圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

圆锥曲线的综合问题

1．(2016·邢

台

摸底

)已知A (－2,0)，B (2,0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，

△

APB 面积的最大值为2 3.

(1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线AP 的倾斜角3π

4

，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．

解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x2a2＋y2

b2＝1(a >b >0)，F (c,0)．

由题意知⎩⎪⎨⎪⎧

12·2a·b ＝23，

a ＝2，解得

b ＝ 3.

故椭圆C 的标准方程为x24＋y2

3＝1.

(2)以BD 为直径的圆与直线PF 相切．

证明如下：由题意可知，c ＝1，F (1,0)，直线AP 的方程为y ＝－x －2， 则点D 的坐标为(2，－4)，BD 的中点E 的坐标为(2，－2)，圆的半径r ＝2. 由⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝－x －2，x24＋y23＝1，得7x 2＋16x ＋4＝0. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，

则⎩⎨⎧

x0＝－2

7，y0＝－12

7

.

因为点F 的坐标为(1,0)，直线PF 的斜率为4

3，直线PF 的方程为4x －3y －4＝0，点E 到直线PF 的

距离d ＝

|8＋6－4|

5

＝2.所以d ＝r . 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 2．(2016·

合

肥

模

拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .

(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．

解：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.

又圆C 2的圆心为⎝⎛⎭⎫－1，12，半径为|OA|2＝52， ∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝5

4

. (2)记A ⎝⎛⎭⎫x1，x212p ，B ⎝⎛⎭⎫x2，x222p .则OB ―→

＝⎝⎛⎭⎫x2，x222p ， AB ―→＝⎝

⎛

⎭⎫x2－x1，x22－x212p .

由OB ―→·AB ―→

＝0知，x 2(x 2－x 1)＋错误!＝0. ∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 2＋x 1·x 2＝－4p 2， ∴x 1＝－⎝

⎛⎭⎫

x2＋4p2x2. ∴x 21＝x 2＋16p4

x22＋8p 2≥216p4＋8p 2＝16p 2，

当且仅当x 2＝

16p4

x22

，即x 2＝4p 2时取等号． 又|OA |2＝x 21＋x414p2＝1

4p2(x 41＋4p 2·x 21)，

注意到x 21≥16p 2， ∴|OA |2≥

1

4p2

(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2. 而S ＝π·|OA|2

4

，∴S ≥20πp 2，

即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 2＝4p 2时取得． 3．已知椭圆C ：

x2a2

＋

y2b2＝1(a >b >0)，椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2－

2

，且右焦点到直线x ＝

a2c

的距离等于半短轴的长．已知点P (4,0)，过P 点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，点T 与点M 关于x 轴对称．

(1)求椭圆C 的方程； (2)求OM ―→·ON ―→

的取值范围； (3)证明：直线TN 恒过某定点．

解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧

a －c ＝2－2，

a2c －c ＝b ，

解得⎩⎨⎧

a ＝2，

b ＝2，

故椭圆C 的方程为x24＋y2

2＝1.

(2)由题意知直线MN 的斜率存在，

设直线MN 的方程为y ＝k (x －4)． 由错误!得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0. Δ＝(－16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＝16－96k 2>0， 解得0≤k 2<1

6

.

设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝16k2

2k2＋1，x 1x 2＝32k2－42k2＋1，

y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝

12k2

2k2＋1

，

从而OM ―→·ON ―→

＝x 1x 2＋y 1y 2＝44k2－42k2＋1＝22－262k2＋1.

因为0≤k 2<16

，所以OM ―→·ON ―→∈⎣⎡

⎭⎫－4，52. (3)证明：由(2)知T (x 1，－y 1)，直线TN 的方程为y －y 2＝y2＋y1

x2－x1

(x －x 2)． 令y ＝0，得x ＝x 2－错误!.

将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入， 整理得x ＝错误!. ① 由(2)知x 1＋x 2＝

16k2

2k2＋1

，

x 1x 2＝32k2－42k2＋1，代入①式整理，得x ＝1.

所以直线TN 恒过定点(1,0)．

4．(2015·

福

建

高

考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.

(1)求抛物线E 的方程；

(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．

解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p

2.

因为|AF |＝3，即2＋p

2＝3，解得p ＝2，

所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .

(2)证明：法一：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.