中考数学总复习全程考点训练专题：图形操作型问题

(第 13 题 ) 【解析】 (1)当 α＝90°时，点 E′与点 F 重合． ∵点 A(－2，0)， B(0，2)， ∴OA＝OB＝2. ∵E, F 分别为 OA，OB 的中点， ∴OE＝OF＝1. 由旋转的性质，得 OE′＝OE＝1，OF′＝ OF＝ 1. ∴在 Rt△AOE′中， AE′＝ OA2＋ OE′2＝ 22＋12＝ 5； 在 Rt△BOF′中， BF′＝ OB2＋ OF′ 2＝ 22＋12＝ 5.
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一、选择题
图形操作型问题
1．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三 角形的是 (B)
【解析】 四幅图均能拼成平行四边形；能拼出梯形的有 A ，B 和 D；而拼 成三角形需要的条件是拼接边相等， 对接的边在一条直线上， 故能拼成三角形的 有 B 和 C，所以既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的只有 B.
3 AM 即15＝22.5，∴ AM＝4.5， ∴MN＝ 22.5－4.5＝18， 18÷3＝6，即这张正方形纸条是第 6 张． 二、填空题
(第 6 题)
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6．如图，在△ ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，∠B＝50°.现将△ ADE 沿 DE 折叠， 使点 A 落在三角形所在平面内的点 A1 处，则∠ BDA1 的度数为 80°．
(第 10 题 )
10．在 Rt△ ABC 中，∠ A＝ 90°， AB＝ 3 cm， AC＝ 4 cm，以斜边 BC 上距离
B 点 3 cm 的点 P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 90°得到 Rt△DEF，
则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 3265cm2.
【解析】 设 DF 与 AC，BC 分别交于点 R，Q，过点 P 作 PM⊥QR 于点 M，
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∵O 是 AC 的中点，
∴AO＝ 3.
1
3
在 Rt△AOD 中，∵∠ A＝ 30°，∴ OD＝ 2AO＝ 2 ，
∴AD＝
AO2
－
OD2＝
3 2.
(2)当 α＝90°时，四边形 EDBC 是菱形．理由如下： ∵α ＝∠ACB＝90°，∴ BC∥ED.
∵CE∥AB，∴四边形 EDBC 是平行四边形．
(第 3 题解 ② ) ③把△ ADE 绕点 D 旋转 180°，即可构成有两个角为锐角的菱形，如解图 ③.
④正方形无法拼成．
(第 3 题解③ )
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(第 4 题) 1
4．如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE＝3AB，
将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连结 BP 交 EF 于点 Q，
【解析】 ∵ DE 为△ABC 的中位线，∴ DE∥BC，∴∠ ADE＝50°.由折叠的 性质，得 ∠A1DE＝ ∠ ADE＝ 50° .∴∠ BDA1＝ 180°－ ∠ADE － ∠A1DE＝ 180°－ 50°－50°＝ 80°.
(第 7 题) 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示的方法 将△ BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 C′处，则折痕 BD 的长为 3 5． 【解析】 易得 AB＝10，BC′＝ 6，∴AC′＝ 4.设 CD＝x，则 C′D＝x，AD ＝ 8－ x， ∴x2＋ 42＝(8－x)2，解得 x＝3， ∴BD＝ 62＋ 32＝3 5.
C．3
D．4
(第 3 题解① ) 【解析】 ①把 △ADE 绕点 E 旋转 180°，即可构成邻边不等的矩形， 如解图 ①. 理由： ∵∠ B＝ 60°，∴ AC＝ 3BC，
3 ∴CD＝ 2 BC≠BC. ②把 △ADE 以 AD 为对称轴作轴对称变换， 再向下平移 DC 的长度， 即可构 成等腰梯形，如解图 ②.
∴BE＝2EQ.
∵EF＝2BE， EQ＋ FQ ＝4EQ，∴ FQ＝3EQ，故 ③错误；
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由翻折的性质，得 ∠ EFP＝∠ EFB＝30°，
∴∠ BFP＝30°＋ 30°＝ 60° .
又∵∠ PBF＝ 90°－ ∠EBQ＝ 90°－ 30°＝ 60°，
∴△ PBF 是等边三角形，故 ④正确．
综上所述，正确的结论是 ①④ .
作 PN⊥ AC 于点 N，易得四边形 PMRN 为正方形，重叠部分的面积和正方形 PMRN
PN CP PN 2
6
的面积相等，易得 △CPN∽△ CBA，∴ BA＝CB，即 3 ＝ 5，∴ PN＝5(cm)，
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∴正方形
PMRN 的面积为
36 25
cm2 ，故重叠部分的面积为
36 25
cm2.
三、解答题
(第 11 题 ) 11．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°，∠ B＝60°，BC＝2.O 是 AC 的中 点，过点 O 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点 O 作逆时针旋转，交 AB 边 于点 D.过点 C 作 CE∥AB 交直线 l 于点 E，设直线 l 的旋转角为 α. (1)①当 α＝30°时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为 1． ②当 α＝60°时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为 1.5． (2)当 α＝90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由． 【解析】 (1)①∵ CE∥ AB， ∴当 ∠EDB＝ ∠B＝60°时，四边形 EDBC 是等腰梯形． ∵∠ A＝ 30°， ∴α ＝∠EDB－∠A＝60°－ 30°＝ 30°， 即当 α＝30°时，四边形 EDBC 是等腰梯形． 此时 DE＝BC＝2.
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(第 5 题) 5．如图，一张等腰三角形纸片，底边长 15 cm，底边上的高长 22.5 cm.现沿 底边依次从下往上裁剪宽度均为 3 cm 的矩形纸条．已知剪得的纸条中有一张是 正方形，则这张正方形纸条是 (C) A．第 4 张 B．第 5 张 C．第 6 张 D．第 7 张
(第 5 题解 ) 【解析】 如解图，过点 A 作 AN⊥BC 于点 N，AN 交正方形 DEFG 的边 DE 于点 M，可知 DE＝ 3， AN＝ 22.5，BC＝15. 易得 △ADE∽△ ABC，∴ DBCE＝AAMN，
∵O 为 AC 的中点， OD∥ BC， 1
∴BD＝2AB＝2，∴ BD ＝BC. ∴四边形 EDBC 是菱形．
12．如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB＝ 8 cm， AD＝ 6 cm，按下列步骤进行 裁剪和拼图：
(第 12 题 ) 第一步：如图①，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形 纸片 EBC(余下部分不再使用 )． 第二步：如图②，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线 段 GH 上任意取一点 M，线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪 成两部分． 第三步：如图③，将 MN 左侧纸片绕点 G 按顺时针方向旋转 180°，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右侧纸片绕点 H 按逆时针方向旋转 180°，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片． 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为多少？最大值为多少？ (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠． ) 【解析】 通过操作， 我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边
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形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边 AD＝6，左右两边的长等于线段 MN 的长．当 MN 垂直于 BC 时， MN 的长度最短，等于原来矩形的边 AB 的一半， 此时 MN＝ 4，于是这个平行四边形的周长的最小值为 2×(6＋4)＝20；
当点 E 与点 A 重合，点 M 与点 G 重合，点 N 与点 C 重合时，线段 MN 最长， 此时 MN＝ 42＋62＝2 13，此时这个四边形的周长最大， 最大值为 2×(6＋2 13) ＝ 12＋4 13.
1
1
∴∠ BEF＝2(180°－ ∠ AEP)＝2(180°－ 60° )＝60°，
∴∠ EFB＝90°－ 60°＝ 30°，
∴EF＝2BE，故 ①正确；
∵BE＝PE，∴ EF＝2PE.
∵EF＞PF，∴ 2PE＞ PF，故 ②错误；
由翻折可知 EF⊥ PB，
∴∠ EBQ＝90°－ ∠ BEF＝30°，
有下列结论： ①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△ PBF 是等边三角形． 其
中正确的是 (D)
A．①②
B．②③
C．①③
D．①④
【解析】
∵
AE＝
1 3AB，∴
BE＝2AE.
由翻折的性质，得 PE＝ BE.∴PE＝ 2AE.
∵∠ A＝ 90°，∴∠ APE＝30°，
∴∠ AEP＝90°－ 30°＝ 60°，
(第 8 题) 8．如图，将 Rt△ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定角度得到 Rt△ ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上．若 AC＝ 3，∠B＝60°，则 CD 的长为 __1__． 【解析】 ∵∠ B＝60°，∴∠ C＝ 90°－ 60°＝ 30°.
3 ∵AC＝ 3，∴ AB＝ 3× 3 ＝1， ∴BC＝2AB＝2. 由旋转的性质，得 AB＝ AD， ∴△ ABD 是等边三角形，∴ BD＝AB＝1， ∴CD＝BC－BD＝2－1＝1. 9．如图①所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼
(第 3 题)
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3．如图，在一张三角形纸片 ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝ 60°， DE 是中位
线，现把纸片沿中位线 DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；
②等腰梯形； ③有两个角为锐角的菱形； ④正方形． 那么以上图形一定能被拼出
的个数为 (C)
A．1
B． 2
综上所述，这个四边形纸片的周长的最小值为 20，最大值为 12＋4 13. 13．如图，在平面直角坐标系中， O 为原点， A(－ 2， 0)，B(0，2)， E, F 分 别为 OA，OB 的中点．将正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转，得正方形 OE′D′F′， 记旋转角为 α. (1)如图①，当 α＝90°，求 AE′，BF′的长． (2)如图②，当 α＝135°，求证： AE′＝BF′，AE′⊥ BF′. (3)若直线 AE′与直线 BF′交于点 P，求点 P 的纵坐标的最大值 (直接写出结果 即可 )．
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成如图②所示的四边形 ABCD，如果 AE＝4，CE＝3BE，那么这个四边形的面积 是 16 3．
(第 9 题) 【解析】 ∵ 三块直角三角形木板的形状相同、大小不等， ∴△ ABE∽△ ECD∽△ DEA，∠ B＝∠C＝ ∠AED＝ 90°，∠ BAE＝∠EDA， ∴BE∶CD＝ AB∶EC，∠ BAD＝ ∠BAE＋ ∠DAE ＝∠EDA ＋∠ DAE＝90°， ∴四边形 ABCD 为矩形． ∴AB＝CD ，∴ AB2＝BE·EC. ∵CE＝3BE，∴ AB＝ 3BE. ∵ AE＝ 4， AB2＋ BE2＝ AE2 ， ∴BE＝2，AB＝2 3，∴ BC＝BE＋ CE＝ 4BE＝8. ∴这个四边形的面积 S＝AB·BC＝2 3× 8＝ 16 3.
(第 2 题) 2．将一张长为 70 cm 的长方形纸片 ABCD 沿对称轴 EF 折叠后得到如图所 示的形状，若折叠后 AB 与 CD 的距离为 60 cm，则原纸片的宽度为 (A) A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．30 cm 【解析】 设 AB＝x(cm)． 根据轴对称图形的性质，得 BE＝DF ＝(35－x)cm. 则有 2(35－ x)＋x＝ 60，解得 x＝10. ∴AB＝10 cm， 即原纸片的宽度为 10 cm
1 易得 △AOD≌△ COE，∴ OD＝ OE＝ 2DE＝1. 又∵∠ A＝α＝30°，∴ AD＝OD＝1. ②∵ CE∥ AB，∠ B＝60°， ∴当 ∠EDB＝ 90°时，四边形 EDBC 是直角梯形． ∵∠ A＝ 30°， ∴α ＝∠EDB－∠A＝90°－ 30°＝ 60°， ∴当 α＝60°时，四边形 EDBC 是直角梯形． 在 Rt△ABC 中， BC＝ 2，∠ A＝30°， ∴AB＝2BC＝4. ∴AC＝ AB2－ BC2＝2 3.