第四章马尔可夫链
4.马尔可夫链1
qr p
i 1
p,
pij
r, q,
0,
i i 1
j i 1 j i j i 1 其它
其一步转移概率矩阵为
i 2 i 1 i i 1... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... q r p 0 0 ... 0 ... i 1 ... 0 q r p 0 ... 0 ... i ... 0 0 q r p ... 0 ... i 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...
（时间离散、状态连续的马尔可夫过程，通常用泛函中 二元函数的范数进行研究）
例1 独立过程 X t,t T 是马尔可夫过程
证 设Xt,t T是独立过程，对于t1 t2 ... tn T,
X t1, X t2 ,..., X tn 相互独立，因此
P X tn xn X t1 x1, X t2 x2,..., X tn1 xn1 =P X tn xn =P X tn xn X tn1 xn1
率r原地不动。若以 X n 表示时刻 n 时质点的位置，
则X n，n 0,1, 2，...是一个随机过程。而且当
X n i 时，X n+1，X n+2，...，X n+k,...等 n时刻后质点所处的状态，只与X n i 有关，而与
质点在n以前是如何到达i的完全无关。所以它是一
个齐次马尔可夫链，其状态空间为I= ,-2,-1,0,1,2,
则称 Xn,nT 为马尔可夫链.
定义4.1 设有随机过程Xn ,n T，若
对于任意的整数n T和任意的 i0,i1,...,in1 I 条件概率满足
第四章 马尔可夫链
股市预测
预测股票价格变化 基于历史数据建立模型 考虑股票之间的相关性 用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义：状态转移 矩阵算法是马尔 可夫链中用于描 述状态转移概率 的算法
计算方法：根据 历史数据和当前 状态计算未来的 状态转移概率
应用场景：广泛 应用于自然语言 处理、语音识别、 机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强： 马尔可夫链可 以通过增加状 态和转移概率 来扩展模型， 以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩 阵必须已知
无法处理连续时 间或非齐次过程
无法处理多维或 多状态过程
无法处理非马尔 可夫过程
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汇报人：儿
特点：隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的，需要通过训练数据来估计。
应用：隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法：隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类：利 用马尔可夫链 对文本进行分 类，如垃圾邮 件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义：马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性：状态转移具有无记忆性，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关
转移矩阵：描述状态转移概率的矩阵
稳态分布：在长期状态下，马尔可夫链将趋于一个稳态分布，该分布描述
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马尔可夫链
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马尔可夫链课件
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
第四章 马尔可夫链
一步转移概率
定义4.2 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔 可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转移概率， 简称转移概率，其中i,jI。 定义4.3 若对任意的i,jI，马尔可夫链{Xn,nT } 的转移概率pij(n)与n无关，则称马尔可夫链是 齐次的，并记pij(n)为pij。
如果d>1，就称i为周期的， 如果d=1，就称i为非周期的。
引理4.1 如果i的周期为d，则存在正整数M，对一切 ( nd ) n≥M ，有 p ii 0。
例4.6
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}，转移概率如 下图所示。
1 1
8
9
1
1 3
2
1
7
1
1 6
1
3
1
5
2 3
4
1
从状态1出发再返回状态1的可能步数为T={4,6,8,10, }，T的最大公约数为2，从而状态1的周期为2。
P{ X n j | X n1 i}P{ X n1 i} pi (n 1) pij
iI iI iI
(3)(4)为(1)(2)的矩阵表示。
定理4.3 设{Xn，nT }为马尔可夫链，则对任意 整数i1, i2,,inI和n1 ，有性质
P{ X1 i1 ,, X n in } pi pii1 pi1i2 pin1in
证明： (1) p j (n) P{ X n j} P{ X 0 i , X n j}
P{ X n j | X 0 i}P{ X 0 i}
iI ( p i p ijn ) iI iI
(2) p j (n) P{ X n j} P{ X n1 i , X n j}
马尔可夫链
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
a第11讲第四章马尔可夫链4-3
江西理工大学理学院
由状态转移图易见各状态的周期 d = 3 ， 固定状态 i = 1，
令
( G0 = { j : 对某 n ≥ 0有p1,3jn ) > 0} = {1,4,6} ( 3 n + 1) G1 = { j : 对某 n ≥ 0有p1, j > 0} = ( G2 = { j : 对某 n ≥ 0有p1,3jn + 2 ) > 0} =
由比值判别法
n =1
∑
∞( Biblioteka ) p00=m =1
∑ am
∞
收敛，
故状态0是非常返的。
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定理 4.10 任一马氏链的状态空间 I ,可惟一地分解成有限个或 可列个互不相交的子集 D, C1 , C 2 ,L之和，使得
(1) 每一C n 是常返态组成的不可约闭集 (2) C n 中状态同类，或全是正常返，或全是零常返。 它们有相同的周期且 f ik = 1, j , k ∈ C n (3) D 由全体非常返态组成。自 C n 中的状态不能到达
{3,5} {2}
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∴ C = G0 U G1 U G2 = {1,4,6} U { 3,5} U { 2}
定理 4 .12 设{X n , n ≥ 0}是周期为 d 的不可约马氏链，则在 定理 4.11 的结论下有 （1） 如只在时刻 0, d ,2d ,L上考虑{X n }，即得一新马氏链， 其转移阵 P
证
无限制随机游动的所有状态都是互通的。 故只需判断状态0是零常返还是非常返态。
m ⎧C 2 m p m q m (n Q p00 ) = ⎨ 0 ⎩ 其中 q = 1 − p ，
∞ ∞
n = 2m n = 2m − 1, m = 1,2,L,
马尔可夫链
马尔可夫过程一类随机过程。
它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。
该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。
例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
关于该过程的研究，1931年 A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。
目录马尔可夫过程离散时间马尔可夫链连续时间马尔可夫链生灭过程一般马尔可夫过程强马尔可夫过程扩散过程编辑本段马尔可夫过程Markov process1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。
流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。
第8讲 第4章马尔科夫链(3)
由（2）知， C i 的每一个状态都与i互通闭集。
故C i 是不可约集， 其中的每个状态都常返。
本例是马尔科夫链的常返态的一个重要性质！ 据此可对是马尔科夫链进行状态分解：
定理4.10：任一马氏链的状态空间I，都可以唯一分 解为互不相交的子集 D, C1 , C2 , 之和：
I D C1 C2
(1) 每一Cn 是不可约的常返闭集
其中
(2) D 是所有非常返态的集合。
它们有相同的周期， 注1： Cn中所有状态是互通的， 且同为正常返或零常返
注2： D 是所有非常返态的集合，其中各状态未必互 通，周期也未必相同。 1 j Cn 注3： i Cn时, fij 0 j Cn
i I
若链不为正常返（则为非常返，或零常返），则：
i, j
与
lim pij n 0
n
j lim i pij n i lim pij n =0 n n
iI
iI
i
1 矛盾，所以该链必为正常返链。
iI
华北电力大学数理学院 何凤霞
所以必有极限分布，且极限分布就是平稳分布。
极限分布 (1 , 2 ,, 5 )满足方程组:
华北电力大学数理学院 何凤霞
P
即： (1 , 2 ,
例6： 证明（马尔科夫链的常返态的几个性质） 1 对于互通的常返态i和j, 必有fij 1 ，f ji 1
2 i是常返的，若i j, 则必有 j i
从而j也是是常返的。 即j i，
3 i是常返的, 则C i j, i j ,则C i 是不可约的常返闭集。
n
证明
第四章 马尔可夫链
第四章 马尔可夫链随机过程在不同时刻下的状态之间一般具有某种关系，马尔可夫（Markov ）过程就是描述一类状态之间具有某种特殊统计联系的随机过程.Markov 过程在近代物理学、生物学、管理科学、信息处理与数字计算方法等领域都有重要的应用.按其状态和时间参数是连续的或离散的，它可分为三类：（1）时间、状态都是离散的Markov 过程，称为Markov 链；（2）时间连续、状态离散的Markov 过程，称为连续时间的Markov 链；（3）时间、状态都连续的Markov 过程.本章主要讨论Markov 链，有关连续时间的Markov 链的相关理论将在下章讨论.4.1 马尔可夫链的概念和例子独立随机试验模型最直接的推广就是Markov 链模型，早在1906年俄国数学家Markov 对它进行研究而得名，以后Kolmogorov 、Feller 、Doob 等数学家发展了这一理论.4.1 .1 Markov 链的定义假设Markov 过程{,}n X n T ∈的参数集T 是离散时间集合，即{0,1,2,}T =，相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态集012{,,,}I i i i =.定义 4.1 设有一随机过程{,}n X n T ∈，若对于任意整数n T ∈和任意011,,,n i i i I +∈，条件概率满足11001111{|,,,}{|}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======则称{,}n X n T ∈为离散时间的Markov 链，简称Markov 链（Markov chains ）或马氏链.从定义可以看出：Markov 链具有Markov 性（即无后效性），如果把时刻n 看作现在，那么，1n +是将来的时刻，而0,1,2,,1n -是过去的时刻.Markov 性表示在确切知道系统现在状态的条件下，系统将来的状况与过去的状况无关，而且Markov 链的统计特征完全由条件概率11{|}n n n n P X i X i ++==所决定. 因此，如何确定这个条件概率，是研究Markov 链理论和应用中十分重要的问题之一. 4.1.2 转移概率定义 4.2 称条件概率1(){|}ij n n p n P X j X i +=== （4.1）为Markov 链{,}n X n T ∈在时刻n 的一步转移概率，其中,i j I ∈，简称转移概率（transition probability ）.一般地，转移概率()ij p n 不仅仅与状态,i j 有关，而且与时刻n 有关，如果()ij p n 不依赖时刻n 时，则称Markov 链具有平稳转移概率.定义 4.3 若对任意,i j I ∈，Markov 链{,}n X n T ∈的转移概率()ij p n 与n 无关，则称Markov 链是齐次的（或称时齐的）（time homogeneous -），并记()ij p n 为ij p . 下面只讨论齐次Markov 链，并且通常将“齐次”两字省去.定义 4.4 设P 表示一步转移概率ij p 所组成的矩阵，且状态空间{1,2,}I =，则1112121222...........................n n p p p P p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为系统状态的一步转移概率矩阵（transition probability matrix ），它具有性质： （1）0,,ij p i j I ≥∈； （2）1,ijj Ipi I ∈=∈∑.（2）式说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1，通常称满足性质（1）（2）的矩阵为随机矩阵.定义 4.5 称条件概率(){|},n ij m n m p P X j X i +=== ,,0,1i j I m n ∈≥≥ （4.2）为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移概率，并称()()()n n ij P p =为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移矩阵.其中()()0,1n n ij ij j Ip p ∈≥=∑，即()n P 也是一个随机矩阵.特别地，当1n =时，(1)ij ij p p =，此时，一步转移矩阵(1)P P =.我们还规定(0)0,1,iji jpi j ≠⎧=⎨=⎩Markov 链n 步转移概率满足重要的Chapman Kolmogorov -方程（简称C K -方程）。
第四章-马尔可夫链-随机过程
计算 n 步转移概率的方法。
切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切n,m 0，一切 i，j，有(4.2.1)
P nm ij
Pikn Pkmj
k0
证明：
P nm ij
P{ X nm
j|
X0
i}
P{Xn k | X0 i}P{Xnm j | Xn k, X0 i}
顾客数构成一个泊松过程。所以，
Pi, j
e t (t )i1 j dG(t ), j 1,
0
(i 1 j)!
i 1
这是因为若一个来客发现有 i 个人在系统中，那么下一个来客将
发现人数为 i+1 减去已服务完毕的人数，易知有 i+1-j 个人被服
务完毕的概率(对相继来到之间的时间取条件)等于上式的右端。
0
0
0 P43
例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客 依照一个任意的更新过
程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步
假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来
到时见到系统中的顾客数，以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客
不可被 d 整除的 n 有 Piin 0，且 d 是具有此性质的最大整数(d 是
{n : Piin 0}的最大公约数)。(若对一切 n>0， Piin 0，则定义 i 的周 期是无穷大。)具有周期 1 的状态称为非周期的(aperiodic)。以 d(i)记 i 的周期。
例设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}， 转移概率如下图
P nm ij
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
第四章 马尔可夫链(讲稿2)
1.周期性 定义 对于状态i，若正整数集合 {n : n 1, pii (n) 0} 非空， 则称该集合的最大公约数L为状态i的周期，记作 d (i) 。 若 L 1，则称状态i是周期的，若 L 1 ，则称状态i是非周 期的。如果上述集合为空集，则约定 d (i) 2.常返性 定义 设 {X (n), 为 {X (n),
f ij () P{X m j, 对一切m | X 0 i}
计算公式
f ij (n) P{X n j ; X m j, m 1,2, , n 1 | X 0 i}
i1 j in 1 j
p
ii1
pi1i2 pin1 j
有限状态分解定理
定理（分解定理）状态空间E必可分解为
E N C1 C2 Ck C 其中N是全体非常返态组成的集合， 1 C2 Ck 是互不相交的常返
态闭集组成。而且
（1）对每一确定的k, Ck 内任意两状态相通； （2） Ck 与 Cg ( k g )中的状态之间不相通；
下面求n步转移概率 pij (n) 如在n次转移的结果是从i到j,n次转移中恰好向前游走m次，向后游 走k次，则有
mk n
m 1 k (1) j i
联立上两式求解可得
m n j i 2
k
n ji 2
根据概率法则，不难求得n步转移概率为
pij (n) n n2j i n2j i n j i p q 2 0 n j i为偶数 n j i为奇数
这样 f ij (1)
f ij (2), f ij (n) ，至少有一个为正（不为0），所以
第4章 马尔可夫链
（2）状态的常返性
首中概率——状态 i 经 n 步首次到达状态 j 的概率：
f ij( n ) P{ X m n j , X m v j , 1 v n 1 X m i}, n 1
f ij( 0 ) 0
系统从状态 i 出发，经有限步迟早会（首次）到达 状态 j 的概率：
i I
p i p ii1 p i n 1i n
马尔可夫链的有限维分布完全由它的初始概率和 一步转移概率所决定。
马尔可夫链的几个简单例子
[例1] 二进制对称信道模型——是常用 于表征通信系统的错误产生机制的离 散无记忆信道模型。假设某级信道输 入0, 1数字信号后，其输出正确的概 1 率为p，产生错误的概率为q，则该级 信道输入状态和输出状态构成一个两 状态的齐次马尔可夫链。 一步转移概率矩阵： p q P q p 0
目录
4.2 马尔可夫链的状态分类
设 { Xn , n >0 } 是齐次马尔可夫链，其状态空间 I = { 0, 1, 2, … }，转移概率是 pij ， i , j I ，初始分布 为{ Pj , j I } 。
8 1 9 2 1 1 6 1 5 2/3 1/3 1 4 1
1 7
( 2 ) P{ X n 2 c X n b}
17 30 1 3 1 2 1 ( 2) 2 8 (1) P P 15 4 5 3 5 50 17 30 1 (2) ( 2 ) P{ X n 2 c X n b} Pbc 6 9 40 3 10 3 20 5 24 1 6 17 90
连续马尔可夫过程（或扩散过程）
4.1 马尔可夫链的概念及转移概率
随机过程第四章习题解答
第四章习题解答4.1Y1,Y2,···是来自总体Y的随机变量，与X0独立，h(x,y)是实函数.对于n 1，取X n=h(X n−1,Y n).设{X n}的状态空间为I，验证{X n}是马氏链，给出转移概率p ij.解：由题知，Y k与X1,···,X k−1独立,k 1,∀n,i,j,i1,...,i n−1∈I有，P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1, (X0)i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i)=P(h(i,Y)=j)=P(h(i,Y1)=j|X0=i)=P(X1=j|X0=i).∴X n是马氏链，P ij=P(h(i,Y)=j).4.2设{X i,i 0}是取非负整数值的独立同分布的随机变量序列，V ar(X0)>0.验证以下随机序列是马氏链：(a){X n,n 0};(b){S n,n 0}，其中S n=∑ni=0X i;(c){ξn,n 0}，其中ξn=∑ni=0(1+X i).解：∀n,i,j,i0,···,i n−1∈N+,(a).P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j)= P(X n+1=j|X n=i)=P(X1=j)=P(X1=j|X0=i).1第四章离散时间马尔可夫链第四章离散时间马尔可夫链(b).P(S n+1=j|S n=i,S n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i|X n=i−i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i)=P(X n+1=j−i,S n=i|S n=i)=P(S n+1=j|S n=i)=P(X1=j−i)=P(X1=j−i|X0=i)=P(S1=j|S0=i).(c).P(ξn+1=j|ξn=i,ξn−1=i n−1,···,ξ0=i0)=P(X n+1=ji −1)=P(X n+1=ji−1|ξn=i)=P(ξn+1=j|ξn=i)=P(X1=ji −1)=P(X1=ji−1|X0=i)=P(ξ1=j|ξ0=i).4.3马氏链的状态空间是I=(1,2,3,4,5)，转移概率矩阵P=0.20.80000.50.5000000.50.500.20.3000.500001界定马氏链的状态。
a第12讲第四章马尔可夫链4
j =1
9
N
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说明
1. 求证遍历性即找一正整 数 m , 使 m 步转移概率
矩阵 P 无零元 .
m
2. 极限分布转化为了求解方程组. 3. 在定理的条件下马氏链的极限分布是平稳分布.
15
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⎡× ⎢× ⎢ 4 P (4) = P = ⎢× ⎢0 ⎢ ⎢ ⎣0 ⎡× ⎢× ⎢ = ⎢× ⎢× ⎢ ⎢ ⎣×
× × 0 0⎤ × × × 0⎥ ⎥ × × × ×⎥ × × × ×⎥ ⎥ 0 × × ×⎥ ⎦
⎡× ⎢× ⎢ ⎢× ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣
× × 0 0⎤ × × × 0⎥ ⎥ × × × ×⎥ × × × ×⎥ ⎥ 0 × × ×⎥ ⎦
⎧0, 如j非常返或零常返 , ⎪ = ⎨ f ij ⎪ µ , 如正常返 ⎩ j
推论 如{Xn}不可约、常返，则对任意 i, j有
1 n (k ) 1 lim ∑ pij = n→∞ n µj k =1
6
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二、平稳分布
定义 4.11 称概率分布{π i , i ∈ I }为马尔可夫链{ X n , n ≥ 0} 的平稳分布，若它满足
π =π ⋅P
1 0 0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ P = ⎢ 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 / 3 1 / 3 1 / 3⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 1 0 ⎥ ⎣ ⎦
由前四个方程解得 : 3π 1 = π 2 = π 3 = π 4 = 3π 5 .
马尔可夫链的基本原理和使用方法(四)
马尔可夫链的基本原理和使用方法马尔可夫链是一种随机过程，它的基本原理是当前状态的转移概率只依赖于前一个状态，和之前的状态无关。
这种特性使得马尔可夫链在许多领域都有着广泛的应用，比如金融、生态学、自然语言处理等。
在本文中，我们将探讨马尔可夫链的基本原理和使用方法。
1. 马尔可夫链的基本原理马尔可夫链的基本原理可以用数学公式来表达。
设有一个有限的状态空间S={1,2,...,n}，则一个离散时间的马尔可夫链是一个序列X={X0, X1, X2, ...}，其中Xi表示在第i个时刻系统所处的状态，且满足以下马尔可夫性质：P(Xi+1 = j | Xi = i0, Xi-1 = i1, ..., X0 = i0) = P(Xi+1 = j | Xi = i0)其中P(Xi+1 = j | Xi = i0)表示在当前状态为i0的情况下，下一个状态为j的概率。
这个条件概率只依赖于当前状态，和之前的状态无关，这就是马尔可夫性质。
2. 马尔可夫链的使用方法马尔可夫链在实际应用中有着广泛的用途，其中最常见的就是用来建模随机过程。
在金融领域，马尔可夫链被用来建立股票价格的模型，帮助投资者预测未来的股价走势。
在生态学中，马尔可夫链被用来研究物种的迁移和数量变化，从而帮助保护生物多样性。
在自然语言处理领域，马尔可夫链被用来建立文本生成模型，从而帮助计算机理解和生成自然语言。
除了建模随机过程外，马尔可夫链还被广泛用于解决一些特定的问题，比如：a. 随机游走随机游走是一种通过随机转移来描述某个随机过程的方法。
在数学上，随机游走可以用马尔可夫链来建模。
通过分析随机游走的性质，可以帮助我们理解和预测一些具有不确定性的现象，比如股票价格的波动、气候变化等。
b. 马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程是一种用来描述决策问题的数学模型。
在马尔可夫决策过程中，决策者需要根据当前状态和可选的行动来选择最优的策略。
通过分析马尔可夫决策过程，可以帮助我们理解和优化一些具有随机性和不确定性的决策问题，比如供应链管理、资源分配等。
第4章 马尔可夫链
d0
两式相比
r j rc
uj 1 rc
故
ua
ra rc 1 rc
(
q )a p
(
q )c p
1
(
q p
)c
当 r 1
u0 uc 1 cd0
而
u j (c j)d0
c j
因此 故
u j c c a b
ua
c
c
由以上计算结果可知
当 r 1 即 p q 时，甲先输光的概率为
当r
pi
p(n) ij
iI
(2) pj (n) pi (n 1) pij iI
(3)PT (n) PT (0)P(n)
(4)PT (n) PT (n 1)P
由（1）知，绝对概率由初始分布和n步转移概率完全确定
（1）
pn ( j)
pi
p(n) ij
iI
证 P{X n j} P{X n j, X 0 i} P{X n j, X 0 i} i
需讨论 r
当 r 1
c 1
1 u0 uc
(u j u j1)
c 1
j0
j0 c1
d j
c1 j 0
r jd0
1 rc 1 r
d0
而 u j u j uc (ui ui1)
i j
c 1
c 1
di
rid0
i j
i j
r j (1 r r c j1)d0
r j rc 1 r
称概率向量
PT (n) ( p1(n), p2(n),L ),(n 0)
为 n 时刻的绝对概率向量，而称
PT (0) ( p1 , p2 ,L )
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i1
Pi , j 0
j . i 1 ,i-1 , i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
.
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移p12 p1n Pp21 p22 p2n
称为系统状态的一步转移概率矩阵，它具有 如下性质：
1. pij 0, i, jI
2. pij 1, i, jI jI
满足上述两个性质的矩阵成为随机矩阵
.
定义4.4
称条件概率 p i(n ) j P { X m n j|X m i}i,j I,m 0 ,n 1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率，并称
0 1 1
.
马尔可夫链的状态分类
周期、非周期 常返、非常返
其中，常返分为正常返、零常返 非周期的正常返称为遍历状态
到达和互通
.
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 状态转移图如下图
8
9
2
7
1
3
6
5
4
观察状态1
.
定义4.6 如集合{n: n≥1,pii(n)>0}非空，则称该集合的 最大公约数d=d(i)=G.C.D{n:pii(n)>0}为状态i 的周期。如d>1就称i为周期的，如d=1就称i 为非周期的。
.
.
.
一个有限状态的马氏链,当满足
p(s) ij
0
条件时,
经过一段试验时间后,过程将到平稳(或平稳)状态,
此后过程那一个状态的概率不再随时间而变化.
.
.
.
(1) 解: 显然遍历
(0,1)(0,1)12//25
1/2 3/5
0
1
1 2
0
1 2
0
2 5
1
3 5
1
0 1
4/9 5/9
P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}P{Xm1 1,Xm 0}
P{Xm1 1,Xm 0}P{Xm 0}
P{Xm2 0|Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0|Xm 0}
P{Xm2 0 | Xm1 1,Xm 0}. P{Xm1 1|Xm 0}
P{Xm2 0|Xm1 0}P{Xm1 0|Xm0} P{Xm2 0|Xm1 1}P{Xm1 1|Xm0}
.
解：设状态0代表有雨，状态1代表无雨， 则一步转移矩阵为：
P=PP1000
PP101100..74
0.3 0.6
P (4 )= P 4 = P P 1 0 0 0 P P 1 0 1 1 4 0 0 ..5 5 7 6 4 6 9 80 0 ..4 4 3 2 3 5 2 1 P P 1 0 ( (0 0 4 4 ) ) P P 1 0 ( (1 1 4 4 ) ) 所以今天有雨，第5天有雨的概率为：
由定义知,当n不能被d整除时,pii(n)=0
引理4.1 如i的周期为d，则存在正整数M，对一切n≥M， 有pii(nd)>0。
.
例题:设有4个状态的马尔可夫链,它的一步转移概
率矩阵为: 0 0 1/2 1/2
0
0
1/ 2
1
/
2
1/ 2 1/ 2 0 0
1
/
2
1/ 2
0
0
画出其状态传递图,该过程是否具有周期性?
. .
. .
. .
. . . . . . . .
.. . .
.
.
.
.
. . . . . . . .
..q
0
p
0
0
0
. . 0 q 0 p 0 0
. . 0 0 q 0 p 0
..0 ..0
00 0. 0
q 0
0 0
p 1
例题：天气预报问题
如果明天是否有雨仅与今日是否有雨有 关，而与过去的天气无关. 并设今日下雨，明 日有雨概率为0.7，今日无雨明日有雨的概率 为0.4，并把有雨称为0状态，无雨称为1状态。 则问：今日有雨且第5日仍有雨的概率为多少？
例题： 设某地区有1600居民，有甲、乙、丙三个工厂的产 品在该地区销售，据调查8月份买甲、乙、丙三个 工厂产品的户数分别为480，320，800，9月份调 查发现原买甲48户转买乙，96户转买丙；原买乙的 有32户转买甲，有64户转买丙；原来买丙的有64户 转买甲，有32户转买乙，估算9月份及12月份，甲、 乙、丙三个工厂的产品在该地区市场占用率。
第四章 马尔可夫链
1. 马尔可夫链定义 2. 一步转移概率及多步转移概率 3. 初始概率及绝对概率 4. Chapman-Kolmogorov（C-K）方程 5. 遍历的马尔可夫链及平稳分布 6. 马尔可夫链状态分类
.
时间、状态都是离散的马尔可夫过程，称 为马尔可夫链。 例如：天气预报
质点的随机游动
pp1011
求 P{Xm 20|Xm0}和两步转移概率矩阵P(2)
.
解：
P(2) 00
P{Xm2
0|
Xm
0}
P{Xm2 0, Xm P{Xm 0}
0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0} P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0,Xm 0} P{Xm1 0,Xm 0}P{Xm 0}
.
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种 信号，且传递需要经过若干级。因为系统中有 噪声，各级将造成错误，若某级输入0，1信号 后，其输出不产生错误的概率为p，产生错误 的概率为1-p，则该级的输入输出状态构成了 一个两个状态的马氏链。
.
马尔可夫链定义
设有随机过程{Xn,n∈T}，若对于任意的整数 n∈T和任意的i0,i1, …,in+1∈I，条件概率满足
P(4) 00
0.5749
.
定义： 称 pj(n )P {X nj}(,j I)为n时刻马尔 可夫链的绝对概率；
称 P T (n ) { p 1 (n ),p 2 (n ),L } , n 0为n时刻的 绝对概率向量。
.
定义： 称 pj(0 )P {X 0j} ,(j I)为马尔可夫链的 初始概率；简记为 p j
P(n) (pi(jn))
p(n) 11
p(n) 21
L
p(n) 12
L
p(n) 22
L
LL
p(n) 1m
p(n) 2m
L
L
L L
为马尔可夫链的n步转移矩阵。规定
p(0) ij
0, 1,
i j .i j
例题
设马尔可夫链{Xn,n∈T}有状态空间I={0,1}， 其一步转移概率矩阵为
P
p00 p10
3. P(n) P(P n1)
4. P(n) Pn
.
（1）证明
P (n) ij
P{X
mn
j|Xm
i}
P { X m n j, X m i} P{ X m i}
P { X m n j, X m l k , X m i}
kI
P{ X m i}
P { X m n j, X m l k , X m i} P { X m l k , X m i}
1. pj(n) pipi(jn) iI
2. pj(n) pi(n1)pij i I
3. PT(n)PT(0)P(n)
4. PT(n)PT(n1)P
证明
.
定理4.3
设{Xn,n∈T}为马尔可夫链，则对任意i1, …,in∈I和 n≥1，有
证明
P { X 1 i1 , ,X n in } p ip i1 i p in 1 in i I
U P{X1 i1,...X1 in}P( {X0 i , X1 i1,...X1 in})
iI
PX0 i ,X1 i1,...X1 in} iI
P{X0 i}P{X1 i1| X0 i}...P{Xn in | Xn1 in1} iI
P{X0 i}pii1...pin1in iI
pi pii1...pin1in . iI
解:
.
0 0 1/2 1/2
0
0
1/ 2
1
/
2
1/ 2 1/ 2 0 0
1
/
2
1/ 2
0
0
所有状态周期为2
.
状态转移图
1
1
1/2
1
2
3
4
1/2
1
状态2和3具有相同的周期,但是状态 2,3有区别.为此引入常返性的概念。
.
首中概率
它表示质点由i出发，经n步首次到达j 的概率， 表示为
fi( n j ) P (X m v j,1 v n 1 ,X m n j|X m i)
称 PT(0)(p1,p2,) 为马尔可夫链的初始 概率向量。
.
例题： 设马尔可夫链有k个状态，已知第n-1时刻的 绝对概率向量 PT (n 1) 为
(p 1 ( n 1 )p , 2 ( n 1 ) ,,p k ( n 1 ))
求第n时刻绝对概率向量。
.
.
定理4.2 设{Xn,n∈T}为马尔可夫链，则对任意j∈I和 n≥1，绝对概率pj(n)具有下列性质：