导数中的求参数取值范围问题

帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基本题型：

（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。 例1.已知a ∈R ，函数2

()()e

x

f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）

（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；

（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由.

解： （1）2

-()()e x

f x x ax =-+Q

-2

-()(2)e ()(e )x

x

f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x

x a x a ⎡⎤-++⎣⎦.

()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，

2

(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2

()(2)g x x a x a =-++，则(1)0,

(1)0.

g g -≤⎧⎨

≤⎩

1(2)01(2)0

a a a a +++≤⎧∴⎨-++≤⎩, 3

2a ∴≤-.

（2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立

即2-(2)e 0x

x a x a ⎡⎤-++≤⎣⎦ 对x ∈R 都成立.

2e

0,(2)0x

x a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立

令2

()(2)g x x a x a =-++，

Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立

②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，

即2-(2)e 0x

x a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，

e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立.

22(2)440a a a ∆=+-=+>Q

故函数()f x 不可能在R 上单调递增.

综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数

例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,

若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切

线的倾斜角为45o ，对于任意[1,2]t ∈，函数()3

2

/

[()]2

m

g x x x f x =++

在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； 解： /(2)1,22

a

f a =-

==-由

32/2()2ln 23()(

2)2, ()3(4)22

f x x x m

g x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/

()0g x =得，2

(4)240m ∆=++>

故/

()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根 Q 函数()3

2

/

[()]2

m

g x x x f x =++

在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根Q /

/

/

(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>

∴237, (4)233

m m t t >-+<-故2

43m t t +<-，

而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得37

93

m -<<-

例3.已知函数143

41ln )(-+-

=x

x x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）设42)(2

-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式

)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围． 解：（I ）14341ln )(-+-

=x

x x x f 的定义域是(0,)+∞

2

2243

443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31<x 及0)(<'x f 得310><

由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

故也是最小值点，所以min 1

()(1)2

f x f ==-

； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈

当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-；

当12b ≤≤时，2

max ()()4g x g b b ==-；

当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；

问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或2

1482

b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩

解得1b <

或12

b ≤≤

或 b ∈∅

即2b ≤

，所以实数b

的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎦。

例4．设函数2

2

()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+,

(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；

(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的 取值范围．

解：(1)由a ＝0，f (x )≥h (x )，

可得－m ln x ≥－x ，x ∈(1，＋∞)，即m ≤

x

ln x

.

记φ(x )＝x

ln x

，则f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立等价于m ≤φ(x )min .

求得φ′(x )＝ln x －1

ln 2

x 当x ∈(1，e)，φ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )＞0. 故φ(x )在x ＝e 处取得极小值，也是最小值，

即φ(x )min ＝φ(e)＝e ，故m ≤e.

(2)函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x －2ln x ＝a ，

在[1,3]上恰有两个相异实根． 令g (x )＝x －2ln ，则g ′(x )＜1－2

x

.

当x ∈[1,2)时，g ′(x )＜0；