周周练5答案(供参考)

周周练（5） 答案

1. 【解析】（1）证明：1121

121211

21

121

11=----=

--

-=

-++n n

n n n n a a a a b b ，

∴数列

{}n b 为等差数列．

（2）解：假设数列{}n c 中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第)(,,q r p q r p <<项，

由⑴得n b n =，∴n n c 2=，∴q p r 2222+=⋅，∴p q p r --++=2121

又p

r -+12

为偶数，p

q -+2

1为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．

（3）由（2）得等式n b n n n n

b n )3()2(43+=++++ ，

可化为n n n n

n n )3()2(43+=++++ ，即1)3

2()34()33(

=+++++++n

n n n n n n ， ∴1)3

11()311()31(=+-+++--++-

n

n n n n n n n ． ∵当6n ≥时，m

n n m )2

1()31(<+-，

∴,21)311(<+-n n ,)21()321(2<+-n n …，,)21()31(n

n n n <+-

∴1)2

1

(1)21()21(21)311()311()31(2<-=++<+-+++--++-n n n n n n n n n n

∴当6n ≥时，n n n n

n n )3()2(43

+<++++ ．

当5,4,3,2,1=n 时，经验算3,2=n 时等号成立．

∴满足等式n b n n n n

b n )3()2(43

+=++++ 的所有3,2=n ．

2. 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得5132

3439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分

即118173a d a d +=⎧⎨

+=⎩，，

解得112.a d =⎧⎨=⎩，

……………………4分.故221

n n a n S n =-=，. ………6分 （2）由（1）知21

21n n b n t

-=

-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即

312123121m t t m t -⨯

=+

++-+，……8分.整理得4

31

m t =+-， …………… 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.

故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分

3. 解：（1）由已知，得1(1),n n n a a n b b b a -=+-=⋅．由1123,a b b a <<，得,2a b ab a b <<+．

因a ，b 都为大于1的正整数，故a ≥2．又b a >，故b ≥3． …………………………

2分

再由2ab a b <+，得 (2)a b a -<．

由b a >，故(2)a b b -<，即(3)0a b -<．

由b ≥3，故30

a -<，解得3a <． ………………………………………………………4分

于是23a <≤，根据a ∈N

，

可

得

2a =．…………………………………………………6分

（2）由2a =，对于任意的n *∈N ，均存在m +∈N ，使得1(1)52n b m b --+=⋅，则

1(21)5n b m --+=．

又3b ≥，由数的整除性，得b 是5的约数． 故1211n m --+=，b =5． 所以b =5时，存在正自然

数12n m -=满足题

意．…………………………………………9分

（3）设数列{}n C 中，12,,n n n C C C ++成等比数列，

由122n n C nb b -=++⋅，212()n n n C C C ++=⋅，得

211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅．

化简，得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅． （※） …………………………………………

11分

当1n =时，1b =时，等式（※）成立，而3b ≥，不成立． …………………………

12分

当2n =时，4b =时，

等式（※）成立．…………………………………………………13分

当3n ≥时，112(2)2(2)24n n n b n b n b b --=+-⋅⋅>-⋅⋅≥，这与b ≥3矛盾． 这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………

14分

综上所述，当4b ≠时，不存在连续三项成等比数列；当4b =时，数列{}n C 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是

18，30，

50．…………………………………………16分

4. （1）由*3(1),,2

n

n b n N +-=

∈ 可得1,n n b ⎧=⎨⎩

为奇数

2,n 为偶数

又1120,n n n n n b a a b a +++++=