北师大版数学必修四课件：第2章§6 平面向量数量积的坐标表示
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B
a b a b cos
b
B
a
A
b
┐ B'
O
b cos
A
b cos
O
3.平面向量数量积的物理意义？
F
F cos
S
如果一个物体在力F的作用下产生位移S, 那么力F所做的功W 可用公式计算 :
r r r r W = Fg S =| F || S | cosθ
B
b
b
O
a b | a || b | cos
其中：a 0, b 0
A
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
2.平面向量数量积的几何意义:
a与b的数量积等于a的长度 a 与 b在a方向上投影 b cos 的乘积， 或b的长度 b 与a在b方向上投影 a cos 的乘积.
4.性质:
a ⊥b a b 0 (1)垂直的充要条件：__________________
| a | a a (2)求模公式：_______________
a b cos a, b | a || b | (3)夹角公式：_____________________
5.数量积的运算律：
【技巧方法】 区分好横纵坐标，准确代入数值，精心计算.
5 6 7 4
思考2
质？
如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性
r r (1)垂直的充要条件：设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则:
r r 坐标表示为： a b x1 x2 y1 y2 0
(3)夹角公式：
设a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), a与b的夹角为，则
r r a b cos r r | a || b |
坐标表示为：
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
典型例题分析
例1 已知 a 3, 2 ，b 1, 1 ，求向量a 与b 的夹角 的余弦值.
a b b a ⑴交换律：___________
( a) b (a b) a (b) ⑵数乘结合律：________________________
a (b c) a b a c ⑶分配律：___________________
注意： 数量积不满足结合律
§6 平面向量数量积的坐标表示
1.知识目标： （1）掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重要的 知识点； （2）会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关知识 解决实际问题。如判断垂直、求解长度、角度与方程等.
2.能力目标：体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法.
3.情感目标：在师生共同的学习过程中，培养学生合作
2
1 26 cos θ , 26 13 2 26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26
【技巧方法】
1.细心代入，精确计算.
2.分步计算，难度化整为零.
例2
求以点C(ɑ,b)为圆心，r为半径的圆的方程. y
M C
解：设M（x,y)是圆C上任意一点， 则| CM |=r, 即 CM · CM = r2 因为 CM =（x-α,y-b), 所以(x-α)2+(y-b)2=r2,
r r r r r r 解：由题意得 a x1i y1 j , b x2i y2 j r r r r r r a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
r2 r r r r r2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
交流，乐于探索创新的科学精神.
4.本课重点：平面向量数量积的坐标表示.
5.本课难点：平面向量数量积坐标表示的实际应用.
如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运 算，向量的力量无限。 下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺利起航吧！
1.概念:
(1)向量的夹角: （0≤≤） (2)平面向量数量积的定义:
x1 x2 y1 y2
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积 的和.即
a b x1x2 y1 y2
练习：求值
设a (5, 7), b (6, 4), 求a b.
解：x1 5, x2 6; y1 7, y2 4. a b x1 x2 y1 y2 30 28 2.
r r r (2)求模公式：| a | a a
r r 坐标表示为：设a ( x, y )，则|a|= x 2 y 2
特别地：
若A( x1 , y1 )，B(x2 , y2 ),则:AB x2 x1 , y2 y1
A、B两点间的距离d | AB|
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
r r 设x轴上单位向量为 i ，y轴上单位向量为 j
请计算下列式子： ① ③
r Baidu Nhomakorabea i i = r r ij=
1 0
②
r r j j r r j i
=
1 0
④
=
r r r r 已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 怎样用 a , b 的坐标表示 r r a b 呢？请同学们思考！
解：法1 设向量a与b 的夹角为，则 cos 3 1 2 1 3 2 1 1
2 2 2 2
26 , 26
26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26
解法2 设向量a与b 的夹角为θ，则 a b 3 1 2 1 1, a 32 22 13, b 12 1 2,
a b c a b c
思考1：向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言” 表示，向量的数量积能否由“坐标语言”来表示？ 若两个向量
a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j ) ?
a b a b cos
b
B
a
A
b
┐ B'
O
b cos
A
b cos
O
3.平面向量数量积的物理意义？
F
F cos
S
如果一个物体在力F的作用下产生位移S, 那么力F所做的功W 可用公式计算 :
r r r r W = Fg S =| F || S | cosθ
B
b
b
O
a b | a || b | cos
其中：a 0, b 0
A
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
2.平面向量数量积的几何意义:
a与b的数量积等于a的长度 a 与 b在a方向上投影 b cos 的乘积， 或b的长度 b 与a在b方向上投影 a cos 的乘积.
4.性质:
a ⊥b a b 0 (1)垂直的充要条件：__________________
| a | a a (2)求模公式：_______________
a b cos a, b | a || b | (3)夹角公式：_____________________
5.数量积的运算律：
【技巧方法】 区分好横纵坐标，准确代入数值，精心计算.
5 6 7 4
思考2
质？
如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性
r r (1)垂直的充要条件：设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则:
r r 坐标表示为： a b x1 x2 y1 y2 0
(3)夹角公式：
设a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), a与b的夹角为，则
r r a b cos r r | a || b |
坐标表示为：
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
典型例题分析
例1 已知 a 3, 2 ，b 1, 1 ，求向量a 与b 的夹角 的余弦值.
a b b a ⑴交换律：___________
( a) b (a b) a (b) ⑵数乘结合律：________________________
a (b c) a b a c ⑶分配律：___________________
注意： 数量积不满足结合律
§6 平面向量数量积的坐标表示
1.知识目标： （1）掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重要的 知识点； （2）会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关知识 解决实际问题。如判断垂直、求解长度、角度与方程等.
2.能力目标：体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法.
3.情感目标：在师生共同的学习过程中，培养学生合作
2
1 26 cos θ , 26 13 2 26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26
【技巧方法】
1.细心代入，精确计算.
2.分步计算，难度化整为零.
例2
求以点C(ɑ,b)为圆心，r为半径的圆的方程. y
M C
解：设M（x,y)是圆C上任意一点， 则| CM |=r, 即 CM · CM = r2 因为 CM =（x-α,y-b), 所以(x-α)2+(y-b)2=r2,
r r r r r r 解：由题意得 a x1i y1 j , b x2i y2 j r r r r r r a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
r2 r r r r r2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
交流，乐于探索创新的科学精神.
4.本课重点：平面向量数量积的坐标表示.
5.本课难点：平面向量数量积坐标表示的实际应用.
如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运 算，向量的力量无限。 下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺利起航吧！
1.概念:
(1)向量的夹角: （0≤≤） (2)平面向量数量积的定义:
x1 x2 y1 y2
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积 的和.即
a b x1x2 y1 y2
练习：求值
设a (5, 7), b (6, 4), 求a b.
解：x1 5, x2 6; y1 7, y2 4. a b x1 x2 y1 y2 30 28 2.
r r r (2)求模公式：| a | a a
r r 坐标表示为：设a ( x, y )，则|a|= x 2 y 2
特别地：
若A( x1 , y1 )，B(x2 , y2 ),则:AB x2 x1 , y2 y1
A、B两点间的距离d | AB|
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
r r 设x轴上单位向量为 i ，y轴上单位向量为 j
请计算下列式子： ① ③
r Baidu Nhomakorabea i i = r r ij=
1 0
②
r r j j r r j i
=
1 0
④
=
r r r r 已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 怎样用 a , b 的坐标表示 r r a b 呢？请同学们思考！
解：法1 设向量a与b 的夹角为，则 cos 3 1 2 1 3 2 1 1
2 2 2 2
26 , 26
26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26
解法2 设向量a与b 的夹角为θ，则 a b 3 1 2 1 1, a 32 22 13, b 12 1 2,
a b c a b c
思考1：向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言” 表示，向量的数量积能否由“坐标语言”来表示？ 若两个向量
a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j ) ?