函数图象对称性的两个定理
初中数学解读函数像中的对称性
初中数学解读函数像中的对称性初中数学解读函数中的对称性函数是数学中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在函数的图像中，我们常常会遇到一种特殊的性质，即对称性。
对称性是指函数图像关于某一特定轴或点对称的性质。
在本文中，我们将解读初中数学中函数图像中的对称性。
一、关于y轴对称的函数图像1. 定义与性质对于一个函数f(x)，当满足f(-x) = f(x)时，函数图像关于y轴对称。
即函数图像中的任意一点(x, y)关于y轴对称的点为(-x, y)。
这种对称性称为关于y轴的对称性。
2. 例题解析例如，我们考虑函数y = x^2，它的图像为一个开口向上的抛物线。
对于这个函数，我们可以发现满足f(-x) = f(x)，即f(-x) = (-x)^2 = x^2。
这意味着这个函数图像关于y轴对称。
二、关于x轴对称的函数图像1. 定义与性质对于一个函数f(x)，当满足f(x) = -f(-x)时，函数图像关于x轴对称。
即函数图像中的任意一点(x, y)关于x轴对称的点为(x, -y)。
这种对称性称为关于x轴的对称性。
2. 例题解析考虑函数y = sin(x)，它的图像为一条波浪线。
我们可以观察到满足f(x) = -f(-x)，即sin(x) = -sin(-x)。
这意味着这个函数图像关于x轴对称。
三、关于原点对称的函数图像1. 定义与性质对于一个函数f(x)，当满足f(-x) = -f(x)时，函数图像关于原点对称。
即函数图像中的任意一点(x, y)关于原点对称的点为(-x, -y)。
这种对称性称为关于原点的对称性。
2. 例题解析以函数y = x^3为例，它的图像为一条以原点为中心的曲线。
我们可以发现满足f(-x) = -f(x)，即(-x)^3 = -(x^3)。
这意味着这个函数图像关于原点对称。
综上所述，在初中数学中，函数图像中的对称性可以分为关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称三类。
通过观察函数的定义和性质，我们可以判断函数图像是否具有对称性。
(六)抽象函数的对称性
函数的对称性【目标】1、函数的对称性2、奇偶性周期性对称性的关系 【重点】1、掌握抽象函数对称性的判定及应用；2、理解奇偶性、周期性、对称性的关系 【知识点】一、函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数()y f x =的图象关于直线T x =（T 为常数） 对称的充要条件是()()f T x f T x -=+2、函数()y f x =的图象关于直线T x =（T 为常数） 对称的充要条件是()(2)f x f T x =-3、函数()y f x =的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+== 对称的充要条件是()()f a x f b x +=- 4、函数()y f x =的图象关于点(,)A a b对称的充要条件是()()2f a x f a x b -++= 5、函数()y f x =的图象关于点(,)A a b对称的充要条件是()(2)2f x f a x b +-= 6、函数()y f x =的图象关于点(,0)A a对称的充要条件是()()0f a x f a x -++=二、奇偶性、单调性、周期性的关系1、奇偶性、单调性、周期性 （1）奇偶性是特殊的对称性，即奇偶性能推出对称性，对称性推不出奇偶性。
注：奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；（2）周期性与奇偶性互相不能推出。
（3）周期函数一个周期内可能具有或不具有单调性，而单调函数一般不具有周期性。
即周期性与单调性不能互相推出。
2、多对称条件下的周期性（1）()y f x =的图象关于直线x a =和直线x m =对称，()y f x =是以2||T m a =-为周期的周期函数（2）()y f x =的图象关于点(,)A a b 和直线x m =对称，()y f x =是以4||T m a =-为周期的周期函数（3）()y f x =的图象关于点(,)A a b 和点(,)B m b 对称，()y f x =是以2||T m a =-为周期的周期函数3、奇偶性、对称性条件下的周期性（1）奇函数()y f x =的图象关于直线x m =对称，则()y f x =是以4||T m =为周期的周期函数（2）奇函数()y f x =的图象关于点(,0)A a 对称，则()y f x =是以2||T a =为周期的周期函数（3）偶函数()y f x =的图象关于直线x m =对称，则()y f x =是以2||T m =为周期的周期函数（4）偶函数()y f x =的图象关于直线x m =对称，则()y f x =是以2||T m =为周期的周期函数三、两个函数图像的对称性（主要用：动点转移法）1、点对称典例：点(,)A a b 关于点(,)M m n 的对称点(2,2)A m a n b '-- 点(,)A a b 关于直线x m =的对称点(2,)A m a b '- 点(,)A a b 关于直线y x =的对称点(,)A b a ' 点(,)A a b 关于直线y x =-的对称点(,)A b a '-- 2、()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称。
有关函数对称性的几个重要结论
有关函数对称性的几个重要结论学园IACADEMY有关函数对称性的几个重要结论赵建刚河北省石家庄二中函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学自鸲￡础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对.称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质.一函数自身的对称性[重要结论1]函数:,()的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是厂()+厂(2a—x)=2b.证明:(必要性)设点P(,Y)是Y=,(x)图像上任一点,.‘点P(,Y)关于点A(口,b)的对称点P’(2a—,2b—J,)也在y=f()图像上,.?.2b—Y=‘厂(2a—X).即+,(2a—)=2b,故f()+,(2a—x)=2b,必要性得证.(充分性)设点P(Xo,)是Y=,()图像上任一点,则yo=/(洳).‘.‘,(X)+,(2a—X)=2b,.’.f(Xo)+(2a—XO)=2b,即26一),o=.厂(2口一j【0)0故点P’(2a—XO,2b—yo)也在Y=_厂(X)图像上,而点P与点p’关于点A(a,b)对称,充分性得征..推论1:函数Y=.厂()的图像关于原点0对称的充要条件是厂()+厂(一X)=0.[重要结论2]函数Y=厂()的图像关于直线=口对称的充要条件是:,(a+)=,(a-x),即,()=厂(2a—x)(证明同上)推论2:函数Y:,()的图像关于y轴对称的充要条件是,():,(一)[重要结论3](1)若函数Y=厂()图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(日≠b),则Y=.厂()是周期函数,且21a一61是其一个周期.(2)若函数y=厂()图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(口≠6),则y=f(x)是周期函数,且21a—bl是其一个周期.(3)若函数Y=厂()图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线X=b成轴对称(Ⅱ≠6),则Y=厂(x)是周期函数, 且41a一6i是其一个周期.(1)(2)的证明留给读者,以下给出(3)的证明:.函数Y:厂()图像关于点A(a,c)成中心对称...厂()+厂(2a—X)=2c,用2b—代X得:.厂(2b—)+.厂[2a一(2b—)]=2c(1)又?.’函数Y=厂(x)图像关于直线x=b成轴对称...厂(2b—)=厂()代入(1)得:厂()=2c—f[2(a—b)+](2)用2(a—b)一代人得:/[2(a—b)+]=2c—f[4(a—b)+]代人(2)得:一126—2010年第6期,(x)=,[4(a—b)+],故Y=,(x)是周期函数,且41a—bl是其一个周期.’二两个函数的对称性[重要结论4]函数y=f()与=2b-f(2a—)的图像关于点A(a,b)成中心对称.[重要结论5](1)函数Y=-厂(X)与y=f(2a—)的图像关于直线=a成轴对称.(2)函数Y=,()与口一=/(—y)的图像关于直线X+’’=a成轴对称.(3)函数:,()与x—a:,(Y+a)的图像关于直线～Y=a成轴对称.结论4与结论5中的(1)(2)证明留给读者,现证结论5中的(3).设点P(X0,Y o)是=,()图像上任一点,则yo:,(勒).记点P(X,Y)关于直线—Y=a的轴对称点为P’(期,Y1),则Xl=a+肋,yl=xo一日,.’.Xo=口+Yl,yo=l—a代人Y o=厂(劢)之中得均一a=,(a+yJ).?.点P’(1,Y1)在函数—a=,(+a)的图像上.同理可证:函数—a=.厂(Y+a)的图像上任一点关于直线x—Y=a的轴对称点也在函数y=,(x)的图像上.故定理5中的(3)成立.推论3:函数Y:,(X)的图像与x=,(Y)的图像关于直线=Y成轴对称.三三角函数图像的对称性函数’对称中心坐标对称轴方程V=SIn(h.o)=+y:COSx(.b【-I-,0)X=JbcYtan(2,o)无注:上表中kEZ.四函数对称性应用举例例1,定义在R上的非常数函数满足:.厂(1O+)为偶函数,且f(5一)=.厂(5+),则f()一定是()o(第十二届希望杯高二第二试题)A.是偶函数,也是周期函数.B.是偶函数,但不是周期函数.c.是奇函数,也是周期函数.D.是奇函数,但不是周期函数.解:’.厂(10+)为偶函数,.’厂(1O+j)=.厂(10一)..‘厂(x)有两条对称轴X:5与=10,因此,f(x)是以l0为其一个周期的周期函数,.?.:0,即Y轴也是f(x)的对称轴, 因此厂(X)还是一个偶函数,故选(A).例2,设定义域为R的函数=/(),Y=g()都有反函数,并且,(一1)和g(x一2)函数的图像关于直线Y=对称,若g(5)=1999,那么,厂(4):().A.1999B.2000C.2001D.2002解:’.’y=f(—1)和y=g一1(一2)函数的图像关于直线学园IACADEMY略谈生物教学过程中如何开展学习方法指导侯仁珠湖南省安仁县第三中学学有法而无定法;教也有法而无定法.方法是学习入门的向导.达尔文曾说过:”最有价值的知识是关于方法的知识”.生物学科作为--t’l理科学科,注定不能死记硬背,理解才是最重要的. 在生物学教学中,根据生物学科实验性和实践性很强的特点,结合学生的学习实际,心理发展规律和教学内容,有意识地对学生进行学法指导,从而提高学习效率,实现知识传授和智力开发的结合,实现教师主导和学生主体的辩证统一.本文简单介绍在生物教学中常用的三种教学指导方法以作抛砖引玉之用.一阅读法指导阅读是自学的基础,是学生获得知识的重要手段,它还有助于突破教学中的重点和难点.阅读从时间上分课前,课中,课后阅读.课前阅读可以发现问题,便于带着问题听课;课中阅读帮助形成正确的概念,原理和规律;课后阅读可以温故而知新,梳理知识形成网络.只有当学生明确了阅读的意义,才能积极参与阅读并乐于阅读.在阅读时让学生做到眼,口,脑,手并用,养成良好的阅读习惯.例如:阅读中对于概念,规律等结论性内容用笔勾划;对于说明概念的内涵和外延的修饰语或限制词可加上着重号;对于文中晦涩的文字可反复吟读,理解其意.如”体液调节”一节中,甲状腺激素,促甲状腺激素,促甲状腺激素释放激素,这些名词对初学者来说, 容易混淆,单从字面看来比较相近,但是它们的产生部位和作用却各不相同.又如《孟德尔豌豆杂交实验(一)》一节中,有好几对相似的概念和名词术语:性状与相对性状,等位基因与显(隐)性基因,基因分离与性状分离,表现型与基因型,杂合子与纯合子等,这么多的概念和名词同时出现,更容易混淆,这就要求我们不但要从它们的内涵和外延上去理解,而且要多举实例加以掌握.对于不能理解的内容要加上问号,如在预习”排泄”Y=对称,.?.y=g(X一2)反函数是Y=,(—1),而Y=g(一2)的反函数是:Y=2+g(X),.?.f(X—1):2+g(X),..,(5一1)=2+g(5)=2001,故f(4)=2001,应选(c).例3,设f(x)是定义在R上的偶函数,且/(1+);/(11一),当一1≤≤o时,f()=一÷,贝0厂(8.6)=()c(第二八届希望杯高二第一试题)解:’.’f(X)是定义在R上的偶函数,.?.X:0是Y=,(X)的对称轴;又’.(1+)=,(1一),.?.X----l也是y=f()的对称轴.故Y=,()是以2为周期的周期函数,.?.,(8.6)=,(8+0.6)=厂(0.6)=厂(一0.6)=0.3.例4,函数Y=sin(2x+)图像的一条对称轴的方程是()o(92全国高考理)A.=一B.=一C.=一/t”D.=一5x248,4C一解:函数Y:sin(2x+)图像的所有对称轴的方程是2010年第5期一章时,肾小球的滤过作用和肾小管的重吸收作用难以理解,应在书上作一记号,上课时注意老师的演示,解释和分析,从而深刻的理解肾脏的功能.又如,在预习《减数分裂与受精作用》一节时,对较难理解的染色体行为和数目变化,DNA数目变化,要在课堂上注意课件的演示,老师的图示与讲解.随着学生阅读水平的提高,教师要求学生阅读后能提出问题并能提纲挈领地归纳大意,形成知识结构.例:预习《基因对性状的控制》时,可归纳出这样的问题:(1)细胞核中DNA所携带的遗传信息是怎样传递到细胞质中的?(2)信使RNA是如何决定蛋白质的氨基酸顺序的等等.再如,在预习《光合作用》时可归纳出这样的问题:(1)参与光合作用的各种色素的含量,吸收光谱与其本身和叶绿体以及叶片的颜色有何关系?(2)光合作用两个阶段的部位,条件,能量变化和物质变化有哪些不同?又是如何联系的? (3)影响光合作用的因素在农业生产上有何意义?此外还要指导学生重视图表的阅读,明确其意,领会其质.二观察法指导生物是一门以实验为基础的自然学科,观察是获得生物知识的重要环节.如观察生物的形态结构,生活习性,生长发育等等, 有效地发挥观察在生物学学习中的作用.而我们生物学的原理, 规律都是在观察实验的基础上得来的,它不仅能激发学生的学习兴趣,有利于学生理解和掌握基础知识,而且能为学生接受基本技能训练提供机会,有利于全面提高学生的生物科学素养.学生的学习从感性认识开始,以感知为基础,而观察是一种有目的,有计划的感知活动,不仅可以获得新知,也能验证已知. 生物学科的直观性很强,教师除了提供挂图,模型,标本,实物,录像,课件,演示实验等丰富的感性材料外,还应指导学生多接触动,植物和大自然,留心生活中的生物学知识.如指导学生多2x+5x=七+～/t”.2Z..=一,显然取七=1时的对称轴方程是=一,故二二选(A).例5,设,()是定义在R上的奇函数,Nf(x+2)=一f(x),当O≤≤1时,f(X)=,则_厂(7.5)=().A.0.5B.一O.5C.1.5D.一1.5解:..’Y=(x)是定义在R上的奇函数,.’.点(0,0)是其对称中心;又’.(+2)=一f(x)=厂(一X),即f(1+)=/(1一x),o~o直线X=l是=,(x)的对称轴,故=,()是周期为2的周期函数..‘.,(7.5):,(8一O.5)=,(一O.5)=-f(0.5)=一O.5,故选(B).函数对称性的这几个重要结论在数学学习中应用非常广泛, 本文希望能够起到抛砖引玉的作用.一127—。
高三函数对称性知识点总结
高三函数对称性知识点总结在高三数学中，函数是一个重要的概念和知识点。
在函数的学习中，函数的对称性是一个关键的概念。
了解和掌握函数的对称性是解题的基础，本文将对高三函数的对称性知识点进行总结。
函数的对称性可以分为平面对称和轴对称两种情况。
平面对称是指函数图像关于某个平面对称，而轴对称则是指函数图像关于某个轴对称。
接下来将分别从平面对称和轴对称两个方面来介绍高三函数的对称性知识点。
平面对称性是函数图像相对于某个平面的对称性。
当函数的图像关于$x$轴或$y$轴对称时，即可说函数具有平面对称性。
平面对称的函数具有以下特点：1. 关于$x$轴对称：当函数图像关于$x$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。
这种情况下，若$P$为函数图像上的任意一点，则$P$关于$x$轴对称的点也在函数图像上。
2. 关于$y$轴对称：当函数图像关于$y$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。
这种情况下，若$P$为函数图像上的任意一点，则$P$关于$y$轴对称的点也在函数图像上。
轴对称性是函数图像相对于某个轴的对称性。
当函数的图像关于$x$轴、$y$轴或者直线$x=a$对称时，即可说函数具有轴对称性。
轴对称的函数具有以下特点：1. 关于$x$轴对称：当函数图像关于$x$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。
这种情况下，若$(x,y)$为函数图像上的任意一点，则$(x,-y)$也在函数图像上。
2. 关于$y$轴对称：当函数图像关于$y$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。
这种情况下，若$(x,y)$为函数图像上的任意一点，则$(-x,y)$也在函数图像上。
有关函数对称性的几个重要结论
有关函数对称性的几个重要结论发表时间：2010-10-15T11:36:34.293Z 来源：《学园》2010年第5期供稿作者：赵建刚[导读] 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
赵建刚河北省石家庄二中函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一函数自身的对称性［重要结论 1］函数 y＝f（x）的图像关于点 A（a，b）对称的充要条件是 f（x）＋f（2a－x）＝2b。
证明：（必要性）设点 P（x，y）是 y＝f（x）图像上任一点，∵点 P（x，y）关于点 A（a，b）的对称点 P’（2a－x，2b－y）也在 y ＝f（x）图像上，∴ 2b－y＝f（2a－x）。
即 y＋f（2a－x）＝2b，故 f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证。
（充分性）设点 P（x0，y0）是 y＝f（x）图像上任一点，则 y0＝f（x0）。
∵f（x）＋f（2a－x）＝2b，∴f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即 2b－y0＝f（2a－x0）。
故点 P’（2a－x0，2b－y0）也在 y＝f（x）图像上，而点 P与点 P’关于点 A（a，b）对称，充分性得征。
推论 1：函数 y＝f（x）的图像关于原点 O对称的充要条件是 f（x）＋f（－x）＝0。
［重要结论 2］函数 y＝f（x）的图像关于直线 x＝a对称的充要条件是： f（a＋x）＝f（a－x），即 f（x）＝f（2a－x）（证明同上）推论 2：函数 y＝f（x）的图像关于 y轴对称的充要条件是 f（x）＝f（－x）［重要结论 3］（1）若函数 y＝f（x）图像同时关于点 A （a， c）和点 B（b，c）成中心对称（ a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。
函数与像的对称轴与对称中心
函数与像的对称轴与对称中心在数学中，函数的对称性是一个重要的概念。
对称轴和对称中心是描述函数图像对称性的两个关键概念。
本文将详细讨论函数与像的对称轴和对称中心。
一、对称轴对称轴是指在函数图像中，函数曲线关于某一直线对称。
对称轴将函数图像分为两个对称的部分。
对称轴可以垂直于x轴或y轴，也可以是任意直线。
1.1 垂直对称轴当函数图像关于y轴对称时，这条直线称为垂直对称轴。
对于函数y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)，则函数图像关于y轴对称。
例如，我们考虑函数y = x^2。
对于任意的x，都有(-x)^2 = x^2。
所以函数y = x^2关于y轴对称，对称轴是y轴。
1.2 水平对称轴当函数图像关于x轴对称时，这条直线称为水平对称轴。
对于函数y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(x) = f(-x)，则函数图像关于x轴对称。
例如，我们考虑函数y = sin(x)。
对于任意的x，都有sin(x) = sin(-x)。
所以函数y = sin(x)关于x轴对称，对称轴是x轴。
1.3 斜对称轴除了垂直和水平对称轴，函数图像还可以关于斜线对称。
例如，对于函数y = 1/x，该函数图像关于线y = x对称，对称轴是y = x。
二、对称中心对称中心是指在函数图像中，函数曲线关于某一点对称。
对称中心将函数图像分为对称的部分。
2.1 原点对称当函数图像关于原点对称时，原点是对称中心。
对于函数y = f(x)，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，则函数图像关于原点对称。
例如，我们考虑函数y = x^3。
对于任意的x，都有(-x)^3 = -x^3。
所以函数y = x^3关于原点对称，原点是对称中心。
2.2 其他对称中心除了原点，函数图像还可以关于其他点对称。
例如，对于函数y = cos(x)，该函数图像关于点(π/2, 0)对称，该点是对称中心。
三、对称性与图像函数的对称性与图像的形状密切相关。
有关函数对称性的几个重要结论
有关函数对称性的几个重要结论作者：赵建刚来源：《学园》2010年第05期函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一函数自身的对称性[重要结论1]函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b。
证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P’(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,∴2b-y=f(2a-x)。
即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)。
∵f(x)+f(2a-x)=2b,∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,即2b-y0=f(2a-x0)。
故点P’(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点P与点P’关于点A(a,b)对称,充分性得征。
推论1:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0。
[重要结论2]函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是:f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)(证明同上)推论2:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)[重要结论3](1)若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
(2)若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
高中数学中的自对称和互对称
浅析高中数学中的对称美太康县第一高级中学数学组李云厅函数是高中数学的灵魂，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是近几年高考的重点与热点问题，而函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来体会高中数学中对称美。
一、自对称：函数自身的对称性定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2.函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的根底。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个根本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分表达了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来讨论函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：〔必要性〕设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'〔2a－x，2b－y〕也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
〔充分性〕设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，那么y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'〔2a－x0，2b－y0〕也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 〔证明留给读者〕推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①假设函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
抽象函数图像对称性问题
函数图像对称性得问题一、函数自身得对称性得问题函数就是中学数学教学得主线,就是中学数学得核心内容,也就是一个高中数学得基础。
函数得性质就是高考得重点与热点,函数得对称性就是函数得一个基本性质,也就是难点,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身得对称性与不同函数之间得对称性这两个方面来探讨函数与对称有关得性质得一些思考。
例题1. 函数y = f(x)得图像关于点Ａ(ａ,b)对称得充要条件就是ｆ(x) + f (2ａ—ｘ) = 2b证明:(必要性)设点Ｐ(x,y)就是y＝ f (ｘ)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a,b)得对称点Ｐ‘(2ａ-x,2b—y)也在y= f (x)图像上,∴2b—y = f(２a—x)即y＋ f (2ａ—ｘ)＝２ｂ故f (ｘ) + ｆ(2a－x)= ２b,必要性得证。
(充分性)设点P(x０,y0)就是y = ｆ(x)图像上任一点,则y0 = f (x0)∵ｆ(x) + f (2a－ｘ) ＝2b∴f(ｘ０) +ｆ(2a－x0) =２b,即2ｂ－ｙ０= f (2a-x0) 。
故点P‘(２a－x０,2b-y0)也在ｙ= f (ｘ) 图像上,而点P与点Ｐ‘关于点A(a ,b)对称,充分性得征。
例题２①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,ｃ)与点B (ｂ,ｃ)成中心对(a≠ｂ),则y = ｆ(ｘ)就是周期函数,且2|ａ－ｂ｜就是其一个周期。
②若函数y =ｆ(x) 图像同时关于直线ｘ=ａ与直线x = b成轴对称(a≠b),则y =f(x)就是周期函数,且２｜ａ—b｜就是其一个周期、③若函数y =ｆ(ｘ)图像既关于点A(a ,ｃ) 成中心对称又关于直线ｘ＝ｂ成轴对称(a≠b),则y = f(x)就是周期函数,且4｜ａ-b|就是其一个周期。
①②得证明留给读者,以下给出③得证明:∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c)成中心对称,∴f(x) ＋f(2a—ｘ) =2ｃ,用2b-ｘ代x得:f(2b－x) ＋f ［2a-(２b－ｘ) ] =２c………………(*)又∵函数y ＝ f (x)图像直线ｘ=b成轴对称,∴ f (２ｂ-x) = f (x)代入(*)得:ｆ (ｘ) = 2c —f ［2(a －b) + x ］…………(**),用2(ａ—ｂ)-ｘ代x 得f [2 (a-b)+ x ］ = ２c-f [４(a-b) ＋ x ］代入(＊＊)得:f (x) = ｆ ［4(a －b) + x ］,故ｙ = ｆ (ｘ)就是周期函数,且4｜ a-b ｜就是其一个周期、二、 不同函数对称性得问题数与形这两个基本概念,就是数学得两块基石、全部数学大体上都就是围绕这两个概念得提炼、演变、发展而展开得。
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f（2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。
∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f -=∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f +=-（2）函数的点对称：函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+- 可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称 得证。
三角函数诱导公式和函数的对称性
三角函数诱导公式和函数的对称性秭归二中 邮编:443600杜海柱三角函数的诱导公式我们比较熟悉,但对一些公式所反映的对称性并不熟悉.下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧.一. 轴对称定理一 如果函数y ()f x =满足()()f x a f x a +=-或()(2)f x f a x =-,函数y ()f x =的图像关于直线x=a 对称。
证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于直线x=a 的对称点'(2,)p a x y -，显然有y ()f x =。
()(2),f x f a x =-由则y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y -也在函数的图像上。
由点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于直线 x=a 对称。
例如 三角函数诱导公式()cos 2cos ,,k x x k z π-=∈函数cos y x =的图像对称轴为,x k k z π=∈；sin(2)sin ,k x x k z ππ+-=∈，函数sin y x =的图像对称轴为,2x k k z ππ=+∈。
二 . 中心对称 定理二 如果函数y ()f x =满足()2()()()f a x f x f a x f a x -=--=-+或 函数y ()f x =的图像关于点（a,0）成中心对称。
证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于点（a,0）的对称点'(2,)p a x y --由(2)(),f a x f x -=-则-y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y --也在函数y ()f x =的图像上。
点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于点（a,0）成中心对称。
例如：三角函数诱导公式sin(2)sin ,k x x k z π-=-∈，就说明函数sin y x = 的图像关于点（a,0） 成中心对称；由cos(2)cos ,k x x k z ππ+-=-∈，说明函数cos y x = 图像关于点(,0)2k ππ+ 成中心对称。
抽象函数图像的对称性与周期性初探
抽象函数图像的对称性与周期性初探抽象函数f（x），由于不知道其解析式，因而不能画出其图像的全貌，对它的研究成了中学生学习的一个难点.本文介绍有关抽象函数图像对称性与函数周期性的几个定理，帮助同学们提高解决此类函数问题的能力.一、对称性定理1：函数y=f（x）图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.证明：在y=f（x）图像上任取一点，设为P（x，y），则y=f（x）.点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a-x，2b-y）.1.必要性若y=f（x）图像关于点A（a，b）对称，则点P′也在y=f（x）图像上，2b-y=f（2a-x），又y=f（x），f（x）+f（2a-x）=2b成立.由P点的任意性得f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.2.充分性若f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，则f（x）+f（2a-x）=2b，2b-y=f （2a-x），点P′也在y=f（x）图像上.由P点的任意性得y=f（x）图像关于点A对称.说明：f（x）+f（2a-x）=2b有许多等价形式，如f（a+x）+f（a-x）=2b，应用时关键看横坐标之和、纵坐标之和皆为常数.以上证法是证明函数图像对称性的一般方法，以后几个结论可以仿此证明.推论：函数y=f（x）图像关于原点对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0恒成立（即函数为奇函数）.定理2：函数y=f（x）图像关于直线x=a对称的充要条件是f（x）=f（2a-x）恒成立.说明：f（x）=f（2a-x）也有许多等价形式，如f（a+x）=f（a-x），应用时关键看横坐标之和为常数、纵坐标相等.推论：函数y=f（x）图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）恒成立（即函数为偶函数）.例1.如果二次函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有两个实根x、x，那么x+x=（）A. 0B.3C.6D.不能确定解析：f（3+x）=f（3-x），f（x）图像关于直线x=3对称（定理2），f（x）图像与x轴两交点关于直线x=3对称，x+x=6，故选C.例2.设f（x）是定义在R上的函数，F（x）=f（x）-f（a-x），求证：y=F（x）图像关于点（a/2，0）中心对称.解析：仿定理1的证明.在y=F（x）图像上任取一点P（x，F（x）），它关于（a/2，0）的对称点为（a-x，-F（x））.F（a-x）=f（a-x）-f[a-（a-x）]=f（a-x）-f（x）=-F（x），点P′也在y=F（x）图像上.由P点的任意性得结论成立.二、周期性定理3：若函数y=f（x）恒满足下列条件之一，则它是周期函数.|2T|是它的一个周期.（1）f（x+T）=-f（x）；（2）f（x+T）=；（3）f（x+T）=-；（4）f （x+T）=；（5）f（x+T）=，其中T≠0.下面对第四个进行证明，其他类似，请同学们自己完成.（4）证明：f（x+2T）=f[（x+T）+T]===f（x），又T≠0，|2T|是f （x）的一个周期.例3.f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=-，当2≤x≤3时，f （x）=x，那么f（5.5）= .解析：由f（x+2）=-，根据定理3，得4为f（x）的一个周期.f （5.5）=f（5.5-8）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5.三、对称性与周期性定理4：若函数y=f（x）图像满足下列条件之一，则y=f（x）是周期函数.其中前两个的一个周期为2|a-b|，第三个为4|a-b|.（1）同时关于点A（a，c）和点B（b，c）（a≠b）中心对称.（2）同时关于直线x=a和直线x=b（a≠b）轴对称.（3）既关于点A（a，c）中心对称，又关于直线x=b（a≠b）轴对称.下面对第三条进行证明，其他类似.（3）证明：y=f（x）图像关于点A（a，c）中心对称f（x）+f（2a-x）=2c①y=f（x）图像关于直线x=b轴对称f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=f（2b-2a+x）②②代入①得f（x）+f（2b-2a+x）=2c③把上式中x换成2b-2a+x得f（2b-2a+x）+f（4b-4a+x）=2c④由③④得f（x）=f（4b-4a+x）a≠b4b-4a≠04|a-b|为f（x）的一个周期.例4.设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），则函数y=f（x）的一个周期为.解析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），根据定理2得函数y=f（x）的对称轴为x=2和x=7.再根据定理4得y=f（x）的一个周期为T=2|7-2|=10.例5.f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：①f（2）=0；②f（x）是以4为周期的函数；③f （x）图像关于y轴对称；④f（x+2）=f（-x），其中正确结论的序号是.解析：①在f（x-2）=-f（x）中令x=2得f（0）=-f（2）；又f（x）是奇函数，f（0）=0f（2）=0正确；②根据定理3知一个周期为4正确；③若正确，则f（x）又为偶函数，应有f（x）恒为0，不正确；④根据周期为4，f（x+2）=f（x-2），再根据题设f（x-2）=-f（x），f （x+2）=-f（x）=f（-x）正确.因此答案是①②④.。
函数的对称性总结
函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b。
（“若f (x) + f (2a－x) = 2b，则函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称”命题正确，且“若数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称，则f (x) + f (2a－x) = 2b成立”逆命题也正确，则称“函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b”。
）证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 。
函数的性质之---函数的对称性
函数图像的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。
②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
函数对称性总结
函数的对称性
一、三角函数图像的对称性
对称。
对称。
,)b 对称。
定理2
b
a x +=对称.
推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对
称.
推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）
对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
二、 函数的点对称：
定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()
b a ,对称.
推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对
称.
推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.
特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
性质5：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2
a b +，2c ）对称。
例1一定是（）
例2.
)(x g =。
例4．函数)()(a x f y a x f y +-=-=与函数的图象关于对称。