运用导数解决含参问题

运用导数解决含参问题

运用导数解决含参函数问题的策略

以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。

解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、

复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。

解决的主要途径：是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特

征，恰当地构造函数，等价转化为：含参函数的最值讨论。 一、含参函数中的存在性问题

利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方程或不等式（组）求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。 例题讲解

例1：已知函数x x x f ln 2

1)(2+=

，若存在],1[0e x ∈使不等式

m

x f ≤)(0，求实数m 的取值范围

二、含参函数中的恒成立问题

可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎

刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。类型有：(1)双参数

中知道其中一个参数的范围；(2)双参数中的范围均未知。

一、选择题

1 ．（2013年课标Ⅱ）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）

A ．0x ∃∈R,0()0

f x =

B.函数()y f x =的图像是中心对称图形

C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减

D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0

f x =

2 ．（2013年大纲）已知曲线()4

2

1-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（） A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6 3 ．（2013年湖北）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,0)-∞

B ．1

(0,)2

C ．(0,1)

D ．(0,)+∞

4.若函数3

2

()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ）

A. 1(,)3+∞

B. 1(,)3-∞

C. 1[,)3+∞

D. 1(,]3

-∞ 5.函数2

()f x ax b =-在区间(,0)-∞内是减函数，则,a b 应满足: （ ） Ａ．0a <且0b = Ｂ．0a >且b R ∈

Ｃ．0a <且0b ≠ Ｄ．0a <且b R ∈

6. 函数y ＝a x 2

＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )

A ． 18

B ．41

C ．2

1

D ．1

7.函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

二、填空题

8 ．（2013年广东卷（文））若曲线2

ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____.

9．（2013年江西卷（文））若曲线1y x α

=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则

α=_________。

10．设f ( x ) = x 3－2

1x 2

－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则

实数m 的取值范围为 .

11．已知函数32()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是

三、解答题

11．若函数cx bx x y 2

3

++=在区间)0,(-∞及)[2,+∞是增函数，在)2,0(是减函数， 求此函数在4][-1，上的值域。

12．已知函数323

()(2)632

f x ax a x x =-++-

（1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

13 ．（2013年浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2

+6ax

(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 14．（2013年大纲卷（文））已知函数()32=33 1.f x x ax x +++

(I)求()f ;a x =的单调性;

(II)若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围

15．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．

(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；

(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭

⎫0，1

3上单调递增，求b 的取值范围．

16．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．

(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；

17．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．