理学数理方程第二章
合集下载
数理方程第讲
18
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
系数,
n
l
a
Dn为(x)的傅里叶正弦级数展开
式的系数, 就是
Cn
2 l
l(x)sin n
0
l
x d x,
Dn
2
n a
l
(x)sin
n
xdx
0
l
(2.12)
初始条件(2.3)就能满足. 以上式确定的 Cn,Dn 代入(2.11)式即得原定解问题的解.
19
例 1 设有一根长为 10 的弦, 两端固定, 初速
为零, 初位移为(x) x(10 - x) , 求弦作微小
1000 横向振动时的位移. 解 设位移函数为 u(x,t), 它是定解问题
2u ut|x20
a2 0,
2u x2 ,0 x u |x10 0,t
10,t 0,
0,
的解
u
1
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动
2
在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经 常能够展开成级数. 例如, 幂级数的形式就是:
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+ 其中无穷多个函数v0(x)=1, v1(x)=x, v2(x)=x2, , 等等, 构成了级数展开的一个函数系. 而三角级数的形式就是
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
(完整版)数理方程第二章 非齐次方程的解法-4
（1） （2） （3）
深圳大学电子科学与技术学院
强迫弦振动
由于相应的齐次问题 1.齐次方程；2. u x0 0
函数集为
sin
n
L
x
n 1, 2, 3,
u 0 xL
的本征
故将现在的非齐次定解问题的解按该本征函数集
展开,而展开系数是时间 t 的函数:
代入(1):
v(x, t)
p11
1( p)
1 p2
, 2 ( p)
1 p 1
1 (t) t, 2 (t) et
t
(t) 1(t) 2 (t) 1( )2 (t ) d
0
t
et d 1 t et
0
初值问题
Tn(t
)
na
L
2
Tn (t)
fn (t)
0
Tn (0) 0, Tn '(0) 0
（7） （8）
对(7)式两边作拉氏变 换，给出代数方程：
p2Tn ( p)
na
L
2
Tn
(
p)
fn ( p)
0
Tn ( p)
fn ( p)
求解初值问题：
Tn(t)
na
L
2
Tn
(t
)
fn (t)
0
Tn (0) 0, Tn '(0) 0
（7） （8）
这个初值问题可用 拉普拉斯变换方法
求解
深圳大学电子科学与技术学院
数理方程第二章分离变量法
解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
数理方程课件2.2
n 1
ny 0 b
ny C0 Cn Dn cos 0 b n 1
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。
因此：
C0 0, Cn Dn 0 (n 1, 2,).
na na n b b Cn e Dn e Ay 得： D0 a cos b y Ay n 1
的值代入式(2.2.4)： X ( x) X ( x) 0
解得
X 0 C0 D0 x
n 0
Dn e
nx b
X n ( x) Cn e
nx b
(n 1,2, )
0
Y0 ( y) A0
0
X 0 C0 D0 x n Yn ( y ) An cos y (n 1, 2,) nx b nx X n ( x) Cn e b Dn e b (n 1,2, )
例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 E0 是 铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆 柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是 匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究 导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
得：
( 2 ) ( )
本征值问题：
'' 0, ( 2 ) ( )
1） 0
微分方程的通解是: ( ) Ae 不具周期性，所以舍去。 2） 0 微分方程的通解是: B=0时具周期性。 3） 0 微分方程的通解是:
故问题的一般解为：
u ( x, y ) X 0 ( x)Y0 ( y ) X n ( x)Yn ( y )
ny 0 b
ny C0 Cn Dn cos 0 b n 1
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。
因此：
C0 0, Cn Dn 0 (n 1, 2,).
na na n b b Cn e Dn e Ay 得： D0 a cos b y Ay n 1
的值代入式(2.2.4)： X ( x) X ( x) 0
解得
X 0 C0 D0 x
n 0
Dn e
nx b
X n ( x) Cn e
nx b
(n 1,2, )
0
Y0 ( y) A0
0
X 0 C0 D0 x n Yn ( y ) An cos y (n 1, 2,) nx b nx X n ( x) Cn e b Dn e b (n 1,2, )
例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 E0 是 铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆 柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是 匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究 导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
得：
( 2 ) ( )
本征值问题：
'' 0, ( 2 ) ( )
1） 0
微分方程的通解是: ( ) Ae 不具周期性，所以舍去。 2） 0 微分方程的通解是: B=0时具周期性。 3） 0 微分方程的通解是:
故问题的一般解为：
u ( x, y ) X 0 ( x)Y0 ( y ) X n ( x)Yn ( y )
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
数理方程第二章(1)
特点：方程和边界条件都是线性齐次的. 特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
数理方程第二章(2)
§2.2
有限长杆上的热传导
一均匀细杆长为 l，在 x=0 端温度为0度，且保持 温度不变， x=l 端与外界绝热。已知初始时刻温度 分布为 ( x ). 试求细杆上温度的变化规律。
令 代入方程及边界条件中, 并引入参数 得
特征பைடு நூலகம்题
当
或
时,
当
时,
由边界条件
从而
亦即特征根
特征函数为：
T 的方程
2
2
n cos x l
2
二
一
cos
2n 1 x 2l
注2：用分离变量法求解包含第三类(齐次)
边界条件 的定解问题时，其过程与
第 一 类（或第二类）边界条件相同，
但在确定特征值时，一般比较复杂。
例 细杆的热传导问题
长为 的均匀细杆，设与细杆垂直截面上各点的 温度相等，侧面绝热， 端绝热， 端热量自由 散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为
练习： 求下列定解问题的解
ut a 2 uxx 0 x l , t 0 ux 0, t ux l , t 0 u x, 0 x
解为 :
其中
1 u x , t a0 ane 2 n 1
求此杆的温度分布。 解 定解问题为
设
且
由
及齐次边界条件，有
得特征值问题
当 当 由
或 时, 得
时,
故
由
得
即 令 有
函数方程
y
r3 r2 r1
y1 tg r
由图1看出，函数方程 有成对的无穷多个实根
r1
r2
y2 rr r3
有限长杆上的热传导
一均匀细杆长为 l，在 x=0 端温度为0度，且保持 温度不变， x=l 端与外界绝热。已知初始时刻温度 分布为 ( x ). 试求细杆上温度的变化规律。
令 代入方程及边界条件中, 并引入参数 得
特征பைடு நூலகம்题
当
或
时,
当
时,
由边界条件
从而
亦即特征根
特征函数为：
T 的方程
2
2
n cos x l
2
二
一
cos
2n 1 x 2l
注2：用分离变量法求解包含第三类(齐次)
边界条件 的定解问题时，其过程与
第 一 类（或第二类）边界条件相同，
但在确定特征值时，一般比较复杂。
例 细杆的热传导问题
长为 的均匀细杆，设与细杆垂直截面上各点的 温度相等，侧面绝热， 端绝热， 端热量自由 散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为
练习： 求下列定解问题的解
ut a 2 uxx 0 x l , t 0 ux 0, t ux l , t 0 u x, 0 x
解为 :
其中
1 u x , t a0 ane 2 n 1
求此杆的温度分布。 解 定解问题为
设
且
由
及齐次边界条件，有
得特征值问题
当 当 由
或 时, 得
时,
故
由
得
即 令 有
函数方程
y
r3 r2 r1
y1 tg r
由图1看出，函数方程 有成对的无穷多个实根
r1
r2
y2 rr r3
数理方程第二章
2. 5 非齐次边界条件的处理
没有齐次边界就构不成特征值 问题，就无法使用分离变量法。
解决方法：顶杠法
令
选一函数 不惜一切代价凑 为齐次边界问题
在特殊情况下 方程和边界可以同时齐次化 令
第二章要求
• 分离变量法的实质、适用范围及解题步骤
• 掌握齐次一维振动和热传导方程在第一、第二类边
界条件下对应的特征值问题、特征值，特征函数系 及形式解的结构，掌握矩形域、圆/扇（环）域上
X ( x) X ( x) 0 n ( n ) 2 0 a X (0) X ( a ) 0 n 1, 2,....
X ( x) X ( x) 0 n ( )2 0 2a X (0) X ( a ) 0 n 0,1, 2,....
l 0
1 a u 1 2u ( ) 2 0, 2 0 13. u 0 0 , u 0 a u a T ( ) 0
作业点评
第二章 分离变量法 解题思路无大问题，问题主要集中在积分 多次分步积分 分步积分的推广公式
u u( x), v v( x)
有n+1阶连续导数
uv
( n 1)
dx uv
(n)
( n 1) u v
( n 2) ( n 3) u v u v
(1) n 1 u ( n 1) vdx
4T u( x , y ) 3 n n [1 ( 1)n ]sin n n 1 n a
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件)
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
运城学院参考资料数理方程第二章
sin
2a
l
t
v2(t) p2V2 ( p) pv2 (0) v2 (0) p2Vn ( p)
2a
l
p2
22 a2
l2
2
sin 2a
l
t
2a
p2V2 ( p)
4a2
l2
2
V2
(
p)
p2
l
4a2 2
l2
2a
V2 ( p)
p2
l
4a 2 2
p2
1
4a 2 2
l2
l2
l 2a
2a
v2 (t) 2a sin l t sin l t
X (0) 0,
X (l) 0
2 0
X 2 X 0 X (0) A B 0
X Aex Bex X (l) Ael Bel
0 2 0
AB0
X 0
X 0
X Ax B X B0
X 2 X 0
X Asin x B cosx
X (0) A 0
n
Xn
n2
n0
u(1, ) An (1) cos n Bn (1) sin n 0 n0
B2
1
B2
4
2
B2
1 2
2
An (1) Bn (1) 0 An (0) Bn (0)
C0 D0 ln
Cn n Dn n An 0
Bn 0 n 2
C B2
4
C2
12C 2 4C 2 D2 2
X (x) Ae x Be x
0 xl X (l) 0
X (0) A B 0 X (l) Ael Bel 0
数理方程-第1章第2章-研究生
2222uxyzttftgdsds48将公式在球坐标下化为累次积分球面的方程为则有sincossinsinsincossinsincossinsincossinsincossinuxyztfxatyatzatddgxatyatzatddttxxyyzzttuauuuxyzsincos2sinsinsinxatyatdd51二三维非齐次波动方程的cauchy问题ttxxyyzzttxxyyzzttxxyyzzttxxyyzz54第五节二维波动方程的cauchy问题一二维齐次波动方程降维法ttxxyyttuauuxyfxyugxyttttxxxxyyyyzzttxxyyzzuxyztuxyt改写方程为55利用三维波动问题的poisson公式上下半球面在坐标平面上的投影为上下半球面的面积元素相同tftgfdsfdsrddrtftg同理所以该公式为二维波动方程的公式
1 , 2 .
用
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。 utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
FT , xdx cos 2 FT , x cos 1 0.
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2
, xn ).
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
1 , 2 .
用
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。 utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
FT , xdx cos 2 FT , x cos 1 0.
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2
, xn ).
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
数理方程第二章(3)
(2.3.2) (2.3.3)
思路： 想象为时间， 思路：应用分离变量法 ，将 y想象为时间，将 想象为时间 (2.3.3)看作 齐次 边界条件。 看作(齐次 看作 齐次) 边界条件。 设u( x, y) = X( x)Y( y), 且 u( x, y) (2.3.1), 分离变量得 分离变量得
0, 代入方程
例：解定解问题
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u + 2 = 0 ( 0 < ρ < ρ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π ) 2+ 2 ρ ∂ ρ ρ ∂θ ∂ρ u | (0 ≤ θ ≤ 2π ) ρ = ρ0 = cosθ
解: 直接利用公式， 直接利用公式， a0 ∞ n cos θ = + ∑ ρ0 ( an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1 注意到三角函数的正交性质, 注意到三角函数的正交性质 可得 bn = 0, n = 1,2,...
2 0
π
4T dn = (1 − cos nπ ), n 3 πa n u ( ρ ,θ ) = 4T
π
∑a n
n =1 n
∞
ρn
[1 − ( −1)n ]sin nθ . 3
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ 1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sinθ 0 = ∂ρ ⋅ sinθ + ρ ∂θ cosθ ∂x ∂x
∂ 2u ∂ 2u 2 + 2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b ∂y ∂x u ( x ,0 ) = f ( x ) ; u ( x , b ) = g ( x ) , u ( a , y ) = 0. u ( 0, y ) = 0;
思路： 想象为时间， 思路：应用分离变量法 ，将 y想象为时间，将 想象为时间 (2.3.3)看作 齐次 边界条件。 看作(齐次 看作 齐次) 边界条件。 设u( x, y) = X( x)Y( y), 且 u( x, y) (2.3.1), 分离变量得 分离变量得
0, 代入方程
例：解定解问题
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u + 2 = 0 ( 0 < ρ < ρ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π ) 2+ 2 ρ ∂ ρ ρ ∂θ ∂ρ u | (0 ≤ θ ≤ 2π ) ρ = ρ0 = cosθ
解: 直接利用公式， 直接利用公式， a0 ∞ n cos θ = + ∑ ρ0 ( an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1 注意到三角函数的正交性质, 注意到三角函数的正交性质 可得 bn = 0, n = 1,2,...
2 0
π
4T dn = (1 − cos nπ ), n 3 πa n u ( ρ ,θ ) = 4T
π
∑a n
n =1 n
∞
ρn
[1 − ( −1)n ]sin nθ . 3
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ 1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sinθ 0 = ∂ρ ⋅ sinθ + ρ ∂θ cosθ ∂x ∂x
∂ 2u ∂ 2u 2 + 2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b ∂y ∂x u ( x ,0 ) = f ( x ) ; u ( x , b ) = g ( x ) , u ( a , y ) = 0. u ( 0, y ) = 0;
数理方程（ＰＤＦ）
叠加
u( x,t)
=
∞
∑ ( An
n =1
cos
nπ at
l
+
Bn
sin
nπ at
l
) sin
nπ
l
x
…….⑤
代入初始条件得：
⎧∞
∑ ⎪⎪
⎨ ⎪
n =1 ∞
∑ ⎪⎩ n =1
An Bn
sin
nπa l
nπx l
sin
= ϕ (x)
nπx l
=ψ
(x)
将ϕ( x),ψ ( x) 展开为Fourier级数，比较系数得
入方程和边界条件中得
XT '' − a 2 X ''T = 0… … … … … … ①
由 u(x,t) 不恒为零，有：
X '' (x) = T '' (t) X (x) a2T (t)
取参数 λ
T '' a 2T
=
X '' X
= −λ
X ''( x) + λX ( x) = 0LLLL ②
T '' + λa2T = 0 …..…….③
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
数理方程教学大纲
数理方程教学大纲一、引言数理方程是物理学、工程学、经济学等多个学科的重要工具。
它以数学为语言，描述了自然现象中的各种复杂现象，帮助我们理解并解决实际问题。
本教学大纲旨在为学生提供全面、系统的数理方程学习方案，培养其运用数理方程解决实际问题的能力。
二、教学目标1、理解数理方程的基本概念和分类；2、掌握常见数理方程的解法及应用；3、能运用数理方程解决实际问题；4、培养学生对数理方程的兴趣和爱好。
三、教学内容1、数理方程基本概念：讲解什么是数理方程，其基本形式和分类等；2、一阶线性微分方程：讲解一阶线性微分方程的基本解法，包括分离变量法、积分因子法等；3、高阶微分方程：讲解高阶微分方程的解法，如降阶法、常数变易法等；4、偏微分方程：讲解偏微分方程的基本概念和分类，以及常见的偏微分方程的解法；5、特殊类型方程：讲解一些特殊类型的数理方程，如Sturm-Liouville 方程、Schrödinger方程等；6、数理方程应用：通过实例讲解数理方程在物理学、工程学、经济学等领域的应用。
四、教学方法1、课堂讲解：通过讲解典型例题，使学生掌握数理方程的基本概念和解题方法；2、数值模拟：利用计算机进行数值模拟，帮助学生理解数理方程的解的性质和实际应用；3、小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进交流与合作，加深对数理方程的理解；4、自主学习：鼓励学生通过自主学习，深入探究数理方程的相关知识和应用领域。
五、教学资源1、教材：选用优秀的数理方程教材，保证教学内容的科学性和系统性；2、网络资源：推荐优秀的数理方程学习网站和在线课程资源，以便学生进行拓展学习；3、教学软件：使用适当的数学软件和编程工具，辅助学生进行数理方程的学习和计算；4、实验课程：设置相关的实验课程，让学生在实践中进一步理解和掌握数理方程的相关知识。
六、评估与反馈1、课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括听讲、提问、讨论等方面的情况；2、作业与考试：定期布置作业和进行考试，以检验学生对数理方程知识的掌握程度；3、反馈与指导：根据学生的表现和考核结果，进行及时的反馈和指导，帮助学生发现不足并改进学习策略。
数理方程第二章 有界弦的自由振动-1
X ( x ) X ( x ) 0 有满足条件
X (0) X ( L) 0 的非零解；
确定取何值时 ，方程
——本征值
求出这个非零解 X ( x )
本征值 问题
本征函数
深圳大学电子科学与技术学院
下面求解边值问题：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
除此之外，只能得到恒 等于零的、没有意义的 解！常数 的特定数值，
被叫作本征值（特征值 ）；相应的解（ II），被叫作本征函数（ 特征函数） .
深圳大学电子科学与技术学院
解方程:
将
n n L
2
T (t ) a 2T (t ) 0
代入关于 T 的方程:
分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u( x, t ) X ( x)T (t ) （4） 代入方程（1）：
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
d X ( x) d T (t ) 0 2 dx X ( x) dx a T (t )
即
e=0(即=0)条件下成立，但在现在的 <0 情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解
即
A B 0 X ( x) 0
深圳大学电子科学与技术学院
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
n 2 2 n 2 L
(I )
n x. L
X n ( x) Bn sin
(n 1,2,3)
( II )
由此可见，在分离变量 法的过程之中，所引入 的常数 ，既不能为负，
X (0) X ( L) 0 的非零解；
确定取何值时 ，方程
——本征值
求出这个非零解 X ( x )
本征值 问题
本征函数
深圳大学电子科学与技术学院
下面求解边值问题：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
除此之外，只能得到恒 等于零的、没有意义的 解！常数 的特定数值，
被叫作本征值（特征值 ）；相应的解（ II），被叫作本征函数（ 特征函数） .
深圳大学电子科学与技术学院
解方程:
将
n n L
2
T (t ) a 2T (t ) 0
代入关于 T 的方程:
分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u( x, t ) X ( x)T (t ) （4） 代入方程（1）：
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
d X ( x) d T (t ) 0 2 dx X ( x) dx a T (t )
即
e=0(即=0)条件下成立，但在现在的 <0 情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解
即
A B 0 X ( x) 0
深圳大学电子科学与技术学院
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
n 2 2 n 2 L
(I )
n x. L
X n ( x) Bn sin
(n 1,2,3)
( II )
由此可见，在分离变量 法的过程之中，所引入 的常数 ，既不能为负，
场论与数理方程Lesson02
第一类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值第二类边界条件规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值第三类边界条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值其中是时间的已知函数为常系数
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
数理方程-波动方程及定解
细杆的纵向振动问题
u(x,t) O x
u(x+dx,t) x+dx L
均匀细杆长为L，线密度为ρ，杨氏模量为Y，杆的 一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动 (沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t) 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y ux Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。 T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t) SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
dt
牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 虎克定律: (1) f = –k x; f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长 (2) p = Y ux; Y—杨氏模量; ux—弹性体相对伸长
dT 付里叶热传导定律: Q = κ dx Q—热量;T—温度;κ—热导率 牛顿冷却定律: q = k(u|S – u0)
用牛顿第二定律 SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρ S dxutt
T u x ( x + dx , t ) u x ( x , t ) = utt ρ dx
由
u x ( x + dx , t ) u x ( x , t ) ≈ u xx ( x , t ) dx
utt = a2 uxx
初始条件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x)
或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x)
10/16
波动方程定解条件I
utt = a 2 u xx , 0 < x < L, 0 < t < +∞ u(0, t ) = 0, u( L, t ) = 0, 0 < t < +∞ u( x ,0) = ( x ), u ( x ,0) = 0, 0 < x < L t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,L , cos nx,sin nx,L
在 [ , ] 上正交：
1 cos nxdx 1sin nxdx 0, n 1, 2,L ,
－
－
cos nx sin mxdx cos nx cos mxdx
－
－
sin nx sin mxdx 0, n m. －
将
展开为Fourier正弦级数，比较系数
得
或直接根据
sin n
n
l
1,
x, 2, ...
的正交性去计算
l
0
sin
n
l
x
sin
m
l
x
dx
l
sin nt sin mt dt
0
0, n m,
l 2
,
n m.
m, n 为自然数
u( x, t )
( An
n1
cos
n at
l
Bn
sin
n
l
u x,t At sin x
设 方程得
且
不恒为零，代入
①
由
不恒为零，有：
这个式子的左端是x的函数,
右端是t的函数，何时恒等？
②
…..…….. ③
思考：先解哪一个方程？ 利用边界条件
④
④
则 ⑤
参数 称为特征值；
特征值问题
相应的非零解 X(x) 称为特征函数；
分三种情形讨论特征值问题的求解：
方法：做变量代换 y x，则 y [ , ].
l
计算可得
f (x)
a0 2
(an
n1
cos n
l
x bn sin
n
l
x),
其中
1l
n
an l
f (x) cos
l
l
xdx,
n 0,1, 2,L ,
1l
n
bn l
f (x) .
2. 正弦级数与余弦级数。
at
)
sin
n
l
x
其中 An 和 Bn 由上页给出。
由叠加原理，如果上式右端的无穷级数是收敛的，
并且关于 x，t 能逐项微分两次，则和式 u(x,t) 确
实是问题(2.1)-(2.3)的解（经典解）。
条件：若在区间 上， 则无穷级数解
，且
为混合问题(2.1)-(2.3)的经典解, 其中
如果(*)定义的函数 u(x,t)不具备经典解的要求，则 称为问题(2.1)-(2.3)的形式解。
注1: 本书不讨论所求形式解是否满足经典解要求 的条件，只要求得了形式解，就认为定解问题得 到了解决。
注2: 用分离变量法求解定解问题的关键是确定 特征函数和运用叠加原理，这些运算能够进行, 是因为方程以及边界条件都是齐次的。
二、解的物理意义
初位相
角频率
⑴弦上各点的角频率 和初位相 都相同，因而没 有波形的传播现象。
若 f (x) 是 [l,l] 上的奇函数，则其傅立叶级数 只含正弦函数项；若 f (x) 是 [l,l] 上的偶函数， 则其傅立叶级数只含余弦函数项。
问题：如何求定义在 [0,l] 上的函数 f (x) 的 傅里叶级数？
方法：根据需要，将 f (x) 的定义域拓展到 [l,l] : 若展开成正弦级数，进行奇延拓；若展开成余弦 级数，进行偶延拓。然后将延拓后函数的傅里叶 级数限制到 [0,l] 即可。
(3) p2 4q 0 时，设 1 i , 2 i , 则
y e x(C1 cos x C2 sin x).
§2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定弦的自由振动. 定解问题为：
2u t 2
a2
2u x 2
u 0, u x0
0,
xl
0 0,
x
l,
t0 t0
u
( x), u
在微积分学中，多元函数的微分和 重积分经常要转化为一元函数的相应问 题来计算，例如偏导数、累次积分等。 类似地，偏微分方程的定解问题的常用 解法是设法转化为常微分方程的定解问 题。下面介绍的分离变量法就是这样一 种转化的方法。
理论基础:
➢叠加原理
设 L 是线性微分算子，若
线性定解条件）
ui
满足线性方程（或
f (x) 为 [ ,］上可积的以 2 为周期的函数。
若 f (x) 满足一定条件，则
f
(x)
a0 2
n1
(an
cos nx
bn
sin nx),
其中
an
1
f (x) cos nxdx,
n 0,1, 2,L ,
bn
1
f (x) sin nxdx,
n 1, 2,L .
两种推广
1. f (x) 为 [l,l] (l ) 上可积的以 2l 为周期的函数。
(i)
方程通解为
由边值条件得：
C1 =C 2=0 从而
(ii)
时，通解
由边值条件
， 无意义.
无意义
(iii） 时，通解 由边值条件：
得 故 即：
而
从而
再求解T：
两端
固定
其解为
弦的
特征
振动
所以
未必满足初始条件(2.3) 受叠加原理启发，
代入初始条件得：
………………...⑥
补充：傅立叶(Fourier)级数
( x), 0 x l
t0
t t0
特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) (2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3)。
思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
⑵弦上各点振幅
因点而异
节点
在
处，振幅永远为0 腹点
在
处，振幅最大,为 Nn
特点
u( x, t) n1un( x, t)
u(x,t )是由无穷多个振幅、角频率、初位相各不
相同的驻波叠加而成。
n＝1的驻波称为基波, n>1的驻波叫做n次谐波。
的特征值问题(§2.6)
➢二阶线性齐次常系数常微分方程
对于 y py qy 0 ( p, q 是常数)
令 y e x 代入方程有 2 p q 0,
1 p
p2 4q ,
2
2 p
p2 4q 2
2 p q 0
(1) p2 4q 0 时，y C1e1x C2e2x; (2) p2 4q 0 时，y (C1 C2x)e1x;
Lui fi, i 1,2,L ,n,L
则它们的线性组合 u ciui
i 1
必满足方程（或定解条件） Lu ci fi
i 1
其中要求级数收敛，且满足“L 中出现的求导与求和可交
换”的条件。
➢Sturm-Liouville 理论
P( x) y q( x) y ( x) y 0 (a x b)