矩阵求导法则教学教材

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对矩阵的迹求导

对矩阵的迹求导对矩阵的迹求导矩阵是数学中重要的概念之一，它广泛地应用于各个领域中。

在矩阵运算中，对矩阵的迹求导是一个十分重要的问题。

本文将从矩阵、矩阵的迹以及对矩阵的迹求导等方面进行阐述和探讨。

一、矩阵的概念和运算矩阵是一个非常重要的数学概念，不仅涉及数学本身，还涉及到其他领域，如物理、化学、经济学、计算机科学等等。

矩阵可以看作是由数个数排成一排（称之为行）或一列（称之为列），比如：$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$其中包含了3行3列9个数，它被称为一个3x3的矩阵。

我们可以对矩阵进行加、减、乘等操作，其中加法和减法很容易理解，乘法有两种情形。

1. 矩阵与标量相乘给定一个标量k和一个矩阵A，我们可以定义矩阵与标量的乘法，即：$$ kA= \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} &\cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots &ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} $$eg.$$ 3\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6\\ 9 & 12\end{bmatrix} $$2. 矩阵与矩阵相乘对于两个矩阵A和B，只有当A的列数与B的行数相同时，它们才可以相乘。

那么，它们的乘积C的定义为：$$ C_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}A_{i,k}B_{k,j} $$其中，m表示A和B中的矩阵元素的数量。

上海教育版高中数学二上9.2《矩阵的运算》word教案

课题：§9.2矩阵的运算授课教师：师大附中苏燕教学目标：知识目标：（1）使学生理解和掌握矩阵的运算及其运算律；（2）使学生提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力。

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

德育目标：（1）激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操；（2）培养学生坚韧不拔的意志，以及实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：提高矩阵的运算能力。

教学难点：矩阵乘法。

教学方法和手段：结合多媒体教学手段进行启发式教学。

教学过程：一、情景引入：1、观察：2、思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩；3、讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？二、学习新课：1、矩阵的加法：（1）引入：记期中成绩答题数为A ，期末答题数为B ，则： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3592310A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=337448B 确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=68166718B A C （2）矩阵的和（差）：当两个矩阵A B 、的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A B 、的和（差）,记作：()A B A B +-。

（3）运算律：加法运算律：A B B A +=+；加法结合律：()()A B C A B C ++=++。

2、数乘矩阵：（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵： ()9 3.5318432A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作：A α。

（3）运算律：（R γλ∈、）分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(；结合律：()()()A A A γλλγγλ==。

矩阵求导的行列式法则

矩阵求导的行列式法则矩阵求导是数学中十分重要的一部分，它涉及到许多数学应用和实际问题的解决，如物理学、工程学、金融学等。

其中，在矩阵求导的过程中，行列式法则是一种常用的求导方法，下面我们将对行列式法则进行简要的介绍和应用。

一、行列式的定义在讲解行列式法则之前，我们先来了解一下行列式的定义。

行列式是一个数学概念，其可以用于描述矩阵的性质和变换。

在矩阵的行列式中，每个元素的所处行列的位置是有序的，若 i<j，则第 i 行元素在第 j 行元素的上面，而第 i 列元素在第 j 列元素的左侧。

行列式的数值即为其中元素的乘积和正负号的乘积之和。

以一个 3 阶矩阵为例，其行列式的计算方式表示如下：$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a _{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$二、行列式法则在矩阵求导中，行列式法则是一种常用的求导方法，它可以依据行列式的定义计算矩阵函数的导数。

行列式法则将计算矩阵求导的问题转化为计算矩阵的行列式，具体公式如下：$\frac{\partial \det(\mathbf{X})}{\partial\mathbf{X}}=\det(\mathbf{X})(\mathbf{X}^{-1})^T$其中，$\mathbf{X}$ 为一个 $n\times n$ 矩阵，$\mathbf{X}^{-1}$ 表示 $\mathbf{X}$ 的逆矩阵，$T$ 表示转置。

该公式表明，在矩阵函数求导的过程中，其导数可以用原矩阵的逆矩阵和行列式的乘积来表示。

2×2矩阵求导法则

2×2矩阵求导法则矩阵求导法则矩阵求导应该分为标量求导、向量求导、矩阵求导三个方面来介绍，公式繁多，但仔细看看其实是有规律可循的。

标量求导无论是矩阵、向量对标量求导，或者是标量对矩阵、向量求导，其结论都是一样的：等价于对矩阵（向量）的每个分量求导，并且保持维数不变。

例如，我们可以计算标量对向量求导：设yy为一个元素，xT=[x1~xq]xT=[x1~xq]是qq维行向量，则：∂y∂xT=[∂y∂x1~∂y∂xq]∂y∂xT=[∂y∂x1~∂y∂xq]向量求导对于向量求导，我们可以先将向量看做一个标量，然后使用标量求导法则，最后将向量形式化为标量进行。

例如，我们可以计算行向量对列向量求导：设yT=[y1~yn]yT=[y1~yn]是nn维行向量，x=[x1,~,xp]x=[x1,~,xp]是pp维列向量，则：∂yT∂x==[∂y1∂x~∂yn∂x]⎡⎡⎡⎡⎡∂y1∂x1~∂y1∂xp~~~∂yn∂x1~∂yn∂xp⎡⎡⎡⎡⎡∂yT∂x=[∂y1∂x~∂yn∂x]=[∂y1∂x1~∂yn∂x1~~~∂y1∂xp~∂yn∂xp]矩阵求导与向量求导类似，先将矩阵化当做一个标量，再使用标量对矩阵的运算进行。

例如，我们可以计算矩阵对列向量求导：设Y=⎡⎡⎡y11~ym1~~~y1n~ymn⎡⎡⎡Y=[y11~y1n~~~ym1~ymn]是m×nm×n矩阵，x=[x1,~,xp]x=[x1,~,xp]是pp维列向量，则：∂Y∂x=[∂Y∂x1,~,∂Y∂xp]∂Y∂x=[∂Y∂x1,~,∂Y∂xp]矩阵微积分常见求导性质实值函数相对于实向量的梯度设f(x)=x=[x1,~,xn]Tf(x)=x=[x1,~,xn]T∂f(x)∂xT=∂x∂xT=In×n∂f(x)∂xT=∂x∂xT=In×n∂(f(x))T∂x=∂xT∂x=In×n∂(f(x))T∂x=∂xT∂x=In×n∂f(x)∂x=∂x∂x=vec(In×n)∂f(x)∂x=∂x∂x=vec(In×n)∂(f(x))T∂xT=∂xT∂xT=vec(In×n)T∂(f(x))T∂xT=∂xT∂xT=vec(In×n)T其中，vecvec表示向量化矩阵，按列将矩阵表示为向量，具体可见Wikipedia。

矩阵求导(本质、原理与推导)详解

矩阵求导(本质、原理与推导)详解1.引言矩阵求导是数学分析中重要的一部分，广泛应用于机器学习、数据挖掘和优化问题中。

本文将介绍矩阵求导的本质、原理以及推导过程，为读者提供一个比较全面的了解。

2.矩阵的本质及相关概念在矩阵求导前，我们需要先了解矩阵的本质及相关概念。

矩阵是一个按照规律排列的方阵，其中每个元素通常是实数或者复数。

以$n$行$m$列的矩阵$A$为例，可以表示为：$$A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m}\\\end{bmatrix}$$其中$a_{i,j}$表示矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。

矩阵还有一些相关的概念，如矩阵的转置、逆矩阵、伴随矩阵等等，这里不一一赘述。

3.标量函数对向量、矩阵的导数在开始矩阵求导之前，我们需要先了解标量函数对向量或矩阵的导数。

设矩阵$A$是一个$m\times n$的矩阵，$x$是一个$n \times1$的向量，函数$f(x)$将$x$映射为一个标量。

我们定义$f(x)$对$x$的导数为：$$\frac{\partial f(x)}{\partial x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}&\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}\end{bmatrix}$$其中每一项$\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$表示$f(x)$对$x_i$的偏导数。

矩阵内积求导法则

矩阵内积求导法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵内积求导法则是矩阵微积分中非常重要的一个内容，它在机器学习、优化问题、计算机图形学等领域都有着广泛的应用。

本篇文章将详细介绍矩阵内积求导法则的定义、推导过程以及实际应用。

一、定义矩阵内积指的是两个矩阵相乘得到的结果。

设有两个矩阵A和B，它们的内积记为C，记作C=A*B。

在矩阵内积中，两个矩阵的行数和列数要满足一定的要求，具体而言，如果矩阵A的维度为m×n，矩阵B的维度为n×p，那么它们的内积矩阵C的维度为m×p。

二、矩阵内积的求导法则在矩阵微积分中，我们经常需要对矩阵内积进行求导。

矩阵内积的求导法则可以表示为：若有两个矩阵A和B，它们的内积C=A*B，则C对任意一个矩阵的导数可以表示为：∂C/∂A = B^TB^T表示B的转置矩阵。

同理，C对B的导数可以表示为：这个法则的推导过程可以通过矩阵的展开式进行证明，这里不再详述。

这个法则对于矩阵微积分来说是非常重要的，它可以帮助我们快速求解复杂的矩阵导数。

三、实际应用矩阵内积的求导法则在机器学习和优化算法中有着广泛的应用。

在机器学习中，我们经常需要通过梯度下降等方法来最小化损失函数，这就会涉及到对损失函数关于模型参数（矩阵）的导数计算。

利用矩阵内积的求导法则，我们可以快速有效地计算出损失函数对参数的导数，从而完成参数的更新。

在计算机图形学中，矩阵内积求导法则也有着重要的应用。

在图形变换和动画建模等领域，我们经常需要对矩阵进行变换和运动操作，这就需要对矩阵的导数进行计算。

通过矩阵内积的求导法则，我们可以准确地获得矩阵变换的导数，从而实现图形的平移、旋转和缩放等操作。

第二篇示例：矩阵内积是矩阵乘法的一种形式，通常用于描述多个向量之间的关系。

在机器学习和深度学习领域，矩阵内积求导是一项重要的计算任务，它能够帮助我们优化模型并提高模型的性能。

矩阵内积求导法则是求解矩阵内积的导数的规则和方法，其基本原理是通过链式法则和向量微积分等基本数学知识来推导出矩阵内积的导数表达式。

矩阵求导（工具书）

矩阵求导（⼯具书）⼀、基本概念与性质记号规范请参考：1. 迹对称矩阵$A$的迹定义为：\[Tr(A) = \sum_{i=1}^nA_i^i \tag{1.1} \]2. 迹的运算(1)\[Tr(A) = \sum_{i=1}^n\lambda_{i} \tag{1.2.1} \]其中$\lambda_i$为矩阵$A$的第$i$个特征值(2)\[Tr(A) = Tr(A^T) \tag{1.2.2} \](3)\[Tr(AB) = \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^nA_i^jB_j^i\right) = \sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^nB_j^iA_i^j\right) = Tr(BA) \tag{1.2.3} \] (4)\[Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) \tag{1.2.4} \](5)\[Tr(\mathbf{x}\mathbf{x}^T) = \sum_{i=1}^n\mathbf{x}_i\cdot \mathbf{x}_i = \mathbf{x}^T\mathbf{x} \tag{1.2.5} \]3. ⾏列式对称矩阵$A$的⾏列式定义为：\[\det (A) = \sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}\prod_{i=1}^n A_i^{\sigma(i)} \tag{1.3.1} \]其中$S_n$是集合$\{1, 2, \cdots, n\}$上置换的全体，即集合$\{1, 2, \cdots, n\}$到⾃⾝的⼀⼀映射（双射）的全体；例如：$\{2, 3, 1\}$是$\{1, 3, 2\}$的置换，且满⾜$\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 1$其中${\rm sgn} (\sigma)$表⽰的是置换$\sigma$中逆序对（即$\sigma(i) > \sigma(j)，1 \leq i \leq j \leq n$）的数量；例如：${\rm sgn}(\{2, 3, 1\}) = 2$对于有$n$个元素的集合⽽⾔，其置换的个数有$n!$个4. ⾏列式的计算(1)\[\det (A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i \tag{1.4.1} \]其中$S_n$是集合$\{1, 2, \cdots, n\}$上置换的全体，即集合$\{1, 2, \cdots, n\}$到⾃⾝的⼀⼀映射（双射）的全体；(2)\[\det(A) \overset{按⾏展开}{=} \sum_{j=1}^n(-1)^{i + j}A_i^{j}\det\left([A]_i^{j}\right) \overset{按列展开}{=} \sum_{i=1}^n(-1)^{i + j}A_i^{j}\det\left([A]_i^{j}\right) \tag{1.3.2} \](3)\[\det(kA) = k^n\det(A) \tag{1.3.3} \](4)\[\det(A^T) = \det(A) \tag{1.3.4} \](5)\[\det(AB) = \det(A)\det(B) \tag{1.3.5} \](6)\[\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \tag{1.3.6} \](7)\[\begin{align} \det(I + \mathbf{u} \mathbf{v}^T) &= 1 + \mathbf{u}^T\mathbf{v} \tag{1.3.7} \end{align} \](8)\[\mathrm{adj}(A) = \det(A)\cdot A^{-1} \tag{1.3.8} \]⼆、向量与矩阵的运算结论1. 矩阵相乘(1)\[\begin{align} A\cdot B &= \left((AB)_i^j\right)_{m\times n} \\ &= \left(\sum_k A_i^kB_k^j\right)_{m\times n} \end{align} \tag{2.1.1} \] (2)\[\begin{align} (A\cdot B)\cdot C &= \left(\sum_k(AB)_i^kC_k^j\right)_{m\times n}\\ &= \left(\sum_k\left(\sum_tA_i^tB_t^k\right)C_k^j \right)_{m\times n} \end{align} \tag{2.1.2} \](3)\[A\cdot [E_i^j] = \left(0, \cdots \underbrace{A^i}_{第j列},\cdots ,0 \right) \tag{2.1.3} = [A^i]^j \](4)\[[E_i^j]\cdot A = \left(\begin{array}{cc} &0\\ &\vdots\\ 第i⾏\left\{\right. &A_j\\ &\vdots \\ &0 \end{array} \right) = [A_j]_i \tag{2.1.4} \]三、向量、矩阵求导1. 求导布局分⼦布局：求导结果的第⼀维度以分⼦为主分母布局：求导结果的第⼀维度以分母为主例如：$m$维列向量$\mathbf{y}$对于$\mathbf{x}$求导，若分⼦布局（雅可⽐矩阵）：\[\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} \frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_1} &\cdots&\frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_n} \\ \vdots&\ddots &\vdots \\ \frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_1} &\cdots &\frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_n} \end{matrix} \right) \\ \]分母布局（梯度矩阵）：\[\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} \frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_1} &\cdots&\frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_1} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\ \frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_n} &\cdots &\frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_n} \end{matrix} \right) \\ \]注：以下所有求导结果均以分⼦布局为基础（若分⼦为标量，则为分母布局）2. 求偏微分法则\[\partial C = 0 (C为常（矩阵、向量、标量）) \tag{3.2.1} \]\[\partial A^T = (\partial A)^T \tag{3.2.2} \]\[\partial (A + B) = \partial A + \partial B \tag{3.2.3} \]\[\partial (AB) = \partial A\cdot B + A\cdot \partial B \tag{3.2.4} \]\[\partial (A\odot B) = \partial A\odot B + A\odot \partial B \tag{3.2.5} \]\[\partial( A\otimes B) = \partial A\otimes B +A\otimes \partial B \tag{3.2.6} \]\[\partial ({A^{-1}}) = -A^{-1}\cdot \partial A\cdot A^{-1} \tag{3.2.7} \]\[\partial\ Tr(A) = Tr(\partial A) \tag{3.2.8} \]\[\partial \mathrm{det}A = Tr(\mathrm{adj}A \cdot \partial A) = \mathrm{detA}\cdot Tr(A^{-1} \partial A) \tag{3.2.9} \]链式求导法则：\[\partial g\circ f(A) = \sum_k\sum_t \frac{\partial g\circ f(A)}{\partial f(A)_k^t}\cdot \partial f(A)_k^t = Tr\left(\left(\frac{\partial g\circ f(A)}{\partial f(A)}\right)^T\cdot \partial f(A)\right) \tag{3.2.10} \]3. 向量求导(1)\[\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x} = \left( \begin{array}{cc} \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}_1}{\mathrm{d}x} \\ \vdots\\\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}_m}{\mathrm{d}x} \end{array} \right) \tag{3.3.1} \](2)\[\frac{\partial \mathbf{x}^T}{\partial x} = \left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x}\right)^T \tag{3.3.2} \](3)\[\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x^T}} = \left( \begin{matrix} \frac{\partial\mathbf{y}_1} {\partial\mathbf{x}_1} &\cdots &\frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_n} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\ \frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_1} &\cdots &\frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_n} \end{matrix} \right) \tag{3.3.3}\](4)\[\frac{\partial \mathbf{y}^T}{\partial \mathbf{x}} =\frac{\partial \mathbf{y}^T}{\partial \mathbf{x}^T} = \left( \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial\mathbf{x}} \right)^T \tag{3.3.4} \](5)\[\frac{\partial \mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\partial\mathbf{x}} = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{y}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{y}_n \end{array} \right) =\mathbf{y} \tag{3.3.5} \](6)\[\frac{\partial \mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}^T} = \left( \frac{\partial \mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} \right)^T \tag{3.3.6} \](7)\[\frac{\partial A\mathbf{x}}{\partial\mathbf{x}} = \frac{\partial A\mathbf{x}}{\partial\mathbf{x}^T} = \left( \begin{array}{cc} A_{1}^1 &\cdots&A_{1}^m \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ A_{n}^1 &\cdots &A_{n}^m \\ \end{array} \right) = A \tag{3.3.7}\](8)\[\frac{\partial \mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}^T} = (A +A^T)\mathbf{x} \tag{3.3.8} \]4. 矩阵求导(1)\[\frac{\partial \mathbf{x}^TA\mathbf{y}}{\partial A} = \mathbf{x}\mathbf{y}^T \tag{3.4.1} \](2)\[\frac{\partial \mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}}{\partial A} = \mathbf{y}\mathbf{x}^T \tag{3.4.2} \](3)\[\frac{\partial \mathbf{x}^TA^TA\mathbf{y}}{\partial A} = A(\mathbf{y}\mathbf{x}^T + \mathbf{x}\mathbf{y}^T ) \tag{3.4.3} \]展开证明(4)\[\frac{\partial A^TBA}{\partial B_{i}^{j}} = A_i^TA_j \tag{3.4.4} \]展开证明(5)\[\frac{\partial A^TBA}{\partial A_{i}^j} = [E_j^i]\cdot (BA) + (A^TB)\cdot [E_i^j] \tag{3.4.5} \]展开证明可简记为：$\frac{\partial A^TBA}{\partial A_i^j} = \frac{\partial A^T}{\partial A_i^j}\cdot BA + A^TB\cdot \frac{\partial A}{\partial A_i^j}$ (6)\[\frac{\partial \mathbf{y}^TA^TBA\mathbf{z}}{\partial A} = B^TA\mathbf{y}\mathbf{z}^T + BA\mathbf{z}\mathbf{y}^T \tag{3.4.6} \]展开证明(7)\[\frac{\partial }{\partial A}(A\mathbf{x} + \mathbf{y})^TD(A\mathbf{x} + \mathbf{y}) = (D + D^T)(A\mathbf{x} + \mathbf{y})\mathbf{x}^T \tag{3.4.7} \]展开证明5. ⾏列式求导(1)\[\frac{\partial \det(Y)}{\partial x} = \det(Y)\cdot Tr(Y^{-1}\frac{\partial Y}{\partial x}) \]展开证明(2)\[\frac{\partial \det(A)}{\partial A} = \det(A)\cdot \left(A^{-1}\right)^T \tag{3.5.2} \]展开证明(3)\[\frac{\partial \det(X^TAX)}{\partial X} = \det(X^TAX)\cdot\left(AX(X^TAX)^{-1} + A^TX(X^TA^TX)^{-1} \right) \tag{3.5.3} \]展开证明(4)\[\frac{\partial \ln \det(X^TX)}{\partial X}= 2(X^{L+})^T \tag{3.5.4} \]展开证明6. 矩阵逆的求导(1)\[\frac{\partial Y^{-1}}{\partial x} = -Y^{-1}\frac{\partial Y}{\partial x}Y^{-1} \tag{3.6.1} \]展开证明(2)\[\frac{\partial \mathbf{a}^TX^{-1}\mathbf{b}}{\partial X} = X^{-T}\mathbf{a}\mathbf{b}^TX^{-T} \tag{3.6.2} \]展开证明(3)\[\frac{\partial \det(X^{-1})}{\partial X} = \det(X^{-1})(X^{-1})^T \tag{3.6.3} \]展开证明(4)\[\frac{\partial Tr(AX^{-1}B)}{\partial X} = \left(X^{-1}BAX^{-1}\right)^{T} \tag{3.6.4} \]展开证明(5)\[\begin{align} \frac{\partial Tr\left((X+A)^{-1}\right) }{\partial X} &\overset{由3.6.4}{=}((X+A)^{-1}(X+A)^{-1})^T \end{align} \tag{3.6.5} \] 7. 迹的求导(1)\[\frac{\partial Tr(X)}{\partial X} = I \tag{3.7.1} \]展开证明(2)\[\frac{\partial Tr(XA)}{\partial X} = A^T \tag{3.7.2} \]展开证明(3)\[\frac{\partial Tr(AXB)}{\partial X} = A^TB^T \tag{3.7.3} \]展开证明(4)\[\frac{\partial Tr(A \otimes X)}{\partial X} = Tr(A)I \tag{3.7.4} \]展开证明。

矩阵求导matrix+vector+derivatives+for+machine+learning

。用劈形算子表示时可记作
n
。
∈ R
注：如前所述，本教程仅仅是把变量都看成多个实数，无所谓行与列之分，因此在表述从向量 x
到f
∈ R
m
的雅
克比矩阵时，不区分 x 或者 f 到底是行向量还是列向量，统一用 ∇x f 表示，维度也都是 m-by-n。有些教程可能会区分行对列、列对列、行对行、列对行几种不同情形的求导，认为有些结果相差一个转置，有些组合不能求导等等。本教程则认为只有一种求导结果，就是雅克比矩阵。有一点需要注意的是，若 f 退化成标量 f ，则 x 到 f 的雅克比矩阵
∇x F : R → R
′ m×n
，则∂ F /∂ x也是一个m × n维矩阵，且(∂ F /∂ x)ij
= ∂ f ij /∂ x
ห้องสมุดไป่ตู้
，也可用劈形算子将导数记作
m
，或记作 F x 。
: R → R
T
由于向量是矩阵的特殊情形，根据上面的定义也可以得到自变量为向量时的定义：若函数f 一个m维向量，且(∂ f /∂ x)i
∇ f
2
: R
m
→ R ∂
2
，其梯度记为 ∇f
∂f = ∂x
，也可记作gradf ，是一个 m 维向量。Hessian矩阵记为
f = ∂ f i /∂ x
，则∂ f /∂ x也是
T
。若函数值 f
T
是行向量则结果为行向量，可记作 ∇x f
或 ∂f
/∂ x
；若函数值
是列向量则求导结果为列向量，可记作 ∇x f 或 ∂ f /∂ x。
注：本文开头即说明过，变量为向量时仅仅是将其看作多个实数，无所谓行向量与列向量之分。这里用行向量或列向量的说法仅仅为了把公式用矩阵相乘的方式表示出来方便，因为在数学公式总要指定向量是行向量或者列向量中的某一个，才能与公式里的其他部分做矩阵运算时维度相容。下同。实值函数对矩阵/向量的导数：要点：求导结果与自变量同型，且每个元素就是f 对自变量的相应分量求导若函数f

矩阵运算法则PPT课件

是 A 的逆矩阵,
利用待定系数法
则
AB 2 1 a b 1 0
1 0 c d 0 1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
第33页/共78页
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
内容提要
• 矩阵的下列运算的性质与应用 • 乘法 • 转置 • 初等变换 •逆
第1页/共78页
乘法
定义
设矩阵
A
aij
，B
mn
bij
，那么
sn
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初等矩阵的概念
定义由单位 E矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．

矩阵范数和矩阵求导

矩阵范数和矩阵求导今天发现两篇宝藏⽂章，关于矩阵范数和矩阵求导的，转载收藏⼀下。

感谢⼤佬们的分享！{抱拳}矩阵范数转载⾃：今天看了半天强化学习，看得很不开⼼。

因为⼀直处于懵圈状态。

于是乎不想看了，稍微总结⼀下矩阵范数的求解来放松⼀下⾝⼼吧~这⾥总结的矩阵范数主要是F 范数、1范数、2范数、核范数以及全变分TV 范数与1、2的搭配1、F 范数概念：矩阵各个元素平⽅和开根，概念上⾮常像向量的L2范数导数：求导的⽅法则是将其展开来，⼀般情况下我们不会直接求原始的范数||A||F ，因为很⿇烦，即使是在损失函数中也是⽤F 范数的平⽅项来简化运算，⽽常见的损失函数⼀般是，此时对X 求导，则需要将内部的Y-X 展开来，所以对中X 求导即为 2、1范数概念：║A ║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A 每⼀列元素绝对值之和的最⼤值)　(其中∑|ai1|第⼀列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+…+|an1|,其余类似)；矩阵的1范数和向量的1范数雷同，不能直接求解，只能分情况讨论求导：常规的L1范数的求导是在损失函数中作为正则项出现，即，这⾥前半部分求导是，后半部分则需要分情况讨论，最终结果为为3、2范数概念：指的是A 最⼤的奇异值或者半正定矩阵A*A 最⼤特征值开根求导：对于问题存在近似解4、TV 范数概念：全变分范数，其实就是对矩阵乘上⼀个⼀阶的差分矩阵，乘完还是个矩阵，所以要⼀般要结合前边的1范数或者2范数再对其进⾏约束求解5、核范数概念：即矩阵奇异值的和求解：对于存在近似解表⽰这⾥, . , 和分别是<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1851">M</script>的左奇异向量、右奇异向量和奇异值（markdown 模式下可以⽤latex 写东西真的太⽅便了= =⾄于各个范数的效果，实质上1范数和2范数在矩阵分解上效果差得不多，基本上2范数能分离出的⾼频成分1范数能更快的分离出来，在⼀维层⾯上也容易想想，1范数相⽐2范数能够更快的收敛（直指坐标中⼼），核范数效果对低频成分的提取也⽐TV_1/TV_2范数的效果要好很多。

上海教育版高中数学二上92《矩阵运算》word教案

上海教育版高中数学二上9.2《矩阵运算》word教案导读：就爱阅读网友为您分享以下“上海教育版高中数学二上9.2《矩阵运算》word教案”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!9.2矩阵运算一、教学内容分析这一节重点介绍矩阵的三种基本运算：矩阵的加减、实数与矩阵相乘、矩阵的乘法. 例2、例3是二阶矩阵的加、减法；例6是二阶矩阵与2 3阶矩阵的乘法；这三个例题是矩阵的基本运算. 必须掌握好矩阵基本运算，并掌握它们的运算律. 例7、例8是矩阵的实际应用题，说明矩阵可用于处理一些复杂的数据问题.二、教学目标设计1、理解和掌握矩阵的运算及其运算律;2、提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力.三、教学重点及难点1、提高矩阵的运算能力是重点;2、矩阵乘法是教学难点.四、教学流程设计:五、教学过程设计（一）情景引入小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分.1、观察：2、思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩3、讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？（二）学习新课1、矩阵的加法（1）引入记期中成绩答题数为A 期末答题数为B⎛1032⎫⎛844⎫⎪ A = B = 953⎪ 733⎪⎪⎝⎭⎝⎭确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C⎛1876⎫C =A +B = 1686⎪⎪⎝⎭（2）矩阵的和（差）当两个矩阵 A ，B 的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A ，B 的和（差）, 记作：A+B（A-B ）（3）运算律加法运算律：A+B=B+A加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（4）举例：P80 例2，例32、数乘矩阵（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵⎛93. 53⎫1 (A +B )= 843⎪⎪ 2⎝⎭（2）矩阵与实数的积设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵. 记作：αA（3）运算律：（γ、λ为实数）分配律：γ(A +B )=γA +γB ；(γ+λ) A =γA +λA结合律：(γλ)A =γ(λA )=λ(γA )（4）举例：P81 例43、矩阵的乘积（1）引入：P83的两次线性变换（2）矩阵的乘积：一般，设A 是m ⨯k 阶矩阵，B 是k ⨯n 阶矩阵，设C 为m ⨯n 矩阵如果矩阵C 中第i 行第j 列元素C ij 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积. 记作：C=AB（3）运算律分配律：A (B +C ) =AB +AC ，(B +C ) A =BA +CA结合律：γ(AB )=(γA )B =A (γB )，(AB )C =A (BC )注：交换律不成立，即AB ≠BA（4）举例⎛12⎫⎛2-3⎫⎛2-3⎫⎛12⎫例1（1）21⎪⎪31⎪⎪（2）31⎪⎪21⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛34⎫⎛34⎫⎪⎛112⎫⎪⎛112⎫⎪⎪54 （3）54⎪（4）⎪1-10⎪ 1-10⎪⎭⎝⎭ 27⎪ 27⎪⎝⎝⎭⎝⎭⎛342⎫⎪112⎛⎫（5）1-10⎪⎪ 546⎪⎝⎭ 221⎪⎝⎭⎛7-16⎫⎪⎛8-1⎫⎛-41⎫⎛1222⎫9110⎪⎪答案：1）2) 3) 4) ⎪ 7-5⎪ 57⎪ -20⎪⎪5)⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 9-54⎪⎝⎭⎛121210⎫-20-4⎪⎪⎝⎭注：（1）（2）结果不同. （3）（4）结果不同，说明矩阵乘法交换律不成立.例2：P85 例8（三）回归情景：讨论如何使用矩阵运算进一步研究小王、小李的考试成绩.（四）课堂练习：P83，P86（五）课堂小结（六）布置作业：见练习册七：教学设计说明1、通过情景题小王、小李的成绩情况引入矩阵运算，说明矩阵运算的重要性.2、课堂按“加减法→数乘→乘法”展开研究，层层深入，重在掌握2阶，3阶的矩阵的基本运算.3、对矩阵运算律只进行总结，不进行证明. 旨在今后学生能灵活地使用运算律进行运算. 这里特别强调乘法的交换律不成立. 这是学生思维上不易接受点，在过去的学习的实数运算、集合运算、向量运算的不同之处，必须引起重视.4、加强了实际问题的分析，说明矩阵在实际问题中的重要运用.百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆。

矩阵的求导

矩阵的求导
矩阵的求导是矩阵微积分中的一个重要概念，它用来描述矩阵函数对矩阵自变量的变化率。

在实际应用中，矩阵的求导可以用于解决最优化问题、控制论、机器学习等领域中的问题。

矩阵的求导需要先定义矩阵函数和矩阵变量的概念。

矩阵函数指的是将一个矩阵映射到另一个矩阵的函数，而矩阵变量则是作为函数自变量的矩阵。

在矩阵的求导过程中，我们通常使用矩阵微积分中的矩阵迹(tr)和矩阵转置运算来定义导数。

矩阵的求导可以分为两种情况：标量对矩阵求导和矩阵对矩阵求导。

对于标量对矩阵求导的情况，我们可以将矩阵函数展开成向量的形式，然后使用向量的求导规则进行求导。

对于矩阵对矩阵求导的情况，我们需要使用矩阵微积分中的链式法则和矩阵迹的性质来进行求导。

矩阵的求导在实际应用中具有广泛的应用，例如在机器学习中，我们需要对损失函数关于参数矩阵的导数进行求解，以便更新参数矩阵以实现模型的优化。

此外，在控制论和机器人学中，矩阵的求导也被广泛地应用于矩阵微分方程的求解和系统状态的估计等问题中。

总之，矩阵的求导是矩阵微积分中的一个重要概念，具有广泛的实际应用。

了解矩阵的求导规则能够帮助我们更好地理解和应用矩阵微积分。

- 1 -。

机器学习中的矩阵向量求导（五）矩阵对矩阵的求导

机器学习中的矩阵向量求导（五）矩阵对矩阵的求导在前4篇⽂章中，我们主要讨论了标量对向量矩阵的求导，以及向量对向量的求导。

本⽂我们就讨论下之前没有涉及到的矩阵对矩阵的求导，还有矩阵对向量，向量对矩阵求导这⼏种形式的求导⽅法。

本⽂所有求导布局以分母布局为准，为了适配矩阵对矩阵的求导，本⽂向量对向量的求导也以分母布局为准，这和前⾯的⽂章不同，需要注意。

本篇主要参考了张贤达的《矩阵分析与应⽤》和长躯⿁侠的1. 矩阵对矩阵求导的定义假设我们有⼀个p×q的矩阵F要对m×n的矩阵X求导，那么根据我们第⼀篇求导的定义，矩阵F中的pq个值要对矩阵X中的mn个值分别求导，那么求导的结果⼀共会有mnpq个。

那么求导的结果如何排列呢？⽅法有很多种。

最直观可以想到的求导定义有2种：第⼀种是矩阵F对矩阵X中的每个值X ij求导，这样对于矩阵X每⼀个位置(i,j)求导得到的结果是⼀个矩阵∂F∂X ij,可以理解为矩阵X的每个位置都被替换成⼀个p×q的矩阵，最后我们得到了⼀个mp×nq的矩阵。

第⼆种和第⼀种类似，可以看做矩阵F中的每个值F kl分别对矩阵X求导，这样矩阵F每⼀个位置(k,l)对矩阵X求导得到的结果是⼀个矩阵∂F kl∂X, 可以理解为矩阵F的每个位置都被替换成⼀个m×n的矩阵，最后我们得到了⼀个mp×nq的矩阵。

这两种定义虽然没有什么问题，但是很难⽤于实际的求导，⽐如类似我们在中很⽅便使⽤的微分法求导。

⽬前主流的矩阵对矩阵求导定义是对矩阵先做向量化，然后再使⽤向量对向量的求导。

⽽这⾥的向量化⼀般是使⽤列向量化。

也就是说，现在我们的矩阵对矩阵求导可以表⽰为：∂F ∂X=∂vec(F)∂vec(X) 对于矩阵F，列向量化后，vec(F)的维度是pq×1的向量，同样的，vec(X)的维度是mn×1的向量。

最终求导的结果，这⾥我们使⽤分母布局，得到的是⼀个mn×pq的矩阵。

矩阵求导法则教学教材

矩阵求导法则乘积的导数d(f*g) /dx= (df5 /dx)g+ (dg/dx) f'姫阵.向董束导法则U>设-*d>*] A A *f行何■ x 畏元萦.DW Stftr dr■严-/|Rv dx是网權列施］畫* X是元畫.闻丄=也.L- p■ -1Srr■(4> /遷对齐向#草与<•>中輯对九*犠Q4 dti jt 暑元11* AM诩F ?:.斤囁"X r證厂匸殆II去**|<*■y r-”］暑片sfintnil- x = dt p殖冷洞・・PJdi a(»)洌向■対行佝療卡岭2）行佝畀对行向量蜡设y一仏… 片］是«筑行両篡丿二区…x f］星q维行向童聊F1「i.亠卄i ft y=7i'■是m雉列向置.I =t£ p雑列向■则dy■■L”y■-吟L：丁—L M九-巾设厂工: r ft wxw拒嵐t r = ■-當」是卒雉行向倉*则.儿L 刀叫设X->11儿/是WXW矩薛* H =巧一儿1 -r n_a? &Yu 1 ---S JC砌r』绒列页莖・刖址叽4吕h*I dz Adx t(u ＞那】賈时期耕庆牛卄峠悌对聘牢导设f-皿i+ ■九"鼻triV J *足啊F 矩阵・X 4兔1…抵■■p *儿 "X-…叽十』叩豊”学距£咧设y r，二 t 片 tififiJlB-誉二号p .i 淫巨.则13J V 1£啊早厂电矩凉- nil*==—-3X将Y 的毎一列对丫或偏导，将备列构成一个矩阵.dX'/dX =1 d(AX)VdX 凯4+列向量丫炖行向量:f 求导'转化为fj 向量0对列向量X 的导数『黙后转耳注意MX 1向址对1XN 向挺求导箱呆为MXN 矩阵。

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矩阵的求导运算

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矩阵求导与实例

矩阵求导与实例•缘由•布局•求导的类别•从简单的例子说起•实例o SVM的对偶形式转换o Soft-SVM对偶形式转换o线性回归o logistic回归•参考资料缘由机器学习的很多算法表示中都采用了矩阵的形式，对算法的描述分析中就涉及到了对向量、对矩阵的求导。

比如SVM、linear regression的推导等。

布局矩阵求导有两种布局：•分子布局（numerator layout）•分母布局（denominator layout）下面用向量y对标量x求导简单说明这两种布局的区别。

我们假定所有的向量都是列向量。

y=y1y2ym在分子布局下：yx=y1xy2xymx在分母布局下：yx=[y1xy2xymx]在下面的推导中，都将采用分母布局，也就是向量（列）对标量求导的结果都是行向量。

（采用这种布局的主要原因是向量对向量的求导就是一个矩阵了）求导的类别求导大致分为5类：1.向量对标量2.标量对向量3.向量对向量4.矩阵对向量5.向量对矩阵矩阵求导的大致规则如下：对标量求导结果都要转置，而标量对向量或者矩阵求导的话位置不变。

简单来说，上变下不变。

向量对标量求导：yx=[y1xy2xymx]标量对向量求导：yx=yx1yx2yxm向量对向量求导：x=x1x2xny=y1y2ymyx=y1x1y1x2y1xny2x1y2x2y2xnymx1ymx2ymxn矩阵对标量求导：yx=y11xy12xy1nxy21xy22xy2nxym1xym2xymnx标量对矩阵求导：yX=yx11yx21yxp1yx12yx22yxp2yx1qyx2qyxpq从简单的例子说起例子1：y=aTx其中，y∈R,a∈Rn×1,x∈Rn×1。

属于标量对向量求导，所以有：yx=a例子2：y=Ax其中，y∈Rm×1,A∈Rm×n,x∈Rn×1。

属于向量对向量求导，所以有：yx=AT例子3：y=Au(x)其中，y∈Rm×1,A∈Rm×n,u∈Rn×1,x∈Rp×1。

[转]矩阵求导实例

[转]矩阵求导实例前提及说明第⼀次遇见矩阵求导，⼤多数⼈都是⼀头雾⽔，⽽搜了维基百科看也还是云⾥雾⾥，⼀堆的名词和⼀堆的表格到底都是什么呢？这⾥总结了我个⼈的学习经验，并且通过⼀个例⼦可以让你感受如何进⾏矩阵求导，下次再遇到需要进⾏矩阵求导的地⽅就不会措⼿不及。

在进⾏概念的解说之前，⾸先⼤家需要先知道下⾯的这个前提：前提：若x 为向量，则默认 x 为列向量， xT 为⾏向量布局的概念布局简单地理解就是分⼦y 、分母 x 是⾏向量还是列向量。

分⼦布局（Numerator-layout）：分⼦为y 或者分母为 xT (即，分⼦为列向量或者分母为⾏向量)分母布局（Denominator-layout）：分⼦为yT 或者分母为 x (即，分⼦为⾏向量或者分母为列向量)为了更加深刻地理解两种布局的特点和区别，下⾯是从维基百科中布局部分拿来的例⼦：分⼦布局标量/向量：（分母的向量为⾏向量）向量/标量：（分⼦的向量为列向量）向量/向量：（分⼦为列向量横向平铺，分母为⾏向量纵向平铺）标量/矩阵：（注意这个矩阵部分是转置的，⽽下⾯的分母布局是⾮转置的）矩阵/标量：分母布局标量/向量：（分母的向量为列向量）向量/标量：（分⼦的向量为⾏向量）向量/向量：（分⼦为⾏向量纵向平铺，分母为列向量横向平铺）标量/矩阵：（矩阵部分为原始矩阵）⼀个求导的例⼦问题说明：y、w为列向量，X为矩阵式⼦演化看到这个例⼦不要急着去查表求导，先看看它的形式，是的形式，这种形式⼀般求导较为复杂，因此为了简化运算，我们先把式⼦展开成下⾯的样⼦（注意：：）然后就可以写成四个部分求导的形式如下（累加后求导=求导后累加）：求导说明：分⼦部分为标量，分母部分为向量，找到维基百科中的表格，在表格中匹配形式到第1⾏的位置，因为分母为列向量，因此为分母布局，对应的求导结果就是0 。

说明：同样的，在维基百科中的表格，在表格中匹配形式到第11⾏的位置，对应的求导结果就是。

高中数学教案矩阵与行列式

高中数学教案矩阵与行列式矩阵与行列式教案教学目标：1. 理解和掌握矩阵与行列式的基本概念；2. 掌握矩阵的运算法则，包括加法、减法和乘法；3. 掌握行列式的计算方法和性质；4. 能够应用矩阵和行列式解决实际问题。

教学重点：1. 矩阵和行列式的基本概念；2. 矩阵的运算方法；3. 行列式的计算和性质。

教学难点：1. 行列式的计算方法和性质；2. 矩阵和行列式的应用。

教学准备：1. 教材：高中数学教科书；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案、PPT；3. 学具：练习题集。

教学过程：一、矩阵的基本概念和运算法则1. 引入矩阵的概念，解释矩阵的组成和表示方法；2. 介绍矩阵的加法和减法运算法则，通过示例演示具体计算方法；3. 讲解矩阵的乘法运算法则，介绍矩阵乘法的定义和计算规则；4. 练习矩阵的运算，包括加法、减法和乘法。

二、行列式的计算和性质1. 引入行列式的概念，解释行列式的计算规则和表示方法；2. 讲解二阶和三阶行列式的计算方法，通过示例演示具体计算过程；3. 引入行列式的性质，包括行列互换、行列式的乘法等；4. 练习行列式的计算和验证性质。

三、矩阵和行列式的应用1. 介绍矩阵和行列式在线性方程组中的应用，解释矩阵方程和行列式的关系；2. 解释矩阵和行列式在几何变换中的应用，包括旋转、缩放和平移等；3. 演示如何利用矩阵和行列式求解实际问题，如求解线性方程组和计算几何变换；4. 练习应用题，加深对矩阵和行列式应用的理解。

四、课堂小结1. 对本节课所学内容进行总结概括，重点回顾矩阵和行列式的基本概念和运算法则；2. 强调矩阵和行列式在数学和实际应用中的重要性；3. 激发学生对数学知识的兴趣，并鼓励他们多做练习和实践。

教学反思：本节课通过引入矩阵和行列式的概念，结合实例演示和练习题的练习，使学生初步掌握了矩阵和行列式的基本知识和运算方法。

在教学过程中，我注意语言表达的准确性和条理性，注重解释示例的详细计算步骤，以便学生能够理解和掌握。

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矩阵求导法则乘积的导数
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将Y对X的每一个分量求偷导.构成一个超向量.
注奩该向匡的每一牛元素都屋一伊矩阵a
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Y= X * X'咔B —》DY/DX = K + A*
1 •是吧以前学过的矩障壊导部分整理一下丄
L矩阵Y对标址北求导：
相当于毎个元素求寻数后转置一下，注意H创矩阵朮导后变成MX M 了
¥ = [y(lj}] > dT/da - Edy(jl)/dx]
2.标呈y对列向呈X求导:
住童与上面不師洁伙16号內是求僞岳水转置「对NX I向量求导后还是AX1 向量
/ = f (xl, x2, F,,山订一〉dy/dX= (Dy/Ihil. Dy/Dx2P. -, Py/Uiii)* 1
3・行向址f对列向量X求寻：
注® IXM：向最对NX1血牙求导后是忖XM嵌阵"
d(rA)/dx =<ax'MA十x1 (dvax) = IA JCO =A。