小学奥数几何难题
六年级下册奥数试题-几何专题 全国通用(含答案) (1)
小学奥数几何专题1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形的面积等于多少？[思 路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角形ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度是求解本题的关键．解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD 2=AB 2－AD 2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD 中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形，BC 与CD 垂直．那么：ABCD S 四边形=ABD S ∆+BCD S∆=12×5÷2+4×3÷2=36．． 即四边形ABCD 的面积是36． 2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米；[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。
3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。
已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？[思 路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。
解：粗线面积：黄面积=2：3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，7 94、（★★）求下图中阴影部分的面积：【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
完整版)小学奥数几何专题
完整版)小学奥数几何专题小学几何面积问题一引理：如图1在ABCD中，P是AD上一点，连接PB、PC，则S△PBC=S△ABP+S△pcD= P/AD（适应长方形、正方形）。
1.已知：四边形ABCD为平行四边形，求阴影部分面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几？无需删除）2.已知：ABCD的面积为18，E是PC的中点，求阴影部分面积。
无需删除）3.在ABCD中，CD的延长线上的一点E，DC=2DE，连接BE交AC于P点，（如图）知S△PDE=1，S△ABP=4，求平行四边形ABCD的面积。
无需删除）4.四边形ABCD中，BF=EF=ED，（如图）1) 若S四边形ABCD=15，则S阴=（无需删除）2) 若S△AEF+S△BFC=15，则S四边形ABCD=（无需删除）3) 若S△AEF=3S△BFC，则S四边形ABCD=（无需删除）5.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，（如图）若四边形AECG=15，则S四边形ABCD=（无需删除）6.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，（如图）若阴影部分面积为15，则S四边形ABCD=（无需删除）7.若ABCD为正方形，F是DC的中点，已知：S△BFC=1。
1) 则S四边形ADFB=（无需删除）2) S△DFE=（无需删除）3) S△AEB=（无需删除）8.直角梯形ABCD中，AE=ED，BC=18，AD=8，CD=6，且BF=2FC，S△GED=S△GFC，求阴影部分面积。
无需删除）小学几何面积问题二1.如图S△AEF=2，AB=3AE，CF=3EF，则S△ABC=（无需删除）2.如图S△BDE=30，AB=2AE，DC=4AC，则S△ABC=（无需删除）3.正方形ABCD中，E、F、G为BC边上四等份点，M、N、P为对角线AC上的四等份点（如图），若S正方形ABCD=32，则S△NGP=（无需删除）4.已知：S△ABC=30，D是BC的中点，AE=2ED，则S△BDE=（无需删除）1.在梯形ABCD中，AD//BC，OC=2AO，阴影部分的面积为4，求梯形ABCD的面积。
小学奥数几何题100道及答案(完整版)
小学奥数几何题100道及答案(完整版)题目1：一个正方形的边长是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：正方形面积= 边长×边长，即5×5 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目2：一个长方形的长是8 分米，宽是6 分米，它的周长是多少分米？解题方法：长方形周长= （长+ 宽）×2，即（8 + 6）×2 = 28（分米）答案：28 分米题目3：一个三角形的底是10 厘米，高是6 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：三角形面积= 底×高÷2，即10×6÷2 = 30（平方厘米）答案：30 平方厘米题目4：一个平行四边形的底是12 米，高是8 米，它的面积是多少平方米？解题方法：平行四边形面积= 底×高，即12×8 = 96（平方米）答案：96 平方米题目5：一个梯形的上底是 4 厘米，下底是6 厘米，高是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：梯形面积= （上底+ 下底）×高÷2，即（4 + 6）×5÷2 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目6：一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：圆的面积= π×半径²，即3.14×3²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目7：一个半圆的半径是 4 分米，它的周长是多少分米？解题方法：半圆的周长= 圆周长的一半+ 直径，即3.14×4×2÷2 + 4×2 = 20.56（分米）答案：20.56 分米题目8：一个长方体的长、宽、高分别是5 厘米、4 厘米、3 厘米，它的表面积是多少平方厘米？解题方法：长方体表面积= （长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2，即（5×4 + 5×3 + 4×3）×2 = 94（平方厘米）答案：94 平方厘米题目9：一个正方体的棱长是6 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：正方体体积= 棱长³，即6³= 216（立方分米）答案：216 立方分米题目10：一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是多少平方厘米？解题方法：圆柱侧面积= 底面周长×高，底面周长= 2×3.14×2，即2×3.14×2×5 = 62.8（平方厘米）答案：62.8 平方厘米题目11：一个圆锥的底面半径是3 厘米，高是4 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：圆锥体积= 1/3×底面积×高，底面积= 3.14×3²，即1/3×3.14×3²×4 = 37.68（立方厘米）答案：37.68 立方厘米题目12：两个边长为4 厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？解题方法：长方形的长为8 厘米，宽为4 厘米，面积= 8×4 = 32（平方厘米）答案：长8 厘米，宽4 厘米，面积32 平方厘米题目13：一个三角形的面积是18 平方厘米，底是6 厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 面积×2÷底，即18×2÷6 = 6（厘米）答案：6 厘米题目14：一个平行四边形的面积是24 平方米，底是 4 米，高是多少米？解题方法：高= 面积÷底，即24÷4 = 6（米）答案：6 米题目15：一个梯形的面积是30 平方分米，上底是5 分米，下底是7 分米，高是多少分米？解题方法：高= 面积×2÷（上底+ 下底），即30×2÷（5 + 7）= 5（分米）答案：5 分米题目16：一个圆环，外圆半径是5 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少平方厘米？解题方法：圆环面积= 外圆面积-内圆面积，即 3.14×（5²- 3²）= 50.24（平方厘米）答案：50.24 平方厘米题目17：一个长方体的棱长总和是48 厘米，长、宽、高的比是3:2:1，长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：一条长、宽、高的和为48÷4 = 12 厘米，长为6 厘米，宽为4 厘米，高为2 厘米，体积= 6×4×2 = 48（立方厘米）答案：48 立方厘米题目18：一个正方体的表面积是54 平方分米，它的一个面的面积是多少平方分米？解题方法：一个面的面积= 表面积÷6，即54÷6 = 9（平方分米）答案：9 平方分米题目19：一个圆柱的底面直径是4 分米，高是3 分米，它的表面积是多少平方分米？解题方法：底面积= 3.14×（4÷2）²= 12.56 平方分米，侧面积= 3.14×4×3 = 37.68 平方分米，表面积= 2×12.56 + 37.68 = 62.8（平方分米）答案：62.8 平方分米题目20：一个圆锥的底面周长是18.84 分米，高是5 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 分米，体积= 1/3×3.14×3²×5 = 47.1（立方分米）答案：47.1 立方分米题目21：一个长方体的水箱，长 5 分米，宽4 分米，高 3 分米，里面装满水，把水倒入一个棱长为5 分米的正方体水箱，水深多少分米？解题方法：水的体积= 5×4×3 = 60 立方分米，正方体水箱底面积= 5×5 = 25 平方分米，水深= 60÷25 = 2.4 分米答案：2.4 分米题目22：一块长方形的铁皮，长8 分米，宽6 分米，从四个角各切掉一个边长为1 分米的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子的容积是多少立方分米？解题方法：盒子长6 分米，宽4 分米，高1 分米，容积= 6×4×1 = 24（立方分米）答案：24 立方分米题目23：一个圆柱的体积是60 立方厘米，底面积是12 平方厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 体积÷底面积，即60÷12 = 5（厘米）答案：5 厘米题目24：一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积是27 立方分米，圆锥的体积是多少立方分米？解题方法：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，即27×1/3 = 9（立方分米）答案：9 立方分米题目25：把一个棱长为 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积为36 平方厘米的圆柱体，这个圆柱体的高是多少厘米？解题方法：正方体体积= 6³= 216 立方厘米，圆柱体的高= 体积÷底面积，即216÷36 = 6（厘米）答案：6 厘米题目26：一个直角三角形的两条直角边分别是3 厘米和4 厘米，斜边是5 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？解题方法：直角三角形面积= 两条直角边乘积的一半，即3×4÷2 = 6（平方厘米）答案：6 平方厘米题目27：一个等腰三角形的周长是20 厘米，其中一条腰长8 厘米，底边长多少厘米？解题方法：等腰三角形两腰相等，所以底边长= 周长-腰长×2，即20 - 8×2 = 4（厘米）答案：4 厘米题目28：一个扇形的圆心角是90°，半径是6 厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？解题方法：扇形面积= 圆心角÷360°×圆的面积，即90÷360×3.14×6²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目29：一个长方体的底面是边长为5 厘米的正方形，高是8 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：长方体体积= 底面积×高，底面积= 5×5 = 25 平方厘米，体积= 25×8 = 200（立方厘米）答案：200 立方厘米题目30：一个圆柱的底面周长是18.84 厘米，高是10 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 厘米，体积= 3.14×3²×10 = 282.6（立方厘米）答案：282.6 立方厘米题目31：一个圆锥的底面直径是8 厘米，高是6 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 8÷2 = 4 厘米，体积= 1/3×3.14×4²×6 = 100.48（立方厘米）答案：100.48 立方厘米题目32：把一个棱长为8 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？解题方法：圆柱的底面直径和高都是8 厘米，体积= 3.14×（8÷2）²×8 = 401.92（立方厘米）答案：401.92 立方厘米题目33：一个长方体玻璃缸，从里面量长4 分米，宽 3 分米，高5 分米，缸内水深2.5 分米。
六年级奥数--几何问题
几何问题1. 图中部有阴影的正方形共有____个。
2. 如下图，正方形ABCD边长为lO厘米，BO长8厘米。
AE=____厘米。
3. E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？46FED CBA4. 用同样大小的木块堆成了如下图所示的形状，这里共用了_______个木块。
面积问题1. 一个长方体的表面积是400平方厘米，其中有一个顶点处两条棱长分别是5cm和10cm，求此处的另一条棱长。
2. 如下图，有一个边长是6cm的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是6，4，2cm的长方体，那么它的表面积现在是多少?3. 用棱长是1厘米的立方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?4. 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按下图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．5. 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的表面积。
6. 在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？7. 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？8. 21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如右图.它的表面积是平方厘米.9. 如下图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？10. 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体原来的表面积．11. 如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24 平方厘米，斜边长10 厘米，将它以O点为中心旋转90°，问：三角形扫过的面积是________？( π取3)A. 90B. 93C. 96D. 99答案:1. 面积为1 的正方形有8 个，面积为4 的正方形有8 个，面积为9 的正方形有8 个，面积为16 的正方形有2 个，共计26 个.2. 解：△AOB与△EDA相似，对应边成比例。
小学奥数几何题
小学奥数几何题几何作为数学的重要分支之一，在小学奥数竞赛中占据了重要的位置。
几何题目既能培养学生的逻辑思维能力，又能增强他们对图形的认识和理解。
本文将介绍几个适合小学生的奥数几何题，通过解题的过程，帮助小学生进一步理解几何知识。
一、等腰三角形面积问题描述：已知一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为12cm，求这个三角形的面积。
解题思路：首先，我们需要知道等腰三角形的性质，即两个底角相等。
根据这个性质，我们可以将等腰三角形划分为两个等边三角形和一个矩形。
通过计算等边三角形的面积和矩形的面积，再求和，就可以得到等腰三角形的面积。
解题步骤：1. 计算等边三角形的面积：等边三角形的边长可以通过底边和腰长得到，设等边三角形的边长为x。
根据勾股定理，可以列出方程：x^2 = 12^2 - (10/2)^2。
解方程得到x ≈ 8.77cm。
由于等边三角形可以看作是6个等边三角形的组合，所以等边三角形的面积为6 * (x^2 * sqrt(3) / 4) ≈ 76.37cm²。
2. 计算矩形的面积：矩形的宽度等于底边长，长度等于腰长减去等边三角形的边长。
所以矩形的面积为10 * (12 - 8.77) ≈ 31.25cm²。
3. 求和得到等腰三角形的面积：等腰三角形的面积等于等边三角形的面积加上矩形的面积，即76.37cm² + 31.25cm² ≈ 107.62cm²。
因此，这个等腰三角形的面积约为107.62cm²。
二、平行四边形的性质问题描述：已知ABCD是一个平行四边形，且AB = 8cm，BC =6cm，CD = 8cm，求AD的长度。
解题思路：平行四边形的性质之一是对角线互相平分。
根据这个性质，我们可以将平行四边形划分为两个等腰三角形。
通过计算等腰三角形的底边和两个腰的长度，可以得到AD的长度。
解题步骤：1. 计算等腰三角形的底边：等腰三角形的底边等于平行四边形的一边。
2021年小学奥数几何专题——复杂直线型面积-13
方法二：连接CF，那么CF平行BD，
所以，阴影面积 三角形BDF的面积 三角形BCD的面积 (平方厘米)．
9．13.5
【解析】
解法一：寻找可利用的条件，连接 、 ，如下图：
可得： 、 、 ，而
即 ；
而 ， ．
所以阴影部分的面积是：
3．28
【解析】
本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接 、 ．
∵ ，
∴ ．
同理， ， ，
∴ (平方厘米)．
4．48
【解析】
把另外三个三等分点标出之后，正方形的 个边就都被分成了相等的三段．把 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 个形状各不相同的三角形．这 个三角形的底边分别是在正方形的 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了 个三角形，右边三角形的面积和第 第 个三角形相等：中间三角形的面积和第 第 个三角形相等；左边三角形的面积和第 个第 个三角形相等．
17．如右图，过平行四边形 内的一点 作边的平行线 、 ，若 的面积为8平方分米，求平行四边形 的面积比平行四边形 的面积大多少平方分米？
18．如右图，正方形 的面积是 ，正三角形 的面积是 ，求阴影 的面积．
19．如右图，正方形 的面积是 ，正三角形 的面积是 ，求阴影 的面积．
参考答案
1．13/6
如右图所示，连接 、 、 ，则 ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得 ， ，所以阴影部分的面积就等于正方形 的面积，即为 平方厘米．
6．8
【解析】
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接 (见右上图)，可以看出，三角形 与三角形 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形 是三角形 与三角形 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形 与三角形 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形 的面积等于求三角形 的面积，等于 ．
最新小学奥数之立体几何问题
立体图形⑴ 立体图形的表面积和体积公式长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED BA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？改.又是多少？【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？（锯一次增加两个面）练习.一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2cm．表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小【例 5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？体积：例1. 如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?例2. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?⑵不规则立体图形的表面积整体观照法例1. 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．例2. 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．例3.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．例4.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?例5.下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。
五年级奥数春季实验班第6讲 几何综合之复杂平面几何问题二
第六讲几何综合之复杂平面几何问题二模块一、角度问题例1．如图，∠AOB的顶点O在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400°，则∠AOB=。
解：由题意知∠1+∠2+∠3+(∠1+∠2)+(∠2+∠3)=400°，所以2×(∠1+∠2+∠3)+∠2=400°，又∠1+∠2+∠3=180°，所以∠2=400°−360°=40°.例2．一个考古发现的正多边形残片，如图所示，∠EAB=∠FBA=165°，那么原来是一个正边形。
解：一个正n边形的内角=180°−360n︒，由题意得180°−360n︒=165°，解得n=24，所以原来是正24边形。
例3．在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，求∠F AC的大小是。
解：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2，又EF垂直平分AD，所以∠2+∠3=∠4，有∠4=∠B+∠1，所以∠2+∠3=∠B+∠1，解得∠3=∠B，所以∠F AC=∠3=45°.例4．如图所示，已知AB平行于CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求证：∠E=1()2B D∠+∠。
解：过E做EF//AB，因为AB//CD，所以EF//CD，因为EF//AB，所以∠1=∠3，因为BE是∠ABC的平分线，所以∠3=∠4，得∠1=12∠B，同理得∠2=∠6=12∠D，所以∠E=∠1+∠2=1()2B D∠+∠。
D模块二、几何图形变换之轴对称例5．如图，四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠B =168°，∠C =108°，求∠D 的度数是。
解：如图，以AB 为边做等边三角形ABE ，连结DE 、BD ，则∠CBE =168°−60°=108°=∠C ,因为AB =BE ，AB =CD ，所以BE =CD ，所以四边形BCDE 是等腰梯形，∠BED =∠CDE =180°−102°=72°，在等腰三角形CBD 中，∠C =108°，所以∠CBD =∠CDB =1(180108)362⨯︒-︒=︒，所以∠DBE =180°−36°=72°，∠DBE =∠BED ，三角形BDE 是等腰三角形，BE 垂直于AD ， 所以∠BDE =180°−2×72°=36°，因为AD 平分∠BDE ，所以∠BDA =∠ADE =18°， 所以∠CDA =∠CDE −∠ADE =72°−18°=54°.例6．如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =44°，M 是△ABC 内一点，使得∠MCA =30°，∠MAC =16°，则∠MBC =。
小学四年级奥数题库：几何夹角(高等难度)_题型归纳
小学四年级奥数题库：几何夹角(高等难度)_题型归纳
小学四年级奥数题库：几何夹角(高等难度)
（2005年第10届华杯赛决赛第14题）两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的"夹角"（见图4）。
如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且"夹角"只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：
（1）L的最大值是多少？
（2）当L取最大值时，问所有的"夹角"的和是多少？
几何夹角答案：
（1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。
否则，必有两条直线平行。
（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、45°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种；他们的角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条直线；第3和第9条直线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，他们的角度和是90×6=540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。
小学奥数几何中的计数问题
小学奥数几何中的计数问题数长方形例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.所以共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.数正方形例3数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）分析：图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：5×5=25（个）；边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所有正方形个数为：1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.例4如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4=20（个）.③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）.所以，正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）.小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1显然例4是结论的特殊情况.例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.例6 如右图，数一数图中三角形的个数.分析这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W①上=1+2+3+4=10（个）.②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W①下=1+2+3=6（个）.Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W②上=1+2+3=6（个）.②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W③上=1+2=3（个）.②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W④上=1（个）.所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：W①下=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0则尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：20+7=27（个）.小结：尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.（1）W①上=8+7+6+5+4=30（3）W③上=6+5+4=15（4）W④上=5+4=9（5）W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：（1）W①下=3+4+5+6+7=25（2）W②下=2+3+4+5=14（3）W③下=1+2+3=6（4）W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46（个）.所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有80+46=126（个）.。
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练(高难度)
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练（高难度）例题1：某小学六年级有10名男生和8名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？解析：首先确定男生和女生的位置，男生和女生的位置可以互换，所以先计算男生和女生的排列方式。
男生和女生分别有10!和8!种排列方式。
但是男生和女生之间是需要相邻的（间隔排列），所以男生和女生的位置可以看作是一个整体，即总共有(10!)(8!)种排列方式。
因此，共有(10!)(8!)种不同的排列方式。
专项练习应用题：1. 某小学六年级有12名男生和10名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？2. 某小学六年级有8名男生和6名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？3. 某小学六年级有15名男生和12名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？4. 某小学六年级有6名男生和8名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？5. 某小学六年级有10名男生和9名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？6. 某小学六年级有7名男生和7名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？7. 某小学六年级有14名男生和15名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？8. 某小学六年级有9名男生和10名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
3 小学奥数——几何图形 试题及解析
3 小学奥数——几何图形试题及解析小学奥数——几何图形试题及解析一、选择题1. 下列各图形中，几何图形的个数最多的是：A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 长方形解析：该题考察学生对几何图形的辨识和计数能力。
正方形有4条边，矩形也有4条边，三角形有3条边，而长方形同样也有4条边。
因此，答案为D，长方形。
2. 以下哪个几何图形不是多边形？A. 正方形B. 圆形C. 五边形D. 六边形解析：多边形是一个有多个直线边的封闭图形。
正方形有4个边，五边形有5个边，六边形有6个边。
但圆形是一个由无限多个点组成的，边是由连续曲线组成的，因此圆形不是多边形。
答案为B，圆形。
二、填空题1. 三角形的内角和是____度。
解析：三角形的内角和是180度。
2. 矩形的对角线互相垂直且长度相等。
解析：矩形的对角线互相垂直且长度相等。
三、解答题1. 已知一个四边形的两个相邻内角分别是50度和100度，另外两个内角分别是多少度？解析：由四边形的内角和为360度可知两个未知角分别为360度 -50度 - 100度 = 210度。
因此，另外两个内角分别是210度。
2. 一个凸多边形的内角和是1620度，它有几个内角？解析：设凸多边形有n个内角。
由凸多边形的内角和为 (n-2) × 180度，可以得到 n × 180度 = 1620度。
解得 n = 9。
因此，该凸多边形有9个内角。
3. 如图所示，在正方形ABCD中，连接AC和BD两条对角线，交于点O。
若AD的长度为12cm，求AC的长度。
解析：由于正方形的对角线相等且互相垂直，可知AO和OC互相垂直，且AO = OC。
根据勾股定理，可以得到 AD^2 = AO^2 + OD^2，解得AO = OD = (12/√2)cm，而AC = AO + OC = 2AO = 2 × (12/√2)cm = 12√2 cm。
因此，AC的长度为12√2cm。
总结：通过以上的几何图形试题和解析，我们可以看到几何图形的基本概念和性质在小学奥数中起着重要的作用。
3 小学奥数——几何图形 试题及解析
小学奥数——几何图形一.选择题（共50小题）1.图中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到.则至少需要知道()条线段的长度，才可以计算出这个八边形的周长.A.4B.3C.5D.102.如图中阴影部分是正方形，最大长方形的周长是()厘米.A.22B.26C.36D.无法确定3.如图，由6个边长为3厘米的小正方形拼成的图形，它的周长是()厘米.A.36B.39C.42D.454.把一个直径是4厘米的圆分成两个完全相等的半圆，这两个半圆的周长之和是()A.12.56厘米B.16.56厘米C.20.56厘米D.24.56厘米5.如图，有8条线段，至少要分别测量编号为()的三条线段的长度，才能求出这个图形的周长.A.①②⑤B.①②③C.①②⑦D.②③⑦6.如图，是一个台阶的侧面（线段AC，BC，AB的长依次为5米、12米、13米）要在台阶上面铺上红地毯，且上下各多铺出两米，需要地毯的长度是()米.A.17B.18C.20D.217.如图，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，下面第()种说法不正确？A.如果a b>，那么A的周长大于B的周长B.如果a b<，那么A的周长小于B的周长C.如果a b=，那么A的周长等于B的周长D.不管a、b哪个大，A、B的周长总是相等8.如图是用3个长8厘米、宽3厘米的长方形拼成的，这个图形的周长是()A.66厘米B.48厘米C.45厘米9.图中多边形每相邻两条边都互相垂直，若要计算起其周长，那么至少要知道()边长.A.6B.5C.4D.310.一个长方形花园长是30米，宽是10米，沿着花园走两圈，共走了()A.45米B.90米C.160米D.200米11.把如图的长方形用一条曲线分成甲、乙两个图形，甲图与乙图的周长相比，()A.甲图的长B.乙图的长C.甲图与乙图同样长12.如图，在由11⨯的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接11⨯的正方形相邻两边中点的线段，或者是11⨯的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是()A.47B.1472C.48D.148213.如图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1，其中有两个正方形ACEG和PQRS.那么正八边形中阴影部分的面积()A.12B.23C.35D.5814.如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是( )A.25B.40C.49D.5015.大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）.那么，大正方形的面积是( )平方厘米.A.25B.36C.49D.6416.如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米.那么大正六边形的面积是( )平方厘米.A.240B.270C.300D.36017.如图所示，在58 的方格中，阴影部分的面积为237cm .则非阴影部分的面积为( 2)cm .A.43B.74C.80D.11118.图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为0l，6，则图中阴影部分面积为()A.42B.40C.38D.3619.下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，m n的值等于()A.5B.7C.8D.1220.有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1~10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为()A.169B.144C.121D.10021.一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，它的面积与原面积相比()A.变大了B.变小了C.不变D.高不知道，所以无法比较22.已知图中正方形的两个顶点正好是两个等腰直角三角形斜边上的中点，小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，请问正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积的比值A.13B.12C.1D.3223.如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，90ADC BCD ∠+∠=︒，且2DC AB =，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 之间的关系是下列选项中的( )A.123S S S +>；B.132S S S +=；C.132S S S +<；D.无法确定.24.小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上.第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；⋯摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）.第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片( )张.A.571B.572C.573D.57425.在88⨯网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个88⨯网格中共有( )枚黑色棋子.A.42B.32C.22D.1226.在66⨯网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个66⨯网格中共有( )枚黑A.18B.14C.12D.1027.一块木板上有13枚钉子（如图1所示）.用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形等等（如图2).请回答：可以构成()个正方形.A.9B.10C.11D.1228.在如图中，一共能数出()个含有“☆”的长方形.A.8B.10C.12D.1429.如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出()个正三角形.A.6B.10C.13D.1530.以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有()个.A.5B.2C.4D.331.图中，有()个三角形.A.13B.15C.14D.1632.图中共有()个三角形.A.10B.9C.19D.1833.两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由()拼成.A.两个锐角三角形B.两个直角三角形C.两个钝角三角形D.一个锐角三角形和一个钝角三角形34.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是()平方厘米.A.14B.16C.18D.2035.在桌面上，将一个边长为1 的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为()A.8B.7C.6D.536.用210个大小相同的正方形拼成一个长方形，不同的拼法有()种.A.2B.4C.6D.837.一个长方形由15个小正方形拼成，如图所示，若这个长方形的周长是64cm，则它的面)cm.积为(2A.960B.256C.240D.12838.如图，每条边都相等，每个角都是直角，则根据信息，求下图的面积为()平方厘米.A.16B.20C.24D.3239.如图，四边形ABCD为长方形，四边形CDEF为平行四边形.下面四种说法中正确的是()A.甲的面积比乙的面积大B.甲的面积比乙的面积小C.只有当丙、丁两部分面积相等时，甲、乙两部分面积才相等D.甲、乙两部分面积总是相等的，与丙、丁两部分面积的大小无关40.如图，正方形ABCD的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米.则阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是()平方厘米.A.40B.50C.60D.8041.如图，线段BE将长方形ABCD分成M、N两个部分，如果M部分比N部分的面积小80l 平方厘米，那么AE的长是()A.24厘米B.21厘米C.20厘米D.14厘米42.如图，一个33的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是()A.5B.4C.3D.243.如图所示，四边形BCDE 为平行四边形，AOE ∆的面积为6，求BOC ∆的面积.( )A.3B.4C.5D.644.如图，M 为平行四边形ABCD 的边BC 上的一点，且:2:3BM MC =，已知三角形CMN的面积为245cm ，则平行四边形ABCD 的面积为( 2)cm .A.30B.45C.90D.10045.如图，长方形ABCD 中的AE 、AF 、AG 、AH 四条线段把此长方形面积五等分，又长方形长20厘米、宽12厘米，那么三角形AFG 的面积AFG S ∆等于( )平方厘米.A.41.2B.43.2C.43.1D.42.346.在等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，6AB =，14CD =，AEC ∠是直角，CE CB =，则2AE 等于( )A.84B.80C.75D.6447.下面的四个图形中，第()幅图只有2条对称轴.A. B.C. D.48.下面图形中，恰有2条对称轴()A. B. C. D.49.在如图的阴影三角形中，不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图()中的三角形.A. B.C. D.50.在下面的阴影三角形中，不能由图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图()中的三角形.A. B. C. D.参考答案与试题解析一.选择题（共50小题）1.图中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到.则至少需要知道()条线段的长度，才可以计算出这个八边形的周长.A.4B.3C.5D.10【解析】如上图，把线段①平移到②的位置可以组成一个大长方形，大长方形的4条边，对边相等，所以只需知道相邻两条边的长度，③=④，所以只需知道1条线段的长度，所以求八边形的周长需要知道：213+=条线段的长度.故选：B.2.如图中阴影部分是正方形，最大长方形的周长是()厘米.A.22B.26C.36D.无法确定【解析】+⨯=(94)226答：最大长方形的周长是26厘米.3.如图，由6个边长为3厘米的小正方形拼成的图形，它的周长是()厘米.A.36B.39C.42D.45【解析】3412⨯=（厘米）326⨯=（厘米）+⨯+(126)26366=+=（厘米）42答：它的周长是42厘米.故选：C.4.把一个直径是4厘米的圆分成两个完全相等的半圆，这两个半圆的周长之和是()A.12.56厘米B.16.56厘米C.20.56厘米D.24.56厘米【解析】(3.14424)2⨯÷+⨯=+⨯(6.284)210.282=⨯=（厘米）20.56答：这两个半圆周长之和是20.56厘米.故选：C.5.如图，有8条线段，至少要分别测量编号为()的三条线段的长度，才能求出这个图形的周长.A.①②⑤B.①②③C.①②⑦D.②③⑦【解析】由图形可知，④+⑥的线段补给⑧所在的长方形边的虚线部分，⑦-⑤等长线段的补给③所在边的虚线部分，这样就构成了一个完整的长方形，原图形的周长就是答长方形的周长2+个⑤的线段总长，所以图形的周长只要知道①②⑤即可求得.故选：A.6.如图，是一个台阶的侧面（线段AC，BC，AB的长依次为5米、12米、13米）要在台阶上面铺上红地毯，且上下各多铺出两米，需要地毯的长度是()米.A.17B.18C.20D.21【解析】12522++⨯=++1254=（米)21答：需要地毯的长度是21米.故选：D.7.如图，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，下面第()种说法不正确？A.如果a b>，那么A的周长大于B的周长B.如果a b<，那么A的周长小于B的周长C.如果a b=，那么A的周长等于B的周长D.不管a、b哪个大，A、B的周长总是相等【解析】A的周长=曲线长+正方形边长2b a⨯+-B的周长=曲线长+正方形边长2a b⨯+-所以A、B、C选项都是正确的，错误的是D.8.如图是用3个长8厘米、宽3厘米的长方形拼成的，这个图形的周长是()A.66厘米B.48厘米C.45厘米【解析】8631⨯-⨯483=-=（厘米）45答：这个图形的周长是45厘米.故选：C.9.图中多边形每相邻两条边都互相垂直，若要计算起其周长，那么至少要知道()边长.A.6B.5C.4D.3【解析】根据题干分析可得：这个图形的横着的边长之和是：2b；竖着的边长之和是：22+；a c所以这个图形的周长是：2222()++=++，故计算这个图形的周长至少需要知道3a b c a b c条边，故选：D.10.一个长方形花园长是30米，宽是10米，沿着花园走两圈，共走了()A.45米B.90米C.160米D.200米【解析】(3010)22160+⨯⨯=（米)故选：C.11.把如图的长方形用一条曲线分成甲、乙两个图形，甲图与乙图的周长相比，()A.甲图的长B.乙图的长C.甲图与乙图同样长【解析】因为，甲图形的周长是：AB BC AC++，乙图形的周长是：DC AD AC++，而AB CD=，AD BC=，所以，甲、乙两个图形的周长相等；故选：C.12.如图，在由11⨯的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接11⨯的正方形相邻两边中点的线段，或者是11⨯的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是()A.47B.1472C.48D.1482【解析】据分析可知：将小三角形移到空白处补全完整正方形，共47.5个，所以阴影部分的面积是1 472；故选：B.13.如图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1，其中有两个正方形ACEG和PQRS.那么正八边形中阴影部分的面积()A.12B.23C.35D.58【解析】根据分析，将图中阴影部分进行等积变形，由图不难发现，阴影部分和空白部分的面积刚好相等，正八边形中阴影部分的面积占：1 2故选：A.14.如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是()A.25B.40C.49D.50【解析】根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90︒，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，214449S=÷=故选：C.15.大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）.那么，大正方形的面积是()平方厘米.A.25B.36C.49D.64【解析】根据分析，一条阴影部分的面积为1025÷=平方厘米.因为都是整数，所以只能为15⨯.故，大正方形面积(15)(15)6636=+⨯+=⨯=平方厘米.故选：B.16.如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米.那么大正六边形的面积是()平方厘米.A.240B.270C.300D.360【解析】如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形.而阴影部分由6个小正六边形组成，所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的.一个小正六边形的面积为：180630÷=（平方厘米），大正六边形的面积为：309270⨯=（平方厘米），故选：B.17.如图所示，在58⨯的方格中，阴影部分的面积为237cm .则非阴影部分的面积为( 2)cm .A.43B.74C.80D.111【解析】如图，阴影部分占了18.5个格，面积为237cm ， 每格的面积是：23718.52()cm ÷=；非阴影就分占21.5格，其面积是：221.5243()cm ⨯=； 答：则非阴影部分的面积为243cm ； 故选：A .18.图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为0l ，6，则图中阴影部分面积为( )A.42B.40C.38D.36【解析】1010666(106)210102⨯+⨯-⨯+÷-⨯÷ 100364850=+--38=答：阴影部分的面积是38.故选：C.19.下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，m n+的值等于()A.5B.7C.8D.12【解析】由以上可知，两个阴影面积比为11:3:2 23=，325+=.故选：A.20.有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1~10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为()A.169B.144C.121D.100【解析】如图所示，，于是可得：正方形的边长为11，则其面积为1111121⨯=.答：大正方形面积的最小值为121.故选：C.21.一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，它的面积与原面积相比( ) A.变大了 B.变小了C.不变D.高不知道，所以无法比较【解析】因为梯形的面积=（上底+下底）⨯高2÷，若“上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变”则（上底+下底）的和不变，且高不变， 所以梯形的面积不变. 故选：C .22.已知图中正方形的两个顶点正好是两个等腰直角三角形斜边上的中点，小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，请问正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积的比值是( )A.13B.12C.1D.32【解析】设小等腰三角形的边长是a ，大等腰三角形的边长为b ， 2a 2b 则正方形的面积是22222222()(222a b a b a b ++=+=小等腰三角形与大等腰三角形的面积和：2222222a b a b ++=又因小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，所以正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积相等. 所以它们的比值是1. 故选：C .23.如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，90ADC BCD ∠+∠=︒，且2DC AB =，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 之间的关系是下列选项中的( )A.123S S S +>；B.132S S S +=；C.132S S S +<；D.无法确定.【解析】过点A 作//AE BC 交CD 于点E ，因为//AB DC ，所以四边形AECB 是平行四边形，所以AB CE =，BC AE =，BCD AED ∠=∠， 因为90ADC BCD ∠+∠=︒，2DC AB =， 所以AB DE =，90ADC AED ∠+∠=︒， 所以90DAE ∠=︒那么222AD AE DE +=，因为21S AD =，222S AB DE ==，223S BC AE ==， 所以213S S S =+. 故选：B .24.小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上.第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；⋯摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）.第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片( )张.A.571B.572C.573D.574【解析】根据分析可得，第20次摆放后，该图形共用：++++⋯+⨯-13693(201)=++++⋯+136957=+⨯-÷+(357)(201)21=+5701=（个)571答：第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片571张.故选：A.25.在88⨯网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个88⨯网格中共有( )枚黑色棋子.A.42B.32C.22D.12【解析】由分析得+++++++=（枚)0123567832⨯-=（枚)883232故选：B.26.在66⨯网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个66⨯网格中共有()枚黑色围棋子.A.18B.14C.12D.10【解析】每行的数目可以为0~6个，每列都相等，所以一定是6的倍数，++++++=，012345621如果去掉3，那么剩下的数：21318-=正好是6的倍数，所以，白棋子有18个，则，黑色围棋子有：661818⨯-=（个)故选：A.27.一块木板上有13枚钉子（如图1所示）.用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形等等（如图2).请回答：可以构成()个正方形.A.9B.10C.11D.12【解析】第一种正方形有5个，第二种正方形有4个，第三个正方形有1个，第四种正方形有1个，共11个.故选：C.28.在如图中，一共能数出()个含有“☆”的长方形.A.8B.10C.12D.14【解析】根据分析可得，共有：6612+=（个)；答：图中，一共能数出12个含有“☆”的长方形.故选：C.29.如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出()个正三角形.A.6B.10C.13D.15【解析】单个的三角形有9个，4个三角形组成的大三角形3个，最外面的最大的三角形1个，共有：93113++=（个)答：用橡皮筋可套出13个正三角形. 故选：C .30.以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有( )个. A.5B.2C.4D.3【解析】如图，平面上任意4点构成了4个钝角三角形： ABC ∆、ABD ∆、ACD ∆、BCD ∆，所以以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有4个. 故选：C .31.图中，有( )个三角形.A.13B.15C.14D.16【解析】由题意，由一个小三角形构成的，有6个； 由两个小三角形构成的，有3个； 由三个小三角形构成的，有6个； 大三角形1个，所以三角形的个数为636116+++=个， 故选：D .32.图中共有( )个三角形.A.10B.9C.19D.18【解析】根据题干分析可得：88218++=（个)，答：图中一共有18个三角形.故选：D.33.两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由()拼成.A.两个锐角三角形B.两个直角三角形C.两个钝角三角形D.一个锐角三角形和一个钝角三角形【解析】因为拼在一起的两个小三角形一定有两条边共线，这时能组成一个平角，A、因为两个锐角的和小于180度，所以，两个锐角三角形不可能拼成一个大三角形；B、因为9090180︒+︒=︒，所以两个直角三角形能拼成一个大三角形；C、因为钝角+锐角有可能等于180︒，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形；D、因为钝角+锐角有可能等于180︒，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形；故选：A.34.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是()平方厘米.A.14B.16C.18D.20【解析】设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1ab=，那么与它相邻的阴影部分的面积就是2233a b ab ab⨯-==，同理，相邻的空白部分的面积就是55ab=，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是15915++=，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是210153÷=（平方厘米）；那么阴影部分面积总和是：371121++=，则实际面积是：221143⨯=（平方厘米）；答：阴影部分面积总和是14平方厘米.故选：A.35.在桌面上，将一个边长为1 的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为()A.8B.7C.6D.5【解析】180(62)6︒⨯-÷18046=︒⨯÷120=︒180660︒÷=︒12060180︒+︒=︒所以，拼接后的图形是：6345+-=（条)答：得到的新图形的边数为5.故选：D.36.用210个大小相同的正方形拼成一个长方形，不同的拼法有()种.A.2B.4C.6D.8【解析】2102357=⨯⨯⨯因数的总个数：(11)(11)(11)(11)16+⨯+⨯+⨯+=（个)不同的拼法有：1628÷=（种)答：不同的拼法有8种.故选：D.37.一个长方形由15个小正方形拼成，如图所示，若这个长方形的周长是64cm，则它的面积为(2)cm.A.960B.256C.240D.128【解析】64[(53)2]÷+⨯=÷6416=（厘米）4⨯⨯=（平方厘米）4415240答：它的面积为2240cm.故选：C.38.如图，每条边都相等，每个角都是直角，则根据信息，求下图的面积为()平方厘米.A.16B.20C.24D.32【解析】如右图进行分割，把图形分成了8个边长是2厘米的小正方形⨯⨯=（平方厘米）22832答：这个图形的面积是32平方厘米.故选：D.39.如图，四边形ABCD为长方形，四边形CDEF为平行四边形.下面四种说法中正确的是()A.甲的面积比乙的面积大B.甲的面积比乙的面积小C.只有当丙、丁两部分面积相等时，甲、乙两部分面积才相等D.甲、乙两部分面积总是相等的，与丙、丁两部分面积的大小无关【解析】四边形ABCD为长方形，所以BC AD=，AB CD=，因为四边形CDEF为平行四边形，所以CD EF=，=，所以AB EF两边同时加上BE，所以BF AE=；根据等底等高的三角形的面积相等，所以得出三角形CBF的面积=三角形DAE的面积，则：三角形CBF的面积-丁的面积=三角形DAE的面积-丁的面积，所以甲、乙两部分面积总是相等，与与丙、丁两部分面积的大小无关；故选：D.40.如图，正方形ABCD的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米.则阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是()平方厘米.A.40B.50C.60D.80【解析】⨯-⨯=（平方厘米）10108560故选：C.41.如图，线段BE将长方形ABCD分成M、N两个部分，如果M部分比N部分的面积小80l 平方厘米，那么AE的长是()A.24厘米B.21厘米C.20厘米D.14厘米【解析】设N部分的面积为x，那么M部分的面积为180x-，+-=⨯(180)3020x xx-=2180600x=+2600180x=2780x=；390N部分的面积是390平方厘米.设梯形的上底为y，1y+⨯⨯=(30)203902y+=10300390y=1090y=；9AE=-=（厘米）；30921故选：B.42.如图，一个33⨯的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是()A.5B.4C.3D.2【解析】通过观察可知，阴影部分的面积=长是3宽是1的长方形的面积-中间边长是1的正方形的面积.⨯-⨯=31112故选：D.43.如图所示，四边形BCDE为平行四边形，AOE∆的面积.()∆的面积为6，求BOCA.3B.4C.5D.6【解析】连接BD，因为，//BE CD ，OB OB =，所以，BOC ∆的面积等于BOD ∆的面积，又因为，//DE AC ，AB AB =，所以，ABE ∆的面积等于ABD ∆的面积，又因为，ABO ∆是ABE ∆和ABD ∆的公共部分，所以，BOD ∆的面积等于AOE ∆的面积，即，BOD ∆的面积AOE =∆的面积6=.答：BOC ∆的面积是6.故选：D .44.如图，M 为平行四边形ABCD 的边BC 上的一点，且:2:3BM MC =，已知三角形CMN的面积为245cm ，则平行四边形ABCD 的面积为( 2)cm .A.30B.45C.90D.100【解析】如图，连接AC .Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BN ∴，ADM NCM ∴∆∆∽，∴24()9ADM MNC S DM S CM ∆∆==， 45MNC S ∆=Q ，20ADM S ∆∴=，:3:2CM DM =Q ，30ACM S ∆∴=，50ADC S ∆∴=，2100ADC ABCD S S ∆∴==平行四边形，故选：D .45.如图，长方形ABCD 中的AE 、AF 、AG 、AH 四条线段把此长方形面积五等分，又长方形长20厘米、宽12厘米，那么三角形AFG 的面积AFG S ∆等于( )平方厘米.A.41.2B.43.2C.43.1D.42.3【解析】由题意可知2012485ABE AEF AGH ADH AFCG S S S S S ∆∆∆∆⨯======四边形， BE EF ∴=，DH HG =，Q 1482BE AB =g g ， 8BE EF ∴==，20164CF =-=，Q 1482DH AD =g g ， 4.8DH HG ∴==， 2.4CG =，14 2.4 4.82FGC S ∆∴=⨯⨯=， 48 4.843.2AFG S ∆∴=-=，故选：B .46.在等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，6AB =，14CD =，AEC ∠是直角，CE CB =，则2AE 等于( )A.84B.80C.75D.64【解析】如图，连接AC ，过点A 作AF CD ⊥于点F ，过点B 作BG CD ⊥于点G ，则AF BG =，6AB FG ==，4DF CG ==.在直角AFC ∆中，22222210100AC AF FC AF AF =+=+=+，在直角BGC ∆中，222222416BC BG GC AF AF =+=+=+，又CE CB =Q ，90AEC ∠=︒，22222100(16)84AE AC EC AF AF ∴=-=+-+=，即284AE =.故选：A .47.下面的四个图形中，第( )幅图只有2条对称轴. A. B. C. D.【解析】如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.观察易知，符合题意的是C.故选：C.48.下面图形中，恰有2条对称轴()A. B. C. D.【解析】根据轴对称图形的定义，可得：A有4条对称轴，B没有对称轴，C有2条对称轴，D有1条对称轴.故选：C.49.在如图的阴影三角形中，不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图()中的三角形.A. B.C. D.【解析】根据分析，可以逆向思维，可以将题中的阴影三角形经过旋转、平移，长直角边旋转和短直角边旋转后得到的图形，不难看出，只有A选项是不可能出现的.图中图中①、②、③三边应为顺时针关系，A不合要求.故选：A.50.在下面的阴影三角形中，不能由图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图()中的三角形.A. B. C. D.【解析】解析：由图可知：A、C、D都可由原三角形经过旋转和平移得到，而B选项必须经过对称才能与原三角形重合，故选：B.。
小学奥数几何专题
⼩学奥数⼏何专题⼩学⼏何⾯积问题⼀姓名引理：如图1ABCD中。
P 是AD 上⼀点，连接PB,PC 则S △PBC =S △ABP +S△pcD =21S ABCD1．已知：四边形ABCD 为平⾏四边形，图中的阴影部份⾯积占平⾏四边形ABCD 的⾯积的⼏分之⼏？2. 的⾯积为18，E 是PC 的中点，求图中的阴影部份⾯积3. 在中,CD 的延长线上的⼀点E ，DC=2DE,连接BE 交AC 于P 点，（如图）知S △PDE =1, S △ABP =4，求：平⾏四边形ABCD 的⾯积4..四边形ABCD 中，BF=EF=ED,（如图）(1) 若S 四边形ABCD =15则S 阴 = （2）若S △AEF + S △BFC =15 则S 四边形ABCD =（第⼀题图）（3）若S △AEF= 3 S △BFC =2 则S 四边形ABCD =5. 四边形ABCD 的对⾓线BD 被E,F ，G 三点四等份，（如图）若四边形AECG=15 则S 四边形ABCD =E P 图1ADCB（适应长⽅形、正⽅形）BＧＢＦＣ ＡＥＤ6.四边形ABCD 的对⾓线BD 被E,F ，G 三点四等份，（如图）若阴影部份⾯积为15 则S 四边形ABCD =7.若ABCD 为正⽅形，F 是DC 的中点，已知：S △BFC = 1 （1）则S 四边形ADFB =（2） S △DFE =（3） S △AEB =8.直⾓梯形ABCD 中.AE=ED,BC=18,AD=8,CD=6,且BF=2FC,S △GED =S △GFC .求S 阴=⼩学⼏何⾯积问题⼆姓名 1.如图S △AEF= 2, AB=3AE CF=3EF 则S △ABC=2. 如图S △BDE=30 ，AB=2AE ， DC=4AC 则S △ABC=3.正⽅形ABCD 中，E,F,G 为BC 边上四等份点， M,N,P 为对⾓线AC 上的四等份点（如图）若S 正⽅形ABCD=32 则S △NGP=4.已知：S △ABC=30 D 是BC 的中点 AE=2ED 则S △BDE=ACBD第1题第2题5. 已知:AD=DB DE=3EC AF=3FE 若S △ABC =160 求S △EFC =6.已知：在△ABC 中，FC=3AF EC=2BE BD=DF 若S △DFE=3则S △ABC=7.ABCD 为平⾏四边形，AG=GC,BE=EF=FC,若S △GEF =2,则S ABCD =8.ABCD 是梯形，AD // BC(如图)则S △AOB= S △AOD= （第8题）9. ABCD是梯形，AD // BC(如图)则S △DOC= S △BOC= （第9题）10.ABCD 是梯形，AD // BC(如图),且BO=3OD, S △AOB=15则S 梯ABCD=（第10题）BACACC CB CCCCBC L 2L 111. 如图BD=DE, EC=3EF AF=2FD若△DFE 的⾯积等于1 则△ABC 的⾯积为（第11题）⼩学⼏何⾯积问题三姓名1.在梯形ABCD 中，AD//BC,图中阴影部分的⾯积为4，OC=2AO, 求 S 梯ABCD = 2在梯形ABCD 中，AD//BC,S △BOC=14 OC=2AO 求 S 梯ABCD =3. 在梯形ABCD 中，AD//BC,S △AOB=14 OC=3AO 求 S 梯ABCD =4.在梯形ABCD 中，AD//BC,图中阴影部分的⾯积为30，OC=3AO,S △AOB =6求S 空=5.读⼀读：A 若直线L 1//L 2 (如图⼀)⼀．当⾼不变，底扩⼤（或缩⼩）K 倍。
小学教育奥数几何难题
小学奥数几何难题种类一：旋转、对称类（ 2011 年日本算术奥林匹克大赛高小初赛）在△ ABC 中， AB AC 9cm ，BAC 120 ．点P在边 BC 上使得 CP6cm ，点 Q 在边 AC 上使得CPQ APB ．央求出三角形BPQ 的面积．【考点】图形对称【答案】 13.5 cm2【解析】方法一：过 A 点作AO BC 交 BC 于点 O，作P、Q 关于 AO 的对称点P'、Q '，连接 P 'Q ' 、AP'、 P 'Q ，以以下图所示：∵CPQ APB ，又APB AP'C ，∴CPQ CP 'A ，∴ PQ∥ P' A ，∴ S APQ S P 'PQ，∴ S APC S P'QC，又∵ P 'O PO ，∴ CP BP ' ，∴ CP ' BP ，∴ S△BPQ S△P'QC S△APC．∵ C 30，∴ AO 4.5 ，又∵ CP 6 ，∴S△APC 6 4.5 2 13.5 ，∴ S△BPQ13.5 ．方法二：（供参照）作AD BC 交 BC 于点D，作 QE BC 交 BC 于点E．∵APB QPC ，ABP QCP ，∴△CQP ∽△ BAP ，又AD、 QE 分别是△ABP 、△QCP的高，于是有：BP AD ，即BP QE CP AD．而又CP QES△BPQ BP QE 2 CP AD 2 6 4.5 2 13.5．【总结】本题没有边之间的比率，只有角度相等，所以试一试做对称来构造出平行线，解决问题．如图，正方形 PQRS 有三个极点分别在△ ABC的三条边上，BQ QC ．求正方形PQRS 的面积．【考点】 图形旋转【答案】 27.2 2cm【解析】 以以下图所示，连接 PR ，依照题意有：S △ APR S △ ABC7963， 1311S △ ABC1436 1 3 2 1 1S △ BPQ S △ ABC2S △ ABC ，S △ CQRS △ ABC2S △ ABC ．13 1311 11那么有：S △ PQRS △ ABCS △ APRS △ BPQ S △ CQR63 3 1S △ ABC34 113 11S △ ABC ，143 143因此S 正方形 PQRS 2S △PQR68S △ ABC，143S APSRS △ BPQS △ CQR 68 S△ ABC75 ．1S △ ABC143143以以下图所示，将△BPQ 以 P 点为中心，逆时针旋转 90 ，至 △OPS 地址，同样的将 △CQR 以 R 点为中心，顺时针旋转90 ，至 △OSR 地址．因为 BQ CQ ，PSORSO PQB RQC 90 ，所以两个阴影三角形恰好构成完满的四边形 SPOR ．连接 AO ，因为 OPSAPSBPQ APS 90 ，所以△ APO 为 直 角 三角形，同理 △ARO 也是直角三角形．有SS △BPQ S △ CQRAPSR△ OPS△ ORSS APOR△ APO△ AROAPSRSSSSS161 92 30，因此S △ ABC30 752 143，7 214352S 正方形 PQRS2 143 68136 27.2 cm 2 ．5 1435【总结】 正方形中的旋转问题．种类二：勾股、弦图类（2011 年日本算术奥林匹克大赛高小初赛）△ABC 是直角三角形．在边AB、 BC 、 CA 上分别取点D、E、F，使得AD AF FC EC ．当△DEF成为等腰直角三角形、BE 3cm 、 DB1cm 时，求△ ABC 的面积．【考点】勾股定理【答案】 24【解析】作FG BC交BC于点G，易知△DBE和△EGF完满相同（∵DE FE，∴DEB FEG90，∴DEB EFG，又∵△DEB ≌△ EFG ．）∴有 EG DB 1 cm， FG EB 3 cm，又∵ FG ∥ AB ， F 是AC的中点，∴ G 也是 BC 中点，即 CG BG4cm ，∴CE CF AF AD 5 cm．因此有 S△ABC BCAB28 6224 cm 2．【总结】本题其实是弦图的应用：图中即构成了一个标准的弦图．其实很多时候出现等腰直角三角形就可以考虑构造弦图来解决问题．如图，P 是正方形ABCD外面的一点，PB12厘米，△APB 的面积是90 平方厘米，△CPB 的面积是48 平方厘米．请问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？【考点】勾股与弦图【答案】 289 平方厘米【解析】将 BP 反向延长以以下图所示构造弦图，以 BP为底，△PAB的高是AF，于是有：S△PAB PB AF 212AF 290，即 AF15 厘米，同理有CG8 厘米．所以S正方形ABCD15282 =289 平方厘米．【总结】本题构造弦图是要点点！（ 2011 年光罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷）如图，点 P 在直角△ABC内，且BA BC ， PB 10 厘米，△ ABC 的面积是 60 平方厘米，△BPC 的面积是 30 平方厘米，求△ ABC的面积．【考点】勾股与弦图【答案】 90 平方厘米【解析】以以下图所示构造弦图：以 BP为底，△ABP 的高为AF ，有：S△ABP BP AF 2 10AF 2 60，即 AF12厘米，同理有 CG 6 厘米，所以 S正方形ABCD12262180 平方厘米，所以 S△ABC180 2 90 平方厘米．【总结】本题和上一题实质相同，但是是点P 的地址发生了改变．（ 2011 年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）以下图是一个面积为18 cm 2、 CD 7 cm的四边形ABCD ．其两条对角线BD 和AC在四边形 ABCD 的内部订交，当BD 10 cm， AC BC ，BCA 90 时，求△ ACD 的面积．【考点】勾股定理【答案】 7.5 平方厘米【解析】作 DE B C ，交 BC 延长线于点 E ，设AC BC a ， CE b ， DE c ．依照勾股定理：b2c2CD 249 ， c2 + a b 2BD 2100 ，两式想减，结合平方差公式得：a22ab51⋯⋯①又S正方形ABCD S△ABC S△ADC a22ab218，整理得 a2ab 36 ⋯⋯②① ②得： ab15，△ab 21527.5平方厘米．S ACD【】本貌似上两似，不然．上面两告我的是两个小三角形的面，而此是整个的面．因中出两个度，不好构造弦，所以化做垂利用勾股定理解决．自△ABC 内部一点P向AB、BC 、CA 作垂，垂足依次F 、D 、E ，以 AF 、FB 、 BD 、DC、CE、 EA 分向外作正方形，以下所示，六个正方形的面依次 S1、 S2、 S3、 S4、 S5、 S6．若是 S6S5 2 ， S4S31，那么求S1S2的．【考点】勾股定理【答案】 3【解析】接、、，其度分 a 、、c ，另AF ，n，BD p ，AP BP CP b m BFCD q ， CE r ， AE s ，以下所示：∵ S6S5 2 ，即 s2r 2 2 ，又∵ a2s2PE 2， c2r 2PE 2，两式相减得a 2c2s2r 22．同理有2222，因而c b q p 1S1S2m2n2a2b2a2c2c2b2 2 1 3 ．【】正方形面很简单和平方合起来，而垂要想到勾股定理．种类三：等积变化类以以下图，大正方形被分成了面积相等的五块，若AB 长为 3.6 厘米，则大正方形的面积为多少平方厘米？【考点】 等积变化模型【答案】 1134 平方厘米【解析】连接CG 、AH 、AD ，过点 G 作 MNDE 交ED 于点 M ，交FC 于点 N ．如以下图所示：设正方形边长为 a ，那么每一块的面积都是1 a2 ，即有 GM AF 2 a ，所以5 5GNAC3 a，有S △ ACG3 a 3 a 1 9 a 2 ，又52 a5 5 250S ACHG S ABHGS △ BCH， 所 以 S △CHG2 a29 a11 a， 所 以2225550 50GH :HDS △ CHG : S △ CDH 11 2 1 211:10 ．同 样 的 ，a :a505S △ GDAS ACDGS △ ACD3 a 2 1 3 a a 3 a 2，所以有：5 2 510S △ AHGS △ ADG 113 a 2 11 11 a 2，所以有：21 10 21 70S △ ABHSABHGS △ AHG1 a2 11 a 23 a 2，因 此5 : 1 a 70703 a9a 3.6AB: BCS △ ABH : S △ BCH3 a 2 3:14 ，也即 AB3，2705517 85即 a34 ，所以正方形面积为221156 平方厘米．a 34【总结】 如何从五块面积都相等这个条件中提取出更多的信息是解决本题的要点．一般来说等积变化都是用于解决线段比率和面积比率相互转变问题，平时看到线段间的比率、均分点、面积相同的若干块等都可以考虑用到等积变化模型．。
几何奥数题
例一：一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径改为原来的2倍后，可装水40克，那么原来的水桶可装水多少千克？例二：一个长方体木块，它的上面和前面的面积和是209平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，它的体积是多少立方厘米？例三：帽子，如图，帽顶部分是圆柱形，用黑布做，帽沿部分是一个环，用白布做。
帽顶的半径、高、帽沿的宽都是a厘米。
问：黑布、白布哪种用得多？例四、两个正方体木块体积差为3700立方厘米，如果以正方体一面为底加工成最大的圆锥，加工成的两个圆锥体积之差是多少立方厘米？（保留整数）例五、把一个长方体分割成一个表面积是150平方厘米的正方体和一个表面积是110平方厘米的长方体。
原长方体的体积是多少立方厘米？第四个专题：立体几何的巧算例一、将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的多个圆柱组成一个物体（如图）。
求这个物体的表面积，你有哪些办法？（第三届“华杯赛”初赛试题）例二、一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半，将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米，求这个大长方体的体积。
（第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛试题）例三、一个底面周长9.42厘米的圆柱体，斜着截去一段后，截成的形体如图，一边高6厘米，一边高4厘米，它的体积是多少？例4、一千个体积为1立方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为10厘米的大立方体，表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小立方体中至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？1、底面是正方形的长方体，高缩短5厘米成为正方体，则表面积减少1.2平方分米，求正方体的体积。
2、一个圆柱，沿底面直径切开，露出一个边长5分米的正方形，圆柱的表面积是多少？3、一根两米长的圆柱，锯掉2分米长的一段后，余下部分的表面积比原来少了6.28平方分米。
这个圆木原来的体积是多少立方分米？4、用一块长3.14厘米，宽2厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。
奥数几何难题及含答案
几何模块1.如右下列图有一个圆心为 O的圆和三个正方形． E， F， G， H和 I ，J，K，L 都是所在线段的中点．假如正方形ABCD的面积是 12 平方厘米，则暗影正方形IJKL 的面积是() 平方厘米．3.如图，在四边形 ABCD中， CF＝2DF， DE=EA．已知三角形 BCF的面积为 3 平方厘米，四边形 BFDE的面积为 5 平方厘米，则四边形ABCD的面积为 () 平方厘米。
4.右图中，ABCD是长方形，长是 8，宽是 3，M是 BD的中点，则三角形 ABM的周长：ABCD 的周长＝ () 。
5.下列图中， ABCD是一个梯形，面积是 4，DC=3，AB＝ 5，求三角形 ABO的面积．6.在三角形 ABC中，点 E 在 BC上，点 F 在 AC上，BF 与 AE订交于点 P，假如四边形CEPF 与三角形 BEP与三角形 AFP的面积均相等为 4，则三角形 ABP的面积为多少？7.由 7 根直径都是 5 分米的圆柱形木头，现用绳索分别在两处把它们捆绑在一同，其切面以下列图，起码需要绳索 ___分米。
是平行四边形 ABCD的 CD边上的一点， BD、AE订交于点 F，已知三角形 AFD的面积是6，三角形 DEF的面积是 4，求四边形 BCEF的面积为多少？10.右图为某婴少儿商品的商标，由两颗心构成，每颗心都是由一个正方形和两个半圆拼成．若两个正方形的边长分别为 40 mm,20 mm，那么，暗影图形的面积是多少．（π取）11.求四边形 GHCM的面积。
12.图中 ABCD是个直角梯形 ( ∠DAB=∠ABC=90°) ，以 AD为一边向外作长方形 ADEF，其( ) 面积为平方厘米。
连结BE交 AD于 P，再连结 PC。
则图中暗影部分的面积是厘米。
13.如图，边长为 12 厘米的正方形中有一块暗影部分。
暗影部分的面积是多少平方厘米。
14. 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求暗影部分的面积．15.．（π 取）16.如图，矩形 ABCD中， AB 6 厘米， BC 4 厘米，扇形 ABE半径 AE 6 厘米，扇形 CBF 的半径 CB 4 厘米，求暗影部分的面积.17. 若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是多少？18.如图是由 19 个棱长都是 2 厘米的立方体重叠而成的，求这个立体图形的表面积．（单位：平方厘米）20.21几何模块答案1.3.4.5.7.8.9.10. .12.13.14.15.16.18.19.20.21.。
小学奥数几何题、数论练习题
小学奥数几何题、数论练习题1.小学奥数几何题习题篇一1、一挂钟时针长10厘米,经过一昼夜时针的顶端走多少厘米?一昼夜走两圈走的路程为：2*2πr=2*2*3.14*10=125.6厘米2、小刚用一根长452.6分米的绳子绕一棵树干正好绕6圈,这棵树干的周长是多少厘米?横截面的面积是多少平方厘米?这棵树的周长为：452.6÷6≈75.4分米半径为：75.4÷(3.14*2)≈12分米横截面积为：3.14*12=452.16平方分米3、一根铁丝在一个圆形缸口上绕了3圈,正好用去3.768米,这个缸口的面积是多少平方米?这个缸口的'周长为：3.768÷3=1.256米半径为：1.256÷(3.14*2)=0.2米面积为：3.14*0.2=0.0628平方米2.小学奥数几何题练习题篇二例题：人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加多少平方米？答案与解析：用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。
所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。
（90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米）练习（1）：有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？练习（2）：一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？3.小学奥数数论练习题篇三有100名少先队员在岸边准备坐船去湖中离岸边600米的甲岛，等最后一人到达甲岛15分钟后，再去离甲岛900米的乙岛，现有机船和木船各1条，机船和木船每分钟各行300米和150米，而机船和木船可各坐10人和25人，问最后一批少先队员到达乙岛，最短需要多长时间？（按小时计算）分析：根据题意，先求出最后一批学生到达甲岛的时间，再求出最后一批学生到达乙岛所需要的时间，再由在甲岛休息15分钟，即可求出要求的答案。
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小学奥数几何难题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN小学奥数几何难题类型一：旋转、对称类（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）在ABC △中，9cm AB AC ==，120BAC ∠=︒．点P 在边BC 上使得6cm CP =，点Q 在边AC 上使得CPQ APB ∠=∠．请求出三角形BPQ 的面积．QPCBA【考点】 图形对称【答案】 13.52cm 【分析】 方法一：过A 点作AO BC ⊥交BC 于点O ，作P 、Q 关于AO 的对称点'P 、'Q ，连接''P Q 、'AP 、'P Q ，如下图所示：【分析】 O P'Q'ABCPQ【分析】 ∵CPQ APB ∠=∠，又'APB AP C ∠=∠，∴'CPQ CP A ∠=∠，∴'PQ P A ∥，∴'APQ P PQ S S =，∴'APC P QC S S =，又∵'P O PO =，∴'CP BP =，∴'CP BP =，∴'BPQ P QC APC S S S ==△△△．∵30C ∠=︒，∴4.5AO =，又∵6CP =，∴APC S △6 4.5213.5=⨯÷=，∴13.5BPQ S =△．【分析】 方法二：（供参考）作AD BC ⊥交BC 于点D ，作QE BC ⊥交BC 于点E ．【分析】 ED ABCP Q【分析】 ∵APB QPC ∠=∠，ABP QCP ∠=∠，∴CQP BAP △∽△，又AD 、QE 分别是ABP △、QCP △的高，于是有：BP ADCP QE=，即BP QE CP AD ⨯=⨯．而又226 4.5213.5BPQ S BP QE CP AD =⨯÷=⨯÷=⨯÷=△． 【总结】 本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线，解决问题．如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC △的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS【考点】 图形旋转 【答案】 27.22cm【分析】 如下图所示，连接PR ，根据题意有：79631311143APR ABC ABC S S S =⨯⨯=△△△，61313213BPQ ABC ABC S S S =⨯⨯=△△△，21111211CQR ABC ABC S S S =⨯⨯=△△△．【分析】 AB CPRS【分析】 那么有：PQR ABC APR BPQ CQR S S S S S =---△△△△△633111431311ABC S ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭△34143ABC S =△，因此682143PQRS PQR ABCS S S ==△△正方形，APSR BPQ CQR S S S ++△△681143ABC S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△75143ABC S =△． 【分析】 如下图所示，将BPQ △以P 点为中心，逆时针旋转90︒，至OPS △位置，同样的将CQR △以R 点为中心，顺时针旋转90︒，至OSR △位置．因为BQ CQ =，90PSO RSO PQB RQC ∠+∠=∠+∠=︒，所以两个阴影三角形恰好构成完整的四边形SPOR ．连接AO ，因为90OPS APS BPQ APS ∠+∠=∠+∠=︒，所以APO △为直角三角形，同理ARO△也是直角三角形．有APSR BPQ CQR S S S ++△△APSR OPS ORS APOR APO AROS S S S S S ++==+△△△△1176923022=⨯⨯+⨯⨯=，因此752143301435ABC S ⨯=÷=△，21436813651435PQRS S ⨯=⨯=正方形27.2=2cm．【总结】正方形中的旋转问题．类型二：勾股、弦图类（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）ABC △是直角三角形．在边AB 、BC 、CA 上分别取点D 、E 、F ，使得AD AF =FC =EC =．当DEF △成为等腰直角三角形、3cm BE =、1cm DB =时，求ABC △的面积．FED CBA【考点】 勾股定理【答案】 24 【分析】 作FG BC ⊥交BC 于点G ，易知DBE △和EGF △完全相同（∵DEB ∠FEG +∠90=︒，∴DEB EFG ∠=∠，又∵DE FE =，∴DEB EFG △≌△．）【分析】 GABCD E F【分析】 ∴有1EG DB ==cm ，3FG EB ==cm ，又∵FG AB ∥，F 是AC 的中点，∴G 也是BC 中点，即4CG BG ==cm ，∴5CE CF AF AD ====cm ．因此有ABC S △2BC AB =⨯÷86224=⨯÷=2cm ． 【总结】 本题其实是弦图的应用：【总结】 FE D CBAG【总结】 图中即构成了一个标准的弦图．其实很多时候出现等腰直角三角形就可以考虑构造弦图来解决问题．如图，P 是正方形ABCD 外面的一点，12PB =厘米，APB △的面积是90平方厘米，CPB △的面积是48平方厘米．请问：正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？P DCBA【考点】 勾股与弦图 【答案】 289平方厘米 【分析】 将BP 反向延长如下图所示构造弦图，【分析】 H GFE A BCDP【分析】 以BP 为底，PAB △的高是AF ，于是有：PAB S △2PB AF =⨯÷12290AF =⨯÷=，即15AF =厘米，同理有8CG =厘米．因此22158ABCD S =+正方形=289平方厘米．【总结】 本题构造弦图是关键点！（2011年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷）如图，点P 在直角ABC △内，且BA BC =，10PB =厘米，ABC △的面积是60平方厘米，BPC △的面积是30平方厘米，求ABC △的面积．PCB A【考点】 勾股与弦图 【答案】 90平方厘米 【分析】 如下图所示构造弦图：【分析】 HGF E DA B CP【分析】 以BP 为底，ABP △的高为AF，有：2ABP S BP AF =⨯÷△10260AF =⨯÷=，即12AF =厘米，同理有6CG =厘米，因此22126180ABCD S =+=正方形平方厘米，所以180290ABC S =÷=△平方厘米．【总结】 本题和上一题本质相同，不过是点P 的位置发生了改变．（2011年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）下图是一个面积为182cm 、7CD =cm 的四边形ABCD ．其两条对角线BD 和AC 在四边形ABCD 的内部相交，当10BD =cm ，AC BC =，90BCA ∠=︒时，求ACD △的面积．DC B A【考点】 勾股定理 【答案】 7.5平方厘米 【分析】 作DE BC ⊥，交BC 延长线于点E ，设AC BC a ==，CE b =，DE c =．【分析】 cb a E AB C D【分析】 根据勾股定理：22249b c CD +==，()222100c a b BD +==+，两式想减，结合平方差公式得：2251a ab +=……① 【分析】 又ABCD ABC ADC S S S =+正方形△△222a ab =÷+÷18=，整理得236a ab +=……② 【分析】 ①-②得：15ab =，21527.5ACD S ab =÷=÷=△平方厘米．【总结】 本题貌似上两题类似，实则不然．上面两题告诉我们的是两个小三角形的面积，而此题是整个的面积．因为题中出现两个长度，不好构造弦图，因而转化为做垂线利用勾股定理解决问题．自ABC △内部一点P 向AB 、BC 、CA 作垂线，垂足依次为F 、D 、E ，以AF 、FB 、BD 、DC 、CE 、EA 为边长分别向外作正方形，如下图所示，这六个正方形的面积依次记为1S 、2S 、3S 、4S 、5S 、6S ．如果652S S -=，431S S -=，那么试求12S S -的值．PS 5S 6S 4S 3S 2S 1FE DC BA【考点】 勾股定理 【答案】 3 【分析】 连接AP 、BP 、CP ，其长度分别记为a 、b 、c ，另记AF m =，BF n =，BD p =，CD q =，CE r =，AE s =，如下图所示：【分析】 sr q p nm c baABCD E FS 1S 2S 3S 4S 6S 5P【分析】 ∵652S S -=，即222s r -=，又∵222a s PE =+，222c r PE =+，两式相减得22222a c s r -=-=．同理有22221c b q p -=-=，因而12S S -22m n =-22a b =-()()2222a c c b =-+-213=+=．【总结】 正方形面积很容易和平方结合起来，而垂线则要想到勾股定理．类型三：等积变化类如下图，大正方形被分成了面积相等的五块，若AB 长为3.6厘米，则大正方形的面积为多少平方厘米？HGF EDCB A【考点】 等积变化模型 【答案】 1134平方厘米 【分析】 连接CG 、AH 、AD ，过点G 作MN DE ⊥交ED 于点M ，交FC 于点N ．如下图所示：【分析】N MA B CDEF GH【分析】 设正方形边长为a ，那么每一块的面积都是215a ，即有25GM AF a ==，所以35GN AC a==，有2331955250ACG S a a a =⨯⨯=△，又225ACHG ABHG BCH S S S a =+=△，所以222291155050CHG S a a a =-=△，所以:GH HD:CHG CDHS S =△△22111:505a a =11:10=．同样的，22313352510GDA ACDG ACD S S S a a a a =-=-⨯⨯=△△，所以有：22113111*********AHG ADG S S a a =⨯=⨯=△△，所以有：ABH ABHG AHG S S S =-△△22111570a a =-2370a =，因此::ABH BCHAB BC S S =△△2231:3:14705a a ==，也即3393.651785AB a a =⨯==，即34a =，所以正方形面积为2a =2341156=平方厘米．【总结】如何从五块面积都相等这个条件中提取出更多的信息是解决本题的关键．一般来说等积变化都是用于解决线段比例和面积比例相互转化问题，通常看到线段间的比例、等分点、面积相同的若干块等都可以考虑用到等积变化模型．。