理学数理方程第二章

(3) p2 4q 0 时，设 1 i , 2 i , 则
y e x(C1 cos x C2 sin x).
§2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定弦的自由振动. 定解问题为：
2u t 2
a2
2u x 2
u 0, u x0
0,
xl
0 0,
x
l,
t0 t0
u
( x), u
at
)
sin
n
l
x
其中 An 和 Bn 由上页给出。
由叠加原理，如果上式右端的无穷级数是收敛的，
并且关于 x，t 能逐项微分两次，则和式 u(x,t) 确
实是问题(2.1)-(2.3)的解（经典解）。
条件：若在区间 上， 则无穷级数解
，且
为混合问题(2.1)-(2.3)的经典解, 其中
如果(*)定义的函数 u(x,t)不具备经典解的要求，则 称为问题(2.1)-(2.3)的形式解。
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,L , cos nx,sin nx,L
在 [ , ] 上正交：
1 cos nxdx 1sin nxdx 0, n 1, 2,L ,
－
－
cos nx sin mxdx cos nx cos mxdx
－
－
sin nx sin mxdx 0, n m. －
u x,t At sin x
设 方程得
且
不恒为零，代入
①
由
不恒为零，有：
这个式子的左端是x的函数,
右端是t的函数，何时恒等？
②
…..…….. ③
思考：先解哪一个方程？ 利用边界条件
④
④
则 ⑤
参数 称为特征值；
特征值问题
相应的非零解 X(x) 称为特征函数；
分三种情形讨论特征值问题的求解：
(i)
方程通解为
由边值条件得：
C1 =C 2=0 从而
(ii)
时，通解
由边值条件
， 无意义.
无意义
(iii） 时，通解 由边值条件：
得 故 即：
而
从而
再求解T：
两端
固定
其解为
弦的
特征
振动
所以
未必满足初始条件(2.3) 受叠加原理启发，
代入初始条件得：
………………...⑥
补充：傅立叶(Fourier)级数
( x), 0 x l
t0
t t0
特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) (2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3)。
思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
若 f (x) 是 [l,l] 上的奇函数，则其傅立叶级数 只含正弦函数项；若 f (x) 是 [l,l] 上的偶函数， 则其傅立叶级数只含余弦函数项。
问题：如何求定义在 [0,l] 上的函数 f (x) 的 傅里叶级数？
方法：根据需要，将 f (x) 的定义域拓展到 [l,l] : 若展开成正弦级数，进行奇延拓；若展开成余弦 级数，进行偶延拓。然后将延拓后函数的傅里叶 级数限制到 [0,l] 即可。
f (x) 为 [ ,］上可积的以 2 为周期的函数。
若 f (x) 满足一定条件，则
f
(x)
a0 2
n1
(an
cos nx
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sin nx),
其中
an
1
f (x) cos nxdx,
n 0,1, 2,L ,
bn
1
f (x) sin nxdx,
n 1, 2,L .
两种推广
1. f (x) 为 [l,l] (l ) 上可积的以 2l 为周期的函数。
在微积分学中，多元函数的微分和 重积分经常要转化为一元函数的相应问 题来计算，例如偏导数、累次积分等。 类似地，偏微分方程的定解问题的常用 解法是设法转化为常微分方程的定解问 题。下面介绍的分离变量法就是这样一 种转化的方法。
理论基础:
➢叠加原理
设 L 是线性微分算子，若
线性定解条件）
ui
满足线性方程（或
方法：做变量代换 y x，则 y [ , ].
l
计算可得
f (x)
a0 2
(an
n1
cos n
l
x bn sin
n
l
x),
其中
1l
n
an l
f (x) cos
l
l
xdx,
n 0,1, 2,L ,
1l
n
bn l
f (x) sin
l
l
xdx,
n 1, 2,L .
2. 正弦级数与余弦级数。
Lui fi, i 1,2,L ,n,L
则它们的线性组合 u ciui
i 1
必满足方程（或定解条件） Lu ci fi
i 1
其中要求级数收敛，且满足“L 中出现的求导与求和可交
换”的条件。
➢Sturm-Liouville 理论
P( x) y q( x) y ( x) y 0 (a x b)
⑵弦上各点振幅
因点而异
节点
在
处，振幅永远为0 腹点
在
处，振幅最大,为 Nn
特点
u( x, t) n1un( x, t)
u(x,t )是由无穷多个振幅、角频率、初位相各不
相同的驻波叠加而成。
n＝1的驻波称为基波, n>1的驻波叫做n次谐波。
注1: 本书不讨论所求形式解是否满足经典解要求 的条件，只要求得了形式解，就认为定解问题得 到了解决。
注2: 用分离变量法求解定解问题的关键是确定 特征函数和运用叠加原理，这些运算能够进行, 是因为方程以及边界条件都是齐次的。
二、解的物理意义
初位相
角频率
⑴弦上各点的角频率 和初位相 都相同，因而没 有波形的传播现象。
将
展开为Fourier正弦级数，比较系数
得
或直接根据
sin n
n
l
1,
x, 2, ...
的正交性去计算
l
0
sin
n
l
x
sin
m
l
x
dx
l
sin nt sin mt dt
0
0, n m,
l 2
,
n m.
m, n 为自然数
u( x, t )
( An
n1
cos
n at
l
Bn
sin
n
l
的特征值问题(§2.6)
➢二阶线性齐次常系数常微分方程
对于 y py qy 0 ( p, q 是常数)
令 y e x 代入方程有 2 p q 0,
1 p
p2 4q ,
2
2 p
p2 4q 2
2 p q 0
(1) p2 4q 0 时，y C1e1x C2e2x; (2) p2 4q 0 时，y (C1 C2x)e1x;