专题12四边形的几何综合问题(原卷版)【苏科版】

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题12四边形的几何综合问题

【方法指导】

1.平行四边形的判定与性质的作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．

2.菱形的性质与判定：

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．菱形的四条边都相等，

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

3.矩形的性质与判定：

关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．

4.正方形：

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．【题型剖析】

【类型1】平行四边形的计算与证明

【例1】（2019•宿豫区模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：

（1）OE＝OF；

（2）四边形GEHF是平行四边形．

【变式1-1】（2019•亭湖区二模）已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．

【变式1-2】（2019•海门市一模）如图，▱ABCD中，点E是BC边的一点，延长AD至点F，使∠DFC＝∠DEC．求证：四边形DECF是平行四边形．

【变式1-3】（2019•建邺区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB，CD为边向外作等边△ABE 和△CDF，连接AF，CE．求证：四边形AECF为平行四边形．

【类型2】菱形的计算与证明

【例2】（2019•海门市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过C作CF∥AB交DE延长线于点F，连接AF、DC．

求证：

（1）DE＝FE；

（2）四边形ADCF是菱形．

【变式2-1】（2019•兴化市二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AE＝6，BF＝8，平行四边形ABCD的面积是36，求AD的长．

【变式2-2】（2019•江都区二模）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB＝5，AC＝12，求EF的长．

【变式2-3】（2019•宿迁模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB．OE＝2，求线段CE的长．

【类型3】矩形的计算与证明

【例3】（2019•丹阳市一模）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE ∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若AB＝2，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．

【变式3-1】（2019•建湖县二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD 交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB＝2，求△OEC的面积．

【变式3-2】（2019•延边州二模）如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．

【类型4】四边形综合问题

【例4】．（2019•桓台县二模）已知，正方形ABCD，∠EAF＝45°，

（1）如图1，当点E，F分别在边BC，CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF；

（2）如图2，点M，N分别在边AB，CD上，且BN＝DM，当点E，F分别在BM，DN上，连接EF，请探究线段EF，BE，DF之间满足的数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当点E，F分别在对角线BD，边CD上，若FC＝2，则BE的长为．

【变式4-1】（2019•灌南县二模）正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°

（1）当OM经过点A时，

①请直接填空：ON（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）

②如图2，在ON上截取OE＝OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：

四边形EFCH为正方形；

③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂

直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；

（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边BA的延长线于G，且OG＝2．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO S△OBG，连接GP，则当BO为何值时，四边形PKBG的面积最大？最大面积为多少？