C. 若AB AC =，DB DC =，则AD BC =D. 若AB AC =，DB DC =，则AD BC ⊥6. 当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1A C 上运动时，异面直线BP 与1AD 所成角的取值范围是( )A.B.C.D.7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=1，1AD==2AA ，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该长方体所得的截面记为.S 则下列命题正确的是( )①当0CQ 1<时，S 的形状为四边形，且当CQ=1时，S 的形状为等腰梯形；②当3CQ=2时，S 与11C D 的交点R ，满足11=3C R ；③当3CQ 22<<时，S 的形状为六边形； ④当CQ=2时，S 的面积为3.A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ②③二、多选题8. 如图，下列正方体中，O 为底面的中点，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是( )A. B.C. D.9. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D - 中， M ， N 分别为棱1C 1D ，1C C 的中点，其中正确的结论为( )A. 直线AM 与1C C 是相交直线B. 直线AM 与BN 是平行直线C. 直线BN 与1MB 是异面直线D. 直线MN 与AC 所成的角为60︒10. 如图，点M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 上(不含端点)，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )A. 过M 点有且只有一条直线与直线AB ，1AD 都垂直B. 过M 点有且只有一条直线与直线AB ，1AD 都是异面直线C. 过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都平行D. 过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都相交11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11A B ，11B C ，1BB 的中点，下列四个推断中正确的是( )A. //FG 平面11AA D DB. //EF 平面11BC DC. //FG 平面11BC DD. 平面//EFG 平面11BC D三、填空题12. a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒；其中正确的是__________.(填写所有正确结论的编号)13. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，点M 为底面ABCD 内一动点．若1MD 与该截面平行，则直线1MD 与1CC 所成角的余弦值的最大值为__________. 四、解答题14. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60.︒求：1(1)AC 的长；1(2)BD 与AC 夹角的余弦值.15. 如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2.BG GC DH HC ==(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，.3PAB PAD π∠=∠=(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；17. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F在棱1B B 上，且满足12.B F FB =(1)求证：11EF A C ⊥；(2)在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长； (3)求几何体ABFED 的体积．18. 如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE中点，AE AD⊥， 2.===AD AE AP (1)求二面角A PE D--的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．答案和解析1.【答案】B解：空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，若m ，n ，l 在同一平面，则m ，n ，l 两两相交或m ，n ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．故充分性不成立；若m ，n ，l 两两相交，则m ，n ，l 在同一平面，故必要性成立. 故m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件，故选：.B2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中， M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】D解：由题意可知O ，N ，P ，M 四点均在平面PAC 上，故O ，N ，P ，M 四点共面，故A 错. 若点D 与O ，M ，N 共面，则点D 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错. O ，N ∈平面PBD ，M ∉平面PBD ，故O ，M ，N 三点不共线，故C 错.连接PO ，因为平面PAC ⋂平面PBD PO =，N AM ∈，AM ⊂平面PAC ，所以N ∈平面PAC ，又N PBD ∈，所以N PO ∈，故D 正确. 故选.D4.【答案】B解：因为2PA AB =，设2PA =，则1AB AD ==，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(0,0,2)P ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，1(0,,1)2E，设异面直线BD 与CE 所成角为θ，则故选.B5.【答案】C解：.A 若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面，所以A 正确；B .假设AD 与BC 不是异面直线，则AD 与BC 共面，于是AC 与BD 共面，这与AC 与BD 是异面直线矛盾，故AD 与BC 也是异面直线，所以B 正确；D .若AB AC =，DB DC =，取BC 的中点E ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，AE DE E ⋂=，AE ，DE ⊂平面ADE ，故BC ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，则AD BC ⊥，所以D 正确.C .若AB AC =，DB DC =，由上图可知 AD 不一定等于BC ，所以C 不正确；故选.C6.【答案】B解：设BP 与1AD 所成的角为θ，以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设||1AB =，则(0,0,0)B ，(1,0,0)C ，1(0,1,1)A ，1(1,0,1)C ，11(1,0,1)AD BC ∴==，(1,0,0)BC =，1(1,1,1).CA =-设1CP CA λ=，01λ，则1(1,,)BP BC CA λλλλ=+=-，01λ，2212(1)2λλ=⨯-+2113[,]22146()33λ=∈-+，故选.B7.【答案】C解：如图当CQ=1时，即 Q 为1CC 中点，此时可得1PQ//AD ，1AP==2QD ，故可得截面1APQ D 为等腰梯形，由上图当点 Q 向 C 移动时，满足0CQ 1<<，只需在1DD 上取点 M 满足AM//PQ ，即可得截面为四边形 APQM ，故①正确；当3CQ=2时，延长1DD 至 N ，使1=1D N ，连接 AN 交11A D 于 E ，连接 NQ 交11C D 于 R ，连接 ER ，可证AN//PQ ，由1NR D ∽1QR C ，可得1C R ：11=D R C Q ：1=1D N ：2，故可得11=3C R ，故②正确；由上可知当3CQ 22<<，只需点 Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRE ，显然为五边形，故③错误；当CQ=2时， Q 与1C 重合，取11A D 的中点 F ，连接 AF ，可证1//AF PC ，且1PC1FC1AP C F 为平行四边形，故其面积为AFP =2=3S S ，故④正确.故选.C8.【答案】BC解：对于A ，设正方体棱长为2，设MN 与OP 所成角为θ，则12tan 12442θ==+，∴不满足MN OP ⊥，故A 错误；对于B ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,0,0)N ，(0,0,2)M ，(2,0,1)P ，(1,1,0)O ，(2,0,2)MN =-，(1,1,1)OP =-，0MN OP ⋅=，∴满足MN OP ⊥，故B 正确；对于C ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,2,2)M ，(0,2,0)N ，(1,1,0)O ，(0,0,1)P ，(2,0,2)MN =--，(1,1,1)OP =--，0MN OP ⋅=，∴满足MN OP ⊥，故C 正确；对于D ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(0,2,2)M ，(0,0,0)N ，(2,1,2)P ，(1,1,0)O ，(0,2,2)MN =--，(1,0,2)OP =，4MN OP ⋅=-，∴不满足MN OP ⊥，故D 错误．故选：.BC9.【答案】CD解：1CC ⊂平面11CC D D ，AM ⋂平面11CC D D M =，1M CC ∉，∴直线AM 与直线1CC 异面，故A 不正确，同理可证：直线AM 与直线BN 异面，故B 不正确；直线BN 与直线1MB 异面，故C 正确，利用平移法，可得直线MN 与AC 所成的角即为1D C 和AC 所成角，即为60︒，故D 正确，故选.CD10.【答案】AD解：接1BC ，1AD ，由题意可得11//BC AD ，如图所示：所以A 、B 、1C 、1D 共面，1(M CC ∈不含端点)，所以M 不在面11ABC D ，过M 作面11ABC D 的垂线垂足为Q ，即仅有一条过M 点的直线与直线AB ，1AD 都垂直，故A 正确；在面11ABC D 任取一点E 不在直线AB ，1AD 上，得到的直线ME 与直线AB ，1AD 都是异面直线，故B 不正确；而过M 点仅有一个平面与面11ABC D 平行，所以过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都平行不正确，故C 不正确；过M 有无数多个平面与面11ABC D 相交，所以过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都相交，故D 正确.故选.AD11.【答案】AC解：A 项：在正方体中，，分别是，的中点，，，，平面，平面，平面，故A 正确； B 项：E ，F 分别是11A B ，11B C 的中点，11//EF A C ∴，与平面相交，与平面相交，故错误；C 项：1//FG BC ，FG ⊂/平面，平面，平面，故C 正确；D 项：与平面相交，平面与平面相交，故D 错误．故选.AC12.【答案】②③解：由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体的棱长为1，故||1AC =，||2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 为坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =，设B 点在运动过程中的坐标为(cos ,sin ,0)B θθ'，[0,360),θ︒︒∈ (cos ,sin ,1)AB θθ∴'=-，||2AB '=，设AB '与a 所成夹角为α，[0,90]α︒︒∈，则|(cos ,sin ,1)(0,1,0)|22cos |sin |[0,]22||||a AB θθαθ-⋅==∈⋅'， [45,90]α︒︒∴∈，∴③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为β，[0,90]β︒︒∈， |||(cos ,sin ,1)(1,0,0)|2cos |cos |2||||||||AB b AB b b AB θθβθ'⋅-⋅==='⋅⋅'，当AB '与a 夹角为60︒时，即60α︒=时，2|sin |2cos 2cos 602θα︒===， 22cos sin 1θθ+=，21cos |cos |22βθ∴==， [0,90]β︒︒∈，60β︒∴=，此时AB '与b 的夹角为60︒，∴②正确，①错误．故答案为：②③．13.【答案】3解：由题意，补全戳面EFG 为正六边形EFGHQR ，如下图所示：1CC 1//DD ，故1DD M ∠即为直线1MD 与1CC 所成的角．由1CD //GH ，因为1CD ⊂/平面EFGHQR ，GH ⊂平面EFGHQR ，所以1CD //平面.EFGHQR由//AC EF ，因为AC ⊂/平面EFGHQR ，EF ⊂平面EFGHQR ，所以//AC 平面EFGHQR ，再由1CD AC C ⋂=，又1CD ，AC ⊂平面1ACD ，所以平面1ACD //平面.EFGHQR由1MD ⊂平面1ACD ，可得1MD //平面.EFGHQR易知点M 位于底面对角线AC 上，且当M 与底面中心O 重合时，1DD M ∠最小，其余弦值此时最大，且最大值为1112216cos .321()2D D DD O D O ∠===+ 故答案为6.314.【答案】解：设AB a =，AD b =，1AA c =，则两两夹角为60︒，且模均为2.111(1).AC AC CC AB AD AA a b c =+=++=++222221||()||||||222AC a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅112622242=+⨯⨯⨯=， 1||26AC ∴=，即1AC 的长为111(2).BD BD DD AD AB AA b a c =+=-+=-+1()()BD AC b a c a b ∴⋅=-+⋅+22 4.a b a a c b a b b c =⋅-+⋅+-⋅+⋅=21||()22BD b a c =-+=2||()23AC a b =+=，1cos BD ∴<，116||||2BD AC AC BD AC ⋅>===⋅ 1BD ∴与AC 夹角的余弦值为615.【答案】证明：(1)E 、F 分别是AB 和AD 的中点，EF ∴为ABD 的中位线，//EF BD ∴，又::1:2BG GC DH HC ==，在CBD 中//.BD GH ∴//EF GH ∴，所以，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)EG FH P ⋂=，,,P EG P FH ∴∈∈由EG ⊂平面ABC ，,P EG ∈得P ∈平面ABC ，由FH ⊂平面ADC ，,P FH ∈得P ∈平面ADC ，又平面ABC ⋂平面ADC AC =，所以P AC ∈，所以,,P A C 三点共线.16.【答案】解：(1)PC PA AC PA AB AD =+=++，所以22222224412221PC PA AB AD PA AB PA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅=++-⨯-⨯3=，所以线段PC 的长度为 3. (2)()()PC BD PA AB AD AD AB ⋅=++-111201122220222=-⨯⨯++⨯+⨯⨯-⨯-=-，所以，故异面直线PC 与BD 所成角的余弦值为215.15(3)因为E 为AB 的中点，所以AD AE =，又因为()AP DE AP AE AD AP AE AP AD ⋅=⋅-=⋅-⋅112121022=⨯⨯-⨯⨯=，所以AP DE ⊥，即.PA ED ⊥17.【答案】(1)证明：连接11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111.A C B D ⊥在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111.A C DD ⊥因为1111B D DD D ⋂=，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11.BB D D因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11.EF AC ⊥(2)解：取1C C 的中点H ，连接BH ，则//.BH AE在平面11BB C C 中，过点F 作//FG BH ，则//.FG AE连接EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===，所以111.6C G C C CH HG a =--=故当116C G a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．(3)解：因为四边形EFBD 是直角梯形，所以几何体ABFED 为四棱锥.A EFBD - 因为211()2()52322212EFBD a a a BF DE BD S a +⨯+===，点A 到平面EFBD 的距离为1222h AC a ==，所以231152253312236A EFBD EFBD V S h a a a -==⨯⨯=，故几何体ABFED 的体积为35.36a18. 【答案】解：PA ⊥平面ADE ，AD ，AB ⊂平面ADE ，PA AB ∴⊥，PA AD ⊥，AE AD ⊥，∴以{,,}AB AD AP 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P(1)AD AE ⊥，AD PA ⊥，AE ，PA ⊂平面PAE ，AE PA A ⋂=，AD ⊥平面PAE ，AD ∴是平面PAE 的一个法向量，(0,2,0).AD = (1,1,2)PC =-，(0,2,2).PD =- 设平面PED 的法向量为(,,)m x y z =，则0m PC ⋅=，0m PD ⋅=，即20220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，解得1z =， 1.x = (1,1,1)m ∴=是平面PED 的一个法向量，可得cos AD <，33||||AD m m AD m ⋅>==，由图可知，二面角A PE D --为锐二面角， ∴二面角A PE D -- (2)(1,0,2)BP =-，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-，又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--，又(0,2,2)DP =-，cos CQ ∴<，1||||10CQ DP DP CQ DP ⋅>== 设12t λ+=，[1,3]t ∈，则2cos CQ <，2225109t DP t t >=-+ 2291520109()99t =-+，当且仅当95t =，即25λ=时，即|cos CQ <，|DP >的最大值为10 因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值，又1BP ==255BQ BP ∴==。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习27 空间点、直线、平面之间的位置关系

sin
∠C1BO
=
C1O BC1
=
1 2
∠C1BO = 30°
C
直线 BC1 与平面 ABCD 所成的角为 ∠C1BC = 45° ，故选项 D 正确．综上，答案选． ABD
2 / 41
(1)证明点或线共面：
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②
而 EF ⊥ 平面 BDD1，又因为 EF ⊂ 平面 BDD1，所以平面 B1EF ⊥ 平面 BDD1，所以 A 选项正确；
对于 B 选项：因为平面 A1BD ∩ 平面 BDD1= BD ,由上述过程易知平面 B1EF ⊥ 平面 A1BD 不成立；
对于 C 选项：由题意知直线 AA1 与直线 B1E 必相交，故平面 B1EF// 平面 A1AC 有公共点，从而 C 选
高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识 27 空间点、直线、平面之间的位置关系
（1. 2022 年甲卷理 7 文 9）在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成
的角均为30° ，则
．．与平面所成的角为 A AB = 2AD B AB
cosθ=
。 cosθ1·cosθ2
③向量法求异面直线所成的角
1．公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
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推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
A1C
⊥
l
，即

高考数学后冲刺空间直线与平面试题

最后(zuìhòu)冲刺【高考(ɡāo kǎo)预测】3.空间(kōngjiān)间隔6.求点到面的间隔(jiàn gé)易错点1 空间直线与平面的位置关系1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.〔1〕证明：PA//平面EDB；〔2〕证明：BP⊥平面EFD；〔3〕求二面角C—PD—D的大小.【错误解答】第〔2〕问证明：∵PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴DF 在平面PBC上的射影为EF，又由EF⊥PB，所以根据三垂线定理可得：DF⊥PB，又EF⊥PB，∴PB⊥平面EFD。

【错解分析】直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DE⊥PC，不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明DE⊥平面PBC，才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。

【正确(zhèngquè)解答】〔1〕如图，连接AC、AC交BD于O，连接EO。

∵底面ABCD为正方形，∴O为AC的中点(zhōnɡ diǎn)，在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO，又EO平面(píngmiàn)EDB，且PA平面(píngmiàn)EDB，所以PA//平面EDB；〔2〕∵PD⊥平面ABCD，∴平面PDC⊥平面ABCD，又底面ABCD为正方形，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE，又DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又EF⊥PB，∴DF⊥PB，又PB⊥EF，∴PB⊥平面DEF；〔3〕由〔2〕知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

由〔2〕知，DE⊥EF，PD⊥DB，设正方形ABCD的边长为a那么PD=DC=a，BD=a，PB=a，PC=2a,DE=PC=,在Rt△PDBk ,OF=.在Rt△EFD中，sin∠EFD=,∴∠EFD=所以二面角C—PB—D的大小为. 32．以下五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号)【错误解答】由于l在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得l⊥MN，l⊥MP，l⊥NP，∴〔1〕中l⊥面MNP；〔2〕中l在下底面的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；〔3〕中取AB的中点E，连接ME、NE，∵l在下底面的射影垂直于EN，∴l⊥EN，∴l⊥面MEN，∴l⊥MN，同理l⊥MP，∴l⊥面MNP；〔4〕中l在面ADD1A1上的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；〔5〕中取AA1中点E，连接ME，EP，l在面ADD1A1、面ABB1A1内的射影分别与ME，EP垂直，∴l⊥ME，∴l⊥面MP，得l⊥面MPN；综合知，此题之答案是〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕、〔5〕【错解分析】直线(zhíxiàn)与平面垂直的断定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。

新高考数学总复习利用空间向量研究直线平面的位置关系课件讲义练习题

4 4 2
.
设D(0,y,0),由AC⊥CD,得·=0,
2 3
,则D
3
即y=
0,
2 3
,0
3
1
2
,所以= − ,
3
,0
6
.
1 31
1 1 3
3
又因为=( , , ),所以·=- × + × =0,
4 4 2
2 4 6
4
所以⊥,即AE⊥CD.
返回 29
[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,
角度2 面面垂直
[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线
段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:AP⊥BC;
返回 33
【证明】(1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建
立空间直角坐标系Oxyz.
解题技法
利用空间向量证明线面、面面平行的方法
(1)证明线面平行的常用方法:
①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;
②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;
③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明面面平行常用的方法:
①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;
则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),
所以=(0,3,4),=(-8,0,0).
所以·=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,
所以⊥,即AP⊥BC.
返回 34
[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线

2022年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第六章立体几何 42 Word版含答案

考点测试42 空间点、直线、平面间的位置关系一、基础小题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案 A解析“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”．故选A.2．下列命题正确的个数为( )①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．3. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M答案 D解析∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．4．以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析①正确，否则三点共线和第四点必共面；②错，如图三棱锥，能合题意但A、B、C、D、E不共面；③错，从②的几何体知；空间四边形为反例可知，④错．5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．肯定是异面直线B．肯定是相交直线C．不行能是平行直线D．不行能是相交直线答案 C解析由已知得，直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不行能为平行直线，若b∥c，则a ∥b，与已知a、b为异面直线相冲突．6．使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是( )A．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不平行B．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不相交C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交D．a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝l，a与b无公共点答案 C解析对A：a与b可能有交点；对B，D：a与b可能平行，故选C.对C：可用反证法，若b与a不异面，而且a∩b＝∅，则a∥b.又a∥c，从而b∥c，与b∩c＝A冲突．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )A．45° B．60°C．90° D．120°答案 B解析如图，连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故两直线所成的角即为∠HGB＝60°.8. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．答案③④解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．二、高考小题9．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案 D解析解法一：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.解法二：由于l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l 与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线冲突，故l至少与l1，l2中的一条相交，选D.10．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由于直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A.11．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论肯定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取l1为BC，l2为CC1，l3为C1D1.满足l1⊥l2，l2⊥l3.若取l4为A1D1，则有l1∥l4；若取l4为DD1，则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定，故选D.三、模拟小题12．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )A．相交B．平行C．垂直D．异面答案 C解析当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案 A解析由于DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又由于AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，由于OM ⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.14．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四周体ABCD(如图2)，则在空间四周体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A ．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又由于BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.15．下列正方体或四周体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是( )答案 D解析解法一：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”推断)对选项A，易推断PR∥SQ，故点P、Q、R、S共面；对选项B，易推断QR∥SP，故点P、Q、R、S共面；对选项C，易推断PQ∥SR，故点P、Q、R、S共面；而选项D中的RS、PQ为异面直线，故选D.解法二：如图，可知选项A、B中的四点共面．对于选项C，易知可构成平行四边形．故选D.16．三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC、AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为( )A．1 B．13C．33D．63答案 D解析如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设AB＝a，在△A1BD1中，A1B＝a，BD1＝3a，A1D1＝2a，∴sin∠A1BD1＝63，故选D.17．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，肯定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，肯定存在很多条直线与直线m垂直；③若直线m⊂α，则在平面β内，不肯定存在与直线m垂直的直线；④若直线m⊂α，则在平面β内，肯定存在与直线m垂直的直线．答案②④解析对于①，若直线m⊥α，假如α、β相互垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的全部直线，则在平面β内，肯定存在很多条直线与直线m垂直，故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，肯定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．一、高考大题1．四周体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四周体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H. (1)求四周体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．解(1)由该四周体的三视图可知BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四周体ABCD的体积V＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．2．一个正方体的平面开放图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)推断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：由于ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.由于ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH. 由于EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.二、模拟大题3．如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．(1)求证：PC⊥AD；(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；(3)求点D到平面PAM的距离．解(1)证明：取AD的中点O，连接OP，OC，AC，由于ABCD是∠ABC＝60°的菱形，所以∠ADC＝60°，AD＝CD，所以△ACD是正三角形，所以OC⊥AD，又△PAD是正三角形，所以OP⊥AD，又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD.(2)存在．当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．证明：取棱PB的中点Q，连接QM，QA，由于M为PC的中点，所以QM∥BC，在菱形ABCD中，AD∥BC，所以QM∥AD，所以A，Q，M，D四点共面．(3)点D到平面PAM的距离即为点D到平面PAC的距离，由(1)可知PO⊥AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高，在Rt△POC中，PO＝OC＝3，PC＝6，在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝6，边PC上的高AM＝PA2－PM2＝102，所以S△PAC＝12PC·AM＝12×6×102＝152，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D －PAC ＝V P －ACD ，得13S △PAC ·h ＝13S △ACD ·PO ，即13×152·h ＝13×34×22×3，解得h ＝2155，所以点D 到平面PAM 的距离为2155.4. 如图所示，平面四边形ADEF 所在的平面与梯形ABCD 所在的平面垂直，AD ⊥CD ，AD ⊥ED ，AF ∥DE ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝2AD ＝2ED ＝xAF .(1)若四点F 、B 、C 、E 共面，AB ＝a ，求x 的值； (2)求证：平面CBE ⊥平面EDB .解 (1)∵AF ∥DE ，AB ∥DC ，AF ∩AB ＝A ，DE ∩DC ＝D ， ∴平面ABF ∥平面DCE .∵四点F ，B ，C ，E 共面，∴FB ∥CE ， ∴△ABF 与△DCE 相像．∵AB ＝a ，∴ED ＝a ，CD ＝2a ，AF ＝2ax，由相像比得AF ED ＝AB CD ，即2ax a ＝a 2a，所以x ＝4.(2)证明：不妨设AB ＝1，则AD ＝AB ＝1，CD ＝2，在Rt △BAD 中，BD ＝2，取CD 中点为M ，则MD 与AB 平行且相等，连接BM ，可得△BMD 为等腰直角三角形，因此BC ＝2，由于BD 2＋BC 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ，又由于平面四边形ADEF 所在的平面与梯形ABCD 所在的平面垂直，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，ED ⊥AD ，所以ED ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥DE ，又由于BD ∩DE ＝D ，∴BC ⊥平面EDB ，∵BC ⊂平面ECB ，∴平面CBE ⊥平面EDB .5．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明 (1)由于AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又由于E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .由于EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)由于平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC ，由于BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又由于AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 由于SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .6. 如图，在直二面角E －AB －C 中，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3.(1)证明：FB ⊥面PAC ；(2)求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．解 (1)证明：易得FB ＝4， cos ∠PFA ＝cos ∠BFA ＝32，在△PAF 中，PA ＝PF 2＋FA 2－2PF ·FA ·cos∠PFA＝9＋12－2×3×23×32＝ 3. ∵PA 2＋PF 2＝3＋9＝12＝AF 2，∴PA ⊥BF .∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面ABEF . ∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC ⊥BF . ∵PA ∩AC ＝A ，∴BF ⊥平面PAC .(2)过P 作PM ∥AB ，PN ∥AF ，分别交BE ，BA 于M ，N ，∠MPC 或其补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC . 易得PN ＝MB ＝32，AN ＝32，NC ＝AN 2＋AC 2＝52，BC ＝22，PC ＝PN 2＋NC 2＝7，MC ＝MB 2＋BC 2＝352，cos ∠MPC ＝14＋7－3542·12·7＝－327＝－3714.∴异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为3714.。

高考数学一轮经典例题直线与平面的平行判定和性质

典型(diǎnxíng)例题一例1简述以下问题(wèntí)的结论，并画图说明：〔1〕直线(zhíxiàn)平面(píngmiàn)，直线，那么和α的位置关系如何？〔2〕直线，直线，那么直线b和α的位置关系如何？分析：〔1〕由图〔1〕可知：或者；〔2〕由图〔2〕可知：或者αb．⊂说明：此题是考察直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．典型例题二例2是平行四边形所在平面外一点，是的中点，求证：平面．分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和直线平行就可以了．证明：如下图，连结，交于点，∵四边形ABCD是平行四边形∴，连结，那么OQ在平面BDQ内，且OQ是的中位线，∴．∵在平面BDQ外，∴//PC平面(píngmiàn)BDQ．说明(shuōmíng)：应用线面平行的断定(duàndìng)定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证一共面，因此常常设法过直线作一平面与平面相交，假如能证明直线和交线平行，那么就可以马上(mǎshàng)得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，假设线线平行，那么线面平行．典型例题三例3经过两条异面直线，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行？并证明你的结论．分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论．解：〔1〕当P点所在位置使得a，P〔或者b，P〕本身确定的平面平行于b〔或者a〕时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；〔2〕当P点所在位置a，P〔或者b，P〕本身确定的平面与b〔或者a〕不平行时，可过点P作，．由于a，b异面，那么，不重合且相交于P．由于，a'，b'确定的平面α，那么由线面平行断定定理知：，αb．可作一个平面都与a，b平行．//故应作“0个或者1个〞平面．说明：此题解答容易无视对P点的不同位置的讨论，漏掉第〔1〕种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进展分类讨论．典型例题四例4平面外的两条平行(píngxíng)直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．：直线(zhíxiàn)，平面(píngmiàn)α，．求证(qiúzhèng)：αb．//证明：如下图，过a及平面α内一点作平面．设，∵αa，//∴．又∵ba//，∴．∵α⊄b，，∴αb．//说明：根据断定定理，只要在α内找一条直线，根据条件αa，为了//利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面〞为根据来做出辅助平面的．典型例题五例5四面体的所有棱长均为a．求：〔1〕异面直线的公垂线段及EF的长；〔2〕异面直线EF和所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC、的公垂线段，进而求出其间隔；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：〔1〕如图，分别(fēnbié)取ABSC、的中点(zhōnɡ diǎn)，连结(liánjié)．由，得≌．∴，是的中点(zhōnɡ diǎn)，∴．同理可证∴EF是ABSC、的公垂线段．在中，，．∴．〔2〕取AC的中点，连结，那么．∴EF和所成的锐角或者直角就是异面直线EF和SA所成的角．连结，在中，，，．由余弦定理，得．∴．故异面直线EF和SA所成的角为．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 假如一条直线与一个平面(píngmiàn)平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．：直线(zhíxiàn)α//a ，，，a b //．求证(qiúzhèng)：α⊂b ．分析(f ēnx ī)：由于过点与a 平行的直线是惟一存在的，因此，此题就是要证明，在平面α外，不存在过B 与a 平行的直线，这是否认性命题，所以使用反证法．证明：如下图，设α⊄b ，过直线a 和点B 作平面β，且．∵α//a ，∴．这样过B 点就有两条直线b 和同时平行于直线a ，与平行公理矛盾． ∴b 必在α内．说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的根据． (2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下表达方式．如上图，过直线a 及点B 作平面β，设'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ．这样，'b 与b 都是过B 点平行于a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，∴b 与'b 重合．∵，∴α⊂b ．典型例题七例7 以下命题正确的个数是〔〕．(1)假设直线上有无数个点不在平面α内，那么；(2)假设(jiǎshè)直线l平行(píngxíng)于平面α内的无数条直线(zhíxiàn)，那么α//l；(3)假设(jiǎshè)直线l与平面α平行，那么l与平面α内的任一直线平行；(4)假设直线l在平面α外，那么α//l．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：此题考察的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解此题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公一共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．解：(1)直线l上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所在点都不在平面α内，因此直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数〞并非“所有〞．(2)直线l虽与α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以直线l不一定平行α．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当αl时，假设且，那么在平面α内，除了与平//行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线．(4)直线l在平面α外，应包括两种情况：α//l和l与α相交，所以l与α不一定平行．应选A．说明：假如题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完好，考虑要全面．如直线l、m都平行于α，那么l与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线、αl，那么m与α的位置关系可//能是平行，可能是m在α内．典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和平面相交，那么另一条也与该平面相交．：直线ba//，．求证：直线b与平面α相交．分析(fēnxī)：利用(lìyòng)ba//转化(zhuǎnhuà)为平面问题来解决，由a//可确定一辅助(fǔzhù)平面β，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造b了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识可以运用．解：∵ba//，∴a和b可确定平面β．∵，∴平面α和平面β相交于过点P的直线l．∵在平面β内l与两条平行直线a、b中一条直线a相交，∴l必定与直线b也相交，不妨设，又因为b不在平面α内〔假设b 在平面α内，那么α和β都过相交直线b和l，因此α与β重合，a在α内，和矛盾〕．所以直线b和平面α相交．说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公一共点；否认直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线假如经过平面内一点，又经过平面外一点，那么此直线必与平面相交〔此结论可用反证法证明〕．典型例题九例9如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行．：a与b是异面直线．求证：过b且与a平行的平面有且只有一个．分析：此题考察存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有〞的含义．“有〞就是要证明过直线b存在一个平面α，且αa，“只有〞就//是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出〔或者作出〕平面，唯一性常借助于反证法或者其它唯一性的结论．证明(zhèngmíng)：(1)在直线(zhíxiàn)b上任(shàng rèn)取一点A，由点A和直线(zhíxiàn)a可确定平面β．在平面β内过点A作直线，使，那么'a和b为两相交直线，所以过'a和b可确定一平面α．∵αb，a与b为异面直线，⊂∴．又∵，，∴αa．//故经过b存在一个平面α与a平行．(2)假如平面也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知γ也是经过相交直线b和'a的．由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面α与γ重合，即满足条件的平面是唯一的．说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面α且与a平行，同样过a也存在一平面β且与b平行．而且这两个平面也是平行的〔以后可证〕．对于异面直线a和b的间隔，也可转化为直线a到平面α的间隔，这也是求异面直线的间隔的一种方法．典型例题十例10 如图，求证：假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．：，α//a ，，求证：．分析(f ēnx ī)：此题考察综合运用线面平行的断定(duàndìng)定理和性质定理的才能．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线(zhíxiàn)平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的断定定理和性质定理来证明a 与l 平行(píngxíng)．证明：在平面α内取点P ，使，过P 和直线a 作平面γ交α于b ．∵α//a ，，，∴b a //．同理过a 作平面交β于． ∵β//a ，，，∴c a //． ∴c b //． ∵，， ∴．又∵α⊂b ，l =βα ， ∴．又∵b a //， ∴l a //．另证：如图，在直线l 上取点，过M 点和直线a 作平面和α相交于直线，和β相交于直线．∵α//a ，∴， ∵β//a ，∴，但过一点只能(zh ī nénɡ)作一条直线与另一直线平行． ∴直线(zhíxiàn)和2l 重合(chónghé)．又∵，，∴直线(zhíxiàn)1l 、2l 都重合于直线l ， ∴l a //．说明：“线线平行〞与“线面平行〞在一定条件下是可以互相转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要．典型例题十一例11 正方形ABCD 与正方形所在平面相交于，在、BD 上各取一点P 、Q ，且．求证：面．分析：要证线面平行，可以根据断定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE 中如何找一直线与平行．可考察过PQ 的平面与平面BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．证明一：如图，在平面ABEF 内过P 作交于M ，在平面ABCD 内过Q 作交于，连结．∵ABPM//，∴．又∵，∴，即．∵正方形ABEF与ABCD有公一共(yīgòng)边AB，∴．∵DQAP ，∴．∴．又∵ABPM//，ABQN//，∴．∴四边形为平行四边形．∴．又∵面BCE，∴//PQ面BCE．证明(zhèngmíng)二：如图，连结(lián jié)并延长(yáncháng)交BC于，连结．∵，∴．又∵正方形ABEF 与正方形ABCD 有公一共边AB ， ∴DB AE =， ∵DQ AP =，∴．∴．∴，又∵面， ∴//PQ 面BEC ．说明(shu ōmíng)：从此题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线(zhíxiàn)与直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行挪动、补形等方法，详细用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公一共边的正方形〞这一条件(tiáojiàn)改为“两个(li ǎn ɡ ɡè)全等的矩形〞，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或者平行、或者相交于一点．：，，．求证：a 、b 、c 互相平行或者相交于一点．分析：此题考察的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据一共面的两条直线平行或者相交来推论三条交线的位置关系．证明：∵a =βα ，b =γβ ， ∴．∴a 与b 平行或者相交． ①假设b a //，如图∵，，∴．又∵c =αγ ，α⊂a ，∴c a //． ∴．②假设(ji ǎshè)a 与b 相交(xi āngji āo)，如图，设，∴，．又∵，．∴，又∵，∴． ∴直线(zhíxiàn)a 、b 、c 交于同一点(y ī di ǎn)O ．说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD 中， M 、N 分别是、的中点，画出点、M 、N 的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13 空间四边形ABCD ，，AE 是的BC 边上的高，是的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．证法一：〔定理法〕如图由题设条件可知点E、不重合，设BCD∆所在平面α．∴AE和DF是异面直线(zhíxiàn)．证法(zhènɡ fǎ)二：〔反证法〕假设(jiǎshè)AE和DF不是(bù shi)异面直线，那么AE和DF一共面，设过AE、DF的平面为β．(1)假设E、F重合，那么E是BC的中点，这与题设ACAB≠相矛盾．(2)假设E、F不重合，∵，，，∴．∵，，∴A、B、、D四点一共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾．综上，假设不成立．故AE和DF是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用．首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？〞对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，那么9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14AB、BC、是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面和AC平行，也和BD平行．分析(fēnxī)：欲证明(zhèngmíng)AC平面(píngmiàn)EFG，根据直线(zhíxiàn)和平面平等的断定定理只须证明AC平行平面EFG内的一条直线，由图可知，只须证明．证明：如图，连结AE、EG、EF、．在ABC∆中，E、F分别是AB、BC的中点．∴EFAC//．于是AC//平面EFG．同理可证，BD//平面EFG．说明：到目前为止，断定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的断定定理．典型例题十五例15空间四边形ABCD，P、Q分别是ABC∆的重心，∆和BCD求证：．分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面中的某条直线平行，根据条件，此直线为，如图．证明：取BC的中点E．∵P 是ABC ∆的重心，连结AE ，那么，连结，∵Q 为BCD ∆的重心， ∴，∴在中，．又，，∴ACD PQ 平面//．说明(shu ōmíng)：(1)本例中构造(gòuzào)直线AD 与PQ 平行，是充分借助于题目(tímù)的条件：P 、Q 分别(f ēnbié)是ABC ∆和BCD ∆的重心，借助于比例的性质证明AD PQ //，该种方法经常使用，望注意把握．(2)“欲证线面平行，只须证线线平行〞．断定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题详细情况要纯熟运用．典型例题十六例16 正方体中，E 、G 分别是BC 、的中点如以下图．求证：．分析：要证明D D BB EG 11//平面，根据线面平等的断定定理，需要在平面内找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件．证明：取BD 的中点F ，连结EF 、．∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，那么，且．∵G 为11D C 的中点， ∴且， ∴且，∴四边形为平行四边形， ∴，而，，∴．典型(di ǎnxíng)例题十七例17 假如(ji ǎrú)直线，那么(nà me)直线a 与平面(píngmiàn)α内的〔〕．A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A 、B ．对于C ，无数条直线可能是一组平行线，也可能是一共点线，∴C 也不正确，应排除C ．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面α平行，∴D 正确．∴应选D ．说明：此题主要考察直线与平面平行的定义．典型例题十八例18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是〔〕． A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或者异面解：如图中的甲图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、是相交关系；如图中的乙图，分别(fēnbié)与异面直线a、b平行(píngxíng)的两条直线c、d 是相交(xiāngjiāo)关系．综上，可知(kě zhī)应选D．说明：此题主要考察有关平面、线面平行等根底知识以及空间想象才能．典型例题十九例19a、b是两条异面直线，以下结论正确的选项是〔〕．A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行B．过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b相交C．过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一平面与b平行解：A错，假设点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与平行了．B错，假设点与a所确定的平面与b平等时，就不能作一条直线与a，b相交．C错，假设这样的直线存在，根据公理4就可有ba//，这与a，b异面矛盾．D正确，在a上任取一点A，过A点做直线bc//，那么c与a确定一个平面与b平行，这个平面是惟一的．∴应选Ｄ．说明：此题主要考察异面直线、线线平行、线面平行等根本概念．典型例题二十例20 (1)直线b a //，α平面//a ，那么b 与平面α的位置关系是_____________．(2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行．解：(1)当直线b 在平面α外时，α//b ；当直线b 在平面α内时，α⊂b ． ∴应填：α//b 或者α⊂b ．(2)因为过A 点分别作a ，b 的平行线只能作一条，〔分别称'a ，'b 〕经过'a ，'b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面(píngmiàn)经过a 或者(huòzhě)b 时，这个(zhè ge)平面就不满足条件了．∴应填：1．说明(shu ōmíng)：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答此题的关键．典型例题二十一例21 如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，假设，，，那么EG =___________．解：∵α//a ，．∴，即，∴．那么．∴应填：．说明：此题是一道综合题，考察知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考察了综合运用知识，分析和解决问题的才能．内容总结（1）典型例题一例1 简述以下问题的结论，并画图说明：〔1〕直线平面，直线，那么和的位置关系如何。

2015届高考数学总复习第八章第四节空间点、直线、平面之间的位置关系课时精练试题文(含解析)

1．给出下列四个命题，其中正确的个数是( )①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．1 B．2 C．3 D．4解析：经过不共线的三点可以确定一个平面，所以①不正确；两条平行线可以确定一个平面，所以②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，所以③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，所以④不正确．故选B.答案：B2．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：B、C、D选项是公理，只有选项A不是公理．答案：A3．(2013·重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是( )A．平行 B．异面C．相交 D．平行、异面或相交解析：经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现．故选D.答案：D4．(2013·北京东城区模拟)设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：选项A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；选项B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；选项C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；选项D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥B C.答案：C5．在四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于 ( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：取SB 的中点G ，连接GE ，GF ，则GE ＝GF ＝a2，∠EFG 为异面直线EF 与SA 所成的角，EF ＝22a ，在△EFG 中，∠EFG ＝45°.故选C. 答案：C6．(2013·沈阳模拟)正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是线段BC 、C 1D 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：如图所示，直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，所以两直线相交．故选A.答案：A7．在三棱锥ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，AC ，CD ，BD 的中点，且AD ＝BC ，那么四边形EFGH 是________．解析：由三角形中位线的性质知EF 綊12BC ，GH 綊12BC ，所以EF 綊GH ，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为EH綊12AD，AD＝BC，所以EH＝EF，所以四边形EFGH是菱形．答案：菱形8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB 与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：将展开图恢复为正方体纸盒，如图可知①③正确．答案：①③9．四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，根据图中的信息，在四棱锥的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为________．答案：610．(2012·西安五校联考)空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．解析：如图所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，故AC 的取值范围是0<AC < 3.答案：(0，3)11.若四棱锥PABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD (如图)且PA ＝2 3. (1)求异面直线PD 与BC 所成角的大小； (2)求四棱锥PABCD 的体积．解析：(1)∵AD ∥BC ，∴∠PDA 的大小即为异面直线PD 与BC 所成角的大小． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，由PA ＝23，AD ＝2，得tan∠PDA ＝3，∴∠PDA ＝60°，故异面直线PD 与BC 所成角的大小为60°. (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×22×23＝833.12．(2013·德阳检测)如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1C 与截面DBC 1交于O 点，AC ，BD 交于M 点，求证：C 1，O ，M 三点共线．证明：因为C 1∈平面A 1ACC 1，且C 1∈平面DBC 1，所以C 1是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的公共点．又因为M ∈AC ，所以M ∈平面A 1ACC 1. 因为M ∈BD ，所以M ∈平面DBC 1，所以M 也是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的公共点，所以C 1M 是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的交线．因为O 为A 1C 与截面DBC 1的交点，所以O ∈平面A 1ACC 1，O ∈平面DBC 1，即O 也是两平面的公共点，所以O ∈直线C 1M ，即C 1，O ，M 三点共线．13．(2012·肇庆一模)已知四棱锥PABCD 如图①所示，其三视图如图②所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．(1)求此四棱锥的体积；(2)若E 是PD 的中点，求证：AE ⊥平面PCD ；(3)在(2)的条件下，若F 是PC 的中点，证明：直线AE 和直线BF 既不平行也不异面．(1)解析：由题意可知，四棱锥PABCD 的底面是边长为2的正方形，其面积S ABCD ＝2×2＝4，高h ＝2，所以V PABCD ＝13S ABCD ·h ＝13×4×2＝83.(2)证明：由三视图可知，PA ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥PA . ∵ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD .又PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PAD .∵AE ⊂平面PAD ，∴AE ⊥CD .又△PAD 是等腰直角三角形，E 为PD 的中点， ∴AE ⊥PD .又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AE ⊥平面PCD .(3)证明：∵E ，F 分别是PD ，PC 的中点，∴EF ∥CD 且EF ＝12CD .又∵CD ∥AB 且CD ＝AB ，∴EF ∥AB 且EF ＝12AB .∴四边形ABFE 是梯形．AE ，BF 是梯形的两腰，故AE 与BF 所在的直线必相交． ∴直线AE 和直线BF 既不平行也不异面．。

高考数学总复习 9-3 空间点、直线、平面之间的位置关系但因为测试新人教B版

高考数学总复习 9-3 空间点、直线、平面之间的位置关系但因为测试新人教B版1.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件[答案] A[解析]若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．2．(2011·福州二检)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案] B[解析]没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确，故选B.3．(2011·济宁一模)已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[答案] D[解析]若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与C D 平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.4．(文)(2011·北京市西城区模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1有公共点A的和有公共点C1的各有3条，其余6条所在正方体的面与AC1均相交，且交点不在这些棱上，由异面直线判定定理知，这6条与AC1都异面，故选C.(理)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3 B．4C．5 D．6[答案] C[解析]如上图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱为BC、C1D1、DC、AA1、BB1，共5条．5．(文)(2011·中山模拟)设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如下图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个[答案] D[解析]解法一：在四棱锥P－ABCD的侧棱P A、PB上各取一点E、F，在侧棱PC上取一点M，在侧面PCD 内过M作MN∥EF，在平面PCD内沿侧棱平行移动直线MN，使其与两侧棱交点M、N之间线段长MN＝EF，则截面MNEF截得的四边形为平行四边形，所有与平面MNEF平行的平面截四棱锥所得的四边形均为平行四边形，故选D.解法二：作一个平行四边形A1B1C1D1，在平面A1B1C1D1外任取一点P得到四棱锥P－A1B1C1D1，在直线P A1、PB1、PC1、PD1上任取点A、B、C、D，使ABCD不是平行四边形，则四棱锥P－ABCD符合题意，所有与平面A1B1C1D1平行的平面截四棱锥均可得到一个平行四边形．(理)如下图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()[答案] D[解析]A中，PS∥QR；B中如下图可知此四点共面；C中PS∥QR；D中RS在经过平面PQS内一点和平面PQS外一点的直线上，故选D.6．(2011·浙江省嘉兴市质检)如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行[答案] D[解析] 由于C 1D 1与A 1B 1平行，MN 与C 1D 1是异面直线，所以MN 与A 1B 1是异面直线，故选项D 错误． [点评] 取CC 1中点P ，则MP ∥BC ，NP ∥C 1D 1，∵CC 1⊥B C ，CC 1⊥C 1D 1，∴CC 1⊥MP ，CC 1⊥NP ，∴CC 1⊥平面MNP ，∴CC 1⊥MN ，∴A 正确；取CD 中点Q ，BC 中点R ，则NQ 綊12D 1D ，MR 綊12CC 1，∵CC 1綊D 1D ，∴NQ綊MR ，∴MN ∥QR ，∵QR ∥BD ，AC ⊥BD ，∴AC ⊥MN ，∴B 正确；∵MN ∥QR ，QR ∥BD ，∴MN ∥BD ，∴C 正确．7．(2011·金华模拟)在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[答案] ②④[解析] 图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G 、H 、N 三点在三棱柱的侧面上，MG 与这个侧面相交于G ，∴M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以图②、④中GH 与MN 异面．8．(2011·浙江杭州)已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)[答案] ①②④[解析] 设与两异面直线都平行的平面为α，β⊥α，则a 、b 在β内的射影为两条平行直线，∴①正确；当a ⊥α时，a 、b 在α内的射影为一条直线及线外一点，∴④正确；适当调整角度可以使a 在α内的射影a ′与b 垂直，从而a ′与b 在α内的射影b ′垂直，无论什么情况下，两直线的射影都不可能重合．9．(2011·南京模拟)如下图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．[答案]3[解析] 将三棱柱的侧面A 1ABB 1和B 1BCC 1以BB 1为折痕展平到一个平面α上，在平面α内AC 1与BB 1相交，则交点即为M 点，易求BM ＝1，∴AM ＝2，MC 1＝22，又在棱柱中，AC 1＝14，∴cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝2＋8－142×2×22＝－12，∴∠AMC 1＝120°，∴S △AMC 1＝12AM ·MC 1·sin ∠AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 10．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ，若A 1C 交平面BDEF 于点R ，试确定点R 的位置．[解析] 如下图，在正方体AC 1中，∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈平面A 1C 1CA .又Q ∈EF ，∴Q ∈平面BDEF ，即Q 是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．同理，P 也是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．∴平面A 1C 1CA ∩平面BDEF ＝PQ ，又A 1C ∩平面BDEF ＝R ，∴R ∈A 1C ，∴R ∈平面A 1C 1CA ，又R ∈平面BDEF ，∴R ∈PQ ，∴R是A1C与PQ的交点．11.已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，下列命题中正确的是()A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交C．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交[答案] C[解析]如图(1)，正方体ABCD－A1B1C1D1中，a、b、c是三条棱所在直线满足a与b异面，b与c异面，但a∩c ＝A，故A错；同样在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错．12．如下图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为()A．相交B．平行C．异面D．重合[答案] C[解析]将表面展开图折起还原为正方体如下图，故MN与PB异面．13．(2011·山西太原调研)已知平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α[答案] C[解析]如图(1)可知A错；如图(2)可知B错；如图(3)，m⊥α，n是α内的任意直线，都有n⊥m，故D错．∵n∥α，∴n与α无公共点，∵m⊂α，∴n与m无公共点，又m、n共面，∴m∥n，故选C.14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、SC 和DC 的中点，点P 在线段FG 上．(1)求证：平面EFG ∥平面SDB ； (2)求证：PE ⊥AC .[解析] (1)∵E 、F 、G 分别为BC 、SC 、CD 的中点， ∴EF ∥SB ，EG ∥BD .∵EF 平面SBD ，EG 平面SBD ， ∴EF ∥平面SBD ，EG ∥平面SBD . ∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFG ∥平面SDB . (2)∵B 1B ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥B 1B . 又∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥平面B 1BDD 1，即AC ⊥平面SBD . 又平面EFG ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EFG . ∵PE 平面EFG ，∴PE ⊥AC .15.(2010·江苏通州调研)如下图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝1，AB ＝3，点E 在CD 上移动．(1)求三棱锥E －P AB 的体积；(2)试在PD 上找一点F ，使得PE ⊥AF ，并证明你的结论． [解析] (1)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴V E －P AB ＝V P －ABE ＝13S △ABE ·P A＝13×12×1×3×1＝36. (2)F 是PD 的中点∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥P A[来源:] ∵ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ∵P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD∵F 是PD 上的点，AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥DC ∵P A ＝AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD 又CD ∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面PDC ∵PE ⊂平面PDC ，∴PE ⊥AF .1．将正方体纸盒展开如下图所示，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交成60°角D ．异面且成60°角[来源:Z|xx|][答案] D[解析] 折起后如下图，显然AB 与CD 异面，∵AM ∥CD ，△AMB 为正三角形，∴∠MAB ＝60°.2．(2011·四川文，6)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[答案] B[解析]举反例，由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的．故选B.3．(2010·全国卷Ⅰ文，6)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析]将原来的直三棱柱补成一个正方体ABDC－A1B1D1C1，∵AC1∥BD1，∴∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角．∵△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.[点评]异面直线所成的角是重点考查的一个内容，难点在于寻找异面直线的平行线，本题巧妙地构造一个正方体，借助于正方体的特点，很容易找出异面直线所成的角．4.(2010·江西文，11)如下图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③[答案] C[解析]∵点M不在B1C1上，∴由B1C1与点M可确定唯一平面B1C1M，设此平面与AA1交点为N，则N为AA1中点，在平面ABB1A1内，B1N与BA必相交，设交点为Q，则QM与B1C1一定不平行，∴QM与AB、B1C1都相交，由作法知，这样的直线QM有且仅有一条，∴①真；∵AB∥A1B1，A1B1与B1C1相交确定一个平面A1B1C1D1，∵过点M作平面A1B1C1D1的垂线唯一，∴过M与AB、B1C1都垂直的直线唯一，∴②真；过M作ME∥DC，交CC1于E，∵DC∥AB，∴ME∥AB；过M作MF∥A1D1，交AA1于F，∵A1D1∥B1C1，∴MF∥B1C1，∴AB与B1C1都与平面MEF平行，由作法知，这样的平面MEF有且仅有一个，故选C.。

新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习5.2点、直线、平面之间的位置关系(含答案解析)

第一部分知识复习专题专题五立体几何第二讲点、直线、平面之间的地点关系题号123456答案一、选择题1．l1，l2是两条异面直线，直线m1，m2与l1，l2都订交，则m1，m2的地点关系是()A．异面或平行B．订交C．异面D．订交或异面分析：若m1，m2过直线l1或l2上的同一个点，则m1，m2订交；若m1，m2与直线l1，l2有四个不一样交点，则答案：Dm1，m2异面．2．(2013安·徽卷)在以下命题中，不是公义的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线答案：A3.(2014辽·宁卷)已知m，n表示两条不一样直线，A．若m∥α，n∥α，则m∥n α表示平面，以下说法正确的选项是()B．若m⊥α，nα，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α分析：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n订交或m，n异面，故A错；若m⊥α，nα，由直线和平面垂直的定义知，m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错；若m∥α，m⊥n，则n与α地点关系不确立，故D错．答案：B4.(2013新·课标Ⅱ卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β直.线l知足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥βC．α与β订交，且交线垂直于lD．α与β订交，且交线平行于l分析：联合给出的已知条件，画出切合条件的图形，而后判断得出．依据所给的已知条件作图，以下图．由图可知α与β订交，且交线平行于l.应选D.答案：D5．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ACD，PA＝2AB，则以下结论正确的选项是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°分析：解法一由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，清除A；作AG⊥PB于G，因平面PAB⊥平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故清除B；由BC∥EF，而EF是平面PAE的斜线，故清除 C.应选 D.解法二设底面正六边形边长为a，则AD＝2a，PA＝2AB＝2a，由PA⊥平面ABC可知PA⊥AD，又PA＝AD，因此直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA＝45°.应选D.答案：D 6．以下图是某个正方体的侧面睁开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A．相互平行B．异面且相互垂直πC．异面且夹角为3D．订交且夹角为π3答案：D二、填空题7．设α和β为不重合的两个平面，给出以下命题：①若α内的两条订交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β订交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必需条件是l与α内的两条直线垂直．上边命题中，真命题的序号是__________．分析：考察立体几何中的直线、平面的垂直与平行判断的有关定理．答案：①②8.如图，边长为a的正三角形ABC中线AF与中位线DE订交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，现给出以下命题，此中正确的命题有________(填序号)．①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上②三棱锥A′－FED的体积有最大值③恒有平面A′GF⊥平面BCED④异面直线A′E与BD不行能相互垂直分析：由题意知AF⊥DE，∴A′G⊥DE，FG⊥DE，∴DE⊥平面A′FG，DE平面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，交线为AF，∴①③均正确．当A′G⊥平面ABC时，A′到平面ABC的距离最大．故三棱锥A′－FED的体积有最大值．故②正确．22当A′F＝2EF时，EF⊥A′E，即BD⊥A′E，故④不正确．答案：①②③三、解答题9．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的地点，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上能否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明原因．答案：(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE.∴A1F⊥BE.(3)分析：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ，原因以下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.∴A1C⊥平面DEP.进而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.10．(2014·建卷福)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，以下图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．剖析：第(1)问依据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线垂直；第(2)问利用第(1)问的结论，成立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值．(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AB⊥CD.(2)分析：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图.由(1)知AB⊥平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.→→→以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向成立空间直角坐标系．11→依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，，，则BC＝22→11→(1，1，0)，BM＝0，，，AD＝(0，1，－1)．22设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，→x0＋y0＝0，n·BC＝0，则即11→n·BM＝0，2y0＋2z0＝0，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．→→|n·AD|6设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos(n，AD)|＝→＝3，|n||AD·|6即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为3.。

高中数学必修2：空间点、直线、平面之间的位置关系(高考题)

高中数学必修2：空间点、直线、平面之间的位置关系（高考题）
一、平面的基本性质
1、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．
二、空间两直线的位置关系
如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
三、异面直线所成的角
(2016·高考全国卷乙)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n 所成角的正弦值为( )
2、(2015·高考广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
3、(2017·辽宁省三校协作体联考)如图，四棱锥PABCD中，∠ABC ＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为( )
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高一数学点线面的位置关系试题

高一数学点线面的位置关系试题1.若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（）A．相交B．异面C．异面或相交D．平行【答案】C【解析】空间中直线与直线有三种位置关系：相交，平行，异面；当直线与直线在同一个平面内，则相交，不在任何一个平面内，则是异面直线；要是，由平行公理得，这与为异面直线相矛盾，故位置关系是相交或异面.【考点】空间中直线和直线的位置关系.2.若、、是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若∥，，，则∥B．若，则C．若，∥，则D．若，则∥【答案】C【解析】对于，直线可能平行，可能异面；对于没有说明直线垂直交线；对于由平面与平面垂直的性质得正确；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面.【考点】空间中点、线、面的位置关系.3.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱中，，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，；（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面；(3).【解析】（1）由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故；（2）连接交于点，则为的中位线，得到∥，从而得到∥面；（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算.试题解析：（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，.（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面．（3）在中过作垂足为，由面⊥面知，面，．而，，.【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．4.已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m,n，则m n B．若C．若D．若【答案】D【解析】A选项中m,n可以相交；B选项中可能相交，不同于平面中的垂直于同一直线的两直线平行；C选项中m有可能与的相交线平行，同时也与平行，但平面不平行；综合选D.【考点】直线与平面的位置关系.5.已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF AB，则EF与CD所成的角为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】设为的中点，连接，由三角形中位线定理可得，则即为与所成的角，结合，在中，利用三角函数即可得到答案．【考点】异面直线及其所成的角．三角形中位线定理.6.下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合.D．四条边都相等的四边形是平面图形【答案】B【解析】对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；对于B，三角形三条直线两两相交，有不共线的三点，因此一定是平面图形，故B正确；对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，故选B．【考点】平面的基本性质．7.已知△中，，，平面，，、分别是、上的动点，且．（1）求证：不论为何值，总有平面平面；（2）当为何值时，平面平面？【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）通过证明⊥平面，说明平面平面；（2）将平面平面作为条件，利用三角形关系求解．试题解析：（1）∵⊥平面，∴⊥．∵⊥且，∴⊥平面，又∵，∴不论为何值，恒有，∴⊥平面．又平面，∴不论为何值，总有平面⊥平面．（2）由（1）知，⊥，又平面⊥平面，∴⊥平面，∴⊥．∵，，，∴，，∴，由，得，∴，故当时，平面平面．【考点】两平面的位置关系的证明．8.下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行.⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面的位置关系.所以（1）不正确；两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行，或异面，所以（2）不正确；两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，所以（3）不正确；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行或直线在平面内，所以（4）不正确.故选A.【考点】1.直线与平面的位置关系.2.直线与直线的位置关系.3.相关的判断定理.9.在正四面体（所有棱长都相等）中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．平面平面B．平面C．平面平面D．平面平面【答案】C【解析】由AF⊥BC，PE⊥BC，可得BC⊥平面PAE，而DF//BC，所以，DF⊥平面PAE,故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【考点】正四面体的几何特征，平行、垂直关系。