四边形辅助线常用做法
中考数学 考点系统复习 第五章 四边形 方法技巧突破(五) 四边形中常见辅助线的作法
证明：(1)∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝CD，且∠BAE＝∠DCF， 又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)连接 BD 交 AC 于点 O，如解图． ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD，且 O 为 AC，BD 中点， 又∵ AE＝CF，∴EO＝FO， ∴BD 与 EF 互相垂直且平分， 故四边形 BEDF 是菱形．
在 Rt△BCE 中，由勾股定理可得 BC＝8，
由矩形性质易知 OB＝OD，∴OF 为△BCD 的中位线，∴OF＝12BC＝4.
1
1
∴△ODE 的面积为2DE·OF＝2××4＝24.
4．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，若 E 为 AB 的中点，若梯形 ABCD 的 面积为 34 个平方单位，则△ECD(阴影部分)的面积为 1 177 个平方单位．
5．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过 点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E. (1)求证：BD＝BE； (2)若 BE＝10，CE＝6，连接 OE，求△ODE 的面积．
2．(2021 春·靖江期末)如图，在▱ABCD 中，BE 垂直平分 CD 于点 E，∠
BAD＝45°，AD＝6，则▱ABCD 的对角线 AC 的长为
( A)
A．6 5 B．4 5 C．10 3 D．10 2
3．(2021·随州)如图，在菱形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)证明四边形 BEDF 是菱形．
方法技巧突破(五) 四边形中常见 辅助线的作法
1．(2021 春·铜官区期末)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝
6，点 P 为斜边 AB 上一动点，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，PF⊥BC 于点 F，
初中数学常见辅助线做法
初中数学常用辅助线一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线*（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
数学初三平行四边形中常做的辅助线
数学初三平行四边形中常做的辅助线一、平行四边形的对角线平行四边形有两条对角线，我们可以通过引入对角线来研究平行四边形的性质。
首先，我们可以证明平行四边形的对角线互相平分。
具体证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OA、OB、OC 和OD。
由于平行四边形的两对边分别平行且相等，所以可以得到AO=CO，BO=DO。
又由于AO=CO，BO=DO，所以AOBO和CODA都是菱形。
因为菱形的对角线互相平分，所以AC和BD互相平分。
利用对角线平分的性质，我们可以得到平行四边形中很多有用的结论。
例如，当平行四边形的两对角线相等时，它是一个矩形；当平行四边形的两对角线垂直且相等时，它是一个正方形。
二、平行四边形的中位线平行四边形的中位线是连接相邻两边中点的线段。
通过引入中位线，我们可以研究平行四边形的对应边的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的中位线互相平行且相等；2. 平行四边形的中位线平分平行四边形的面积；3. 平行四边形的中位线长度等于对应边长度的平均值。
三、平行四边形的高线平行四边形的高线是从一个顶点到与对立边垂直相交的线段。
通过引入高线，我们可以研究平行四边形的高度和底边的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的高线互相平行；2. 平行四边形的高线长度相等；3. 平行四边形的高线长度等于底边长度乘以对应高度的比值。
四、平行四边形的角平分线平行四边形的角平分线是从一个内角的顶点到对立边上的一点并且与对立边相交的线段。
通过引入角平分线，我们可以研究平行四边形的内角之间的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的角平分线互相平行；2. 平行四边形的角平分线平分对立角，即对立内角的两个角平分线相交于对立边上的一点。
五、平行四边形的中心连线平行四边形的中心连线是连接两对对边中点的线段。
通过引入中心连线，我们可以研究平行四边形的对角线之间的关系。
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。
在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。
以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。
1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。
2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。
3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。
4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。
6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。
7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。
这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。
通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。
请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。
平行四边形几何辅助线专题详解
平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。
例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。
二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。
（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。
因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。
因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。
例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。
例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。
几何证明题辅助线经典方法
几何证明题辅助线经典方法
引言
几何证明题是数学中常见的题型，也是学生们认识几何图形、发现几何规律的重要手段。
辅助线是解决几何证明题时常用的方法之一，本文将介绍几种经典的辅助线方法。
方法一：画垂直平分线
对于某些几何图形中的线段，我们可以通过画垂直平分线来辅助证明。
垂直平分线将线段分成两等分，从而在几何证明过程中起到重要的辅助作用。
方法二：画过顶点的高
在证明三角形相等或等腰三角形时，辅助线中的高是常见的方法之一。
通过画一条从顶点到对边的垂线，我们可以将几何图形转化为更容易处理的形式，从而证明所需结论。
方法三：画过顶点的中位线
在证明平行四边形或矩形时，辅助线中的中位线是一种常见的
方法。
通过画一条从顶点到对边中点的线段，我们可以将问题简化，并且利用矩形或平行四边形的性质得到所需结论。
方法四：画三角形的内切圆
在证明三角形的某些性质时，画三角形的内切圆是一种常见的
辅助线方法。
内切圆与三角形的各边均相切，通过利用内切圆的性质，我们可以得到有关三角形的一些重要结论。
方法五：画过顶点的角平分线
在证明两角相等或证明某些三角形相似时，画过顶点的角平分
线是一种常见的辅助线方法。
通过将角细分为两等分，我们可以得
到有关角度的一些重要关系，从而得到所需结论。
结论
辅助线方法在解决几何证明题时起到了重要的作用。
以上介绍
的几种经典辅助线方法仅是其中的一部分，通过熟练掌握这些方法，并结合具体问题，我们可以更好地解决几何证明题，提高数学水平。
几何辅助线的常见做法
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
平行四边形辅助线的常见添法
平行四边形辅助线的常见添法1. 什么是平行四边形？在几何学中，平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对对立边分别平行。
一个平行四边形有以下特点： - 两对对立边分别平行 - 对立角相等 - 对角线互相平分在解决几何问题时，我们经常需要在平行四边形中绘制一些辅助线来帮助我们理解和解决问题。
接下来，我们将介绍一些常见的平行四边形辅助线的添法。
2. 垂直平分线垂直平分线是指通过一个角的顶点并垂直于对立边的直线。
在一个平行四边形中，通过任意一个内角的顶点作垂直于对立边的直线可以将该对立边等分为两个相等部分。
3. 中位线中位线是指连接两个相邻顶点并且与对立边中点重合的直线。
在一个平行四边形中，通过连接两个相邻顶点并且与对立边中点重合的直线可以将该平行四边形分成两个面积相等的三角形。
4. 对角线对角线是指连接两个非相邻顶点的直线。
在一个平行四边形中，通过连接两个非相邻顶点的直线可以将该平行四边形分成两个对角线互相平分的三角形。
5. 高线高线是指从一个顶点到对立边的垂直距离。
在一个平行四边形中，通过从一个顶点到对立边的垂直距离可以找到该平行四边形的高。
6. 平行四边形的性质除了上述常见的添法外，平行四边形还具有一些其他重要性质： - 相邻内角互补- 对立内角互补 - 相邻外角互补 - 对立外角互补 - 内角和为180度 - 外角和为360度这些性质使得我们在解决几何问题时可以利用平行四边形的特性来简化问题或者得出结论。
7. 总结通过本文介绍，我们了解了常见的平行四边形辅助线的添法。
这些辅助线可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形相关的几何问题。
同时，我们也了解到平行四边形具有一些重要的性质，这些性质在解决几何问题时起到了关键作用。
希望通过本文的介绍，读者对于平行四边形辅助线的常见添法有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
初中数学常见辅助线做法
初中数学常用辅助线一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形:全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。
平行四边形中常用辅助线地作法
26.如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．〔1〕求证：∠DAE＝∠DCE；
〔2〕当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？
27．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD.
23.如图5，在平行四边形 中， 平分 交 于点 ， 平分 交
于点 .
求证：〔1〕 ；
〔2〕假如 ，如此判断四边形 是什么特殊四边形，请证明你的结论.
24．如图。点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF．
25．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD与其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．(1)求证：△BDF≌△CDE；
1．如图，：ABCD中， 的平分线 交边 于 ， 的平分线 交 于 ，交 于 ．求证： ．
2．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
〔1〕求证：△BEC≌△DEC；〔2〕延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求证：AB=AC。请探索BC与来自F有怎样的位置关系？并说明理由。
7.如图，BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论．
〔2〕连接BF、CE，假如四边形BFCE是菱形，如此△ABC中应添加一个条件
8．如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．求证：∠A＋∠C＝180°
平行四边形辅助线的常见添法
平行四边形辅助线的常见添法平行四边形是一种特殊的四边形，其对边平行且相等。
在平面几何中，我们常常需要绘制平行四边形，而平行四边形的绘制又离不开辅助线。
本文将介绍平行四边形的常见添法及其应用。
一、基础概念1. 平行四边形：对边分别平行且相等的四边形。
2. 辅助线：在图形中引入的额外直线，以便更容易地进行计算或绘制。
二、常见添法1. 中点法中点法是最简单也是最基础的添法之一。
它的原理是在两条对角线上各取一个中点，然后连接这两个中点即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）连接AC和BD两条对角线；（3）在AC和BD上各取一个中点E和F；（4）连接EF即可得到平行四边形。
2. 三角形法三角形法也是一种简单易懂的添法。
它的原理是在原来图形上构造一个与之相似但比例不同的三角形，然后通过旋转或移动这个三角形，使其与原来的图形组成平行四边形。
步骤如下：（1）在原来的四边形ABCD上选择一个顶点A；（2）连接AC和AD两条边；（3）以A为顶点，做一个与△ACD相似但比例不同的三角形AEF；（4）将三角形AEF沿着AD旋转或移动到AB上，得到平行四边形ABFE。
3. 重心法重心法是一种比较常用的添法。
它的原理是在四边形的对角线交点处作一条平行于其中一条边的直线，然后将这条直线延长至四边形另一侧，再将这两条直线分别延长至与四边形相交即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）连接AC和BD两条对角线，并求出它们的交点O；（3）在O点处作一条平行于CD的直线EF，并延长至BC上；（4）将EF和BD分别延长至与AC相交，即可得到平行四边形ABFE。
4. 中垂线法中垂线法也是一种比较实用的添法。
它的原理是在任意一侧边上取一点，然后分别连接这个点与对角线的中点，再将这两条线段延长至另一侧边上即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）在AB上取一点E，并连接EC和AD的中点F；（3）在BC上取一点G，并连接AG和BD的中点H；（4）将EF和GH分别延长至CD上，即可得到平行四边形EFGH。
几何证明之常见辅助线做法--
几何证明常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等．1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3、遇到角平分线在三种添辅助线的方法．（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形．（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形．4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．例题精讲第一部分：常见构造全等三角形方法例1、已知：如图，在四边形ABCD中，BC AB>，AD CD=，BD平分ABC∠．求证：180A C∠+∠=︒．例2、已知：如图所示，△ABC中，90C∠=︒，AC BC=，AD DB=，AE CF=．求证：DE DF=．相关练习：D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM、DN分别交BC、CA于点E、F．（1）当MDN∠绕点D转动时，求证：DE DF=；（2）若2AC=，求四边形DECF的面积．FEC AMD第二部分：倍长中线作法 【夯实基础】例：△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD CD =．求证：AB AC =．【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD【经典例题】例1、△ABC 中，5AB =，3AC =，求中线AD 的取值范围．例2、已知在△ABC 中，AB AC =，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF EF =．求证：BD CE =．例3、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ．求证：AF EF =．例4、已知：如图，在△ABC 中，AB AC ≠，D 、E 在BC 上，且DE EC =，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF AC =． 求证：AE 平分BAC ∠．例5、已知CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是△ABD 的中线．求证：C BAE ∠=∠．第 1 题图ABFDECEDCBA【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．2、如图，AD 为△ABC 的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．3、已知：如图，△ABC 中，90C ∠=︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分BAC ∠交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ．求证：CT BE =．备选例题例1、如图，AD ∥BC ，EA 、EB 分别平分DAB ∠、CBA ∠，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．FEABCDDABCMTE例2、以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 、Rt △ACE ，90BAD CAE ∠=∠=︒，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒（090θ<<）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．自我测试1、在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH AC =，则ABC ∠= ．2、如图，已知AE 平分BAC ∠，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，36BAE ∠=︒，那么BED ∠= ．第2题 第3题3、如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，给出三个论断：①DE EF =；②AE CE =；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是 ．4、如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若5AB =，3AC =，则AD 的取值范围是 ．第4题 第5题 第6题5、如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒．AD 平分BAC ∠，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足．则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4．6、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AB AD >，下列结论中正确的是（ ）A ．AB AD CB CD ->-； B ．AB AD CB CD -=-；C ．AB AD CB CD -<-； D ．AB AD -与CB CD -的大小关系不确定． 7、考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（ ）． A ．4个； B ．3个； C ．2个； D ．1个．8、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+,求ABC ADC ∠+∠的度数．9、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE CF +与EF 的大小关系，并证明你的结论．10、如图，已知2AB CD AE BC DE ===+=，90ABC AED ∠=∠=︒，求五边形ABCDE 的面积．11、如图，在△ABC 中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠． 求证：AC AE CD =+．12、如图，已知90ABC DBE ∠=∠=︒，DB BE =，AB BC =． （1）求证：AD CE =，AD ⊥CE ；（2）若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则（1）中结论是否仍成立?请证明．。
初中几何辅助线——四边形辅助线大全
初中几何辅助线——四边形辅助线大全题型1.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例1已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长.解：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB = CD，AD = CB，AO = CO∵AB＋CD＋DA＋CB = 60AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8∴AB＋BC = 30，AB－BC =8∴AB = CD = 19，BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.题型 2.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.（例题如上）题型3.有平行线时常作平行线构造平行四边形.例2已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F 作FH∥AB交BC于H求证：CE = BH证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH 为平行四边形∴∠B =∠FP A，BH = FP∵∠ACB = 90o，CD⊥AB∴∠5＋∠CAB = 45o，∠B＋∠CAB = 90o∴∠5 =∠B∴∠5 =∠FP A又∵∠1 =∠2，AF = AF∴△CAF≌△P AF∴CF = FP∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B∴∠3 =∠4∴CF = CE∴CE = BH练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC求证：AB = EF＋GH54321PHFEDCB AGHFEB AC题型4.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.例3已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点求证：CM⊥DM证明：延长DM、CB交于N∵四边形ABCD为平行四边形∴AD = BC，AD∥BC∴∠A = ∠NBA∠ADN=∠N又∵AM = BM∴△AMD≌△BMN∴AD = BN∴BN = BC∵AB = 2BC，AM = BM∴BM = BC = BN∴∠1 =∠2，∠3 =∠N∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o，∴∠1＋∠3 = 90o∴CM⊥DM题型5.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.例4如图：OE=OF题型 6.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.例5如图：S△BEC= 12S□ABCD题型7.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.例6如图：S△AOB＋S△DOC= S△BOC＋S△AOD = 12S□ABCDEDCBAODCBA321NM BAD CFEODCBA题型8.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 例7如图：AO 2＋OC 2 = BO 2 ＋DO 2题型9.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.例8如图：四边形GHMN 是矩形（题型5～题型9请自己证明）题型10.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例9已知，如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE = ED ，P 为对角线BD 上一点，PF ⊥BE 于F ，PG ⊥AD 于G 求证：PF ＋PG = AB证明：证法一：过P 作PH ⊥AB 于H ，则四边形AHPG 为矩形∴AH = GP PH ∥AD ∴∠ADB =∠HPB∵BE = DE ∴∠EBD = ∠ADB ∴∠HPB =∠EBD 又∵∠PFB =∠BHP = 90o∴△PFB ≌△BHP∴HB = FP∴AH ＋HB = PG ＋PF 即AB = PG ＋PF证法二：延长GP 交BC 于N ，则四边形ABNG 为矩形，（证明略）NP H G FE D C B AN M HG DCBAA DC B OO B CD A题型11.直角三角形常用辅助线方法⑴作斜边上的高例10已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E 求证：AC = CE证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG∴∠F AE = ∠AEG∵四边形ABCD为矩形∴∠BAD = 90o OA = OD∴∠BDA =∠CAD∵AF⊥BD∴∠ABD＋∠ADB= ∠ABD＋∠BAF= 90o∴∠BAF =∠ADB =∠CAD∵AE为∠BAD的平分线∴∠BAE =∠DAE∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC即∠F AE =∠CAE∴∠CAE =∠AEG∴AC = EC⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线①有斜边中点时例11已知，如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF⊥DE证明：连结GE、GD∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点∴GE = 12AB，GD =12AB∴GE = GD∵F是DE的中点∴GF⊥DE②有和斜边倍分关系的线段时例12已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC = 12 BD求证：∠ACB = 2∠B证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE = 12 BD∴∠1 =∠BGOFEDCBAFEDCBA∵AC =12BD ∴AC = AE∴∠ACB =∠2 ∵∠2 =∠1＋∠B ∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B题型12.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例13已知，如图，过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F 求证：AP = EF证明:连结AC 、PC∵四边形ABCD 为正方形∴BD 垂直平分AC ，∠BCD = 90o∴AP = CP∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠BCD = 90o ∴四边形PECF 为矩形 ∴PC = EF ∴AP = EF 题型13.有正方形一边中点时常取另一边中点.例14已知,如图，正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N求证：MD = MN证明：取AD 的中点P ，连结PM ，则DP = P A =12AD ∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD = AB , ∠A =∠ABC = 90o∴∠1＋∠AMD = 90o ，又DM ⊥MN ∴∠2＋∠AMD = 90o ∴∠1 =∠2 ∵M 为AB 中点∴AM = MB = 12AB∴DP = MB AP = AM ∴∠APM =∠AMP = 45o ∴∠DPM =135o ∵BN 平分∠CBE ∴∠CBN = 45o∴∠MBN =∠MBC ＋∠CBN = 90o ＋45o = 135o 即∠DPM =∠MBN ∴△DPM ≌△MBN21EDCBAP F ED CB A21P NEDCA∴DM = MN注意：把M 改为AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。
初中三角形四边形常见辅助线做法
►三角形中常见辅助线的添加 3. 与等腰等边三角形相关的
（1）考虑三线合一
►三角形中常见辅助线的添加 3. 与等腰等边三角形相关的
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °
3. 和菱形有关的辅助线的作法
（1）作菱形的高 （2）连结菱形的对角线
►四边形中常见辅助线的添加 3. 和菱形有关的辅助线的作法
（1）作菱形的高
►四边形中常见辅助线的添加 3. 和菱形有关的辅助线的作法
（2）连结菱形的对角线
►四边形中常见辅助线的添加
4. 与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又 是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正 方形的问 题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的 常用辅助线
►三角形中常见辅助线的添加 2. 与线段长度相关的
（1） 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一 段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
►三角形中常见辅助线的添加
2. 与线段长度相关的
（2） 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长 一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段 等于那一条长线段即可
初中 三角形四边形 辅助线典型用法
►三角形中常见辅助线的添加
1. 与角平分线有关的
（1）向两边作垂线 （2）作平行线，构造等腰三角形 （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
►三角形中常见辅助线的添加
2020中考数学二轮复习几何专题突破 四边形中常见辅助线的添加技巧(解析版)
14．（2019·青海中考真题）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.（1）求证：. 2020中考数学几何专题突破模块三：四边形中常见辅助线添加技巧例1．（2019·安徽中考真题）如图，点E 在▱ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE ，（1）求证：△BCE ≌△ADF ；（2）设▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求S T 的值 【答案】（1）证明略；（2）S T=2 【解析】【分析】 一. 和平行四边形有关的辅助线作法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形2．利用两组对边平行构造平行四边形3．利用对角线互相平分构造平行四边形（1）已知AD=BC ，可以通过证明EBC FAD ∠=∠，ECB FDA ∠=∠来证明BCE ADF ≅（ASA ）； （2）连接EF ，易证四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形，则AFE FED ABE CDE AEDF S SS S T S =+=+=四边形12S =，即可得S T=2. 【详解】 （1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，180BAD ABC ︒∴∠+∠=，又//AF BE ，180BAF ABE ︒∴∠+∠=，BAD ABE EBC FAD BAD ABE ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠，EBC FAD ∴∠=∠，同理可得：ECB FDA ∠=∠，在BCE 和ADF 中，EBC FAD BC ADECB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCE ADF ∴≅（2）解：连接EF ，BCE ADF ≅，,BE AF CE DF ∴==，又,AF BE DF CE ∥∥，∴四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形，∴,ABE AFE CDE FED S S S S ==，∴AFE FED ABE CDE AEDF S S S S T S =+=+=四边形，设点E 到AB 的距离为h 1，到CD 的距离为h 2，线段AB 到CD 的距离为h ，则h= h 1+ h 2,∴()1212111222T AB h CD h AB h h =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+1122AB h S =⋅⋅=， 即S T=2.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相关面积计算，熟练掌握所学性质定理并能灵活运用进行推理计算是解题的关键.【变式训练】1. （2018•眉山）如图，在▱ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC的中点，连结EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S△EFB ；④∠CFE=3∠DEF ，其中正确结论的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．∵CD=2AD ，DF=FC ，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE =S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．2．（2019·江苏省中考真题）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在,AD BC 上，AE CF =，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）线段GH 与AC 互相平分，见解析.【解析】【分析】（1）由垂线的性质得出∠G=∠H=90°，AG ∥CH ，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG=∠CFH ，由AAS 即可得出△AGE ≌△CHF ；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG=CH ，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：AG EF ⊥，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC ∵∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠，CFH BFE ∠=∠，AEG CFH ∴∠=∠，在AGE ∆和CHF ∆中，G H AEG CFH AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴∆≅∆；（2）线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH 、CG ，如图所示：∆≅∆，由（1）得：AGE CHF∴=，AG CH∥，AG CH∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2018·湖北省中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．【答案】证明见解析.【解析】分析：连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．详证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF ，又∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠ABC=∠DEF ，∠ACB=∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AB=DE ，又∵AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AD 与BE 互相平分．点睛：本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．例1．（2019·北京中考真题）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC ⊥EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1。
平行四边形辅助线的方法
平行四边形辅助线的方法利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE 是平行四边形求证：OE与AD互相平分（说明：当已知条件中涉及到平行且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线够建平行四边形）利用两组对边平行构造平行四边形例2如图，在△ABC中，E、F为AB上两点AE=BF,ED∥AC,FG∥AC,交BC分别为D、G求证：ED+FG=AC(说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题)利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F且AE=EF,求证：BF=AC(说明：本题通过利用对角线互相平分构建平行四边形，实际上是采用了平移法构建平行四边形。
当已知中点或中线应思考这种方法)1、如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9,BD=12,AD=10。
求平行四边形的面积。
2、如图，在△ABC中，∠ABC=90°,BD⊥AC于D,AE平分∠BAC,EF∥DC,交BC于F.求证：BE=FC3、如图，在等边△ABC中，D、E分别为CB,BA上的点，且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE.求证:(1) △ACD≌△CBF(2)四边形CDEF为平行四边形4、已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F(1)如图1，若AE=AD, ∠ADC=60°,直接写出CD与AF+BE之间的数量关系(2)如图2，若AE=AD,你在（1）中得到的结论是否依然成立？若成立，加以证明：若不成立，请说明理由。
5、如图，△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC,点N在AC上，且AN=MC,AM 与BN相交于点P,求证：∠BPM=45°6、如图，在RT△ABC中, ∠ABC=90°CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一点，且BF=CE.求证：FK∥AB。
初三特殊四边形辅助线规律
一般四边形常用的辅助线 1、连对角线构造三角形【例1】 已知：如图（1），在四边形ABCD 中，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,︒=∠90B .求四边形ABCD 的面积。
分析：由︒=∠90B ，AB=3,BC=4,联想到连结AC ，利用勾股定理解得AC=5,又AD=12,CD=13,由勾股定理的逆定理有DAC ∠为直角，从而ACD ABC ABCD S S S ∆∆+=四边形 。
3651221432121219012,13254322222222=⨯⨯+⨯⨯=•+•=+=∴︒=∠∆∴=+∴===+=+=∆∆∆ACAD BC AB S S S DAC ACD CD AC AD AD CD BC AB AC ABC Rt AC ACD ABC ABCD 四边形是直角三角形，中，，在解：连结Θ2、 延长对边构造三角形【例2】 如图（2），在四边形ABCD 中，,2,90,60=︒=∠=∠︒=∠BC D B A CD=3,则AB 等于多少？分析：,90,60︒=∠︒=∠B A 如果延长AD 、BC 即可出现︒30角的直角三角形，从而把四边形问题转化为三角形只是解决。
33833883,2,8,62903060,90==∴====∆=+===∴︒=∠︒=∠∴︒=∠︒=∠AB x x BG x AG x AB ABG Rt CG BC BG CD CG ADC G A ABC G BC AD 即则中，设在又的延长线于点交解：延长ΘΘ3、化为三角形和特殊四边形【例3】 在四边形ABCD 中，AD=3,33=BC,BD=7, ︒=∠︒=∠90,120ABC BAD . 如图（3），求： CD 的长 和AB 的长。
4连对角线转化【例4】 已知：如图（4），求证：︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A分析：要证此六角只和为︒360，想到四边形的内角和为︒360，故转化为一个四边形的四个内角，由图很容易想到连结BE 。
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四边形常用的辅助线做法作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”五：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
添加辅助线解特殊四边形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.图3 图4二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5 如图6，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长.图7说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长.四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.图9说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.图10和中位线有关辅助线的作法例10 如图11，在四边形ABCD 中，AC 于BD 交于点0，AC=BD ，E 、F 分别是AB 、CD 中点，EF 分别交AC 、BD 于点H 、G.求证：OG=OH.梯形的辅助线 口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
常见的几种辅助线的作法如下： 梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。
ABCD E平移对角线。
转化为三角形、平行四边形。
ABCDE延长两腰，转化为三角形。
ABCD E作高，转化为直角三角形和矩形。
ABCD E F中位线与腰中点连线。
ABCD EF或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有： （1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰 （3）梯形内平移两腰 （4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
（一）、平移 1、平移一腰：例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长.例2如图，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
2、平移两腰：例3如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
A BC D3、平移对角线：例4、已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD 的面积．例5如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。
例6如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。
（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。
AB DC EH（四）、作梯形的高 1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为F ，过点F 作EF//AB ，交AD 于点E ，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。
2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，∠ABC=60°，AD=3cm ，BC=5cm ， 求：(1)腰AB 的长；(2)梯形ABCD 的面积．例12如图，在梯形ABCD 中，AD 为上底，AB>CD ，求证：BD>AC 。
证：作AE ⊥BC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，则易知AE=DF 。
（五）、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。
A B CDE F2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF//AD ；（2）)(21AD BC EF -=。
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。