郑州一中2020-2021学年第一学期高一数学12月月考试题 (无答案)
河南郑州第一中学2020届高三12月份联考试题理科数学(含答案)
2020届（高三）12月份联考试题理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A. {1} B. {3，5}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2.在复平面内，复数12iz i+=对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：2z i =-，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：22122221i i i i z i i i ++-====--，则复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量(,1)m a =-u r ，(21,3)n b =-r (0,0)a b >>，若m n u r r P ，则21a b+的最小值为（ ）A. 12B. 843+C. 15D.1023+【答案】B 【解析】 【分析】由m r ∥n r可得3a +2b ＝1，然后根据21a b +=（21a b+）（3a +2b ），利用基本不等式可得结果． 【详解】解：∵m =r （a ，﹣1），n =r （2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），m r ∥n r，∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1，∴21a b +=（21a b +）（3a +2b ） ＝843b a a b++ ≥8432b aa b+⋅＝83+当且仅当43b a a b =，即a 336=b 314=，时取等号， ∴21a b+的最小值为：843+ 故选：B ．【点睛】本题考查了向量平行的坐标运算和“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．4.已知,x y 满足208020,x x y y -≥+-≤⎧-≥⎨⎩时, ()0z ax by a b =+≥>的最大值为2,则直线10ax by +-=过定点（ ）A. ()3,1B. ()1,3-C. ()1,3D. ()3,1-【答案】A 【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a b ， 的关系，再代入直线ax by 10+-=由直线系方程得答案．详解：由z ax by(a b 0)=+≥>，得a z a y x 1b b b ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭，画出可行域，如图所示，数形结合可知点()B 6,2处取得最大值，6a 2b 2+=，即： 3a b 1+=，直线ax by 10+-=过定点()3,1. 故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于6的面的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】由题可知其立体图形C-DEFG ：可得面积小于6的有,,CFG CFE CDG S S S V V V6.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先判断0ab =和函数()f x x x a b =++是奇函数成立的条件，然后判断充分性和必要性. 【详解】由0ab =,a b ⇒中至少有一个为零；由函数()f x x x a b =++是奇函数，()0()x x a b x x a b x x a b x x a b a b f x f x --++=-+-⇒--=++⇒⇒-⇒===-，显然由,a b 中至少有一个为零，不一定能推出0a b ==，但由0a b ==，一定能推出0ab =，故“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的必要不充分条件，故本题选B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，由函数()f x x x a b =++是奇函数，推出0a b ==是解题的关键.7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有 A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种【答案】B【解析】 分类：（1）小李和小王去甲、乙两个展区，共222242A C C 12=种安排方案； （2）小王、小李一人去甲、乙展区，共1112222442C C C C C 96=种安排方案； （3）小王、小李均没有去甲、乙展区，共2424A A 48=种安排方案，故一共N 129648156=++=种安排方案，选B ．8.已知数列：()12,,,11k k N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项【答案】C 【解析】 【分析】从分子分母的特点入手，找到89出现前的所有项，然后确定89的项数. 【详解】观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5L ， 把数列重新分组：11212312(),(,),(,,),(,,,)12132111kk k -L L ，可看出89第一次出现在第16组，因为12315120++++=L ，所以前15组一共有120项； 第16组的项为1278(,,,,)1615109L L ，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.9.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =E ，F ，G 分别是AB ，BC ，1CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则1BB P V 面积最小值为（ ）A.34B. 1C.32D.12【答案】A 【解析】 【分析】找出平面EFG 与长方体的截面，然后再找出过D 1与平面EFG 平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD 上的位置． 【详解】解：如图，补全截面EFG 为截面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，设BR ⊥AC 于点R ， ∵直线D 1P ∥平面EFG ，∴P ∈AC ，且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△PBB 1的面积最小， 由等积法：12BR ×AC 12=BA ×BC 得BR 32=BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形， 故112BB P S =V ×BB 1×BP 3= 故选：A ．【点睛】本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用，考查空间想象能力与转化能力．10.已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象过点(0,1)B -，且在区间,183ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调.又()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ） 3 2C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f （x ）的解析式，求图象的对称轴，得x 1+x 2的值，再求f （x 1+x 2）的值．【详解】解：由函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）的图象过点B （0，﹣1）， ∴2sin φ＝﹣1，解得sin φ12=-， 又|φ|2π＜，∴φ6π=-，∴f （x ）＝2sin （ωx 6π-）； 又f （x ）的图象向左平移π个单位之后为g （x ）＝2sin[ω（x +π）6π-]＝2sin （ωx +ωπ6π-）， 由两函数图象完全重合知ωπ＝2k π，∴ω＝2k ，k ∈Z ； 又3182T πππω-≤=， ∴ω185≤，∴ω＝2；∴f （x ）＝2sin （2x 6π-），其图象的对称轴为x 23k ππ=+，k ∈Z ； 当x 1，x 2∈（1712π-，23π-），其对称轴为x ＝﹣37236πππ⨯+=-，∴x 1+x 2＝2×（76π-）73π=-，∴f （x 1+x 2）＝f （73π-）＝2sin[2×（73π-）6π-]＝2sin （296π-）＝﹣2sin296π＝﹣2sin 56π=-1． 应选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点(2,0)D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，记BCF ∆面积为1S ，ACF ∆面积为2S ，若1214S S =，则抛物线的标准方程为A. 22y x = B. 28y x =C. 24y x =D. 2y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数p 的值． 【详解】因为直线斜率为2，经过定点()2,0D 所以直线方程为()22y x =- ，即240x y --=作BM y ⊥轴，AN y ⊥轴因为1214S S =，即14CB CA = ，所以14BM AN =联立方程22402x y y px--=⎧⎨=⎩ ，化简得()22880x p x -++= 根据一元二次方程的求根公式，得2816p p p x +±+=所以2212816816,,,p p p p p p A y B y ⎛⎫⎛⎫++++-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭因14BM AN =，所以2281614816p p p p p p +-+=+++ 化简得216360p p +-= ，即()()1820p p +-=因为0p > ，所以2p = 即，24y x =所以选C【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，并根据方程思想求得参数值，计算量较为复杂，属于难题．12.已知函数31,0(){9,0x x f x x x x +>=+≤，若关于的方程2(2)()f x x a a R +=∈有六个不同的实根，则的取值范围是( ) A.B. (]8,9C. (]2,9D. (]2,8 【答案】B 【解析】【详解】令222(1)1t x x x =+=+-，则1t ≥-，则31,0(){9,10t tf tttt+>=+-≤≤，由题意可得，函数()f t的图象与直线y a=有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示，故a的取值范围是(]8,9。
2020-2021学年河南省郑州市第一中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年河南省郑州市第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合()(){}|310M x x x =+-≤，{}2|log 1N x x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．3,2 B ．[)-3,2 C ．[]1,2 D ．(0,2]【答案】A【分析】先利用一元二次不等式和对数函数的单调性分别化简集合M ，N ，再利用集合的并集运算求解.【详解】因为()(){}{}|310|31M x x x x x =+-≤=-≤≤，{}{}2|log 1|02N x x x x =≤=<≤，所以M N ⋃={}|32x x -≤≤，故选：A2．已知12132111,log ,log 332a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】D 【分析】利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.【详解】121213=031a -⎛⎫<= ⎪⎝⎭<，1221log =log 313b =>，331log log 202c ==-<， ∴b a c >>，故选：D【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.3．函数()e e ln --=x xf x x的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】由于()()f x f x -=-，得出()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，再利用特殊值，即可得出正确选项．【详解】解：函数()||x xe ef x ln x --=，定义域为{|0x x ≠，1}x ≠±， 且()()()||||x x x x e e e e f x f x ln x ln x -----==--=-， ()f x ∴是奇函数，其图象关于原点对称，排除C 、D ，因为函数的定义域为{|0x x ≠，1}x ≠±， 令12x =，12()0e e f x --=<，排除A ， 故选：B ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA B C '''，且直观图OA B C '''的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）A ．2B ．42C ．4D ．2【答案】B 【分析】根据平面图形和直观图的度量关系和位置关系，找到线段和角度关系，则该平面图形的面积易求.【详解】解：设等腰梯形OA B C '''对应该平面图形OABC ，则,,2OA O A BC B C OC O C ''''''===，OC OA ⊥，()12222OA B C S O A B C ''''''''=+⋅=， ()()1124222OABC S OA BC OC O A B C OC '''''=+=+⋅= 故选：B.5．在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，且,,PA PB PC 两两互相垂直,则三棱锥P ABC -的外接球的体积为A ．3πB ．3πC ．163πD ．3π 【答案】A【分析】将已知三棱锥补全为一个边长为2的正方体，将求三棱锥P ABC -的外接球体积转化为该正方体的外接球，由正方体体对角线长度等于其外接球直径即可求得外接球的半径，进而由球体的体积公式计算即可.【详解】在三棱锥P ABC -中有,,PA PB PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，则可将其补全为一个边长为2的正方体，显然该正方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球，设该外接球的半径为r ， 22222223++=2233r r =⇒=故外接球的体积为34433V r ππ==. 故选：A【点睛】本题考查求棱锥外接球的体积，属于简单题.6．()()()14212x a x f x a xx ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1)+∞， B ．[4)8， C ．(4)8， D ．(18)， 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩在R 单调递增， 可得11402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，即实数a 的取值范围为[4,8). 故选：B.7．函数f （x ）=|x 2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）A ．[3，+∞）B ．（﹣∞，2），（4，+∞）C ．（2，3），（4，+∞）D ．（﹣∞，2]，[3，4]【答案】C【分析】画出268y x x =-+的图象，将图象在x 轴下方的部分对称到x 轴上方，即可得到2()68f x x x =-+的图象，根据图象可写出函数的单调递增区间.【详解】画出2()68f x x x =-+的图象如图：由图象可知，函数的增区间为(2,3),(4,+∞），故选C.【点睛】本题主要考查了函数的调性，函数的图象，属于中档题.8．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为A ．4B ．8C ．12D ．24【答案】A 【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC -是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得， 所以11423432D ABC V -=⨯⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题. 9．已知定义在R 上的函数()f x ，都有()()1f x f x =-，且函数()1f x +是奇函数，若1142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则20194f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1-B ．1C ．12-D ．12 【答案】D【分析】利用函数()1f x +是奇函数和()()1f x f x =-可得函数()f x 的周期为2，然后可得20193315044444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后再结合条件可得出结果. 【详解】因为函数()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()()1f x f x =-，所以()()1f x f x +=-， 所以()()()21 f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期为2，所以20193315044444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为1551114444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以111442f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2201941f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：D10．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2点M ，N 分别是1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B 内运动，且1//PA AMN 则1PA 的长度范围为（ ）A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣C ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，EF 中点O ，根据面面平行的判定可证得平面//AMN 平面1A EF ，由此可确定P 点轨迹为EF ，进而确定1PA 取得最大值和最小值时P 的位置，进而得到所求取值范围.【详解】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连结1A O ，点,M N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱1,BC CC 的中点， 1//AM A E ∴，//MN EF ，AM MN M =，1A E EF E ⋂=，,AM MN ⊂平面AMN ，1,A E EF ⊂平面1A EF ，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，11A E A F ====EF ，1AO EF ∴⊥，∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值1A O ，12AO ==， 当P 与E （或F ）重合时，1PA 的长度取最大值1A E 或1A F ，11A E A F ==．1PA ∴的长度范围为2⎡⎢⎣． 故选：B ．【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，关键是能够通过面面平行关系确定动点所形成的轨迹，进而通过轨迹确定最值点，是中档题.11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1()(123)2f x x x =-+--，若x R ∀∈，()()f x a f x -≤，则a 的取值范围是A ．3a ≥B ．33a -≤≤C ．6a ≥D ．66a -≤≤ 【答案】C【详解】由函数()f x 为奇函数可知()()f x f x -=-恒成立，本题求解时可采用代入验证排除的方法求解，在选项A,B,D 中都有3a =，首先验证3a =时不等式()()f x a f x -≤是否恒成立，当2x =时，不等式右面为()()1210312f =+-=-，左边为()()()()123111312f f f -=-=-=--=，此时不等式()()3f x f x -≤不成立，即3a =时不能保证()()f x a f x -≤恒成立，所以选项A,B,D 同时排除，因此选C.二、多选题12．下列说法中，正确的是（ ）A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．平行于同一平面的两个平面平行C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交【答案】BCD【分析】分别根据线面平行、面面平行的性质进行判断.【详解】A:平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，故A 错；B ：平行于同一平面的两个平面平行，正确；C ：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，正确；D ：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，正确.故选：BCD.【点睛】本题考查线面、面面的位置关系，熟悉线面、面面的性质定理和基本的空间位置是解题的关键，本题属于基础题.三、填空题13．已知(21)f x +定义域为(3,5)，则(4-1)f x 定义域为_____________.【答案】()2,3【分析】利用抽象函数的定义域求解.【详解】因为(21)f x +定义域为(3,5)，所以35x <<，则72111x <+<，即74111x <-<，解得23x <<，所以(4-1)f x 定义域为()2,3，故答案为：()2,314．函数()40a y x a x=+>在[]1,2上的最小值为8，则实数a =______. 【答案】3【分析】由已知结合对勾函数的性质，讨论已知函数在区间[]1,2上单调性，进而可求出结果.【详解】令4a x x=，解得x =±，当2≥时，即1a ≥， 函数在[]1,2上单调递减，min 228y a =+=，则3a =，符合题意；当12<<时，即114a <<，函数在⎡⎣上单减，在2⎡⎤⎣⎦上单增，min 8y ==，解得4a =（舍）；当1≤时，即14a ≤，函数在[]1,2上单调递增，min 148y a =+=，解得74a =（舍），综上得3a =.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了对勾函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题.15．已知球在底面半径为1､高为___________.【答案】3 【分析】由题意可得当球O 的轴截面是△ABC 的内切圆时，内切球等体积最大，由题意求出轴截面的内切圆的半径，进而求出内切球的体积．【详解】解：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点M 为BC 边上的中点，由题设2BC =，AM =3AB AC ==，设内切圆的圆心为O ，内切圆半径为r故122S =⨯⨯△ABC 则111222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯△△△△ 1(332)2r =⨯++⨯=， 解得：2r ，其体积：3433V r π==.故答案为：23π.【点睛】考查圆锥的内切球的半径的求法及球的体积公式，属于中档题．16．已知函数()2log 111a x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+（0a >且1a ≠），若定义域上的区间[],m n ，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]log 2,log 2a a n m ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】3220,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 【分析】根据对数函数定义域要求可求得()f x 定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定01a <<，从而确定,m n 是方程()log 2a f x x =的两根，由此将问题转化为方程()222110ax a x +-+=在()1,+∞有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果.【详解】()1log 11a x f x x -=-+ ()f x ∴定义域为()(),11,-∞-+∞ m n <且log 2log 2a a n m < 01a ∴<< 211y x =-+在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增 ()f x ∴在()(),1,1,-∞-+∞上单调递减 ()log 2a f m m ∴=，()log 2a f n n =1n m ∴>>且,m n 是方程()log 2a f x x =的两根 1log 2log 11a ax x x -∴=-+ 即()211log 2log log 111a a a x x x x x x +--==-+- ()211ax x x ∴+=-在()1,+∞上有两个不等实根即()222110ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不等实根 ()()22180211422110a a a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪∴->⎨⎪+-+>⎪⎩，解得：302a -<< a ∴的取值范围为30,2⎛- ⎝⎭故答案为：30,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定,m n 是方程()log 2a f x x =的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解.四、解答题17．计算：（1）4160.25032162)4()8(1024)49-⨯+-⨯-+-， （2） 2.5221log 6.25lgln(log (log 16)100+++. 【答案】（1）210；（2）72 【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求出结果.【详解】（1）原式=2(132×123)6+4334(2) −4×74−142×342+1 =2×22×33+2-7-2+1=210．（2）原式=2-2+32+log 24 =32+2 =72【点睛】本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式和对数的运算性质，考查计算能力. 18．已知集合13279x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，函数()()2lg 54f x x x =--的定义域为B . （1）求,()R A B B A ⋂⋂；（2）已知集合{}433C x m x m =-≤≤+，若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}{}13,()21R A B x x B A x x ⋂=<≤⋂=-≤≤；（2）53m <-或7m >. 【分析】（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的定义域求法化简集合A ，B ，再利用集合的补集、交集运算求解；（2）根据A C ⋂=∅，分C =∅，C ≠∅两种情况讨论求解.【详解】（1）因为集合{}1327239x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭， {}{}2|540|14B x x x x x =-->=<<，{|1R B x x =≤或}4x ≥，所以{}{}13,()21R A B x x B A x x ⋂=<≤⋂=-≤≤；（2）已知集合{}433C x m x m =-≤≤+，因为A C ⋂=∅，当C =∅时，433m m ->+，解得72m <-，成立； 当C ≠∅时，则72332m m ⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩或7243m m ⎧≥-⎪⎨⎪->⎩，解得7523m -≤<-或7m >， 综上：实数m 的取值范围是53m <-或7m >，. 19．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，2，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）111632132C A DE V -=⨯= 【详解】试题分析：（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则DF 为三角形ABC 1的中位线，故DF ∥BC 1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面ABB 1A 1．求得CD 的值，利用勾股定理求得A 1D 、DE 和A 1E 的值，可得A 1D ⊥DE ．进而求得S △A 1DE 的值，再根据三棱锥C-A 1DE 的体积为13•S △A1DE •CD ，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点又D 是AB 中点， 连结DF ，则BC 1∥DF ． 3分因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1不包含于平面A 1CD ， 4分所以BC 1∥平面A 1CD ． 5分（2）解：因为ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ．由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ．又AA 1∩A B=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1． 8分由AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A 1E=3，故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 10分所以三菱锥C ﹣A 1DE 的体积为：==1． 12分【解析】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积20．常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）1040；（2）120【分析】（1）根据题意得到()p t 的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q 的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．【详解】（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数）， ∵()()221200102120064560p k k =--=-=，∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩， ∴()()261200101061040p =-⨯-=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人．（2）由()63360360p t Q t -=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ⎧⎧-++-⎛⎫-+≤<⎪ ⎪-≤<⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当6t =时等号成立；②当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立， ∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．21．定义在R 上的函数()f x 满足()00f ≠，且当0x >时，()1f x >，对任意a b ，∈R ，均有()()()f a b f a f b +=⋅．（1）求证：()01f =；（2）求证：对任意x ∈R ，恒有()0f x >；（3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4）(0,3) .【分析】（1）利用赋值法，令a ＝b ＝0，求解f (0)的值即可；（2）分类讨论x < 0和0x ≥两种情况证明题中的不等式即可；（3）由函数的性质可证得当12x x <时，f (x 2) > f (x 1)，则f (x )是R 上的增函数． （4）由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得x 的取值范围是(0，3)．【详解】（1）证明：令a ＝b ＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1. （2）当x < 0时，－x >0，所以f (0) ＝f (x ) f (－x ) ＝1，即()()10f x f x =>-， 又因为0x ≥时，()10f x ≥>，所以对任意x ∈R ，恒有f (x ) >0.（3）证明：设12x x <，则210x x ->，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1) f (x 1)． 因为x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1，又f (x 1) > 0，则f (x 2－x 1) f (x 1) > f (x 1)，即f (x 2) > f (x 1)，所以f (x )是R 上的增函数．（4）由f (x )·f (2x －x 2) >1， f (0)＝1得f (3x －x 2) > f (0)， 又由f (x ) 为增函数，所以3x －x 2 > 0 ⇒ 0 < x < 3.故x 的取值范围是(0，3)．【点睛】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法.22．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩；（3）7m < 【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+,∴21,3,a ab =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -,即2t 时,函数h(x)在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h(x)在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩(3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.。
【100所名校】河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含解析
河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题本试卷共23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知为虚数单位，且复数满足，若为实数，则实数的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（）A. B. C. D.4.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.5.已知焦点在轴上，渐近线方程为的双曲线的离心率和曲线的离心率之积为1，则的值为（）A. B. C. 3或4 D. 或6.运行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 0B.C. -1D.7.下列说法正确的个数为（）①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；②命题“”的否定是“”；③“且为真”是“或为真”的充分不必要条件；④已知直线和平面，若，则.A. 1B. 2C. 3D. 48.直线与圆相切，则的最大值为（）A. 1B.C.D.9.已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（）A. 2B. 3C.D.10.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数，若，则方程有五个不同根的概率为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线与抛物线围成的区域的面积为，则的展开式的常数项为__________．14.已知满足约束条件，且目标函数的最大值为4，则的最小值为__________．15.已知直线与抛物线交于两点，抛物线的焦点为，则的值为__________．16.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若函数，其中，函数的图象与直线相切，切点的横坐标依次组成公差为的等差数列，且为偶函数.（1）试确定函数的解析式与的值；（2）在中，三边的对角分别为，且满足，的面积为，试求的最小值.18.某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%，对执法力度满意的占75%，其中对环境质量与执法力度都满意的为80人.（1）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？（2）为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家里访征求意见，用表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求的分布列与期望.附：.19.如图，在梯形中，，，.，且平面，，，点为上任意一点.Ⅰ.求证：；Ⅱ.点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置.20.已知动圆与圆外切，与圆内切．（1）试求动圆圆心的轨迹方程；（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意，，恒有成立，试求的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）若对于任意的，都有，使得，试求的取值范围．河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题本试卷共23小题，满分150分。
2019-2020学年河南省郑州一中高三(上)12月月考数学试卷
∵ ，
∴分别以边 ， 所在的直线为 ， 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
， ， ， ，
∴ ，设 ，则 ，
∴由 得， ＝ ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 表示斜率为 的一族平行直线，在 轴上的截距为 ，当截距最大时 最大，当截距最小时 最小，
由图可看出，当直线 经过点 时截距最小为 ，当直线 经过点 时截距最大为 ，
如图，分别以 的方向以及垂直于平面 向上的方向作为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，
因为 ， ＝ ，
所以 ， ， ， ．
， ＝ ，，ຫໍສະໝຸດ 该几何体的各个面中，面积小于 的个数是 个．
6.已知 ， ，则“ ＝ ”是“函数 ＝ 是奇函数”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数 ＝ 是奇函数”的等价条件，再根据“ ＝ ” ＝ 或 ＝ ；由充分必要条件的定义即可得到结论．
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到 ， 的关系；再代入直线 ＝ 由直线系方程得答案．
【解答】
画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影部分所示；
由图可知， 为目标函数取得最大值的最优解，
联立 ，解得 ，
【解答】
函数的定义域为 ，
若函数 ＝ 为奇函数，
则 ＝ ＝ ，
当 ＝ 时， ＝ ，若为奇函数，
2020-2021学年河南省郑州市第一高级中学高三数学文月考试题含解析
2020-2021学年河南省郑州市第一高级中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在区间是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形参考答案：D略3. 已知函数的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若，且，则A． B． C．D．参考答案：D 4. 已知椭圆D： +=1（a＞b＞0）的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点，若椭圆D与双曲线E的一个交点在直线y=2x上，则椭圆D的离心率为（）A．﹣1 B．﹣C．D．参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可得双曲线方程，设椭圆与双曲线在直线y=2x上的交点（m，2m），把该点坐标分别代入椭圆与双曲线方程，消去m，化简整理得答案．【解答】解：由题意可得，双曲线E的方程为．设椭圆D与双曲线E的一个交点坐标为（m，2m），∴，①，②联立①②，得．整理得：8a4﹣8a2b2﹣b4=0．∴，则，∴，则．故选：B．5. 已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(R A)∩B=A．? B．{-3，-2}C．{-3} D．{-2，0，2}参考答案：B6. 复数（为虚数单位），则= （）A. B.5 C. 25 D.参考答案：B7. 已知，其中是实数，是虚数单位，则A．3 B．2 C．1 D．参考答案：A8. 有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．102 C．114 D．120参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，③若取出的4张卡片为2张1和2张2，④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时有A44=24种顺序，可以排出24个四位数；②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C32=3种取法，安排在四个位置中，有A42=12种情况，剩余位置安排数字1，可以排出3×12=36个四位数，同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数；④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3、4中取出1个卡片，有C31=3种取法，安排在四个位置中，有C41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出3×4=12个四位数；则一共有24+36+36+6+12=114个四位数；故选C．【点评】本题考查排列组合的运用，解题时注意其中重复的数字，要结合题意，进行分类讨论．9. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA即可求值．【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2，∴S△ABC=bcsinA==，故选：B．10. 已知函数，方程有四个实数根，则的取值范(▲ )A ．B ．C ．D ．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直角坐标系xOy中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆交x轴上方于A、B两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为_______.参考答案：①③【分析】根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案；【详解】，，对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合，可得成立，故①正确；对②，，由于，没有最大值，没有最大值，故②错误；对③，当时，，，又，，，故③正确；故答案为：①③.【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12. 过点P（1，﹣2）的直线l将圆x2+y2﹣4x+6y﹣3=0截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线l的方程为．参考答案：x﹣y﹣3=0解答：解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=16，∴圆心Q坐标为（2，﹣3），又P坐标为（1，﹣2），∴直线QP的斜率为=﹣1，则所求直线l的方程为y+2=x﹣1，即x﹣y﹣3=0．故答案为：x﹣y﹣3=0位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．参考答案：240【考点】计数原理的应用．【分析】利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，故答案为：24014. 已知f（x）=4x+1，g（x）=4﹣x．若偶函数h（x）满足h（x）=mf（x）+ng（x）（其中m，n为常数），且最小值为1，则m+n= ．参考答案：考点：函数最值的应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数是偶函数，确定m=n，利用基本不等式求最值，确定m的值，即可得到结论．解答：解：由题意，h（x）=mf（x）+ng（x）=m4x+m+n4﹣x，h（﹣x）=mf（﹣x）+ng（﹣x）=m4﹣x+m+n4x，∵h（x）为偶函数，∴h（x）=h（﹣x），∴m=n∵h（x）=m（4x+4﹣x）+m，4x+4﹣x≥2∴h（x）min=3m=1∴m=∴m+n=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．15. 三棱锥P-ABC中，底面ABC满足，，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为.参考答案：16.已知定义在R上的奇函数满足，且时，，给出下列结论：① ；②函数在上是增函数；③函数的图像关于直线x=1对称；④若，则关于x的方程在[-8，8]上的所有根之和为-8.则其中正确的命题为_________。
河南省 郑州市 第一中学 2020届 高三12月联考数学(理)试题 Word版含解析
2019-2020学年河南省郑州一中高三（上）12月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 21C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）313.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．520.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数5304050452010得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e 为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．7。
河南省郑州市第一中学2020届高三数学12月联考试题 文
20届（高三）12月份联考试题文科数学说明：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．2．将第I 卷的答案代表字母和第II 卷的答案填在答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}P =，{1,2,4}Q =，则()U P Q =ð()A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,5}2．在复平面内，复数12ii z +=对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(,1),(21,3)a b =-=-m n (0,0a b >>)，若//m n ，则21a b +的最小值为()A ．12B．8+C ．15D．10+4．已知,x y 满足22080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，()0z ax by a b =+>>的最大值为2，则直线10ax by +-=过定点()A ．(3，1)B ．(1,3)-C ．(1，3)D ．(3,1)-5．如右图一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．46．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是函数()||f x x x a b =++是奇函数的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要7．若π1sin()63α-=，则2πcos(2)3α+=()A ．79-B ．13-C ．13D ．798．已知数列：12,,,()11kk k k *∈-N ，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：12123121321,,,,,,，则25首次出现时为数列{}n a 的()A ．第12项B ．第16项C ．第17项D ．第23项9．如图在长方体1111A B C D ABCD -中，11AD DD AB ==，，,,E F G 分别是,,AB BC 1CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若1//DP 平面EFG ，则1BBP ∆面积最小值为()A．4B ．1C．2D ．1210．已知函数()3cos f x x x =+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则12||x x +的最小值为()A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π311．如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点D (2，0)作斜率为2的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，记△BCF 面积为1S ，△ACF 面积为2S ，若1214S S =，则抛物线的标准方程为()A ．2y x =B ．22y x=C ．24y x =D ．28y x=12．已知函数3()21f x x x =++，若(e 1)1x f ax -+>在(0,)x ∈+∞上有解，则实数a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(0,1)D ．(1,e )第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且,2,sin 6AB AD AB C ===，则BCBD =_________．14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()42f x f x +=-，当[]3,0x ∈-时，()2x f x -=，则()2019f =_________．15．过点(0,1)M 且斜率为1的直线与双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：的两渐近线交于,A B ，且2BM AM =，双曲线的焦距为，则b 的值为_________．16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，△ABC 的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为△ABC 的欧拉三角形如图，△111ABC 是△ABC 的欧拉三角形（H 为△ABC 的垂心）．已知3AC =，2BC =，tan A C B ∠=，若在△ABC 内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()()()12123n n n a n S n *+-=+∈N ．（1）证明：数列21n Sn ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T 的表达式．18．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直，已知3AB =，1EF =．（1）求证：平面D AF ⊥平面CBF ；（2）设几何体F ABCD -、F BCE -的体积分别为1V 、2V ，求12:V V ．19．为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在精准落实上见实效．现从全县扶贫对象中随机抽取16人对扶贫工作的满意度进行调查，以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(满分100分)如图所示，已知图中的平均数与中位数相同．现将满意度分为“基本满意”(分数低于平均分)、“满意”(分数不低于平均分且低于95分)和“很满意”(分数不低于95分)三个级别．满意度798689967355972558a（1）求茎叶图中数据的平均数和a 的值；（2）从“满意”和“很满意”的人中随机抽取2人，求至少有1人是“很满意”的概率．20．已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：，椭圆的右焦点为(1,0)F ，长轴的左右端点分别是12,A A ，且121FA FA ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？21．已知函数()()(e ),0x f x x b a b =+->，在(1,(1))f --处的切线方程为(e 1)e e 10x y -++-=.（1）求,a b 的值；（2）若0m ≤，证明：2()f x m x x ≥+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点(2,1)A -，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：32sin ρθρ=+．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点,M N ，求||||AM AN +取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()||,f x x x a a =-∈R ．（1）若(1)(1)1f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对,(,]x y a ∀∈-∞，都有不等式()54f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围．。
河南省郑州市第一中学2020届高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案
河南省郑州市第一中学2020届高三12月月考数学（文）试题本试卷共23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A N =，{}3,5B x R z xi z =∈=+=且，（i 为虚数单位），则A B =（ ）A.4B.4-C.{}4D.{}4-2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、午、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（ ） A.丁酉年 B.戊未年C.乙未年D.丁未年3.点)4在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为（ ）A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒4.定义函数()(){}()()()()()()()(),max ,,f x f xg x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则{}max sin ,cos x x 的最小值为（ ）A.C.2-D.25.已知数列{}n a 的通项()23n a n n N *=+∈，数列{}n b 的前n 项和为()2372n n nS n N *+=∈，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}n c ，则满足2012m c <的m 的最大整数值为（ ）A.335B.336C.337D.3386.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）7.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点P 、Q 、R 、S ，则抛物线的焦点是（ ）A.PB.QC.RD.S8.点(),M x y 在圆()2221x y +-=上运动，则224xyx y +的取值范围是（ ） A.11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B.{}11,,044⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.11,00,44⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D.11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9.已知B 、C 为单位圆上不重合的两定点，A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+，则点P 的轨迹为（ ） A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆10.点1F 、2F 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，点P 在双曲线上，则12PF F ∆的内切圆半径r 的取值范围是（ ）A.(B.()0,2C.(D.()0,111.如图，将边长为2的正ABC ∆沿着高AD 折起，使60BDC ∠=︒，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A.132πB.133π C.2 D.312.已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（ ） ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值；③函数()f x 的定义域为R ，且其图象有对称轴；④对于任意的()1,0x ∈-，()0f x '<（()f x '是函数()f x 的导函数） A.②③B.①③C.②④D.①②③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2020-2021学年高一数学上学期12月月考试题 (II)
1 / 42020-2021学年高一数学上学期12月月考试题 (II)一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数)1lg(41)(-+-=x xx f 的定义域为（ ） A.}41|{≤<x x B. }41|{<<x x C. 1|{>x x 且}4≠x D. }4|{<x x 2.下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（ ） A ．21x y = B ．4x y = C ．2-=x y D ．31x y =3.如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．54.函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）A ．1[0,]8 B ．11[,]84 C ．11[,]42 D ．1[,1]25.下列式子中成立的是（ ） A.0.40.4log 4log 6<B. 3.43.51.01 1.01> C.0.30.33.5 3.4< D.76log 6log 7<6.函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A.41 B.21C.2D.4 7.执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是（ ） A.k ≤6 B.k ≤7C.k ≤8D.k ≤98.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为%p ，超过280万元的部分按()%2+p 征税，有一公司的实际缴税比例为()%25.0+p ，则该公司的年收入是（ ）A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元 9.设()()2111ln 2-⎪⎭⎫⎝⎛++++=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a （ ）A ．2B ．0C ．1D ．-2 10.设函数()()1381log 2221+++=x x x f ，则不等式()2log log 212≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 的解集为（ ）A.(]2,0B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21C.[)+∞,2D.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0二、填空题:本题共4小题，每小题4分，共16分 11.已知1243==ba，则ba 11+=______________. 12．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2＋0.35x ＋1.8x 2－3.66x 3＋6x 4－5.2x 5＋x 6在1-=x 的值时，令60a v =；501a x v v +=；…；056a x v v +=时，3v 的值为______________.13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=.2,13,2,12)(x x x x f x 若函数()()log 8a g x f x =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________.14.已知()x f 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有()31122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++xx f f ，则()5log 2f =______________.三、解答题:本题共5小题，15、16、17每题10分，18、19每小题12分，共54分 15.已知辗转相除法的算法步骤如下： 第一步：给定两个正整数m ，n ； 第二步：计算m 除以n 所得的余数r ； 第三步：m = n ，n = r ;第四步：若 r = 0 ，则 m ，n 的最大公约数等于m ；否则，返回第二步.请根据上述算法将右边程序框图补充完整.16. （1）8log 9log 5.12lg 85lg 21lg278⋅-+- （2）lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2.17.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． （1）设销售商一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式． （2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？18.已知21()log 1xf x x x-=-++． （1）求)20161()20161(-+f f 的值；（2）当(,]x a a ∈-（其中(0,1)a ∈，且a 为常数）时，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．19.已知函数212()log 2(21)8,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦. （1）若()f x 在[),a +∞上为减函数，求a 的取值范围；（2）若关于x 的方程12()log (3)1f x x =+-在(1,3)内有唯一解，求a 的取值范围.1-5 BBACD 6-10 BBDDB 11、212、-15.86 13、(]2,8 14、323 / 415.16. （1）31（2）5.1 17.(1)当0<x ≤100且x ∈N *时，p ＝60； 当100<x ≤600且x ∈N *时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100且x ∈N *，62－0.02x ，100<x ≤600且x ∈N *.(2)设该厂获得的利润为y 元，则当0<x ≤100时且x ∈N *，y ＝60x －40x ＝20x ； 当100<x ≤600时且x ∈N *，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100且x ∈N *，22x －0.02x 2，100<x ≤600且x ∈N *.当0<x ≤100时且x ∈N *，y ＝20x 是单调增函数，∴当x ＝100时，y 最大，y max ＝20×100＝2 000； 当100<x ≤600时且x ∈N *，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，y max ＝ 6 050. 显然6 050>2 000，∴当销售商一次订购550件时，该厂获得的利润最大，最大利润为6 050元． 18.（1）由101xx->+，解得：11x -<<，故：()f x 的定义域为(1,1)-， 对于任意(1,1)x ∈-，有1111()lg lg lg ()111x x x f x x x x f x x x x -+--⎛⎫-=+=+=-=- ⎪-++⎝⎭， 从而()f x 为奇函数. 于是有()()0f x f x +-=. 故0)20161()20161(=-+f f （2）设12,(,]x x a a ∈-且12x x <，则1221122121212(1)()()()()log (1)()x x x x f x f x x x x x x x -+--=-+-+-∵210x x -> ∴12211212(1)()1(1)()x x x x x x x x -+->-+-∴122121212(1)()log 0(1)()x x x x x x x x -+->-+-∴12()()0f x f x ->即12()()f x f x >∴()f x 在(,]a a -上递减所以，当x a =时，()f x 有最小值，且最小值为21()log 1af a a a-=-++.19. （1）因为函数()x f 在[)+∞,a 上为减函数，()⎩⎨⎧>+--≤-∴08122122a a a a a ， 143≤<-∴a .（2）原方程可化为()6281222+=+--x x a x 即()3,1,24∈+=x xx a 结合函数图象可知31143<≤a 或224=a 即121143<≤a 或22=a 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考试卷 数学(文)答案
文科数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．题号123456789101112答案C D B A C B A C A D C A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．815．116．764．三．解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(1)证明：因为112321n n n n n a S S S n +++=-=-，所以12(21)21n n n S S n ++=-，所以122121n n S S n n +=+-．又11a =，所以1101S =≠．∴数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列．…………………………6分(2)由(1)知，1221n n S n -=-，所以1(21)2n n S n -=-⋅．所以2113252(21)2n n T n -=+⨯+⨯++-⋅，①故232123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②，得2112(222)(21)2n n n T n --=+⨯+++--⋅2212(21)2(32)2312nn n n n -=+⨯--⋅=-⋅--，所以(23)23n n T n =-⋅+．………………………………12分18．解析：（1）如图，矩形ABCD 中，CB AB ⊥，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥．又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∵CB BF B =，CB 、BF ⊂平面CBF ，∴AF ⊥平面CBF ，∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF ．…………………………6分（2）几何体F ABCD -是四棱锥、F BCE -是三棱锥，过点F 作FH AB ⊥，交AB 于H ．∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FH ⊥平面ABCD ．则113V AB BC FH =⨯⨯，21132V EF HF BC ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭∴1226V AB V EF==…………………………………………12分19．(1)由题意，根据图中16个数据的中位数为8789882+=，由平均数与中位数相同，得平均数为88，所以9863567992557870390616a +++++++++++++++⨯+⨯88=，解得4a =．………………………………………………4分(2)依题意，16人中，“基本满意”有8人，“满意”有4人，“很满意”有4人．“满意”和“很满意”的人共有4人．分别记“满意”的4人为a ，b ，c ，d ，“很满意”的4人为1，2，3，4．从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共28个：(,),(,),(,),(,1),(,2),(,3),(,4),(,),(,)a b a c a d a a a a b c b d ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,)c d ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．用事件A 表示“8人中至少有1人是很满意”这一件事，则事件A 由22个基本事件组成：(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有22个．故事件A 的概率为2211()2814P A ==．………………………………………12分20．解：(1)依题设12(,0),(,0)A a A a -，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-．由121FA FA ⋅=-，得：(1)(1)1a a ---=-，解得22a =，又因为1c =，所以222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．………………………………………4分(2)圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．依题意设直线l 的方程为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：2222(21)4220k x k x k +-+-=，则2212122242(1),2121k k x x x x k k -+==++，所以212022221x x k x k +==+，002(1)21k y k x k =-=-+，则直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +，若四边形ADBE 为菱形，则0022E D E D x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，所以2023221E D k x x x k =-=+，022221E D k y y y k =-=-+，若点E 在椭圆C 上，则22222132()()142121k k k k ⋅+-=++，即4222982(21)k k k +=+，整理得42k =，解得k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．………………………12分21．解析：（1）由题意()10f -=，所以()()1110e f b a ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭，又()()1e x f x x b a +'=+-，所以()111e eb f a -=-=-+'，解得1,1,a b =⎧⎨=⎩或1,e 2e,a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩由于0b >，而2e 0-<，故1a =，1b =．………………………………5分（2）由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，()()00,10f f =-=，由0m ≤，20x ≥，可得2x mx x ≥+，要证明()2f x mx x ≥+，只需证()f x x ≥．令()()()1e 1xg x x x =+--，则()()2e 2xg x x =+-'，令()()()(3xh x g x h x x e '==+）则，当3x <-时，()0h x '<，()g x '在(,3)-∞-上单调递减，且()0g x '<；当3x >-时，()0h x '>，()g x '在(3,)-+∞上单调递增；且(0)0g '=，所以()g x 在()0-∞，上当单调递减，在(0,)+∞上单调递增，且(0)0g =，故()()()()00,1e 1x g x g x x ≥=+-≥即，即()f x x ≥恒成立，所以2()f x mx x ≥+．………………………………………………………12分22．解：(1)由32sin ρθρ=+得22sin 3ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入上式中，得曲线C 的普通方程为22230x y y ++-=．……………………………………4分(2)将l 的参数方程2cos ,1sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入曲线C 的普通方程，消去,x y 得得24(sin cos )40t t αα+-+=．①因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以216(sin cos )160αα∆=-->，因为22sin cos 1αα+=，所以sin cos 0αα<，又0πα≤<，所以ππ2α<<，设方程①的两根为12,t t ，则12124(cos sin )0,40t t t t αα+=-<=>，所以120,0t t <<，所以1212π||||||||()4(sin cos ))4AM AN t t t t ααα+=+=-+=-=-，由ππ2α<<得，ππ3π444α<-<，所以2πsin(124α<-≤，从而π44α<-≤即||||AM AN +的取值范围是．………………………………10分23．解：（1）(1)(1)|1||1|1f f a a +-=--+>，①若1a ≤-时，则111a a -++>，即21>，即1a ≤-时恒成立；②若11a -<<时，则1(1)1a a --+>，解得12a <-，所以112a -<<-；③若1a ≥时，则1(1)1a a -+-+>，即21->不成立，此时不等式无解．综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-．………………………………………5分（2）由题意知，不等式对于,(,)x y a ∈-∞恒成立，等价于max min 5()(||||)4f x y y a ≤++-，当(,)x a ∈-∞时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+，所以2max ()(24a a f x f ==，又因为555|||||(()|||444y y a y y a a ++-≥+--=+，当且仅当5()04y y a +-≤即54y a -≤≤时，等号成立，所以min 55(||||)44y y a a ++-=+，所以2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是(0,5]．………………………………10分。
河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考数学(理)答案
2
2
55
③若 a 1时，则 −1+ a − (1+ a) 1，即 −2 1 不成立，此时不等式无解．
综上所述， a 的取值范围是 (−, − 1) ． 2
(2)将
l
的参数方程
x y
= =
−2 1+
+ t cos t sin ,
,
(
t
为参数)代入曲线
C
的普通方程，消去
x,
y
得
得 t2 + 4(sin − cos)t + 4 = 0 ．
①
因为直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点，
所以 =16(sin − cos)2 −16 0，因为 sin2 + cos2 =1，
又 AB ⊥ AD ， AD PA = A ，所以 AB ⊥ 平面 PAD ，
又 AB 平 面 ABCD ， 所 以 平 ABCD ； ………………………4 分
…………………3 分 面 PAD ⊥ 平 面
11
（2）分别取线段 AD, BC 的中点 O, E ，连接 PO,OE ，因为 ADP 为等边三角
所以 sin cos 0 ， 又 0 π ，所以 π π ，
2
设方程①的两根为 t1,t2 ，则 t1 + t2 = 4(cos − sin) 0, t1t2 = 4 0，
所以 t1 0,t2 0 ，
所以| AM | + | AN |=| t1 | + | t2 |= −(t1 + t2 ) = 4(sin − cos ) = 4
所以 Tn = (2n − 3) 2n + 3 ．
河南省郑州一中2020-2021学年高一上学期12月月考物理答案
物理月考答案1.C2.B3.A4.D5.C6.A7.B8.C9.AD10.BD11.AC12.BCD13.(1).(1)27(25～29)；(2).6.0cm；(3).C；14.故答案为：（1）低；间隔均匀；（2）盘及盘中砝码的总质量远小于小车质量；（3）0.343；（4)15.(1)汽车制动3s后的速度是0；判断2分，结果1分。
(2)15m。
两个位移各1分，结果1分。
16.当物体A沿斜面匀速下滑时，受力图如图甲，沿斜面方向的合力为0，所以f＝mgsinθ..............................2分当物体A沿斜面匀速上滑时，受力图如图乙，A物体所受摩擦力大小不变，方向沿斜面向下，沿斜面方向的合力仍为0故....................................................................3分对物体B...............................................................1分由牛顿第三定律可知...................................................1分由以上各式求出..................................................1分17．（1）由图看出，图线的斜率先变小后变为零，则雪撬先做加速度减小的加速运动，速度逐渐增大，然后做匀速运动。
........................2分（2）雪撬速度v=5m/s时，加速度a等于直线AD的斜率........2分（3）空气阻力为，.......................................1分雪撬与斜坡间的摩擦力为............................................................1分取人和雪撬为研究对象，由牛顿第二定律得：即：.............................................................2分由v-t图象知时当速度达到最大值时代入上式，解得： (1)18.（1）碰撞前假设滑块和木板一起向右做匀减速运动，设滑块和木板一起向右做匀减速运动的加速度为a，根据牛顿第二定律得代入数据解得a=1m/s2。
2020-2021学年河南郑州高一上数学月考试卷
2020-2021学年河南郑州高一上数学月考试卷一、选择题1. 已知全集U ={1,2,3,4}， A ={1,2}，B ={2,3}，则(∁U A )∪B =( ) A.{2} B.{3}C.{1,3,4}D.{2,3,4}2. 如图中的阴影部分，可用集合符号表示为( )A.(∁U A)∩(∁U B)B.(∁U A)∪(∁U B)C.(∁U B)∩AD.(∁U A)∩B3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A.y 1=(x+3)(x−5)x+3，y 2=x −5B.f(x)=x ，g(x)=√x 2C.f(x)=x ，g(x)=√x 33D.f(x)=|x|，g(x)=(√x)24. 已知函数f(x)={x 2−x,x ≤1,11−x ,x >1, 则f(f(−2))的值为( )A.12 B.15C.−15D.−125. 函数f(x)=√x−1+√4−x 的定义域为( ) A.[1, 4] B.[1, +∞)C.(−∞, 4]D.(1, 4]6. 已知函数y =f(2x +1)定义域是[−1, 0]，则y =f(x +1)的定义域是( ) A.[−1, 1] B.[0, 2] C.[−2, 0] D.[−2, 2]7. 已知集合A ={x|1≤x <5}，C ={x|−a <x ≤a +3}，若C ∩A =C ，则a 的取值范围为( ) A.−32<a ≤−1 B.a ≤−32C.a ≤−1D.a >−328. 函数f(x)=11+x 2的值域为( ) A.(0,1) B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]9. 已知集合M ={y|y =x 2−1, x ∈R }，N ={x|y =√3−x 2}，则M ∩N 等于( ) A.{(−√2,1),(√2,1)} B.{−√2,√2, 1}C.[−1,√3]D.⌀10. 函数f(x)=|x −1|与g(x)=x(x −2)的单调递增区间分别为( ) A.[1, +∞)，[1, +∞) B.(−∞, 1]，[1, +∞) C.(1, +∞)，(−∞, 1] D.(−∞, +∞)，[1, +∞)11. 设集合A ={x|x 2+x −12=0}，集合B ={x|kx +1=0}，如果A ∪B =A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为( ) A.−112，0 B.112，0C.112，−112D.14，−11212. 已知函数f(x)=√mx 2+mx +1的定义域是R ，则m 的取值范围是( ) A.0<m <4 B.0≤m ≤1 C.m ≥4 D.0≤m ≤4二、填空题已知：集合A ={x, y}，B ={2, 2y}，若A =B ，则x +y =________．已知函数f(x)=x 3，若实数a ，b 满足f(a +2)+f(b)=0，则a +b 等于________．函数y =√x 2−2x −3的递减区间是________，递增区间是________．函数f(x)=9x 2+√x −1的最小值为________． 三、解答题已知集合A ={x|3≤x <7}，B ={x|2<x <10}，求∁R (A ∩B )，A ∪(∁R B ).计算下列各式：(1)(49)12−9.60−(278)−13+(13)−2；(2)(a12⋅b23)−3÷(b−4⋅√a−2)12.已知函数f(x)=x2x−1，证明：函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．设函数f(x)={x2−4x，x≥0,−x2−4x，x<0.(1)画出f(x)>x的图象，根据图象直接写出f(x)>x的解集（用区间表示）；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．若非零函数f(x)对任意实数x，y均有f(x)⋅f(y)=f(x+y)，且当x<0时f(x)>1．(1)求证：f(x)>0；(1)求证：f(x)为R上的减函数；(3)当f(4)=116时，对a∈[−1, 1]时恒有f(x2−2ax+2)≤14，求实数x的取值范围．在半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD，CE垂直下底AD于E，设DE=x(0<x<1)，CE=ℎ，梯形ABCD的周长为L.(1)求ℎ关于x的函数解析式，并指出定义域；(2)试写出L与关于x的函数解析式，并求周长L的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年河南郑州高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：∵U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,3}，∴∁U A={3,4}，∴(∁U A)∪B={2,3,4}.故选D．2.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集．【解答】解：图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，∴图中的阴影部分，可用集合符号表示为(∁U B)∩A．故选C.3.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数y1=(x+3)(x−5)x+3=x−5(x≠−3)，与y2=x−5(x∈R)的定义域不相同，所以不是同一函数；对于B，函数f(x)=x(x∈R)，与g(x)=√x2=|x|(x∈R)的对应关系不相同，所以不是同一函数；对于C，函数f(x)=x(x∈R)，与g(x)=√x33=x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于D，函数f(x)=|x|(x∈R)，与g(x)=(√x)2=x(x≥0)的定义域不相同，对应关系也不相同，所以不是同一函数．故选C．4.【答案】C【考点】函数的求值【解析】根据分段函数解析式，先求出f（−2），再求f（f（−2））即可求解.【解答】解：函数f(x)={x2−x,x≤1,11−x，x>1,则f(−2)=(−2)2−(−2)=6,故f(f(−2))=f(6)=11−6=−15.故选C.5.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】可看出，要使得函数f(x)有意义，需满足{x>14−x≥0，解出x的范围即可．【解答】解：要使f(x)有意义，则：{x−1>0，4−x≥0，∴1<x≤4，∴f(x)的定义域为(1, 4]．故选D.6.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数f(2x+1)的定义域是[−1, 0]，求出函数f(x)的定义域，再由x+1在函数f(x)的定义域内求解x的取值集合得到函数y=f(x+1)的定义域，．【解答】解：由函数f(2x+1)的定义域是[−1, 0]，得−1≤x≤0．∴−1≤2x+1≤1，即函数f(x)的定义域是[−1, 1]，再由−1≤x+1≤1，得：−2≤x≤0．∴函数y=f(x+1)的定义域是[−2, 0]．故选C.7.【答案】 C【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】由C ∩A ＝C ，得C ⊆A ，然后分C 是空集和不是空集分类求解实数a 的取值范围． 【解答】解：由C ∩A =C ，得C ⊆A ，∵ A ={x|1≤x <5}，C ={x|−a <x ≤a +3}． 当−a ≥a +3，即a ≤−32时，C =⌀，满足C ⊆A .当C ≠⌀时，有{−a <a +3，−a ≥1，a +3<5，解得：−32<a ≤−1．综上，a 的取值范围是a ≤−1． 故选C . 8.【答案】 B【考点】函数的值域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由x 2+1≥1，得0<1x 2+1≤1， 即0<f(x)≤1． 故选B ． 9.【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 交集及其运算【解析】先分别求出集合M 和集合N ，再利用交集的定义：两个集合M 和N 的交集是含有所有既属于M 又属于N 的集合，而没有其他元素的集合，求出交集即可． 【解答】解：∵ y =x 2−1≥−1， ∴ M =[−1, +∞)， ∵ 0≤3−x 2，∴ N =[−√3, √3]， ∴ M ∩N =[−1, √3]. 故选C . 10.【答案】 A【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】去掉绝对值求出f(x)的递增区间，结合二次函数的性质求出g(x)的递增区间即可． 【解答】解：f(x)=|x −1|={x −1,x ≥1,−x +1,x <1, 故f(x)在[1, +∞)递增，g(x)=x 2−2x =(x −1)2−1，故g(x)在[1, +∞)递增， 故选A . 11.【答案】 A【考点】 并集及其运算集合的包含关系判断及应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ={−4,3}，当k =0时，B =⌀，符合要求；当k ≠0时，x =−1k ．由A ∪B =A 知B ⊆A ，所以−1k =−4或−1k =3， 所以k =14或k =−13，所以实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为−112，0.故选A . 12.【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】函数的定义域使开偶次方根的被开方数大于等于0，转化为不等式恒成立；二次不等式恒成立结合二次函数的图象列出限制条件，求出m 的范围． 【解答】解：∵ f(x)=√mx 2+mx +1的定义域是R ， 故mx 2+mx +1≥0恒成立，①m =0时，1≥0恒成立，满足题意， ②m ≠0时，需{m >0,Δ=m 2−4m ≤0,解得0<m ≤4， 综上，0≤m ≤4. 故选D .二、填空题【答案】 2或6 【考点】 集合的相等 【解析】首先根据已知集合AB ，以及A =B 联立方程组，分别解出x 与y 的值，然后求出x +y 的值 【解答】解：∵ 集合A ={x, y}，B ={2, 2y}， 而A =B ,∴ {x =2,y =0，或{x =2y,y =2，即{x =4,y =2. ∴ x +y =2或6. 故答案为：2或6. 【答案】 −2【考点】函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】容易看出f(x)是奇函数，且在R 上是单调函数，从而根据f(a +2)+f(b)＝0得出f(a +2)＝f(−b)，进而得出a +2＝−b ，从而得出a +b ＝−2． 【解答】解：f(x)是奇函数，且在R 上单调递增，∴ 由f(a +2)+f(b)=0得，f(a +2)=f(−b)， ∴ a +2=−b ， ∴ a +b =−2． 故答案为：−2. 【答案】(−∞, −1],[3, +∞) 【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】先求出该函数定义域为{x|x ≤−1, 或x ≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y =x 2−2x −3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：∵ x 2−2x −3≥0得x ≤−1，或x ≥3.∴ 函数y =x 2−2x −3在(−∞, −1]上单调递减， 在[3, +∞)上单调递增.∴ 该函数的递减区间为(−∞, −1]，递增区间为[3, +∞)． 故答案为：(−∞, −1]；[3, +∞)． 【答案】 9【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】先求函数的定义域，确定函数的单调性，即可求出答案． 【解答】解：∵ f(x)的定义域为[1, +∞)， 又f(x)在定义域上单调递增， ∴ f(x)min =f(1)=9． 故答案为：9． 三、解答题【答案】解：∵ A ={x|3≤x <7}，B ={x|2<x <10}， ∴ A ∩B ={x|3≤x <7}，则∁R (A ∩B )={x|x <3或x ≥7}.∁R B ={x|x ≤2或x ≥10}，则A ∪(∁R B )={x|x ≤2，或3≤x <7或x ≥10}． 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】本题考查交、并、补集的混合运算． 【解答】解：∵ A ={x|3≤x <7}，B ={x|2<x <10}， ∴ A ∩B ={x|3≤x <7}，则∁R (A ∩B )={x|x <3或x ≥7}.∁R B ={x|x ≤2或x ≥10}，则A ∪(∁R B )={x|x ≤2，或3≤x <7或x ≥10}． 【答案】解：(1)原式=23−1−23+9=8. (2)原式=a −32⋅b −2÷(b −2⋅a −12) =a−32÷a−12⋅(b −2÷b −2)=a −1=1a .【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】无无【解答】解：(1)原式=23−1−23+9=8.(2)原式=a−32⋅b−2÷(b−2⋅a−12)=a−32÷a−12⋅(b−2÷b−2)=a−1=1a.【答案】证明：设1<x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=x12x1−1−x22x2−1=x2−x1(2x1−1)(2x2−1)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．【考点】函数单调性的判断与证明【解析】通过求导得出导函数小于0，从而证出函数的单调性．【解答】证明：设1<x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=x12x1−1−x22x2−1=x2−x1(2x1−1)(2x2−1)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．【答案】解：如图，由图可得，f(x)>x的解集为(−5,0)∪(5,+∞).(2)当x>0时，−x<0，f(−x)=−(−x)2−4(−x)=−x2+4x=−f(x)，当x=0时，f(0)=0，当x<0时，−x>0，f(−x)=(−x)2−4(−x)=x2+4x=−f(x)，∴对任意的x∈R有f(−x)=−f(x)成立，∴结合奇函数的定义知f(x)为奇函数.【考点】函数奇偶性的判断函数图象的作法【解析】（1）根据二次函数的作图方法进行作图，然后看图说话即可；（2）根据函数的奇偶性的判断方法进行判断．【解答】解：如图，由图可得，f(x)>x的解集为(−5,0)∪(5,+∞).(2)当x>0时，−x<0，f(−x)=−(−x)2−4(−x)=−x2+4x=−f(x)，当x=0时，f(0)=0，当x<0时，−x>0，f(−x)=(−x)2−4(−x)=x2+4x=−f(x)，∴对任意的x∈R有f(−x)=−f(x)成立，∴结合奇函数的定义知f(x)为奇函数.【答案】(1)证明：法①f(0)⋅f(x)=f(x)，即f(x)[f(0)−1]=0，又f(x)≠0，∴f(0)=1.当x<0时，f(x)>1，则−x>0，∴f(x)⋅f(−x)=f(0)=1，则f(−x)=1f(x)∈(0,1)．故对于x∈R恒有f(x)>0．法②f(x)=f(x2+x2)=[f(x2)]2≥0，∵f(x)为非零函数，∴f(x)>0.(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，有f(x1)⋅f(x2−x1)=f(x2)，又x2−x1<0，即f(x2−x1)>1，故f(x2)f(x1)=f(x2−x1)>1，又f(x)>0，∴f(x2)>f(x1)，故f(x)为R上的减函数．(3)解：f(4)=116=f(2+2)=f2(2)⇒故f(2)=14，则原不等式可变形为f(x2−2ax+2)≤f(2)，依题意有x2−2ax≥0对a∈[−1, 1]恒成立，∴当x>0时，x≥2a，当x<0时，x≤2a，当x=0时，符合题意.故实数x的取值范围为(−∞, −2]∪{0}∪[2, +∞)．【考点】函数的概念函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】（1）根据抽象函数，利用赋值法证明f(x)>0；（2）根据函数单调性的定义证明f(x)为R上的减函数；（3）利用函数单调性的性质，解不等式即可．【解答】(1)证明：法①f(0)⋅f(x)=f(x)，即f(x)[f(0)−1]=0，又f(x)≠0，∴f(0)=1.当x<0时，f(x)>1，则−x>0，∴f(x)⋅f(−x)=f(0)=1，则f(−x)=1f(x)∈(0,1)．故对于x∈R恒有f(x)>0．法②f(x)=f(x2+x2)=[f(x2)]2≥0，∵f(x)为非零函数，∴f(x)>0.(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，有f(x1)⋅f(x2−x1)=f(x2)，又x2−x1<0，即f(x2−x1)>1，故f(x2)f(x1)=f(x2−x1)>1，又f(x)>0，∴f(x2)>f(x1)，故f(x)为R上的减函数．(3)解：f(4)=116=f(2+2)=f2(2)⇒故f(2)=14，则原不等式可变形为f(x 2−2ax +2)≤f(2)， 依题意有 x 2−2ax ≥0对a ∈[−1, 1]恒成立， ∴ 当x >0时，x ≥2a ， 当x <0时，x ≤2a ， 当x =0时，符合题意.故实数x 的取值范围为(−∞, −2]∪{0}∪[2, +∞)． 【答案】解：(1)ℎ2=1−(1−x)2=−x 2+2x ， ∴ ℎ=√−x 2+2x ，定义域为(0, 1). (2)如图，|CD|=√ℎ2+x 2=√2x ， |BC|=2−2x ，∴ L =2√2x +2−2x +2 =2√2x −2x +4=−2(√x −√22)2+5，x ∈(0, 1)，即L =−2(√x −√22)2+5，x ∈(0, 1)，∴ √x =√22，即x =12时，L 取最大值5．【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】（1）根据图形，便有ℎ=√1−(1−x)2=√−x 2+2x ，并且定义域为(0, 1)；（2）容易求出|CD|=√2x ，|BC|=2−2x ，所以周长L =−2x +2√2x +4，对该函数解析式配方即可求出周长L 的最大值．【解答】解：(1)ℎ2=1−(1−x)2=−x 2+2x ， ∴ ℎ=√−x 2+2x ，定义域为(0, 1). (2)如图，|CD|=√ℎ2+x 2=√2x ， |BC|=2−2x ，∴ L =2√2x +2−2x +2 =2√2x −2x +4=−2(√x −√22)2+5，x ∈(0, 1)，即L =−2(√x −√22)2+5，x ∈(0, 1)，∴ √x =√22，即x =12时，L 取最大值5．。
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郑州一中2020-2021学年高一数学12月月考试题
考试时间：120分钟，满分150分.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．已知集合()(){}|310M x x x =+-≤,{}2|log 1N x x =≤,则M N ⋃=（ ）
A ．[]3,2-
B ．[)-3,2
C ．[]1,2
D ．(0,2] 2．已知12132111,log ,log 332
a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>
3．下列命题中，错误的是 （ ）
A ．平行于同一个平面的两个平面平行
B ．平行于同一条直线的两个平面平行
C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
4．函数()e e ln --=x x
f x x
的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．
5．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA B C '''，
且直观图OA B C '''的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）
A ．2
B ．42
C ．4
D ．22
6．在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，且,,PA PB PC 两两互相垂直,则三棱锥P ABC -的外接球的体积为( )
A ．43π
B ．83π
C ．163π
D ．23π
7．已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)4,8 C ．()4,8 D ．()1,8
8．函数f （x ）=|x 2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）
A ．[3，+∞）
B ．（﹣∞，2），（4，+∞）
C ．（2，3），（4，+∞）
D ．（﹣∞，2]，[3，4]
9．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，
则该三棱锥的体积为( )
A ．4
B ．8
C ．12
D ．24
10．已知定义在R 上的函数()f x ，都有()()1f x f x =-，且函数()1f x +是奇函数，若1142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则20194f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．12- D ．12
11．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2点M ，N 分别是1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B 内运动，且1//PA AMN 则1PA 的长度范围为（ ）
A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣
C ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时， ()()
11232f x x x =-+--，若x R ∀∈， ()()f x a f x -≤，则a 的取值范围是（ ）
A ．3a ≥
B ．33a -≤≤
C ．6a ≥
D ．66a -≤≤
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知)12(+x f 定义域为)5,3(，则)1-4(x f 定义域为___________.
14．函数()40a y x a x =+>在[]1,2上的最小值为8，则实数a =___________. 15．已知球在底面半径为1､高为22的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________. 16．已知函数()2log 111a x f x ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
=+（0a >且1a ≠），若定义域上的区间[],m n ，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]log 2,log 2a a n m ，则实数a 的取值范围为___________.
三、解答题（本大题共6小题, 共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程）
17．(10分)计算：
（Ⅰ）41
60.250343
2162(23)(22)4()28(1024)49-⨯⨯+-⨯-⨯+-， （Ⅰ） 2.5221log 6.25lg ln()log (log 16)100
e e +++. 18．（12分）已知集合13279x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭
，函数()()2lg 54f x x x =--的定义域为B ． （Ⅰ）;)(,A A B C B R
求 （Ⅰ）已知集合{}
433C x m x m =-≤≤+，若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围．
19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点.
（Ⅰ）证明：1//BC 平面1A CD . （Ⅰ）设12AA AC CB ===，22AB =求三棱锥1A CDE -的体积
20．（12分）常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .
（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（Ⅰ）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t
-=
-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 21．（12分）定义在R 上的函数()f x 满足()00f ≠，且当0x >时，()1f x >，对任意a b ，∈R ，均有()()()f a b f a f b +=⋅．
（Ⅰ）求证：()01f =；
（Ⅰ）求证：对任意x ∈R ，恒有()0f x >；
（Ⅰ）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()()
221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围． 22．（12分）已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+.
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅰ）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；
（Ⅰ）设函数12
()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.。