2020年辽宁高考理科数学试题及答案解析
2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={2,3，4}，B ={x|1+x >3}，则A ∩B =( )A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2. 已知复数z 满足(3−4i )z =25，则z =( )A. −3+4iB. −3−4iC. 3+4iD. 3−4i3. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为(单位：元)A. 100000B. 95000C. 90000D. 850004. 甲、乙、丙、丁、戊和己6名在一次数学考试中，成绩各不相同。
甲、乙、丙、丁去问成绩，老师说“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”.则这6位同学的得分排名情况有( )A. 360种B. 288种C. 240种D. 192种5. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9B. 8C. 7D. 106. 双曲线x 216−y 29=1的离心率为______A. 54B. 53C. 45D. 357.采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是()0347438636164780456911141695366146986371623326367797742467624281145720425332373227073607522452798973A. 14B. 16C. 20D. 268.若log2x+log2y=2，则x+2y的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√29.若tanα=2，则sin2α=()A. −25B. −45C. 25D. 4510.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD是正方形，AB=2，CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. 12B. √1010C. √105D. 1511.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx12.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则()A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则a+bb+c=_____ ．14.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2√3，球O的体积为______.15.函数y=√4−2−x的值域是________________．16.已知F1，F2是椭圆C：x24+y23=1的左右焦点，P是直线l：y=x+m(m∈R)上一点，若|PF1|+|PF2|的最小值是4，则实数m=__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，BM⊥PD于点M．(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．18.某服装厂拟申报“质量管理示范企业”称号，先进行自查，自查方法如下：先随机抽取50件进行检验，假设每件服装不合格的概率为p(0<p<1)，且各件是否合格相互独立．(1)记50件服装中恰有一件不合格的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2)以(1)中确定的p0作为p的值，已知质检部门规定：先从一批服装中随机抽取3件进行检验，若3件都合格，则可授予“质量管理示范企业”称号；若有2件合格，则再从剩下的服装中任意抽取一件进行检验，若检验合格，则也可以授予“质量管理示范企业”称号．(i)求该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率；(ii)若每件服装的检验费为1000元，并且所抽取的服装都要检验，记这批服装的检验费为ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望．(附：0.983≈0.9412，概率结果精确到0.001.)19.数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，S n为其前n项和，a1,a2,a5成等比数列，(Ⅰ)证明成等比数列；(Ⅱ)设a1=1,b n=a2n,求数列{b n}的前n项和T n．(x−1)2−x+lnx(a>0)20.设函数f(x)=a2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1<a<e，试判断f(x)的零点个数．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．(1)求p；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B ={x|x >2}； ∴A ∩B ={3,4}． 故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数的运算，属于基础题． 由复数的运算法则求解即可． 解： 因为(3−4i )z =25， 所以z =253−4i =25(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4i ． 故选C ．3.答案：D解析：本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入． 解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元， 则2018年就医花费8000+4750=12750元， 根据条形图可知，2018年收入1275015％=85000元．故选D ．4.答案：D解析：本题主要考查排列组合的相关知识，难度不大，由题意知乙所受限制最多，所以可以先限定乙的排列情况，其次是甲，最后根据全排列中“丙得分比丁高”的限制条件综合得到结果． 解：由题意知乙既不是最高分也不是最低分，所受限制最多，所以先排乙，且有4种情况； 再排甲，也有4种情况；剩下丙、丁、戊和己4名，全排列有A 44种情况，其中“丙得分比丁高”和“丙得分比丁低”的情况各占一半，所以“丙得分比丁高”的情况有12A 44种，所以“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”的得分排名情况有4×4×12A 44=192种， 故选D ．5.答案：A解析：本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题． 化得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解． 解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+0=9． 故选：A ．6.答案：A解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，c=5，可得离心率为：ca=54．故选A．利用双曲线方程求出离心率，渐近线方程，然后求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：C解析：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于容易题．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解：从下面随机数表的第一行第5列开始选取两个数字中小于或等于30的编号依次为16，11，14，26，24，20，则第6个个体的编号为20．故选C．8.答案：D解析：本题考查了对数的运算和基本不等式，属基础题．根据log2x+log2y=2，求出xy的值，然后直接利用基本不等式求解x+2y．解：∵log2x+log2y=2，∴log2xy=2，∴xy=4，x>0，y>0，∴x+2y≥2√2xy=4√2，当且仅当x=2y=2√2，即x=2√2，y=√2时取等号．∴x+2y的最小值为4√2．故选D．9.答案：D解析：解：∵tanα=2，则sin2α=2sinαcosαsinα+cosα=2tanαtanα+1=44+1=45，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图，连接AD 1，B 1D 1，则∠B 1AD 1为异面直线AB 1与BC 1所成角， 由已知可得：AB 1=AD 1=√5，B 1D 1=2√2． ∴cos∠B 1AD 1=2×5×5=15． ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为15． 故选：D ．由已知画出图形，找出异面直线AB 1与BC 1所成角，再由余弦定理求解． 本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．11.答案：D解析：本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了诱导公式的应用，属于基础题． 由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再结合诱导公式进行化简解析式，得出结论． 解：将函数f(x)=sinπx 的图象向右平移12个单位长度后， 得到g(x)=sin[π(x −12)]=sin(πx −π2)=−cosπx 的图象， 故选：D ．12.答案：B解析：构造函数g(x)=f(x)e 12x ，则g′(x)=f′(x)e 12x −12f(x)e 12x(e 12x )2=2f′(x)−f(x)2e 12x >0，函数g(x)在R 上单调递增，所以g(2ln2)<g(2ln3)，即f(2ln2)e ln2<f(2ln3)e ln3，即f(2ln2)2<f(2ln3)3，即3f(2ln2)<2f(2ln3)．13.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴a+bb+c =2+33+4=57，故答案为57．14.答案：36π解析：本题考查三棱锥外接球问题，及球的体积，属于基础题．其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P−ABC的四个顶点均在球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，∴(2R)2=PA2+PB2+PC2=36，∴R= 3，所以V=43πR3=43π×33=36π．故答案为36π．15.答案：[0,2)解析：本题考查函数值域，属于基础题．解：根据指数函数性质可知2−x∈(0,+∞)，所以−2−x∈(−∞,0)所以4−2−x∈(−∞,4)因为y=√4−2−x≥0，所以值域为[0,2)．故答案为[0,2)．16.答案：±√7 解析： 本题考查椭圆的概念与性质及直线与椭圆位置关系，属于中档题． 设P 点坐标，由椭圆方程得出F 1、F 2的坐标，由椭圆的性质可知当直线l 与椭圆C 相切时符合题意，联立方程组求出m 的值即可..解：∵|PF 1|+|PF 2|=√(x 0+1)2+y 02+√(x 0−1)2+y 02≥4，∴当P 点为直线y =x +m 与椭圆x 24+y 23=1的切点时|PF 1|+|PF 2|最小， 将y =x +m 代入x 24+y 23=1得7x 2+8mx +4m 2−12=0，∴△=64m 2−28(4m 2−12)=0，解得m =±√7．故答案为±√7．17.答案：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ．∵AB ⊥AD ，AD ∩PA =A ，∴AB ⊥平面PAD ．∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM =B ，∴PD ⊥平面ABM ．∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD ．(2)解：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0，0)，P(0,0，4)，B(2,0，0)，C(2,4，0)，D(0,4，0)．∵AM ⊥PD ，PA =AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,2，2)．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)．设平面ACM 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，由n ⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y +z =0，且x +2y =0，令z =1，得x =2，y =−1.∴n⃗ =(2,−1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α=|n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√63． ∴cos α=√33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为√33．解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)推导出PA ⊥AB ，AB ⊥平面PAD ，AB ⊥PD ，由此能证明AM ⊥PD ．(2)以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，由此能求出直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．18.答案：解：(1)由题意得，f(p)=C 501p(1−p)49， 所以. 因为0<p <1，所以令f ＇(p)=0，得p =150=0.02因为当0<p <0.02时，f ＇(p)>0，当0.02<p <1时，f ＇(p)<0，所以f(p)的最大值点p 0=0.02.(2)(i)由(1)可知产品合格的概率为1−0.02=0.98，所以该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C 31×0.982×0.02×0.98≈0.998 ，(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3 000，4 000，则P(ξ=3000)=0.983+C 31×0.98×0.022+0.023≈0.942，P(ξ=4000)=C 32×0.982×0.02≈0.058所以ξ的分布列为ξ 3000 4000P 0.942 0.058所以E(ξ)=3 000×0.942+4 000×0.058=3 058(元).解析：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出f(p)=C501p(1−p)49，所以，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p0．(2)(i)由p=0.02，由题意，该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C31×0.982×0.02×0.98计算可得．(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3000，4000，分别计算概率，列出分布列，得到期望．19.答案：(Ⅰ)证明：因为数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，a1，a2，a5成等比数列，所以a22=a1a5，即为(a1+d)2=a1(a1+4d)，化简可得d=2a1，所以S1S9=a1(9a1+36d)=81a12，S3=3a1+3d=9a1，所以S1S9=S32，所以S1，S3，S9成等比数列；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，(Ⅱ)解：a1=1，则b n=a 2n所以数列{b n}的前n项和T n=(4+8+⋯+2n+1)−n−n=2n+2−4−n．=4(1−2n)1−2解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d=2a1，再由等差数列的求和公式，结合等比数列中项性质，即可得证；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，再由分组求和，结合等比数列的(Ⅱ)求出b n=a 2n求和公式，计算即可得到所求和．(x−1)2−x+lnx(a>0)，定义域(0,+∞)，20.答案：解：(1)∵f(x)=a2∴f′(x)=a(x−1)−1+1x =a(x−1a)(x−1)x，①当0<a<1时，令f′(x)>0可得，x>1a或x<1，令f′(x)<0可得，1<x<1a，∴函数f(x)单调递增区间(1a ,+∞)，(0,1)，单调递减区间(1,1a)；②a=1时，f°(x)>0恒成立，故函数在(0,+∞)上单调递增；③当a>1时，令f′(x)>0可得，x<1a或x>1，令f′(x)<0可得，1a<x<1，∴函数f(x)单调递增区间(1,+∞)，(−∞,1a )，单调递减区间(1a,1)；(2)若1<a<e，由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，∵f(1)=−1<0，f(1a )=a2−12a−lna−1，令g(a)=a2−12a−lna−1，1<a<e，则g′(a)=12+12a2−1a=(a−1)22a2>0恒成立，∴g(a)在(1,e)上单调递增，∴g(1)<g(a)<g(e)<0，即f(1a )=a2−12a−lna−1<0，∵x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，∴函数的图象与x轴只有一个交点即f(x)的零点个数为1．解析：(1)先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论即可求解函数的单调区间；(2)由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，然后判断出f(1)=−1<0，f(1a)=a 2−12a−lna−1<0及x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，即可判断．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性．21.答案：解：(1)由焦点的坐标可得p2=2，所以p=4；(2)由(1)可得抛物线的方程为y 2=8x ，设直线AB 的方程为：y =x −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{y =x −2y 2=8x，整理可得：x 2−12x +4=0， 所以x 1+x 2=12，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长|AB|=x 1+x 2+p =12+4=16．解析：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．(1)由焦点的坐标直接可得p 值；(2)由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)， 消去参数得到x 2+y 2−4x +1=0， 根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]， 所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1， ∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a 2+2+1b 2+1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年高考辽宁卷(理)含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）含答案数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22（C ）2 （D ）2 2．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）606．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >，则B ∠=A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π7．使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．72559．已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b aa=+C ．()3310b a b aa ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--=10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为A ．3172B ．210 C ．132D ．310 11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）1612．设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B两点，连接,AF BF ，若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=，则C 的离心率e = .16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值18．（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。
2020辽宁省高考数学试题(理数)
2020年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用) 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则()()U U A B ⋂=(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} (2)复数22ii -=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i +(3)已知两个非零向量a ，b 满足|a+b|=|a -b|，则下面结论正确的是 (A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=a -b (4)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是 (A) ∃x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)≤0(C) ∃x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)<0(5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ (6)在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 (7)已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α= (A) -1 (B) 22-(C) 22(D) 1 (8)设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩则2x+3y 的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55(9)执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 (A) -1 (B)23(C) 32(D) 4(10)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 3的概率为(A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45(11)设函数f(x)()x R ∈满足f(x -)=f(x)，f(x)=f(2-x)，且当[0,1]x ∈时，f(x)=x 3.又函数g(x)=|xcos ()x π|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在13[,]22-上的零点个数为(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)21x e x x ++211124x x <-+(C)21cos 12x x - (D)21ln(1)8x x x +-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
辽宁高考数学理科卷解析
一、选择题（每小题5分，共60分）. 1.已知集合{}{}35,55M x x N x x =-<=-<<,则MN =( )A. {}55x x -<< B. {}35x x -<< C. {}55x x-< D. {}35x x -<【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合运用集合间的交集运算求解交集表示的范围. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 2.已知复数12i z =-，那么1z=( )A.55+ B.i 55- C.12i 55+ D.12i 55- 【测量目标】复数的基本运算、共轭复数.【考查方式】给出复数的共轭复数的分数形式求其值. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】21112i 12i 12i 12i (12i)(12i)1255z --====-++-+. 3.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b( )【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出平面向量之间的夹角及一个向量的坐标表示求模. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由已知2222,2444421cos60412︒=+=++=+⨯⨯⨯+=a a b a a b b ,∴2+=a b 4. 已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为( )A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的方程.【考查方式】已知圆与一条已知直线之间的位置关系和圆心所在的直线方程求圆的一般方程. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】圆心在0x y +=上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出实际问题运用排列组合的性质运算求解答案. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】直接法：一男两女,有1254C C ＝5×6＝30种,两男一女,有2154C C ＝10×4＝40种,共计70种.间接法：任意选取39C ＝84种,其中都是男医生有35C ＝10种,都是女医生有14C ＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =,则69SS = ( )A. 2 B. 73C. 83D.3【测量目标】等比数列的前n 项和，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列的前n 项和的比的形式求解其值.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】设公比为q ,则3336333(1)132S q S q q S S +==+=⇒=.于是63693112471123S q q S q ++++===++. 7.曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为( ) A. 2y x -= B.32y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =-+ 【测量目标】函数的导数，切线方程.【考查方式】给出一个曲线的解析式求其在某个定点的切线方程. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】2222(2)(2)x x y x x ---'==--,当1x =时切线斜率为2k =-. 8.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，π2()23f =-，则(0)f = ( )第8题图A.23-B.23C.12-D. 12【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.【考查方式】给出函数sin()y A x ωϕ=+的图像，运用其性质求解未知数. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由图象可得最小正周期为2π3于是2π(0)()3f f =,注意到2π3与π2关于7π12对称所以2ππ2()()323f f =-=. 9.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ）A. 12(,)33B.12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 12(,)23 D. 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【测量目标】利用函数的单调性求参数范围.【考查方式】已知函数在某个区间的单调性求未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由于()f x 是偶函数,故()()f x f x =∴得1(21)()3f x f -<,再根据()f x 的单调性得1213x -<解得1233x <<. 10.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，... N a ，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )第10题图A.0,A V S T >=-B.0,A V S T <=-C.0,A V S T >=+D.0,A V S T <=+【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】已知某个循环结构的程序框图，给出输出结果逆推出原程序框图中的残缺部分. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】月总收入为S,因此0A >时归入S ,判断框内填0A >支出T 为负数,因此月盈利V S T =+.11.正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥 P －GAC 体积之比为( )A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 3:2 【测量目标】锥的体积.【考查方式】求解已知几何体中部分几何体的体积之比. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由于G 是PB 的中点,故P －GAC 的体积等于B －GAC 的体积. 在底面正六边形ABCDEF 中3tan 303BH AB AB ︒==而3BD AB =故DH ＝2BH 于是22D GAC B GAC P GAC V V V ---==第11题图12.若1x 满足225xx +=, 2x 满足222log (1)5x x +-=, 12x x +=( )A.52 B.3 C. 72D.4 【测量目标】对数函数、指数函数的性质.【考查方式】给出满足对数函数、指数函数的未知数，运用对数函数、指数函数的性质求解未知数之和.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由题意225xx += ①222log (1)5x x +-= ②（步骤1）所以112252,log (52)xx x x =-=-即12122log (52)x x =-（步骤2）令1272x t =-,代入上式得22722log (22)22log (1)t t t -=-=+-2522log (1)t t ∴-=-与②式比较得2t x = 于是12272x x =-（步骤3）1272x x ∴+=,故选C.（步骤4） 13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分 层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命 的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h ，1020h ，1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_________h. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际问题运用分层抽样的方法求解答案. 【难易程度】容易 【参考答案】1013 【试题解析】9801102021032110134x ⨯+⨯+⨯==.14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系.【考查方式】已知数列的通项与其前n 项和之间的关系求解数列的未知项.【难易程度】中等 【参考答案】13【试题解析】∵11(1)2n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413a =. 15.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）.则该几何体的体积为 3m .第15题图【测量目标】三视图，求几何体的体积【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于16×2×4×3＝4.16.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程，运用其简单的几何性质求两条线段模的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为(4,0)F ', 于是由双曲线性质24PF PF a '-==而5PA PF AF ''+=两式相加得9PF PA+,当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立.17.（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75︒，30︒，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60︒，0.1AC = km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414， 6≈2.44）第17题图【测量目标】正弦定理的实际应用.【考查方式】运用正弦定理在实际问题中构建三角形求解实际问题. 【难易程度】中等【试题解析】在ABC △中，30,6030DAC ADC DAC ︒︒︒∠=∠=-∠=.（步骤1）所以0.1CD AC == 又180606060BCD ︒︒︒︒∠=--=，（步骤2）故CB 是CAD △底边AD 的中垂线，所以BD BA =,（步骤3）在ABC △中，sin sin AB ACBCA ABC=∠∠即sin 60326sin1520AC AB ︒︒+==（步骤4）因此，3260.33km 20BD +=≈.故B ，D 的距离约为0.33km. （步骤5）18.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点 .（1）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正值弦；（2）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线.第18题图【测量目标】面面垂直，异面直线之间的关系.【考查方式】给出立体几何体，由已知知识点求解面面垂直与异面直线之间的关系. 【难易程度】较难【试题解析】（1）解法一：取CD 的中点G ，连接MG ，NG .设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，则MG ⊥CD ，MG =2，NG 2=（步骤1）因为平面ABCD ⊥平面DCED ，所以MG ⊥平面DCEF ，可得∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角. （步骤2）因为MN 6=，所以6sin 3MNG ∠=为MN 与平面DCEF 所成角的正弦值.（步骤3） 解法二：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为,,x y z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. （步骤1）则M （1,0,2）,N (0,1,0),可得(1,1,2)MN =-（步骤2） 又(0,2,2)DA =为平面DCEF 的法向量，可得6cos(,)3MN DA MN DA MN DA==-· 所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为6cos ,3MN DA =（步骤3）第18题(1)图(2)假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB ⊄平面DCEF .又AB //CD ，所以AB //平面DCEF .而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB //EN .又AB //CD //EF ，所以EN //EF ，这与ENEF =E 矛盾，故假设不成立.所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线. 19.（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1:3:6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.（1）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；（2）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求()P A【测量目标】数学期望，分布列.【考查方式】运用数学期望的相关知识求解实际问题. 【难易程度】中等【试题解析】（1）依题意X 的分列为X 0 1 2 3 4P1681 3281 2481 881 181（2）设A 1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，1,2i =.B 1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”,1,2i =依题意知P （A 1）=P (B 1)=0.1，P （A 2）=P (B 2)=0.3，（步骤1）11111122A A B A B A B A B =,（步骤2）所求的概率为11111122()()()()P A P A B P A B PA B P A B =+++（） =11111122()()())()()()P A B P A P B PA PB P A P B +++（ =0.10.90.90.10.10.10.30.30.28⨯+⨯+⨯+⨯= . （步骤3）20.（本小题满分12分）已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为(1,0),(1,0)-.（1） 求椭圆C 的方程；（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】已知椭圆的几个参数求解椭圆的标准方程，判断直线与椭圆的位置关系. 【难易程度】较难【试题解析】(1)由题意，c =1,可设椭圆方程为2219114b b+=+，（步骤1）解得23b =，234b =-（舍去）所以椭圆方程为22143x y +=. （步骤2） (2)设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得 2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=（步骤3）设(,)E E E x y ,(,)F F F x y ,因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以2234()12234F k x k--=+,32E E y kx k =+-（步骤4） 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得2234()12234F k x k +-=+32E Ey kx k =-++（步骤5）所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--即直线EF 的斜率为定值，其值为12. （步骤6） 21.（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+->. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--.【测量目标】函数的单调性.【考查方式】已知函数解析式求解函数的单调性，已知参数范围求解区间内函数的单调性. 【难易程度】较难【试题解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.211()a x ax a f x x a x x--+-'=-+= (1)(1)x x a x-+-=（步骤1）（i ）若11a -=即2a =,则2(1)()x f x x-'=故()f x 在(0,)+∞单调增加. （步骤2）(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<;（步骤3） 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. （步骤4）(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. （步骤5）(2)考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+（步骤6）则211()(1)2(1)1(11)a a g x x a x a a x x--'=--+--=---（步骤7） 由于15a <<,故()0g x '>，即()g x 在(4, +∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，（步骤8）即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---.（步骤9） 22.（本小题满分10分）已知ABC △中，AB =AC , D 是ABC △外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ,C 重合），延长BD 至E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC =30︒，ABC △中BC 边上的高为2+3， 求ABC △外接圆的面积.第22题图【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的简单几何性质.【考查方式】给出圆与直线的位置关系，运用其简单几何性质求解角与线的关系.【难易程度】中等【试题解析】(1)如图，设F 为AD 延长线上一点∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC （步骤1） 又AB =AC ∴∠ABC =∠ACB ,且∠ADB =∠ACB , ∴∠ADB =∠CDF , （步骤2）对顶角∠EDF =∠ADB , 故∠EDF =∠CDF ,即AD 的延长线平分∠CDE . （步骤3）第22题图(2)设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ,则AH ⊥BC .连接OC , OA 由题意∠OAC =∠OCA =15︒, ∠ACB =75︒,∴∠OCH =60︒.（步骤4）设圆半径为r ,则r +23r =2+3,a 得r =2,外接圆的面积为4π.（步骤5） 23.（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为πcos()3ρθ-=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】建立坐标系求解参数方程.【难易程度】中等【试题解析】（1）由πcos()13ρθ-=得13(cos )12ρθθ+=（步骤1） 从而C 的直角坐标方程为13122x y +=即32x +=（步骤2） 0θ=时，2,ρ=所以(2,0)M π2θ=时，3=3ρ所以3π()32N （步骤3） （2）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为3(0,3（步骤4） 所以P 点的直角坐标为3,则P 点的极坐标为23π()6所以直线OP 的极坐标方程为π,(,)6θρ=∈-∞+∞（步骤5） 24.（本小题满分10分）设函数()|1|||f x x x a =-+-.(1)若1,a =-解不等式()3f x ； (2)如果x ∀∈R ,()2f x ,求a 的取值范围.【测量目标】不等式.【考查方式】给出函数解析式求解不等式.【难易程度】中等【试题解析】(1)当1a =-时，()11f x x x =-++.由()3f x 得113x x -++（步骤1） ○1当1x -时，不等式化为113x x---即23x -（步骤2）○2当1x >时，联立不等式组1()3x f x >⎧⎨⎩解得其解集为3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，综上得()3f x 的解集为33,,22⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.（步骤3） (2)若1,()21a f x x ==-，不满足题设条件.○1若1a <,21,,()1,1,2(1),1x a x a f x a a x x a x -++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩()f x 的最小值为1a -（步骤4） ○2若1,a >21,1,()1,1,2(1),x a x f x a x a x a x a -++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩()f x 的最小值为1a -（步骤5） 所以()2x f x ∀∈R ，的充要条件是12a -，从而a 的取值范围为][13∞-+∞（-，，）.（步骤6）。
2020-2021学年辽宁省高考数学一模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）及答案解析辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．404．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣36．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．27．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20009．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣111．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．112．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为．三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．20．已知中⼼在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离⼼率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三⾓形中⾯积的最⼤值为．（Ⅰ）求椭圆M的标准⽅程；（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另⼀交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围．21．已知函数f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，g（x）=f′（x）．（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯⼀零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．请考⽣在第22、23、24题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：⼏何证明选讲]22．如图，正⽅形ABCD边长为2，以D为圆⼼、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF?FC的值．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]23．在平⾯直⾓坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，直线l 的极坐标⽅程是，圆C的极坐标⽅程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆⼼，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数⽅程是（t 为参数），求a，b的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满⾜a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进⾏求解即可．【解答】解：Q={x|x2﹣2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，U Q={x|0＜x＜2}，则P∪?U Q={x|0＜x≤2}，故选：B．2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利⽤复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．【解答】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利⽤等差数列的通项公式及前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，∴{a n}的前5项和：S5====35．故选：C．4．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】直线与圆相交的性质；平⾯向量的基本定理及其意义．【分析】设AB的中点为D，有=+=2，即圆⼼到直线的距离等于半径的⼀半，由点到直线的距离公式列⽅程解出实数k的值．【解答】解：设AB的中点为D，有=+=2，∴||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：C．5．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义，利⽤数形结合确定z的最⼤值．【解答】解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最⼩，此时z最⼤．由，解得，即C（1，）将C的坐标代⼊⽬标函数z=2x﹣y，得z=2﹣=．即z=2x﹣y的最⼤值为．故选：A．6．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执⾏程序，依次写出前⼏次循环得到的m，i的值，观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2017时不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．【解答】解：模拟执⾏程序，可得m=2，i=1满⾜条件i≤2016，m=﹣3，i=2满⾜条件i≤2016，m=﹣，i=3满⾜条件i≤2016，m=，i=4满⾜条件i≤2016，m=2，i=5…观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得满⾜条件i≤2016，m=，i=2016满⾜条件i≤2016，m=2，i=2017不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．故选：D．7．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建⽴三⾓函数模型．【分析】根据选择项设出函数的解析式，利⽤待定系数法结合三⾓函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．【解答】解：由选项设y=﹣Acos（ωx+φ）+k．摩天轮12分钟旋转⼀周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B最⼩值2，最⼤值为36+2=38，即A+k=38，﹣A+k=2，得k=20，A=18，即y=﹣18cos（x+φ）+20，当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最⼩值2，即﹣18cos（×+φ）+20=2，cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，则φ=2kπ﹣，k∈Z，则当k=0时，φ=﹣，即y=﹣18cos（x﹣）+20=﹣18cos（x﹣）+20，故选：D8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到⼤于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限，∴1﹣a≤﹣1，∴a≥2，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000，∴P（1＜a＜2）=0.3000，∴P（a＞2）=0.2000，∴函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为=0.2500，故选：C9．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图知该⼏何体⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，由三视图求出⼏何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出⼏何体的体积．【解答】解：由三视图得该⼏何体是⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，其中截⾯是平⾯ABC，且棱柱和棱锥底⾯是俯视图：等腰直⾓三⾓形，两条直⾓边是2，棱柱⾼为2，棱锥的⾼是2，∴底⾯⾯积S=×2×2=2，∴⼏何体的体积V==，故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进⾏求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，若函数f（x）为R上的单调减函数，则满⾜当x＞0时，函数为减函数，且当x=0时，﹣1﹣a≤0，此时，即，即﹣1≤a≤0，故选：B11．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．1【考点】点、线、⾯间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆⼼为M，协S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从⽽得到ME=SD=，进⽽求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中⼼的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆⼼为M，过S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．12．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】由存在x0∈（0，1），使ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴，故a⼤于或等于f′（x），再根据f′（x）的单调递增，且f′（0）=1，从⽽求得a的范围．【解答】解：∵存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，∴≥＞1，∴ax0≥ln（2+x0）﹣ln（2﹣x0），即ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴（0＜x＜1），故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下⽅，故直线y=ax的斜率a⼤于或等于f′（x）．则f′（x）=+=＞1，f（x）在（0，1）上单调递增．∵x∈（0，1），∴f′（x）是增函数，⼜f′（0）=1，∴f′（x）＞0，故a＞1，故选：B．⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．【考点】⼆倍⾓的正弦．【分析】由条件利⽤半⾓公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cos2（α+）==﹣sin2α=，则sin2α=，故答案为：．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】对|λ+|取平⽅，将问题转化为求关于λ的⼆次函数得最值问题解决．【解答】解：=3，=3×2×cos60°=3．∴|λ+|2==9λ2+6λ+4=9（λ+）2+3．∴当时，|λ+|2取得最⼩值3．∴|λ+|的最⼩值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三⾓形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2?6a?4a?∴c= a∴=故答案为：．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为12 ．【考点】等⽐数列的前n项和；⼀元⼆次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．【分析】设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得关于这两个量的⽅程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最⼤为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利⽤正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利⽤⼤边对⼤⾓可得A为锐⾓，可求cosA，利⽤三⾓形内⾓和定理，两⾓和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利⽤余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB⼜∵B=60°，代⼊得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的性质．【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平⾯ABCD，由线⾯垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线⾯垂直的判定定理得到DF⊥平⾯PAF，再由线⾯垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）由PA⊥平⾯ABCD，可得∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的平⾯⾓，解三⾓形MNF可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，⼜AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF⼜PA⊥平⾯ABCD，∴DF⊥PA，⼜PA∩AF=A，∴（Ⅱ）∵PA⊥平⾯ABCD，∴∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD ﹣F的平⾯⾓∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．【考点】线性回归⽅程；离散型随机变量的期望与⽅差．【分析】（Ⅰ）根据题意，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望EX；（Ⅱ）计算、，求出、，写出y关于x的线性回归⽅程，得出利润函数L（x）的解析式，利⽤⼆次函数的性质求出L（x）的最⼤值与对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2；满⾜90≤x+y＜100的有3组，所以P（X=0）==，P（X=1）==，。
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
辽宁省2020年高考数学 第20题优美解
2020年高考数学（辽宁）第20题（理）试题优美解试题（辽宁、 理科20）如图，椭圆()22022:+=1>b>0,a,b x y C a a b 为常数，动圆222111:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<<b t a ，12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，证明：2212+t t 为定值解法设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-,0,,0A a A a ，则直线1A A 的方程为 ()11=++y y x a x a ① 直线2A B 的方程为()11-=--y y x a x a ② 由①②得 ()22221221-=--y y x a x a③ 由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1-x y b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入③得 ()2222-=1<-,<0x y x a y a b（2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，得 2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以2222221212221-=1-x x b x b x a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a 。
从而22212+=y y b ，因而222212+=+t t a b 为定值试题或解法赏析.本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(辽宁卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（辽宁卷，解析版）一- 选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N=(A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5}【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B（2）已知复数12z i =-，那么1z= （A ）52555i + （B ）52555i - （C ）1255i + （D ）1255i - 【解析】211121212(12)(12)12i i i i i z --===++-+＝1255i - 【答案】D（3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A ）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=23【答案】B(4) 已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70种间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A（6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69SS =（A ） 2 （B ）73 （C ） 83（D ）3 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 ⇒ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++ 【答案】B (7)曲线y=2xx -在点（1，－1）处的切线方程为 （A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1 【解析】y ’＝2222(2)(2)x x x x ---=--,当x ＝1时切线斜率为k ＝－2 【答案】D(8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】由图象可得最小正周期为2π3于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23【答案】B（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 （A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x －1|)＜f(13),再根据f(x)的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜23【答案】A10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。
辽宁省2020届高三考试精品试卷数学理版含答案
辽宁师范大学附属中学高三精品卷测试数学（理）命题人：高三数学备课组第Ⅰ卷( 60分)一．选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．设集合2222⎧⎫⎪⎪=≤≤⎨⎬⎪⎩⎭x A x，{}ln 0B x x =<，则A B =（ ） A ．11(,)22-B．1(0,)2 C ．1[,1)2 D ．1(0,]22. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=（ ） A. 13i B. 13i - C. 1312i +D. 1213i +3．已知x ，y 满足约束条件 则目标函数2z x y =-的最大值为( )A ．12- B ．1 C ．4 D ．5 4.已知命题p:函数()1xf x x =-的图象的对称中心坐标为(1,1)；命题q ：若函数()g x 在区间[],a b 上是增函数，且()g x >0，则有()()()()()bag a b a g x dx g b b a -<<-⎰成立.下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝ 5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年 商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图 所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则 图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.46. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =A. 45B. 47C. 49D. 517．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力， 特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛． 由于爱好者众多，高三学生队队员指定由1班的6人、 2班的8人、5班的10人按分层抽样构成一个12人的 篮球队．首发阵容有5人组成，要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270C ．390D ．3008.在△ABC 中，三个内角A ，Β，C 所对的边为a ，b ，c ，若23ABC S =△，6a b +=，cos cos 2cos a B b Ac c+=，则c =( )A.27B.23C.4D.33 9.已知函数()()220162016log 120162x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ） A 、1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C 、()0,+∞D 、(),0-∞10．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 11.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( ) A.π6 B.π3 C.66π D.33π 12．设函数()2xf x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-，若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =， 则 （ ）A ．0()()g a f b <<B ．()0()g a f b <<C ．()()0f b g a <<D ．()0()f b g a <<第Ⅱ卷(90分)二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知sin 0a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．14.如果满足60,12,ABC AC BC k ∠===的三角形ABC 有且只有一个，那么k 的取值范围是 .15．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．16.如图，已知12,F F 是双曲线22221(a 0,0)y x b a b-=>>的上下焦点，过2F 点作以1F 为圆心，1|OF |为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为________.C 1B 1A 1CBA三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足2632n n n S a a =++，且2a 是1a 和6a 的等比中项.()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 符合[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如22[log 3]1,[log 5] 2.==记25[log ]3n n a b +=，求数列2{2}n n b ⋅的前n 项和.n T 18. (本小题满分12分)如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥,且15A B AC ==，113AA BC ==,且12AB =。
2020年辽宁省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案
2020年辽宁省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(1)|1|z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i -3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A.B.C. D. 24. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A.B. C. D.5. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15B. 16C. 18D. 216. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种7. 若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18. 已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则( )A.)(a f <)(b f <)(c fB.)(b f <)(c f <)(a fC.)(a f <)(c f <)(b fD.)(c f <)(b f <)(a f12．已知函数1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x x f ，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围为（ ）A．1,64⎡⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．][1,2ln2,64⎛-∞-⋃ ⎝ D ．][1,2ln2,64e ⎛-∞-⋃ ⎝ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020 年辽宁省高三教学质量监测考试理科数学试卷-含答案
作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|＝
A．4
B．4 2
C．6
D．6 2
12．定义在 R 上的奇函数 f (x)又是周期为 4 的周期函数，已知在区间[－2，0)∪(0，2]上，
f (x)＝aaxx－＋1b，，－0＜2≤x≤x＜2．0 ，则 f (2019)＋f (2020)＝
A．12
B．－12
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
B．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
C．若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n
D．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
9．已知 tan(α－π4)＝17，则 cos2α＝
A．－275
B．275
C．－2254
D．2245
10．将函数 y＝cos(2x＋φ)(－π2＜φ＜2π)的图象向右平移38π个单位长度单位后得函数 f (x)图
D．c＜b＜a
5．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何 体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 A．4π B．7π C．16π D．28π学试题 第 1 页（共 4 页）
6．中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打 结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位古人在从右到左依次
排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，
这位古人共捕鱼
A．89 条
B．113 条
C．324 条
D．445 条
7．同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次，设 2 枚硬币均正面向上的次数为 X，则 X 的数学
方差是
A．12
B．34
C．1
D．32
8．已知 m，n 表示两条不同直线，α 表示平面，下列说法正确的是
2020年辽宁省辽阳市高考(理科)数学一模试卷(Word解析版)
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{﹣3，﹣2，2，4，6}，B ＝{x |x 2﹣3x ﹣10＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，4}B ．{﹣2，2，4}C ．{﹣2，2}D ．{﹣3，﹣2，2}2．已知复数z 满足（2﹣3i ）z ＝13i 3，则z 的虚部是（ ） A ．3B ．﹣2iC ．2D ．﹣23．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%4．将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院（含A 医院），每所医院派1名护士，则甲和乙都不派往A 医院的总派法数为（ ） A ．48B ．60C ．72D ．965．设非零向量a →，b →满足|a →|＝3|b →|，cos ＜a →，b →＞=13，a →•（a →−b →）＝16，则|b →|＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√56．设双曲线x 2−y 23=1，x 22−y 25=1，y 22−x 27=1的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则（ ）A ．e 3＜e 2＜e 1B ．e 3＜e 1＜e 2C ．e 1＜e 2＜e 3D ．e 2＜e 1＜e 37．将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行），63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第11个个体是（ ） A ．38B ．13C ．42D ．028．若log 2x +log 4y ＝1，则x 2+y 的最小值为（ ） A ．2 B ．2√3C ．4D ．2√29．若tan α+1tanα=3，则cos4α＝（ ） A ．−79B ．−19C ．79D ．1910．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =√2AA 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直线AB 1与C 1F 所成角的余弦值为m ，则（ ）A ．直线A 1E 与直线C 1F 异面，且m =√23B ．直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√23C ．直线A 1E 与直线C 1F 异面，且m =√33D ．直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√3311．已知函数f （x ）＝sin2x +a cos2x ，将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后，得到g （x ）的图象．若g （x ）的图象关于直线x =π4对称，则f （π）＝（ ）A ．−√33B ．√33C ．−√3D ．√312．设定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），对x ∈R 都有f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），当x ＞1且x ≠2时，f′(x)x−2＞0，则（ ）A ．f （log 25）＜f （log 1，53.5），且f （log 32）+f （log 23）＜0B ．f （log 1，53.5）＜f （log 25），且f （log 32）+f （log 23）＜0C ．f （log 25）＜f （log 1，53.5），且f （log 32）+f （log 23）＞0D ．f （log 1，53.5）＜f （log 25），且f （log 32）+f （log 23）＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a ＝5b sin A ，则sin B ＝ ．14．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为．15．函数f（x）=2x1+2x+1（x＞0）的值域为．16．设A（﹣2，0），B（2，0），若直线y＝ax（a＞0）上存在一点P满足|PA|+|PB|＝6，且△PAB的内心到x轴的距离为3√3020，则a＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PD⊥CE，AE＝1，PD＝3，PC=√13．（1）证明：AD⊥平面PCD．（2）求DA与平面PCE所成角的正弦值．18．某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．（1）设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．19．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，且S n+1＝2S n+n﹣1．（1）证明：数列{S n+n}为等比数列，并求a n．（2）求数列{a nn }的前n 项和T n ．20．已知函数f （x ）＝x 3+ax ．（1）讨论f （x ）在（a ，+∞）上的单调性；（2）若a ≥﹣3，求不等式f （2x 2﹣4x +3）＜x 4+6x 4+12x 2+8+a （x 2+2）的解集． 21．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点． （1）若l 过点F ，抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G ．证明：点G 在定直线上．（2）若p ＝2，点M 在曲线y =√1−x 2上，MP ，MQ 的中点均在抛物线C 上，求△MPQ 面积的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知点M （1，√32），C 1的参数方程为{x =12+t y =√3t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ=2+cos 2θ．（1）求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设f （x ）的最小值为M ，正数a ，b 满足a 2+4b 2＝M ，证明：a +2b ≥4ab ．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，2，4，6}，B＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，则A∩B＝（）A．{2，4}B．{﹣2，2，4}C．{﹣2，2}D．{﹣3，﹣2，2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：因为B＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，所以A∩B＝{2，4}．故选：A．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z满足（2﹣3i）z＝13i3，则z的虚部是（）A．3B．﹣2i C．2D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（2﹣3i）z＝13i3＝﹣13i，得z=−13i2−3i=−13i(2+3i)(2−3i)(2+3i)=3−2i，∴z的虚部是﹣2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%【分析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100＝800（万元），共中水费支出250（万元），由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%， 由条形图得去年水、电、交通支出合计为： 250+450+100＝800（万元）， 共中水费支出250（万元），∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A ．【点评】本题考查去年的水费开支占总开支的百分比的求法，考查拆线图、条形图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院（含A 医院），每所医院派1名护士，则甲和乙都不派往A 医院的总派法数为（ ） A ．48B ．60C ．72D ．96【分析】先从丙、丁、戊中任选1人派往A 医院，再把剩余的4人派往另外的4所医院，每所医院派1名护士，最后利用乘法原理求出结果． 解：先从丙、丁、戊中任选1人派往A 医院有C 31种选法，再把剩余的4人派往另外的4所医院，每所医院派1名护士，有A 44种选法，所以总派法数为C31A 44=72，故选：C ．【点评】本题主要考查排列组合中的乘法原理，属于基础题．5．设非零向量a →，b →满足|a →|＝3|b →|，cos ＜a →，b →＞=13，a →•（a →−b →）＝16，则|b →|＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【分析】由于a →•（a →−b →）=|a →|2−a →⋅b →，再利用平面向量数量积进行运算求解即可．解：∵|a →|＝3|b →|，cos ＜a →，b →＞=13，∴a →•（a →−b →）=a →2−a →⋅b →=9|b →|2−3|b →|2×13=8|b →|2=16，∴|b →|=√2． 故选：A ．【点评】本题考查平面向量的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．6．设双曲线x 2−y 23=1，x 22−y 25=1，y 22−x 27=1的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则（ ）A ．e 3＜e 2＜e 1B ．e 3＜e 1＜e 2C ．e 1＜e 2＜e 3D ．e 2＜e 1＜e 3【分析】利用双曲线的离心率公式，求出3个双曲线的离心率，然后判断大小即可． 解：因为双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√1+b 2a2，e 1=21=√82e 2=√72，e 3=3√2=√9√2， 所以e 2＜e 1＜e 3． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7．将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行），63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第11个个体是（ ） A ．38B ．13C ．42D ．02【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解：随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02． 故选：D ．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．8．若log 2x +log 4y ＝1，则x 2+y 的最小值为（ ） A ．2B ．2√3C ．4D ．2√2【分析】由对数的运算法则可求x 2y ＝4（x ＞0，y ＞0），再用均值不等式可求x 2+y 的最小值．解：因为log 2x +log 4y ＝log 4x 2+log 4y ＝log （x 2y ）＝1， ∴x 2y ＝4（x ＞0，y ＞0），则x2+y≥2√x2y=4，当且仅当x2＝y＝2时等号成立，则x2+y的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题．9．若tanα+1tanα=3，则cos4α＝（）A．−79B．−19C．79D．19【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=2sin2α=3，∴sin2α=2 3，∴cos4α＝1﹣2sin22α=1 9．故选：D．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则（）A．直线A1E与直线C1F异面，且m=√23B．直线A1E与直线C1F共面，且m=√23C．直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D．直线A1E与直线C1F共面，且m=√33【分析】连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF∥A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1∥C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C 1F 共面，且m =√23．解：连结EF ，A 1C 1，C 1D ，DF ，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF ∥A 1C 1， ∴直线A 1E 与直线C 1F 共面，由题意得AB 1∥C 1D ，∴异面直线AB 1与C 1F 所成角为∠DC 1F ， 设AA 1=√2，则AB =√2AA 1=2，则DF =√5，C 1F =√3，C 1D =√6， 由余弦定理得异面直线AB 1与C 1F 所成角的余弦值： m ＝cos ∠DC 1F =2×3×6=√23． 综上：直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√23．故选：B ．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 11．已知函数f （x ）＝sin2x +a cos2x ，将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后，得到g （x ）的图象．若g （x ）的图象关于直线x =π4对称，则f （π）＝（ ）A ．−√33B ．√33C ．−√3D ．√3【分析】先求出平移后的函数式g （x ），然后根据g （x ）关于x =π4对称，则x =π4函数取得最大值，构造方程即可．解：g(x)=f(x −π6)=sin(2x −π3)+acos(2x −π3)， 因为g （x ）的图象关于直线x =π4对称， 所以g(π4)=sin π6+acos π6=±√1+a 2， 即12+√32a =±√1+a解得a =√3，故f(π)=a =√3． 故选：D ．【点评】本题考查三角函数图象的变换和性质，注意将对称轴与函数的最值关联，对称中心与函数的零点关联列方程求解．属于较简单的中档题．12．设定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），对x ∈R 都有f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），当x ＞1且x ≠2时，f′(x)x−2＞0，则（ ）A ．f （log 25）＜f （log 1，53.5），且f （log 32）+f （log 23）＜0B ．f （log 1，53.5）＜f （log 25），且f （log 32）+f （log 23）＜0C ．f （log 25）＜f （log 1，53.5），且f （log 32）+f （log 23）＞0D ．f （log 1，53.5）＜f （log 25），且f （log 32）+f （log 23）＞0 【分析】当x ＞1且x ≠2时，f′(x)x−2＞0，对x 分类讨论：x ∈（1，2）时，f ′（x ）＜0；x ∈（2，+∞）时，f ′（x ）＞0．可得其单调性．比较log 25与log 1.53.5的大小关系．即可得出f （log 25）与f （log 1.53.5）大小关系．根据f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），转化f （log 23）＝f （1+log 232）＝﹣f （1−log 232）＝﹣f （log 243）．利用单调性可得f （log 32）+f （log 23）＝f （log 32）﹣f （log 243）与0的关系． 解：当x ＞1且x ≠2时，f′(x)x−2＞0，则x ∈（1，2）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；x ∈（2，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．∵log 1.53.5＞log 1.51.53=3＞log 25，∴f （log 25）＜f （log 1.53.5）． ∵f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），∴f （log 23）＝f （1+log 232）＝﹣f （1−log 232）＝﹣f （log 243）． ∴f （log 32）+f （log 23）＝f （log 32）﹣f （log 243）＜0． 故选：A ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a ＝5b sin A ，则sin B ＝15．【分析】由正弦定理化简已知可得sin A ＝5sin B sin A ，结合sin A ＞0，即可解得sin B 的值． 解：∵a ＝5b sin A ，∴由正弦定理可得sin A ＝5sin B sin A ， 又∵sin A ＞0， ∴sin B =15． 故答案为：15．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则四面体ABCD 的体积为 1 ，球O 的表面积为 14π ． 【分析】利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球的直径即为长方体的对角线即可得出．解：∵AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3， ∴四面体ABCD 的体积=13×12×1×2×3＝1， 把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线． 设球O 的半径为r ，则（2r ）2＝12+22+32＝14． 其表面积＝4πr 2＝14π． 故答案为：1，14π．【点评】本题考查了正四棱锥与球的性质、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．函数f （x ）=2x1+2x+1（x ＞0）的值域为 (13，12) ． 【分析】f(x)=1−x ，由x ＞0可得0＜2﹣x ＜1，进而得到2＜2+2﹣x＜3，则13＜f(x)＜12，由此得出答案．解：f(x)=12+2−x ， ∵x ＞0，∴﹣x ＜0，0＜2﹣x ＜1， ∴2＜2+2﹣x ＜3，∴13＜f(x)＜12，即函数的值域为(13，12)．故答案为：(13，12)．【点评】本题考查函数值域的求法，涉及了指数函数的性质及不等式的性质的运用，属于基础题．16．设A （﹣2，0），B （2，0），若直线y ＝ax （a ＞0）上存在一点P 满足|PA |+|PB |＝6，且△PAB 的内心到x 轴的距离为3√3020，则a ＝ √3 ．【分析】根据条件得到P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程组求出P 的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可． 解：∵A （﹣2，0），B （2，0），P 满足|PA |+|PB |＝6＞|AB |， ∴P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，椭圆方程为x 29+y 25=1，若直线直线y ＝ax （a ＞0）与椭圆方程为x 29+y 25=1联立，可得，x 2=459a 2+5，y 2=45a 29a 2+5 △PAB 的内心到x 轴的距离为3√3020，所以三角形的内切圆的半径为：r =3√3020，三角形的面积为：12⋅|AB|⋅|y|=12×r ×(|AB|+|PA|+|PB|)，可得|y |=52r ，y 2=45a 29a 2+5=54r 2=254×2740，解得a ＝3，因为a ＞0，所以a =√3． 故答案为：√3．【点评】本题主要考查椭圆方程和性质，根据条件确定椭圆的方程，联立方程组求出交点坐标是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，PD ⊥CE ，AE ＝1，PD ＝3，PC =√13．（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AD ⊥CD ，PD ⊥CD ，PD ⊥CE ，从而PD ⊥平面ABCD ，进而AD ⊥PD ，由此能证明AD ⊥平面PCD ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DA 与平面PCE 所成角的正弦值．解：（1）证明：∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，AE ＝1，PD ＝3，PC =√13．∴AD ⊥CD ，AB ＝2AE ＝2，∴PD 2+CD 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， ∵PD ⊥CE ，CD ∩CE ＝C ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PD ， ∵CD ∩PD ＝D ，∴AD ⊥平面PCD ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， D （0，0，0），A （2，0，0），P （0，0，3），C （0，2，0），E （2，1，0）， DA →=（2，0，0），PC →=（0，2，﹣3），PE →=（2，1，﹣3）， 设平面PCE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PC →=2y −3z =0n →⋅PE →=2x +y −3z =0，取z ＝2，得n →=（32，3，2），设DA 与平面PCE 所成角为θ， 则DA 与平面PCE 所成角的正弦值为： sin θ=|DA →⋅n →||DA →|⋅|n →|=3√614=3√6161．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．18．某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．（1）设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．【分析】（1）X的可能取值为8，20，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）求出EX＝15.0656，从而1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX＝15065.6元．再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000＝16000元，得到应该选择人工检验．解：（1）X的可能取值为8，20，P（X＝8）＝0.84+0.24＝0.4112，P（X＝20）＝1﹣0.4112＝0.5888，则X的分布列为X820P0.41120.5888（2）由（1）知，EX＝8×0.4112+20×0.5888＝15.0656，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX ＝15065.6元． 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000＝16000元， 且16000＞15065.6， 所以应该选择人工检验．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，且S n +1＝2S n +n ﹣1． （1）证明：数列{S n +n }为等比数列，并求a n ．（2）求数列{a nn }的前n 项和T n ．【分析】第（1）题先将S n +1＝2S n +n ﹣1转化变形并加以计算可证得数列{S n +n }是首项为2，公比为2的等比数列，再计算出数列{S n +n }的通项公式，以及S n 的表达式，然后运用公式a n ={S 1，n =1S n −S n−1，n ≥2即可计算出数列{a n }的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{a n2n }的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n 项和T n ．【解答】（1）证明：依题意，由S n +1＝2S n +n ﹣1两边同时加上n +1，可得 S n +1+n +1＝2S n +n ﹣1+n +1＝2（S n +n ）， 又∵S 1+1＝a 1+1＝2，∴数列{S n +n }是首项为2，公比为2的等比数列， 则S n +n =2n ，即S n =2n −n ，n ∈一、选择题*，∴当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −n −[2n−1−(n −1)]=2n−1−1， ∵当n ＝1时，a 1＝1不满足上式， ∴a n ={1，n =12n−1−1，n ≥2．（2）解：由（1）知，当n ≥2时，a n 2=2n−1−12=12−12，则T n =a 121+a 222+a 323+⋯+a n n =12+（12−12）+（12−12）+…+（12−12）=n2−（122+123+⋯+12n）=n2−14−12n+1 1−12=12n+n−12，∵当n＝1时，T1=a121=12也满足上式，∴T n=12n+n−12．【点评】本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及求和问题，考查了转化与化归思想，分类讨论，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．20．已知函数f（x）＝x3+ax．（1）讨论f（x）在（a，+∞）上的单调性；（2）若a≥﹣3，求不等式f（2x2﹣4x+3）＜x4+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集．【分析】（1）先求导f′（x）＝3x2+a，分当a≥0时，a＜0时，两种情况讨论，而当a ＜0内再分类讨论，得到单调递性，（2）当a≥﹣3，f′（x）＝3x2+a≥3x2﹣3，可得f（x）在[1，+∞）上单调递增．原不等式等价为f（2x2﹣4x+3）＜f（x2+2），因为2x2﹣4x+3≥1，x2+2＞1，所以2x2﹣4x+3＜x2+2，可解不等式，进而得出答案．解：（1）f′（x）＝3x2+a，当a≥0时，f′（x）≥0，则f（x）在（a，+∞）上单调递增，当a＜0时，f′（x）＝0，得x＝±√−a 3．①当a=−13时，−√−a3=a，令f′（x）＜0，得a＜x＜﹣a，令f′（x）＞0，得x＞﹣a，所以f（x）的单调递减区间为（a，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．②当a＜−13时，−√−a3＞a，令f′（x）＜0，得−√−a3＜x＜√−a3，令f′（x）＞0，得a＜x＜−√−a3或x＞√−a3，所以f（x）的单调递减区间为（−√−a3，√−a3），单调递增区间为（a，−√−a3），（√−a3，+∞）③当−13＜a＜0时，−√−a3＜a，令f′（x）＜0，得a＜x＜−√−a3或x＞√−a3令f′（x）＞0，得，x＜√−a 3，所以f（x）的单调递减区间为（a，√−a 3），单调递增区间为（√−a3，+∞）．（2）因为a≥﹣3，所以f′（x）＝3x2+a≥3x2﹣3，当x≥1时，f′（x）≥0，所以f（x）在[1，+∞）上单调递增．因为x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）＝（x2+2）3+a（x2+2）＝f（x2+2），所以原不等式等价为f（2x2﹣4x+3）＜f（x2+2），因为2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1≥1，x2+2＞1，所以2x2﹣4x+3＜x2+2，解得2−√3＜x＜2+√3，故所求不等式的解集为（2−√3，2+√3）．【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，及不等式的解，属于中档题．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．（1）若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G．证明：点G 在定直线上．（2）若p＝2，点M在曲线y=√1−x2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求△MPQ 面积的取值范围．【分析】（1）设P(x1，x122p)，Q(x2，x222p)．根据条件分别求出直线PG的方程，QG的方程，联立可得(x1−x2)y=x1x2(x1−x2)2p．故点G在定直线y=−p2上．（2）设M（x0，y0），表示出△MPQ的面积S=12|MN|⋅|x1−x2|=3√24(x02−4y0)32．结合M在曲线y=√1−x2上，即可求出面积的取值范围．【解答】（1）证明：易知F(0，p2)，设P(x1，x122p)，Q(x2，x222p)．由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为y =kx +p2． 由{y =kx +p2x 2=2py ，得x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，所以x 1x 2=−p 2． 由x 2＝2py ，得y =x 22p ，y′=x p ，则k PG =x 1p ， 直线PG 的方程为y −x 122p =x 1p (x −x 1)，即x 1p x −y −x 122p=0，① 同理可得直线QG 的方程为x 2px −y −x 222p=0，②联立①②，可得(x 1−x 2)y =x 1x 2(x 1−x 2)2p ．因为x 1≠x 2，所以y =x 1x22p =−p2，故点G 在定直线y =−p2上． （2）解：设M （x 0，y 0），MP ，MQ 的中点分别为(x 1+x 02，x 124+y 02)，(x 2+x 02，x 224+y 02)． 因为MP ，MQ 得中点均在抛物线C 上，所以x 1，x 2为方程(x+x 02)2=4×x 24+y 02的解，即方程x 2−2x 0x +8y 0−x 02=0的两个不同的实根，则x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2=8y 0−x 02，△=(2x 0)2−4(8y 0−x 02)＞0，即x 02＞4y 0，所以PQ 的中点N 的横坐标为x 0，则|MN|=18(x 12+x 22)−y 0=18[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−y 0=34x 02−3y 0，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2(x 02−4y 0)，所以△MPQ 的面积S =12|MN|⋅|x 1−x 2|=3√24(x 02−4y 0)32． 由y 0=−√1−x 02，得x 02=1−y 02(−1≤y 0≤0)， 所以x 02−4y 0=−y 02−4y 0+1=−(y 0+2)2+5，因为﹣1≤y 0≤0，所以1≤−(y 0+2)2+5≤4，所以△MPQ 面积的取值范围为[3√24，6√2]．【点评】本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合理利用根与系数关系是关键，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知点M （1，√32），C 1的参数方程为{x =12+t y =√3t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ=2+cos 2θ．（1）求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）由代入消元法，消去t 可得C 1的普通方程；由x ＝ρcos θ，x 2+y 2＝ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；（2）判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．解：（1）由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t （t 为参数），消去参数t ，可得y =√3x −√32，由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ＝3，由x ＝ρcos θ，x 2+y 2＝ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2＝3，即x 2+2y 23=1．（2）因为M(1，√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12ty =√32+√32t （t 为参数）， 代入3x 2+2y 2＝3，化简可得3t 2+8t +2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△＝64﹣4×3×2＞0， 且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设f （x ）的最小值为M ，正数a ，b 满足a 2+4b 2＝M ，证明：a +2b ≥4ab ． 【分析】（1）先将f （x ）写为分段函数的形式，然后根据f （x ）≤6利用零点分段法解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出f （x ）的最小值M ，然后利用分析法证明不等式即可．解：（1）f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|={4−2x ，x ≤12，1＜x ＜32x −4，x ≥3．∵f （x ）≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1＜x ＜32≤6，即以﹣1≤x ≤1或3≤x ≤5或1＜x ＜3， ∴不等式的解集为[﹣1，5]．（2）∵（x ）＝|x +3|+|x ﹣1|≥|x ﹣3﹣x +1|＝2，∴M ＝2， ∵a ＞0，b ＞0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证（a +2b ）2≥16a 2b 2， 即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a 2+4b 2＝2，∴只要证2+4ab ≥16a 2b 2，即证8（ab ）2﹣2ab ﹣1≤0，即证（4ab +1）（2ab ﹣1）≤0， ∵4ab +1＞0，∴只需证ab ≤12， ∵2＝a 2+4b 2≥4ab ，∴ab ≤12成立， ∴a +2b ≥4ab ．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
辽宁省2020年高考[理数卷]考试真题与答案解析
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辽宁省2020年高考[理数卷]考试真题与答案解析一、选择题1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()U A B ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}2．若α为第四象限角，则A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<03．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块11．若2x －2y <3−x －3−y ，则A ．ln(y-x+1)>0B ．ln(y-x+1)<0C ．ln ∣x-y ∣>0D ．ln ∣x-y ∣<012．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存12n a a a {0,1}(1,2,)i a i ∈= 在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的m (1,2,)i m i a a i +== (1,2,)i m i a a i +== 最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，m m 12n a a a 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 的序列是1()(1,2,3,4)5C k k ≤=A ．B ．C ．D ．11010 11011 10001 11001二、填空题13．已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a –b 与a 垂直，则k=__________．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．15．设复数，满足，，则=__________．1z 2z 12||=||=2z z 123i z z +=+12||z z -16．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．⊂则下述命题中所有真命题的序号是__________．①②③④14p p ∧12p p ∧23p p ⌝∨34p p ⌝∨⌝三、解答题（一）必考题17．中，sin 2A －sin 2B －sin 2C= sinBsinC ．ABC △（1）求A ；（2）若BC=3，求周长的最大值．ABC △18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，20160i i x ==∑2011200i i y ==∑，，．2021)8(0ii x x =-=∑2021)9000(i i y y =-=∑201)()800(i i i y y x x =--=∑（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i ) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．12211)(()()()iiini n i ini x y r x y x y x y ===----=∑∑∑2 1.414≈19．已知椭圆C 1：(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 222221x y a b+=的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且．43CD AB =（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|=5，求C 1与C 2的标准方程．20．如图，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1∥MN ，且平面（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，所成角的正弦值．21．已知函数2() sin sin2f x x x =（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；答案解析1.A2.D3.B4.C5.B6.C7.A8.B9.D 10.C 11.A 12.C 13．14．3615．16．①③④222317．解：（1）由正弦定理和已知条件得，①222BC AC AB AC AB --=⋅由余弦定理得，②2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅由①，②得.1cos 2A =-因为，所以.0πA <<2π3A =（2）由正弦定理及（1）得，23sin sin sin AC AB BCB C A===从而，.23sin AC B =23sin(π)3cos 3sin AB A B B B =--=-故.π33sin 3cos 323sin()3BC AC AB B B B ++=++=++又，所以当时，周长取得最大值.π03B <<π6B =ABC △323+18．解：（1）由已知得样本平均数，从而该地区这种野生动物数量的估计值20160120i iy y===∑为60×200=12000．（2）样本的相关系数(,)i i x y (1,2,,20)i = ．20120202211)()800220.94380900(0))((ii iii i ix y y x x r x y y ===--===≈⨯--∑∑∑（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．解：（1）由已知可设的方程为，其中.2C 24y cx =22c a b =-不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，,A C ,A B 2b a 2b a -,C D 2c ，故，.2c -22||b AB a=||4CD c =由得，即，解得（舍去），.4||||3CD AB =2843b c a =2322()c c a a ⨯=-2c a =-12c a =所以的离心率为.1C 12（2）由（1）知，，故，2a c =3b c =22122:143x y C c c+=设，则，，故.①00(,)M x y 220022143x y c c +=2004y cx =20024143x x c c+=由于的准线为，所以，而，故，代入①得2C x c =-0||MF x c =+||5MF =05x c =-，即，解得（舍去），.22(5)4(5)143c c c c --+=2230c c --=1c =-3c =所以的标准方程为，的标准方程为.1C 2213627x y +=2C 212y x =20．解：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以．又由已知得AA 1∥CC 1，1MN CC ∥故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ．所以平面A 1AMN ⊥平面．11EB C F （2）由已知得AM ⊥BC ．以M 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，为单位长，建立如MAMB 图所示的空间直角坐标系M-xyz ，则AB=2，AM=．3连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故．由（1）知平面A 1AMN ⊥23231,(,,0)333PM E =平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC ．设，则，(,0,0)Q a 22123234(),(,1,4())33NQ a B a a =----故．21123223210(,,4()),||3333B E a a B E =-----=故的普通方程为．2C 224x y -=（2）由得所以的直角坐标为．224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P 53(,)22设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，0(,0)x 220059()24x x =-+解得．01710x =因此，所求圆的极坐标方程为．17cos 5ρθ=23．解：（1）当时，2a =72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式的解集为．()4f x ≥311{|}22x x x ≤≥或（2）因为，故当，即时，222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-2(1)4a -≥|1|2a -≥．所以当a≥3或a≤-1时，．()4f x ≥()4f x ≥当-1<a<3时，，222()|21|(1)4f a a a a =-+=-<所以a 的取值范围是．(,1][3,)-∞-+∞。
辽宁省2020年高考理科数学质量检测试题及答案
辽宁省2020年高考理科数学质量检测试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)-2. 设11iz i+=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= A. -1B. iC. 1D. 43. 已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为A. 3B. 12x xD. 25. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤= A. 0.3413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.07946.已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为A.3B.2D.7. 若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()36k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为 A. 1．5尺B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺9. 宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =A. 5B. 4C. 3D. 210.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为1-111.已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，0120BAC ∠=，则球O 的表面积为A ．52πB ．5πC ．4πD ．53π 12.已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。