数值分析实验指导2012

数值分析实验指导

2012年8月

实验一 误差分析

实验1.1（病态问题）

实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

)1.1()

()20()2)(1()(20

1∏=-=---=k k x x x x x p

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

)2.1(0

)(19=+x x p ε

其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB 函数：“roots ”和“poly ”。

roots(a)u =

其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程

01121=+++++-n n n n a x a x a x a

的全部根；而函数 p o l y (v

b = 的输出b 是一个n+1维向量，它是以n 维向量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。

)

)20:1((;

)2();21,1(;000000001.0ve poly roots ess ve zeros ve ess +===

上述简单的MATLAB 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。

实验要求：

（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。

如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（1.2）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象出现？

（3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将

方程（1.2）写成展开的形式， )3.1(0

),(1920=+-= x x x p αα

同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感？

思考题一：（上述实验的改进）

在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考MATLAB 的帮助。

思考题二：（二进制产生的误差）

用MATLAB 计算1001.01000

1-∑=i 。结果居然有误差！因为从十进制数角度分析，

这一计算应该是准确的。实验反映了计算机内部的二进制本质。 思考题三：（一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子） 可以用下列式子计算自然对数的底数

n n n

e e )11(l i m 1+==∞→ 这个极限表明随着n 的增加，计算e 值的精度是不确定的。现编程计算

n n

n f )1

1()(+=与exp(1)值的差。n 大到什么程度的时候误差最大？你能解释其中

的原因吗？

实验1.2 误差传播与算法稳定性

实验目的：体会稳定性在选择算法中的地位。误差扩张的算法是不稳定的，是我们所不期望的；误差衰减的算法是稳定的，是我们努力寻求的，这是贯穿本课程的目标。

问题提出：考虑一个简单的由积分定义的序列

...

2,1,1

01==⎰-n dx e x I x n n

显然,...2,1,0=>n I n 。当1=n 时，

e dx xe I x /11

011==⎰-。而对于2≥n 时，利用分部积分易得

,...3,2,1|11

1

11011

1=-=-==-----⎰⎰n nI dx e nx

e x dx e x I n x n x n x n n

另一方面，我们有

)

1/(11

10

1+=≤=⎰⎰-n dx x dx e x I n x n n

实验内容：由以上递推关系，我们可得到计算序列{n I }的两种方法。

（I ）：,...3,

2,1,/111=-==-n nI I e I n n （II ）：

2,3,...2,1,,1,01--=-=

=-N N N n n E E E n

n N

实验要求：

（1）分别用算法（I ）、（II ）并在计算中分别采用5位、6位和7位有效数字，请判断哪种算法能给出更精确的结果。

（2）两种算法的优劣，与你的第一感觉是否吻合。请从理论上证明你实验得出的结果，解释实验的结果。算法（I ）中的1I 的计算误差为1e ，由1I 递推计算n I 的误差为n e ；算法（II ）中N I 的计算误差为N ε，由N I 向前递推计算)(N n I n <的误差为n ε。如果在上述两算法中都假定后面的计算不再引入其他误差， 试给出n e 与1e 的关系和n ε与N ε的关系。

（3）算法（I ）中通常1e 会很小，当n 增大时，n e 的变化趋势如何？算法（II ）中N ε通常相对比较大，当n 减小时，误差n ε又是如何传播的？也就是说比较一下上述两个算法，当某一步产生误差后，该误差对后面的影响是衰减还是扩张的。 （4）通过理论分析与计算实验，针对算法（I ）和（II ）的稳定性，给出你的结论。