期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

,为独立同分布的随机变量序列，若,1,2,k μ<∞=则有p 显然，若12,,,n ξξξ是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值11nk n ξ=∑,为独立同分布的随机变量序列，若,[2,D μξ<∞则有k =∑其等价形式为1lim)exp(2xπ-∞=⎰η，并计算样本均值,,nKolmogorov。

因此，当n充分大时，可用,,)]T S ，,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，n t T <<=，~i z N 并根据无风险利2,)n，1,2,n），则如果用日数据计算波动率，（每年的交易日数）1/2从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。

为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。

+0)()(f x x '+，并令其解为()()n n n f x f x -'2,)2,,}k，跳跃尺度的最终观测值，()2()(,)()!N t W S r N t λτλτσ-exp(λλμ=，()(exp()1)(Y N t r r λμτ=--+21()Y N t σσστ=+。

例2. 标的资产价格遵从跳扩散过程如下◆无形资产——专利池的期权定价模问题专利池的市场价值V 依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S 和成本C 及时间t ，这三个变量均可用跳扩散模型：()(1)dXdt dW Y dN Xμλνσ=-++-通过构造由V 和它所依赖的两个变量S 、C 组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V 与S 、C 所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V 的求解公式。

构造无风险资产组合S S C V V S V C ∏=--一方面V∏的微分的期望为：()()V S C E d r V V S V C dt ∏=--另一方面，222211()()22((,,)(,,))S t S SS C CC S C SC S S S S S E d V S V C V SCV dtE V Y S C t V S C t dt v V Sdtσσσσλλ∂∏=++++-- 新产品发明专利池的市场价值V 所遵循的方程为年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。

若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率 10%递增。

假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。

1.3()0.02,25%,10%,0.6S S C S t t r Y λμμ=====(0)4000,(0)1000,4000,0.005S C n t ===∆=新产品发明专利池的市场价值 V=8050●在一次付清许可费用情况下的价格模型： 新产品发明专利池的价格P 所遵循的方程为：222211()22((,,)(,,))0t S S S C S SS C CCS C SC S S P r v P S rP C S P C P SCP E P Y S C t P S C t rP λσσσσλ+-+++++--=(,,)max((()()),0)(,,)0 as 0(,,)0 as C (,,) as P S C T S T C T P S C t S P S C t P S C t S S αα=-→→→→∞→→∞在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池的价格为：(,,)(,,)P S C t V S C t α=1.3()0.02,25%,10%,0.5,0.6(0)4000,(0)1000,4000,0.005S S C S t t r Y S C n t λμμα=========∆=在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格 P=5450。

●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型新产品发明专利池技术产生的收益S 遵循模型()(1)S S S S S S S dSq dt dW Y dN Sμλνσ=--++- 引进新产品发明专利池技术后的成本 C 遵循模型CC dC dt dWCμσ=+构造无风险资产组合PS C P P S P C ∏=--(,SY N μσ期权的价格公式：,)S N C t α=∑,,,S q Se C ττ-在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。

§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。

其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。

选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。

最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首*,,,,)]T t S S*,,,,T t S S 为标的资产价格的路径，*(,,,,)T t f S S S 是在最优执行时刻*t 的期权价值。

上式定义的用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。

将期权的存续区间均分为N 个子区间，则每个子区T {0,1,,}N ，随机变量用生成随机数模拟得到标的资产价格,,NS ，重复执行(1)N ⨯+。

3,,0的期权持有价值。

对于每条样本路径是在最优停时{0,1,,}j t N *∈执行，或是永不执行。

具体设计程令初值j t *=，在时刻变；如果执行期权，则j t N *=有一个最优停时，每次更新1,2,,}M,,,)]j T t S S *=∑已知股票价格为50，美式看跌期权执行价为个月，股票年收益率的标准差为，用最小二乘蒙特卡洛模拟其价格。

CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)%%%%% 绘制标的股票价格模拟图%%%%% x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期权存续期间')ylabel('股价的模拟路径')%%%%% 绘制期权价值模拟图%%%%% figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';for i=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期权的最优停止时间')ylabel('期权价值的模拟路径')模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：本例中的美式看跌期权价格为：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000) Price=4.2654§7. 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。

在采用方差减少技术2,,m也是标准正态分布中相互独j T S 也是股票价格终值的{}exp()max 0,,1,2,,j j T C rT S K j m =--=的平均值也能得到期权价格的无偏估计量。

因此，由对偶变量技术得到的期权价格蒙特卡洛估计值为11ˆ2m j jAVj C C C m =+=∑。

][]j Var C =，所以1](])2jj C Var C =；并且，令()j j C Z φ=，对于标看涨期是单调递数。

由不()])]j j Z E Z -≤，可知,]0j C ≤，从而1]([2jC Var ≤对偶变量技术有效。

显然，标准欧式看跌期权和亚式期权对应的必也是单调函数，所以对偶变量技术对这两种期权也适用，而障碍期权122,,,,,m m C C C C C 并122,,,222m mC C C C C ++才是独立同分布的抽样，故122,,,22m mC C C C C ++而非2n 122,,,,,m m C C C C C 来计算样本标准差。

以上对偶变量技术采用的输入变量服从标准正态分实际上使用更广泛的输入变量是随机数显然，1U -,,n Y 是期权到期回报贴现的立模拟值，那么期权价格的蒙特卡罗估计值是的同时能得到另一个输出变量1,,n 独立同分布，则对于确定的数期权价格的控制变量估计值即为Y b =-()X并且,,)d Ti1,,n独立同分布，的协方差矩阵为矩阵，∑是d是非奇异矩阵。

则对XYY b=有()(),,d X 之()[]2i X -∑由多元函数的极值理论，可解得使2,,d 将b2Y 。

未知，实践中采用的是其估计,,n X ，从而将,,n X 作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为11)m i b m ==∑◆矩匹配,,m Z 。

由于的样本矩不一定与总体矩匹配，故而矩匹配技术的思想就是对这些样本进行调整，使其一阶矩、二阶矩乃至高阶矩与总体矩匹配，再利用调整后的样本得到蒙特卡洛估计值。

,2,,j j Z Z Z m =-，~(0,1)j Z N j Z 生成的股票价格终jT S ，从期权到期回报现的一次{}exp()max 0,j j T C rT S K=--，利用矩匹配技术得到的蒙特卡洛估计量为11m jj C m =∑。

和对偶变量技术一样，应用矩匹配技术会给置信区间的估计带来变化，因为12,,,m Z Z Z 并不独立，导致12,,,m C C C 也不独立，所以不能直接应用中心极限定理估计误差。

一个解决方案是将抽样分隔为不同批次，对每个批次分别应用矩匹配技术得到彼此独立的期权价格估计，再将批均值作为蒙特卡罗估计值，由批方差得到误差估计。

例如可采1,2,,j j ZZ Z Z m S -=。