二分法求函数零点教案
高一数学函数的零点与二分法教案
一. 教学内容：函数的零点与二分法二. 学习目标1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。
2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。
三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
说明：（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数X 围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点．3、函数零点存在性的判定方法对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。
说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
二分法求函数零点教案
二分法求函数零点教案一、教学目标1.知识与技能：（1）掌握二分法求函数零点的基本原理。
（2）理解二分法求函数零点的步骤和流程。
（3）能够应用二分法求解实际问题中的函数零点。
2.过程与方法：（1）通过理论解释和示例演示，引导学生了解二分法求函数零点的思路和方法。
（2）通过实际问题的练习和解答，培养学生运用二分法求解函数零点的能力。
3.情感态度价值观：（1）培养学生对数学问题的钻研精神和解决问题的能力。
（2）发展学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
二、教学重点与难点1.教学重点：（1）二分法求函数零点的基本原理和步骤。
（2）能够应用二分法求解函数零点的实际问题。
2.教学难点：（1）如何将实际问题转化为数学模型。
（2）如何合理运用二分法求解函数零点。
三、教学过程1.导入新课（5分钟）引入二分法求函数零点的概念和应用，让学生了解二分法的作用和重要性。
2.二分法求函数零点的基本原理（10分钟）（1）根据函数零点的定义，介绍二分法求函数零点的基本思路：通过对函数值的正负性判断，将区间逐步缩小，最终确定零点的位置。
（2）引导学生思考：如何判断函数值的正负性？如何确定区间的缩小方向？3.二分法求函数零点的步骤（15分钟）（1）步骤一：根据实际问题建立数学模型，确定需要求解零点的函数。
（2）步骤二：选择一个初始区间[a,b]，其中f(a)和f(b)有一个为正，一个为负。
（3）步骤三：计算区间的中点c=(a+b)/2，并计算函数值f(c)。
（4）步骤四：判断f(c)的正负性，并根据结果调整区间的上限和下限：如果f(c)为正，则将a设置为c；如果f(c)为负，则将b设置为c。
（5）步骤五：根据收敛性要求，重复步骤三和步骤四，直到区间的长度小于给定的阈值，此时区间的中点c就是函数的零点。
4.示例演示（15分钟）选择一个简单的函数和初始区间，进行示例演示，并详细解释每个步骤的操作和原理。
5.实际问题练习（25分钟）（1）选择一些实际问题，将其转化为数学模型并应用二分法求解函数零点。
〖2021年整理〗《求函数零点近似解的一种计算方法二分法》教学优秀教案2
求函数零点近似解的一种方法——二分法教学设计一、教学目标知识与技能：1、了解二分法是求函数零点近似解的常用方法2、理解二分法求函数零点的适用范围，并能借助计算器或计算机用二分法求函数零点近似值过程与方法：采用问题探究式的教学方法，从实例入手，引领学生理解“二分法”求方程近似解的过程和步骤，并得到相应结论情感态度价值观：培养学生的数学思想。
包括数形结合和数学逼近思想，同时培养学生的数学文化，增强数学认同感，提高学习兴趣二、教学重难点重点：用二分法求方程的近似解，体会函数与方程的思想难点：正确理解二分法求函数零点的原理和思想；在利用二分法求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难；用二分法求方程的近似解时，初始区间的选择三、学情分析和教学内容分析学情分析：知识上学生通过函数性质和上节课函数零点的学习，已经有了初步的函数思想，已有了函数与方程相联系的认知。
意识上学生对解方程非常熟悉，可以从解方程入手来进一步学习函数的零点教材内容分析：本节课位于人教B版教材第二章，本章的最后一节新课，本节内容是新教材为了体现注重思想和联系的宗旨，特别设计的一节探究课。
目的是通过教师引导、学生自主学习探究后增加对数学学习的兴趣，同时通过对数学文化的渗透和计算机可以来处理复杂数学计算问题等，让学生在数学修养上在上一个台阶四、教学过程1 数学史的引入和数学问题情境的创设由上节课学习的函数的零点入手，回顾函数零点和方程的关系。
得到求方程的根的问题就是求函数的零点，求函数与轴交点横坐标的问题，进而过渡到事实上求方程的根的问题是19世纪之前数学研究的主要课题，进而教师给出一些重要的时间段，以及对应的方程的根的求解进展情况。
并让学生发现一元五次和五次以上的方程没有求根公式。
进而引出问题：一个一般的五次方程的根我们是没有办法求出去具体值的，那么我们能不能求这类方程的近似解呢？如：，问维修工人应该如何迅速找到故障所在？并采用动画的形式展示维修工人的操作过程，这就是二分法的思想，这是一个探究的环节。
人教版高中必修1(B版)2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法--二分法教学设计
人教版高中必修1(B版)2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法–二
分法教学设计
一、教学目标
1.了解什么是函数的零点，掌握求函数零点的基本思路和方
法；
2.掌握求函数零点的二分法，并能够在不同的函数上熟练应
用。
二、教学重点
1.二分法的基本思路；
2.二分法在求函数零点问题中的应用。
三、教学难点
1.二分法在应用题中的使用；
2.对于不同的函数，如何选择合适的区间来使用二分法。
四、教学过程设计
1. 导入
在导入环节，首先通过实例激发学生的学习兴趣和求知欲，引导学生了解什么是函数的零点，以及为什么需要求函数零点。
例如：导入前，我们可以提出一个生活中常见但又和数学有关的问题：“在我们日常生活中，可能会遇到一些需要求解某个未知数的问
1。
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案【学习要求】1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．【学法指导】通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点.填一填：知识要点、记下疑难点如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？探究点一变号零点与不变号零点问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．探究点二二分法的概念问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．探究点三二分法的应用例2求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2求32的近似值(精确到0.1)．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知函数f(x)的图象是不间断的，x、f(x)的对应法则见下表，则函数f(x)存在零点的区间有()，[4,5]，[5,6]2.设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，取x0＝a＋b2，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．3.已知函数f(x)＝mx＋2m－7 (m≠0)在区间[－2,5]上有零点，求实数m的取值范围．课堂小结：1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.。
二分法求函数零点教案(可编辑修改word版)
１、二分法的概念用二分法求方程的近似解对于在区间[a, b]上连续不断且 f (a ) · f (b ) < 0 的函数 y = f (x ) , 通过不断把函数f (x ) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数 f (x ) 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证： f (a ) · f (b ) < 0，确定精确度（２）求区间(a , b)的中点 x 1（３）计算 f (x 1 )若 f (x 1 ) =0, 则就 x 1 是函数的零点若 f (a ) · f (x 1 ) <０，则令 b = x 1 （此时零点 x 0∈(a,x 1 )）若 f (x 1 ) · f (b ) <０，则令 a = x 1 （此时零点 x 0∈( x 1 , b)） （４）判断是否达到精确度即若 | a – b | <, 则得到零点的近似值为 a （或 b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例 1：下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）解：应选 B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
1 例 2、 利用二分法求方程 x= 3 - x 的一个近似解（精确到 0.1）。
解：设 f (x ) = 1 + x - 3 ，则求方程 1= 3 - x 的一个近似解，即求函数 f (x ) 的一个近似零x x点。
∵ f (2) = - 1 < 0 ， f (3) = 1> 0 ，∴取区间[2,3]作为计算的初始区间。
人教B版高中数学必修一2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教学设计
《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学设计一、教材分析1.教学内容《求函数零点近似解的一种算法——二分法》，选自普通高中课程标准实验教科书人教B版必修1第二章函数中《函数与方程》第二节，本单元主要研究函数的零点，求函数零点的近似解的一种算法——二分法，给出零点的概念，讨论零点个数的判定方法，给出了函数零点的性质，用二分法求函数的变号零点是零点性质的应用。
2.教材的地位与作用算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
教材有目的、有意识地将算法思想渗透在高中数学有关内容中，让学生不断加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。
二分法正是这一思想的体现。
二、学情分析在本节课之前，学生学习了函数零点的定义及性质，会求简单函数的零点，了解了函数零点与方程根以及函数图象的关系，这些为本节课的学习奠定的必要的知识基础。
再者，学生经过了必修一第二章函数部分内容的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、判断、归纳、概括、表达等能力，这些为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
实际问题中的二分思想在生活中的广泛应用，也为学生学习二分法提供了思维平台。
三、教学目标分析根据学生的认知水平和教科书的内容，本节课要求学生在掌握函数零点概念及性质的基础上，理解二分法的思想，会应用二分法求函数零点的近似解，明确二分法是求函数零点近似解的一种算法，故而确立本节课的三维教学目标为：1.知识与技能目标：（1）理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求函数零点近似解的一种算法；（2）能够借助计算器，用二分法求某些具体函数零点的近似解，会用二分法思想解决其他的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对二分法原理的探索，引导学生形成用函数的观点处理问题的意识，体会数形结合的思想；（2）通过求具体函数零点的近似解，体现了从特殊到一般的认知过程；（3）让学生充分体验近似思想、逼近思想和算法思想，并为继续学习算法做知识准备。
《用二分法求函数的零点》 讲义
《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。
简单来说，如果对于函数 f(x)，存在一个实数 c ，使得 f(c) ＝ 0 ，那么 c 就被称为函数 f(x) 的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1 ，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0 ，解得 x＝ 1 ，所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在方程求解、函数性质研究以及实际问题中都有着重要的意义。
二、为什么要用二分法求函数的零点在实际问题中，我们常常需要求出函数的零点，但很多函数的零点并不能通过简单的代数运算直接得出。
这时候，就需要用到一些数值方法来近似地求出零点，二分法就是其中一种简单而有效的方法。
二分法的基本思想是“逐步逼近”。
通过不断将区间一分为二，确定零点所在的子区间，然后重复这个过程，使包含零点的区间越来越小，从而得到零点的近似值。
与其他求零点的方法相比，二分法具有原理简单、易于理解和实现的优点，而且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。
三、二分法的原理假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b) ＜ 0 ），那么在区间（a, b) 内至少存在一个零点 c 。
我们取区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 ，计算 f(m) 。
如果 f(m) ＝ 0 ，那么 m 就是函数的零点。
如果 f(m) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, m 中；如果 f(m) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 m, b 中。
然后，我们再对新的区间重复上述步骤，不断缩小包含零点的区间，直到达到所需的精度。
四、二分法的具体步骤1、确定初始区间 a, b ，使得 f(a) × f(b) ＜ 0 。
2、计算区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 。
数学2.4.2《二分法》教案(新人教B版必修1)
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教案
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
3．能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．重点，难点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学过程。
教学设计2：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
§2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 教学重点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 复习提出问题①已知函数f (x )=mx 2+mx +1没有零点，求实数m 的范围.②证明函数f (x )=x 2+6x +10没有零点.③已知函数f (x )=2mx 2－x +21m 有一个零点，求实数m 的范围. ④已知函数f (x )=2(m +1)x 2+4mx +2m －1有两个零点，求实数m 的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为Δ=m 2－4m <0或m =0，∴0≤m <4.②因为Δ=36－40=－4<0，∴没有零点.③Δ=1－4m 2=0或m =0，∴m =21或m =21 或m =0. ④Δ=16m 2－8(m +1)(2m －1)=－8m +8>0且2(m +1)≠0，∴m <1且m ≠－1.导入新课(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出，怎样讨论其零点?②用数学语言总结判断零点存在性定理，并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a，b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a，b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例例1证明函数y=2|x|－2恰有两个零点.图3－1－1－19证明:如图3－1－1－19，∵f(－2)=2，f(0)=－1，f(2)=2，∴f(－2)f(0)<0，f(0)f(2)<0.∴函数y=2|x|－2有两个零点.要证恰有两个零点，需证函数y=2|x|－2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|－2在(－∞，0)上为单调的.∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|－2可化为y=2x－1，下面证明f(x)=2x－1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x1，x2为(0，+∞)上任意两实数，且0<x1<x2，∵f(x1)－f(x2)=21x－2－(22x－2)=21x－22x=22x(21x－x2－1)，∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，21x－x2<1.∴22x >0，21x －x 2－1<0. ∴22x (21x －x 2－1)<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2).∴函数y =2|x |－2在(0，+∞)上为增函数.同理可证函数y =2|x |－2在(－∞，0)上为减函数.∴函数y =2|x |－2恰有两个零点.变式训练证明函数f (x )=x +x1－3在(0，+∞)上恰有两个零点. 证明:∵f (31)=31，f (1)=－1，f (3)=31， ∴f (31)f (1)<0，f (1)f (3)<0. ∴函数f (x )=x +x 1－3在(0，+∞)上有两个零点. 要证恰有两个零点，需证函数f (x )=x +x 1－3在(0，1)上为单调的，函数f (x )=x +x1－3在(1，+∞)上为单调的. 证明：设x 1，x 2为(0，1)上的任意两实数，且x 1<x 2.∵f (x 1)－f (x 2)=x 1+11x －3－(x 2+21x －3)=(x 1－x 2)+(11x 21x -) =(x 1－x 2)+2112x x x x -=(x 1－x 2)(21211x x x x -)， ∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，2112x x x x -<0.∴(x 1－x 2)(21211x x x x -)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0.∴函数f (x )=x +x1－3在(0，1)上为减函数. 同理函数f (x )=x +x1－3在(1，+∞)上为增函数. ∴函数f (x )=x +x 1－3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3－1－1－20).图3－1－1－20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n 个零点，先找出有n 个，再利用单调性证明仅有n 个.例2已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2，如图3－1－1－21， 求证:b <0.图3－1－1－21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:方法一：把零点代入，用a 、c 表示b .方法二：用参数a 表示函数.证法一：因为f (0)=f (1)=f (2)=0，所以d =0，a +b +c =0，4a +2b +c =0.所以a =3b -，c =32-b . 所以f (x )=3b -x (x 2－3x +2)=3b -x (x －1)(x －2). 当x <0时，f (x )<0，所以b <0.证法二：因为f (0)=f (1)=f (2)=0，所以f (x )=ax (x －1)(x －2).当x >2时，f (x )>0，所以a >0.比较同次项系数，得b =－3a .所以b <0.变式训练函数y =ax 2－2bx 的一个零点为1，求函数y =bx 2－ax 的零点.答案:函数y =bx 2－ax 的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.知能训练1.函数f (x )=lg x －2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )A.(4，5)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)2.若函数f (x )=2mx +4在［－2，1］上存在零点，则实数m 的取值范围是( )A.［25 4］ B.(－∞，－2］∪［1，+∞) C.［－1，2］ D.(－2，1)3.已知函数f (x )=－3x 5－6x ＋1，有如下对应值表：函数y ＝f (x )在哪几个区间内必有零点？为什么？答案:1.B 2.B 3.(0，1)，因为f (0)·f (1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.拓展提升方程ln x +2x +3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？分析：利用函数图象(图3－1－1－22)进行探索分析.图3－1－1－22解：(1)观察函数的图象计算f (1)、f (2)，知f (x )=ln x +2x +3有零点.(2)通过证明函数的单调性，知f (x )=ln x +2x +3有一个零点x ∈(1，2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本P88练习2.。
函数的零点与二分法(优质课)教案
函数的零点与二分法（优质课）教案教学目标：1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
教学过程：一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．答案：B练习1：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )A．只有一个变号零点B．有一个不变号零点C．至少有一个变号零点D．不一定有零点答案：C练习2：用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，1 2.∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为。
教学设计4：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法数零点求解三法我们知道，如果函数y ＝f (x )在x ＝a 处的函数值等于零，即f (a )＝0，则称a 为函数的零点．本文现介绍函数零点求解三法．一、代数法例1 求函数f (x )＝x 2＋2x －3的零点．解 令x 2＋2x －3＝0，Δ＝22－4×(－3)＝16>0， 方程有两个不相等实数根． 方法一 因式分解法或试根法x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)或由f (x )＝x 2＋2x －3， 试一试f (1)＝12＋2×1－3＝0， f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0. 所以f (x )的零点为x 1＝1，x 2＝－3. 方法二 配方法x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4＝0，所以x ＋1＝±2.所以零点x 1＝1，x 2＝－3. 方法三 公式法x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－2±42.所以零点x 1＝1，x 2＝－3.点评 本题用了由求函数f (x )的零点转化为求方程f (x )＝0的实数根的办法．运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法．二、图象法求函数y ＝g (x )－h (x )的零点，实际上是求曲线y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点的横坐标，即求方程g (x )－h (x )＝0的实数解．三、用二分法求函数近似零点例2 用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点(精确到0.01)． 解 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：因为1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5<0.01，所以x 8＝1.437 5＋1.445 312 52≈1.44为函数的一个近似解．点评 首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求．分法在经济和科学技术中的应用 应用问题1：市场的供需平衡问题．详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下．例 3 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表表2 )应在区间()A．(2.3,2.4)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内解析由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．答案C点评充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案．分法在日常生活中的应用应用问题2：运用二分法查线路故障．详释：在日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障．我们不妨用二分法排查一下．例 4 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？解如图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．点评有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．函数的零点错例剖析一、忽略了概念例5 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在零点．判断该命题是否正确．错解正确．剖析对区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然．正解无法判断是否存在零点及零点个数问题．如函数f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)＝1>0，而在区间(－1,1)上显然存在零点．故该命题不正确．点评 (1)函数y ＝f (x )的图象在区间(a ，b )上连续且有f (a )·f (b )<0，所得在(a ，b )上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是连续曲线，并且f (a )·f (b )<0时，在(a ，b )上至少存在一个零点，而无法确定零点个数．二、忽略了分类讨论例6 若函数y ＝ax 2－2x ＋1只有一个零点，求实数a 的取值范围． 错解 由题意可得，实数a 所满足的条件为Δ＝4－4a ＝0，∴a ＝1.剖析 没有对系数a 进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数． 正解 (1)当a ＝0时，y ＝－2x ＋1，有唯一零点； (2)当a ≠0时，由题意可得Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. 综上，实数a 的取值范围为a ＝0或a ＝1.点评 对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．三、忽略了区间端点值例7 已知f (x )＝3mx －4，若在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，求实数m 的取值范围． 错解 因为在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0， 则f (－2)·f (0)<0，所以(－6m －4)·(－4)<0， 解得m <－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23)．剖析 本题的x 0在[－2,0]上可取到端点， 即f (－2)·f (0)≤0.正解 由f (－2)·f (0)≤0，解得m ≤－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23]．点评 区间值要全部考虑到，做到不重不漏． 四、图象应用例8 已知函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则方程f (x )＝0( )A．有三个实根B．当x<－1时恰有一实根C．当－1<x<0时恰有一实根D．当0<x<1时恰有一实根E．当x>1时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移0．01个单位(如图所示)，即得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01的图象．故选B项．剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”．正解∵f(－2)<0，f(－1)>0，∴f(－2)·f(－1)<0，∴B项正确．又f(0)>0，∴C项错误．而f(0.5)<0，f(1)>0，∴f(x)＝0在区间(0,1)上有两个实根，则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确．故选A、B两项．点评应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想与函数思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1)3－2(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案A点评在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点．三、求参数的取值范围例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案m≥1点评 本题对方程实根的研究转化为对一次函数f (x )在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m 的不等式求出m 的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．巧用零点与方程根的关系求系数范围例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0,1)C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)分析 本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键．解析 方法一 从图中可以得f (0)＝0，∴d ＝0，由图可知f (x )有三个零点，故可设函数的解析式是f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .当x >2时，f (x )>0，因此a >0， ∵b ＝－3a ，∴b <0.方法二 由f (0)＝0，得d ＝0， 又∵f (1)＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0① 又∵f (－1)<0，即－a ＋b －c <0 ②①＋②得2b <0，∴b <0. 答案 A例5 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．分析 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，解出即可．解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是k >0或k <－4.点评 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．二分法思想的应用“逐步逼近”是重要的数学思想，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想．“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现．作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(即A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B )；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)．下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙．两边夹法则：如果实数a ，b 满足a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b .例6 已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当a >0，－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1且g (x )的最大值为2，求f (x )．解 ∵a >0，∴g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是增函数． 又g (x )在[－1,1]上的最大值为2， ∴g (1)＝2，即a ＋b ＝2.①于是f (1)－f (0)＝2.由题设有－1≤f (0)＝f (1)－2≤1－2＝－1， ∴f (0)＝－1，从而c ＝－1. 又由题设知f (x )≥－1＝f (0)， ∴二次函数f (x )的对称轴为x ＝0，于是－b2a ＝0，得b ＝0，将其代入①，得a ＝2.∴f (x )＝2x 2－1.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此．分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的．当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的．本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x 1<x 2且f (x 1)≠f (x 2)，求证：方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等的实根，且必有一根属于(x 1，x 2)．分析一：数形结合，从图象分析入手，分别作出两函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点．方法一 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是二次函数，不妨设a >0，则函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．而y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象呢？是一条平行于x 轴的直线．此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f (x 1)与f (x 2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：f (x 1)与f (x 2)是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 分别在x 1，x 2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f (x 1)≠f (x 2)，说明12[f (x 1)＋f (x 2)]一定比最小值大；若y 2的值就是最小值，此时，直线与抛物线相切于顶点，而12[f (x 1)＋f (x 2)]大于最小值，则y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]与二次函数图象一定有两个不同的交点．又因为min{f (x 1)，f (x 2)}≤12[f (x 1)＋f (x 2)]≤max{f (x 1)，f (x 2)}，故必有一根属于(x 1，x 2)．分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的“b 2－4ac ”，然后，再结合函数零点的存在定理．方法二 由f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]，得2ax 2＋2bx ＋2c －f (x 1)－f (x 2)＝0. 那么Δ＝(2b )2－4×(2a )·[2c －f (x 1)－f (x 2)] ＝4[b 2－4ac ＋2af (x 1)＋2af (x 2)]．此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！ 分析细节 在上式中存在f (x 1)与f (x 2)，可否将其替换呢？于是Δ＝4[b 2－4ac ＋2a (ax 21＋bx 1＋c )＋2a (ax 22＋bx 2＋c )] ＝2(4a 2x 21＋4abx 1＋b 2)＋2(4a 2x 22＋4abx 2＋b 2)＝2(2ax 1＋b )2＋2(2ax 2＋b )2≥0.又x 1<x 2，得Δ>0，因此方程有两个不等的实根． 又设g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)g (x 2)＝{f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}·{f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0.说明g(x1)与g(x2)异号，即12[f(x1)＋f(x2)]∈[f(x1)，f(x2)]．故方程必有一根属于(x1，x2)．通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要的思维策略，有必要真正掌握.高考中的函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容，尤其是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程也可以看作是函数关系．在解决有关问题时，函数、方程常相互转化．本文精选历年高考试题为例加以说明．考点一函数转化为方程1．(上海高考)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．分析抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2)．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3.由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1和3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)恒有两相异不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个相异的实数根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0 (b∈R)恒成立．于是Δ＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1.故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0<a<1.点评本题中的新情境——不动点，它的实质就是方程f(x)＝x的根．考点二方程转化为函数2．(聊城模拟)若关于x的方程x2－3x＋a＝0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围．分析本问题可转化为函数y＝x2－3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内．那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围．解 根据题意，函数y ＝x 2－3x ＋a 有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数y ＝x 2－3x ＋a 的大致图象，如图所示，则可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4a >0，f 0>0，f 1<0.解得0<a <2.故a 的取值范围是(0,2)．点评 利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件．需从三个方面考虑：①判别式；②对称轴直线x ＝－b 2a与区间端点的关系； ③区间端点函数值的正负． 考点三 函数与方程的循环转化3．(浙江高考)若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]不可能是( )A ．x 2＋x －15B ．x 2＋x ＋15C ．x 2－15D ．x 2＋15 分析 由于本题未知函数f (x )、g (x )的类型，试图用待定系数法去解决比较困难．故可采用较灵活的方法——逐一验证法．解析 若g [f (x )]＝x 2＋x －15，不妨设f (x )＝x 2＋x －15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0即得x 2－15＝0，显然，x 2－15＝0有解．故函数g [f (x )]有可能为x 2＋x －15. 若g [f (x )]＝x 2＋x ＋15，不妨设f (x )＝x 2＋x ＋15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0，即得x 2＋15＝0.显然，x 2＋15＝0无解．故函数g [f (x )]不可能为x 2＋x ＋15. 对于C 、D 两答案，同理可得可能为g [f (x )]．答案 B点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性． 考点四 创新题4．设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，如果存在实数x 0，使得x 0＝f (x 0)，那么x 0为函数y ＝f (x )的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )分析 函数的零点即为函数值为0时对应方程的解．因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决．所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去．解析 使x 0＝f (x 0)的解即为y ＝f (x )的图象和y ＝x 的交点的个数问题．观察图象易得结论．答案 B5．关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个论断：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根其中正确的个数是( )A ．0B ．4C ．2D ．3分析 本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力．解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理．解析 据题意可令x 2－1＝t (t ≥－1)，则方程化为|t |2－|t |＋k ＝0，即k ＝|t |－|t |2.作出y 1＝|t |－|t |2的图象如右图，平移y 2＝k 这一直线，结合函数的图象可知： ①当0<k <14时，t 有4个值，相应的x 有8个值． ②当k ＝14时，t 有2个值，相应的x 有4个值． ③当k ＝0时，t 有3个值，相应的x 有5个值．④当k <0时，t 有1个值，相应的x 有2个值．答案 B6．对于函数y ＝f (x )(x ∈D )其中D 为函数的定义域，若同时满足下列2个条件： ①y ＝f (x )在定义域内是单调函数；②存在区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是[a ，b ]，那么把y ＝f (x )(x ∈D )称为闭函数．(1)求闭函数y ＝－x 3符合条件②的区间[a ，b ]；(2)判断函数f (x )＝－34x ＋1x，x ∈(0，＋∞)是否为闭函数，说明理由． 分析 首先以定义形式给出函数的一项性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题．解 (1)因为y ＝－x 3是R 上的单调递减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝b ，f b ＝a 且a <b ，即a ＝－b 3<b ，所以b >0.又－a 3＝b 9＝b ，故b ＝1，a ＝－1.所以该区间为[－1,1]．(2)由函数单调性的定义知，该函数在x ∈(0，＋∞)为单调减函数，若为闭函数，则存在x ∈[a ，b ]，值域为[a ，b ]．于是⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ， 即⎩⎨⎧ f a ＝－34a ＋1a ＝b ，f b ＝－34b ＋1b ＝a .所以ab ＝4，得－34a ＋1a ＝4a， 所以a 2＝－4与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质②的区间，故该函数不是闭函数．。
高中数学 2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法 二分法教学设计3 新人教B版必修1
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法──二分法教学设计一、教学目标1、知识与技能目标：理解用二分法求函数零点的原理，能借助计算器用二分法求出给定函数满足一定精度要求的零点的近似解；2、过程与方法目标：通过具体实例的求解，总结用二分法求函数零点近似解的过程与步骤，感受、体验二分法中的算法思想；3、情感、态度与价值观目标：了解有关解方程的历史，感受函数与方程的内在联系，在探究解决问题的过程中，培养学生与他人合作的态度、表达与交流的意识；培养认真、耐心、严谨的数学品质。
二、重点、难点分析：学习重点：学会用二分法求函数零点的近似解学习难点：对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解；二分法作为求函数零点近似解的一种常用方法，也是一种通法，它操作简单，程序性强，只要按部就班地去做，总会算出结果，现在又有了计算机，更容易实现。
同时此处也为后续的算法内容作了铺垫。
所以重点放在会用二分法求函数零点的近似解。
二分法的一般算法，比较抽象，学生不易理解。
求函数零点近似解的过程中，又蕴含着极限的思想，它可以达到要求的任何精度，这种思想可以用于确定函数值。
而一种方法的学会以及“精确到”、“精确度”等概念的理解只有结合实例、亲手计算、辅以工具等才易领悟。
所以难点放在对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。
三、教材内容分析（一）本节课在教材中的地位二分法是高中数学新课程的新增内容，这节内容安排在函数、函数性质、函数的零点之后，引入它的重要意义在于：体现了函数与方程的联系及蕴含其中的数形结合思想，打开了求解方程的新思路；引入二分法的另一个重要意义在于它引入了“近似”的概念。
一方面，在实际中离不开近似，另一方面求函数零点近似解的过程，蕴含着极限的思想，它可以达到要求的任何精度，这种思想可以用于确定函数值等等。
二分法是求函数零点近似解的一种常用方法，它的特点是操作简单，程序性强，为后续的算法内容作了铺垫。
课题：二分法求零点,教案
课题：方程的根与函数的零点课 型：新授课教学目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．教学重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定．难点: 零点的确定．学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2．教学用具：投影仪。
教学过程(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出）①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二）互动交流 研讨新知函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）．② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）．③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．（三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1． 求函数f(x)=322+--x x 的零点个数。
高中数学《求函数零点近似解的一种计算方法—二分法》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版必修一第二章《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》省级名师优质课教案比赛获奖
教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;能借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想;体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一;通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结论或规律,体会从具体到一般的认知过程.
2学情分析
学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题. 3重点难点
1.教学重点:用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
2.教学难点:方程近似解所在初始区间的确定,恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】（一）创设情境，提出问题
问题1:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每。
二分法求函数零点教案(最新整理)
２、用二分法求函数 f (x) 的零点的近似值的步骤：
（１）确定区间[a, b], 验证： f (a) · f (b) < 0，确定精确度
（２）求区间(a , b)的中点 x1
（３）计算 f (x1 ) 若 f (x1 ) =0, 则就 x1 是函数的零点 若 f (a) · f (x1 ) <０，则令 b = x1 （此时零点 x0∈(a, x1 )） 若 f (x1 ) · f (b) <０，则令 a = x1 （此时零点 x0∈( x1 , b)）
( )1
个零点．方法二：作出 y＝ x 与 y＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选 B. 2
5、方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3)
D．(3,4)
【解析】 令 f(x)＝2x－1＋x－5，则 f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从
解：应选 B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
例 2、
1
利用二分法求方程
3
x 的一个近似解（精确到 0.1）。
x
解：设 f x 1 x 3 ，则求方程 1 3 x 的一个近似解，即求函数 f x 的一个近似零
x
x
点。∵ f 2 1 0 ， f 3 1 0 ，∴取区间 2,3作为计算的初始区间。
f 2
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
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用二分法求方程的近似解１、二分法的概念对于在区间[a, b]上连续不断且)(a f ·)(b f < 0的函数)(x f y =, 通过不断把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数)(x f 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证：)(a f ·)(b f < 0，确定精确度ε （２）求区间(a , b)的中点1x（３）计算)(1x f 若)(1x f =0, 则就1x 是函数的零点 若)(a f ·)(1x f <０，则令b =1x （此时零点x 0∈(a, 1x )）若)(1x f ·)(b f <０，则令a =1x （此时零点x 0∈(1x , b)）（４）判断是否达到精确度ε即若 | a – b | <ε, 则得到零点的近似值为a （或b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例1：下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）解：应选B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
例2、 利用二分法求方程x x-=31的一个近似解（精确到0.1）。
解：设()31-+=x x x f ，则求方程x x -=31的一个近似解，即求函数()x f 的一个近似零点。
∵()0212<-=f ，()0313>=f ，∴取区间[]3,2作为计算的初始区间。
用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值 取区间[]3,25.2x 0=01.0)5.2(f <-=[]3,5.275.2x 0=011.0)75.2(f >≈ []75.2,5.2 625.2x 0= 0006.0)625.2(f >≈ []625.2,5.25625.2x 0=0047.0)5625.2(f <-≈[]625.2,5625.2∵区间[]625.2,5625.2的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6， ∴函数)x (f 满足题设的一个近似零点是2.6故方程x x-=31满足题设的一个近似解是2.6 例3、 二次函数)R x (c bx ax y 2∈++=的部分对应值如下表：解：由上表提供数值大于0的自变量的取值集合是),3()2,(+∞⋃--∞ 评析：开口方向是解题关键信息，零点是－2，3，且开口向上，例4、已知函数6x 5x 2x )x (f 23+--=的一个零点为1 （1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量x 的取值范围。
解：（1）由题意，设n x )m n (x )1m (x )n mx x )(1x ()x (f 232--+-+=++-=，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-6n 5m n 21m解得⎩⎨⎧-=-=6n 1m 令0)x (f =，即0)6x x )(1x (2=---，解得=x 1，－2，3 ∴函数的其他零点是－2，3 （2）函数的三个零点将x 轴分成4个区间： ]2,(--∞，]1,2(-，]3,1(，],3(+∞作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x 的取值范围是：),3()1,2(+∞⋃-例5、求函数f(x)＝x 2－5的负零点(精确度0.1)．【解析】 由于f(－2)＝－1<0， f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：所以函数的一个近似负零点可取－2.25. 达标练习：1．下列函数零点不宜用二分法的是( )A ．f(x)＝x 3－8B ．f(x)＝lnx ＋3 【答案】C C ．f(x)＝x 2＋22x ＋2D ．f(x)＝－x 2＋4x ＋12．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定【解析】 由题意知f(1.25)·f(1.5)<0，∴方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选A. 3．若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)＝－2， f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260，f(1.437 5)＝0.16， f(1.406 25)＝－0.0542，那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________． 【解析】 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是[1.437 5,1.406 25]之间的任意一个数．【答案】 1.437 5 4、方程⎝⎛⎭⎫12x ＝ln x 的根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 方法一：令f(x)＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x ， 则f(1)＝－12<0，f(e)＝1－12e>0， ∴f(x)在(1，e)内有零点．又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在定义域内仅有1个零点．方法二：作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选B. 5、方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 令f(x)＝2x －1＋x －5，则f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从而方程在区间(2,3)内有解．故选C.6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)【解】 设f(x)＝2x －x 2，由表格观察出在x ＝1.8时，2x >x 2，即f(1.8)>0；在x ＝2.2时，2x <x 2，即f(2.2)<0.所以f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x ＝x 2的一个根位于区间(1.8,2.2)内．故选C. 7、函数f(x)＝e x －1x的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎝⎛⎭⎫1，32D.⎝⎛⎭⎫32，2【解析】 f(12)＝e －2<0， f(1)＝e －1>0， ∵f(12)·f(1)<0， 故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)8、用二分法求函数y ＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．【解析】 由f(2)·f(3)<0可知． 【答案】 (2,3)9、用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中间x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．【解析】 ∵f(2)<0，f(2.5)>0， ∴下一个有根区间是 (2,2.5)． 三、解答题(每小题10分，共20分)10、求方程2x 3＋3x －3＝0的一个近似解(精确度0.1)．【解析】 设f(x)＝2x 3＋3x －3，经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x 3＋3x －3＝0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：近似解可取为0.75.11、求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的根(精确到0.1)．【解析】 令f(x)＝ln x ＋x －3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．用二分法逐步计算．列表如下：2.2就是方程的根．下为学生卷用二分法求方程的近似解１、二分法的概念对于在区间[a, b]上连续不断且)(a f ·)(b f < 0的函数)(x f y =, 通过不断把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数)(x f 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证：)(a f ·)(b f < 0，确定精确度ε （２）求区间(a , b)的中点1x（３）计算)(1x f 若)(1x f =0, 则就1x 是函数的零点 若)(a f ·)(1x f <０，则令b =1x （此时零点x 0∈(a, 1x )）若)(1x f ·)(b f <０，则令a =1x （此时零点x 0∈(1x , b)）（４）判断是否达到精确度ε即若 | a – b | <ε, 则得到零点的近似值为a （或b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例1、下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）例2、 利用二分法求方程x x-=31的一个近似解（精确到0.1）。
例3、 二次函数)R x (c bx ax y 2∈++=的部分对应值如下表：例4、已知函数6x 5x 2x )x (f 23+--=的一个零点为1（1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量x 的取值范围。
例5、求函数f(x)＝x 2－5的负零点(精确度0.1)．达标练习：1．下列函数零点不宜用二分法的是( )A ．f(x)＝x 3－8B ．f(x)＝lnx ＋3C ．f(x)＝x 2＋22x ＋2D ．f(x)＝－x 2＋4x ＋12．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定3．若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)＝－2， f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260，f(1.437 5)＝0.16， f(1.406 25)＝－0.0542，那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________． 4、方程⎝⎛⎭⎫12x＝ln x 的根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5、方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)7、函数f(x)＝e x －1x的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎝⎛⎭⎫1，32D.⎝⎛⎭⎫32，2 二、填空题(每小题5分，共10分)8、用二分法求函数y ＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．9、用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中间x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．三、解答题(每小题10分，共20分)10、求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．11、求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的根(精确到0.1)．。