18.2.1 矩形的定义和性质
矩形的定义与性质
18.2.1矩形的定义与性质学习目标：1．理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；2．探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理．学习重点：矩形区别于一般平行四边形的性质的探索、证明和应用.教学难点：矩形的性质的灵活应用.微课自学一、微课学习：1．平行四边形的性质:①平行四边形的对边；②平行四边形的对角，邻角；③平行四边形的对角线 .2.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）3.矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？性质①：矩形的四个角都是直角；性质②：矩形的对角线相等.证明①证明②（自己完成）4、直角三角形斜边中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.二、自学反馈1.下列说法错误的是（ ）A.矩形的对角线互相平分B.矩形的对角线相等C.有一个角是直角的四边形是矩形D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.四边形ABCD 是矩形①若已知AB=8㎝，AD=6㎝，则AC ＝ ㎝ ,OB= ㎝ ②若已知∠CAB=40°则∠OCB= ∠OBA= ∠AOB= ∠AOD=③若已知AC ＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ ㎝，矩形的面积＝ ㎝2 ④若已知 ∠DOC=120°，AD ＝6㎝，则AC= ㎝3.求证：矩形的对角线相等.4.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长.C BA D C B合作探究基础篇 1.如图，在矩形ABCD 中。
对角线AC,BD 交于点O ， 以下说法错误的是（ ） A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD2.已知△ABC 中，∠ABC=900，BD 是斜边AC 上的中线 .(1)若BD=3㎝，则AC ＝ ㎝(2)若∠C=30°，AB ＝5㎝，则AC ＝ ㎝，BD ＝ ㎝3. 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴.4.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°,求这个矩形的边长（结果保留小数点后两位）.5.矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角.对角线与个边组成的角是多少度？C B AD CB能力篇6.已知△ABC 是Rt △，∠ABC=90°，BD 是斜边AC 上的中线 (1)若BD=3㎝则AC ＝ ㎝(2)若∠C=30°，AB ＝5㎝，则AC ＝ ㎝，BD ＝ ㎝，∠BDC ＝7.如图，直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，AE 是BC 边上的中线，若∠C=40°，求∠DAE 的度数.提高篇8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D,∠ACD=3∠BCD,E 是斜边AB 的中点.∠ECD 是多少度？为什么？.AB C E D C B A。
18.2.1矩形的判定(2)
有三个角是直角的四边形是矩形
方案3:
分别测量出窗框四边和两条对角 线的长度，如果窗框两组对边长度、 两条对角线的长度分别相等，那么窗 框符合规格
先用两组对边相等判定是平行四边再用 对角线相等判定是矩形
用一用
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
∵ 四边形ABCD是平行四边形， 解： 1 ∴ OA=OC= AC,OB=OD= 1 BD. 2 2 又OA=OD, D ∴ AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB=90° A ° ∠ 又 OAD=50 ∴∠OAB=40 °
C O
B
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
同理：∠EFG=90°、∠FGH=90° ∴四边形EFGH是矩形
8、如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形 EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 P Q A H ∴∠ABC=∠ADC E G 又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分线 F B C M N ∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM
2．如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗(如图①)使AB=CD、 EF=GH ； (2)摆放成(如图②)的四边形，则这时窗框的形状是 平行四边形 ， 根据的数学道理是 两组对边分别相等的四边形平行四边形 。 (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角 尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格这时窗 框是 矩形 ，根据的数学道理是有一个角是直角的的平行四边形是矩形 。
八年级数学下册(人教版)18.2.1矩形的性质(第一课时)教学设计
3.设计梯度性的练习题，由浅入深地巩固学生对矩形性质的理解，同时关注学生的个体差异，提供不同难度的题目，使每个学生都能得到有效的提升。
-设想练习：基础题如直接应用矩形性质计算周长和面积，提高题如解决矩形相关问题中的综合应用题。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.给出矩形的定义，强调矩形是一种特殊的平行四边形，具有特殊的性质。
2.通过动态演示和板书，讲解矩形对边平行且相等、对角线互相平分且相等这两个关键性质。
3.结合实例，讲解矩形四个角都是直角这一性质，并引导学生通过观察和推理来理解这一性质。
4.介绍矩形的判定方法，让学生能够快速判断一个四边形是否为矩形。
4.在小组合作、交流讨论中，培养学生合作学习、共同探究的能力，激发学生的学习兴趣。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的观察和欣赏能力，激发学生对数学美的追求，增强学生的审美观念。
2.培养学生勇于探索、积极思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极乐观的态度，增强学生的自信心。
3.通过数学知识的学习，引导学生认识到几何图形在实际生活中的重要作用，培养学生的应用意识。
-例题：一个矩形的对角线相等，长为10cm，宽为6cm，求矩形的面积。
2.实践应用题：结合生活实际，设计一些需要运用矩形性质解决的问题，让学生在实践中感受数学的价值。
-例题：小明想要设计一个矩形花园，已知花园的周长为40m，面积为120平方米，请帮助小明设计花园的长和宽。
3.探究提高题：布置一些需要学生运用矩形性质进行推理和证明的题目，培养学生的逻辑思维和几何证明能力。
3.探讨矩形与平行四边形之间的联系和区别，总结出矩形的独特性质。
18.2.1_矩形的定义与性质
A
120°
D O C C
4
B
D
2.已知:如图,过矩形ABCD的顶点作 CE//BD，交AB的延长线于E。 求证：∠CAE=∠CEA A
B
E
3．如图，矩形ABCD中，EF EB , EF EB , ABCD的周长为22cm，CE=3cm。求：DE的长。 先证DEF与CBE全等（AAS），
先证DEF与CBE全等（AAS）， D E C
F A B
4.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A 落在点E处，BE交CD于点F。已知∠ABD=30度. (1) 求∠EBD的度数；（2）求证：EF=FC
A
B
D
F
E
C
5.设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，• 则二者的大小关系是：S1____S2．
18.2 特殊的平行四边形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
：矩形是特殊的平行四边形
矩形的一般性质：
具有平行四边形所有的性质
边
A O B C D
对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分
角
对角线
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平 行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
矩形的对角线相等且互相平分；
对角线
P53 思考
A
如下图，矩形对角线AC与BD相交于点O，那么OB是 Rt △ ABC的一条什么线，BO与AC有什么关系？
18.2.1-矩形的定义、性质 (3)
新乡机务段“一站到底”铁路法律知识擂台赛
练习： 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四 个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是 86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD 和△AOD四个三角形的周长和为86cm, 又∵ AC=BD=13cm,
∴
AB+BC+CD+DA
9
7
D
5
4
4 3
C
再次选题
B
E
新乡机务段“一站到底”铁路法律知识擂台赛
如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形 状完全相同，把它们拼成如图所示的L型图 案，已知∠FAE=30°分别求∠1、∠2的度数。
F
1
E H D 2 C
解:依题意可知: ∠FAE=∠DCA=30 °,AF=AC ∴∠DAC=60 °, ∴∠FAC=90 °,
∠ABC=∠ADC=900，M是AC的中点，N是 BD的中点。
（1）试判断MD与MB的大小关系。
D M N B C
A
生活链接 1.为了庆祝五一劳动节， 学校八年级（1）（3） 班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划 用“串红”摆成两条对角线，如果一条对角线 用了38盆“串红”，还需要从花房里运来多少 盆“串红”？为什么？如果一条对角线用了49 盆呢？为什么？
O ◆
两对全等的等腰三角形.
△DOC和 △BOA
A
B △AOD和 △COB
矩形的问题通常转化为直角 三角形或等腰三角形来解决．
探索新知
A O D 在直角三角形ABC中，O
是AC中点，思考BO与AC 的数量关系
A
B
A
C
18.2.1矩形的性质
三、研读课文
练一练 求证：矩形的对角线相等.
知
已知：四边形ABCD是矩形识求证：AC=BDA
D
点 一
几何语言： ∵在矩形ABCD中， B
Ｏ C
∴AC=BD或AO=CO=BO=DO
结论：矩形两条对角线把矩形分成_四_个 等腰三角形.
定义
直角=矩形
矩形
D
∵AC=BD=8
C
又∵AC,BD互相平分，∴AO=BO.
Ｏ
∴△AOD是等边三角形。
A
B
∴AD=AO= 1 AC=4
∵四边形ABC2 D是矩形，∴∠BAD=90°
在△ABD中，由勾股定理，得
AB=√（BD²-AD²）=4√3
四、归纳小结
1、矩形的定义：__有_一__个__角__是__直_角__的__平__行__四___ _边__形_是__矩__形__；_______；
知 知识点一 矩形的定义和性质
识 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
点
有一个角是直角
一
2、矩形的性质
（1）矩形是特殊的 平行四边 形，它具有平行四边形 的一切性质.即边：矩形的对边平行且相等 ； 角： 矩形的对角相等 ； 对角线： 矩形的对角线互相平分 .
（2）矩形还有以下特殊性质:
2、矩形的面积为48，一条边长为6，则矩 形的另一边长为 8 ，对角线为 10 .
五、强化训练
3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
D
Thank you!
18.2.1矩形说课稿
18.2.1矩形说课稿一、说教材本文“18.2.1矩形”在数学课程中起着承上启下的作用，是学生学习平面几何知识的重要环节。
它继承了之前学习的平行四边形性质，同时为之后学习其他特殊四边形（如菱形、正方形）打下基础。
矩形作为特殊的平行四边形，其性质和判定方法在日常生活和工程技术中有着广泛的应用。
本文主要内容分为以下几个方面：1. 矩形的定义及基本性质：包括矩形的四个角都是直角，对边平行且相等。
2. 矩形的判定：探讨如何从给定的条件判断一个四边形是否为矩形。
3. 矩形的面积计算：掌握矩形面积的计算方法，即长乘以宽。
4. 矩形的对角线性质：理解矩形对角线相等且互相平分的特性。
二、说教学目标学习本课后，学生应达到以下教学目标：1. 知识与技能目标：掌握矩形的定义、性质、判定方法，能够正确计算矩形的面积。
2. 过程与方法目标：通过观察、猜想、证明等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生学习几何的兴趣，认识到几何知识在生活中的应用。
三、说教学重难点1. 教学重点：矩形的定义、性质、判定方法及面积计算。
2. 教学难点：（1）矩形的判定方法：如何从给定的条件判断一个四边形是矩形。
（2）矩形对角线性质的理解：证明矩形对角线相等且互相平分。
四、说教法在教学“18.2.1矩形”这一课时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高学生的参与度和理解力，同时突出我的教学特色：1. 启发法：- 我将通过提出引导性问题，如“什么是矩形？它和平行四边形有什么关系？”来激发学生的思考。
- 使用实物模型或图片，让学生观察矩形的特征，从而引导学生发现矩形的性质。
- 亮点：与传统的直接讲授不同，我会在启发过程中给予学生更多的探索空间，鼓励他们通过小组讨论或独立思考来发现问题。
2. 问答法：- 在讲解矩形的判定方法时，我会设计一系列的问题，如“如果一个四边形有一个角是直角，其他三个角呢？”通过问答的形式，逐步引导学生理解矩形的判定条件。
18.2.1《矩形的性质》教案
-举例：分析不同类型的四边形，让学生学会运用判定方法判断矩形。
-矩形的周长与面积计算：掌握矩形周长和面积的计算公式，并能够熟练运用。
-举例：通过实际计算题，让学生掌握矩形周长和面积的计算方法。
2.教学难点
-解决实际问题时矩形知识的应用：将矩形知识应用于解决生活中的实际问题。
-难点解析：学生可能在实际问题中难以发现矩形的应用场景，需要通过具体实例和实际操作，培养学生的数学应用意识。
一段弧长等于半径的圆心角叫做平角，所以平角等于180°，推导如下：”接下来请写一个教学设计（包含教学目标、教学重点、教学难点、教学过程），要求教学设计能体现教学重难点的解决。教学设计：
此外，在矩形判定方法的教授中，我发现学生们在面对具体题目时，判定方法的选择和应用还不够熟练。这说明我在这一部分的讲解和练习还需要加强。接下来的课程中，我会多设计一些典型的例题，让学生们在实际操作中熟练掌握判定方法。
在实践活动环节，分组讨论进行得比较顺利，学生们能够积极参与，提出自己的观点。但在实验操作环节，我发现有些学生在使用工具方面还存在一定的困难。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，增加一些关于几何工具使用技巧的讲解和练习。
18.2.1《矩形的性质》教案
一、教学内容
《矩形的性质》（教材18.2.1章节）
1.矩形的定义及特征
-矩形的概念：四边形中，四个角都是直角的平行四边形称为矩形。
-矩形的性质：对边平行且相等，对角线相等且互相平分。
2.矩形的判定方法
-有一个角是直角的平行四边形是矩形。
-对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
-矩形性质的理解与应用：理解矩形的对角线性质，并能够应用于解决实际问题。
18.2.1矩形的判定
平行四边形
矩形
∵在□ABCD中 ， ∠A=90° 想一想：你认为判 断一个四边形是不 ∴□ABCD是矩形
是矩形，还能用一 些什么方法呢？
木工师傅是怎样知道窗户是矩形的呢?
那么，除度量角度之外,木工师傅 度量什么也能知道做好的门框是矩 形呢?
B
∟ ∟
已知：在四边形ABCD中，
A
D
C
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言： ∵四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形∟AD来自∟BC
定义
矩形判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形。
考考你
• • • • • • 对角线相等的四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 有一个角是直角的四边形是矩形。 四个角都是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 • 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD 又∵ OA=OD ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴ ∠DAB=90O 又∵ ∠OAD=50O ∴ ∠OAB=40O
∴S BC = 4×4 3 =16 3 cm ABCD =AB·
2
C
矩形常用的判定方法 一个角是直角的平行四边形是矩形
∵在□ABCD中 ， ∠A=90° ∴□ABCD是矩形
A B
D
C
对角线相等的平行四边形是矩形
人教版八年级数学下册教案：18.2.1矩形的判定
一、教学内容
人教版八年级数学下册教案：18.2.1矩形的判定
1.矩形的定义及性质回顾；
2.矩形判定定理一：有三个角是直角的平行四边形是矩形；
3.矩形判定定理二：对角线相等的平行四边形是矩形；
4.矩形判定定理三：有一个角是直角的菱形是矩形；
5.判定矩形的方法在实际问题中的应用；
-逻辑推理能力：在运用矩形判定定理进行证明或解题时，学生需要具备严密的逻辑推理能力，避免推理过程中的错误。
举例：
a)对于矩形判定定理的运用，可以通过以下步骤帮助学生突破难点：
-通过动画或实物演示，让学生直观感受定理的应用过程。
-引导学生通过已知条件逐步推理，理解判定矩形的关键步骤。
-设计不同难度的练习题，让学生在解题过程中巩固和深化对定理的理解。
b)在空间观念的培养方面：
-利用教具或多媒体展示矩形在二维平面上的位置关系，帮助学生建立空间观念。
-通过实际操作，如制作矩形模型，让学生在实际操作中感受矩形的特点。
c)在逻辑推理能力方面：
-教师在讲解过程中要强调推理的逻辑性和严密性，示范正确的推理方法。
-鼓励学生进行小组讨论，通过交流互相启发，提高逻辑推理能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时0分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-设计具有挑战性的问题，引导学生逐步分析、解决问题，培养批判性思维。
18.2.1矩形的性质与判定(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)
矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.题型1：理解矩形的性质1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．对角线相等C．两组对边分别平行题型2：利用矩形的性质判定三角形全等2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出结论；【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；【变式21】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°∵EF⊥CE∴∠CEF＝90°∴∠CED+∠AEF＝90°∵∠CED+∠DCE＝90°∴∠DCE＝∠AEF∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE＝DC由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2∴2AE＝6∴AE＝3【变式22】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．【分析】利用矩形的性质证得△ADE≌△BCE后即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∵E为CD边上的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE．题型3：矩形的性质与求角度3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）A．70°B．60°C．80°D．45°【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，∴∠DGA＝∠BAG＝20°，∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．故选：A．【变式31】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．46°B．52°C．56°D．62°【分析】由长方形直尺可得MP∥OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠MOB＝2∠BOP＝56°，由长方形直尺可知：MP∥OB，∴∠AMP＝∠MOB＝56°，故选：C．【变式32】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC ＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．【解答】解：连接BD，交AC于O，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E＝70°，∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故选：C．题型4：矩形的性质与求线段4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．【变式41】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD ＝12．【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2BO＝12．故答案为12．【变式42】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE 的周长是18．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE＝CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线，∴PE＝CD＝3，∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案为：18．题型5：矩形性质综合5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S阴＝+＝3，故选：A．【变式51】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为．【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．故答案为．【变式52】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝BE，∴AD∥BE，AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形；（2）过点F作FG⊥BC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴FB＝FC＝FD，∴G是BC的中点，∴FG是△BCD的中位线，∴．在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，∴．题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6B．6.5C．10D．13【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．【变式61】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD 的中点．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．【变式62】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME＝BC，同理MF＝BC，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）解：∵MF＝MB，∴∠ABC＝∠MFB＝50°，同理∠ACB＝∠MEC＝60°，∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．【变式63】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的长；（2）求证：AB＝BC．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADE，根据三角形的内角和定理得到∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE＝5；（2）证明：由（1）知，BE＝DE，∵AE＝BE，∴∠A＝∠ADE，∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.3.有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型7：矩形的判定（三直角）7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．【变式71】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH 是矩形．【分析】利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【变式72】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质可得∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO ＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形GHKL是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．∴∠GOK＝90°，同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴∠HGO＝90°，∴四边形KHGO是矩形．题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形；【解答】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形；【变式81】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB 交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：如图所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∴AE平行且等于CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．【变式82】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．【分析】首先根据已知条件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）9.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【分析】先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出AC＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根据等角对等边得出OC＝OB，那么AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出▱ABCD是矩形．【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BDE＝2OB，∵∠1＝∠2，∴OC＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．【变式91】如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AF＝CE，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．【变式92】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形．【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵MO＝NO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【变式93】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥BC，证明△DEA≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF；（2）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．题型10：矩形的判定综合10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，进而得到DF＝BE且DF∥BE，根据平行四边形的判定得到四边形DFBE是平行四边形，由DE⊥AB可得结论；（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DFBE是矩形；（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB，∴∠DAE＝30°，又∵AD＝3，∴DE＝AD＝，【变式101】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【变式102】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．【变式103】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．【分析】（1）先求出四边形CDBE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）求出AB长，再根据勾股定理求出BC，即可求出DE．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴∠CDB＝90°，CD∥BE，∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，∵∠CDB＝90°，∴四边形CDBE是矩形；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，由勾股定理得：BC＝＝，∵四边形CDBE是矩形，∴DE＝BC＝．。
18.2.1矩形的定义与性质
(2)请证明上面的结论．
图18－2－1
如图18－2－2，已知△ABC和△ABD均为直角三角 形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点， 求证：CE＝DE.
图18－2－2
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A．对角相等 C．对角线相等 B．对边相等 D．对角线互相平分
( C )
2．[2014· 泉州]如图18－2－3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为
八年级
下册
18.2.1 矩形（1）
类比思考
探究性质
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
A
B 问题1 O C
D
A O B
D C
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四 边形所有的性质．此外，矩形还有哪些一 般平行四边形没有的特殊性质呢？
类比思考
探究性质
A O B C D
矩形的四个内角相等，都是90°； 矩形的对角线相等.
所得四边形的变化，下列判断错误的是
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
( C )
图18－2－4
课堂小结
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
性质
矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分．
B
运用性质
解决问题
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， 且∠AOB=60°，AB=4 cm．求矩形对角线的长．
A
D
O
B C
运用性质
解决问题
例2 矩形ABCD中，P是AD上一动点，且PE⊥AC 于点E，PF⊥BD于点F．求证：PE+PF为定值． A E B P O D
八年级数学第十八章18.2.1矩形的判定1
19.2.1矩形的判定
知识回顾：
1、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫矩形
2、矩形的性质 对边：对边平行且相等。 对角：四个角相等，都是直角。 对角线：互相平分且相等。
3、矩形的判定？
1、在四边形ABCD中，若 ∠A=∠B=∠C=90º，那么四边形 ABCD是否为矩形？为什么。
A
D
B
C
2、在平行四边形ABCD中，已知
根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是 矩形。
4、已知：矩形的对角线ABCD的对角线
AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别
在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH
求证：四边形EFGH是矩形
变式：矩形的对 A
角线ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，
Ｅ Ｏ
Ｄ Ｈ
如E、F、G、H分别
是AO、BO、CO、
DO的中点，四边形Ｂ
Ｆ
ＧＣ
EFGH还是矩形吗？
5、已知：如图，平行四边形ABCD的
四个内角的平分线分别相交于E、F、
G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
A F
G H
D
A
PM
D
B
E
C
E B
FC N
O
变式：已知：AD∥BC，ME、NE、MF、
NF分别为角平分线。求证：四边
形ABCD为矩形
Hale Waihona Puke 思考：平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点， 且PA⊥PC,PB⊥PD，垂足为Ｐ。
AC=BD，那么四边形ABCD是否为
矩形？为什么。
A
D
O
B
C
矩形的判定
18.2.1 矩形的定义和性质
学有所得
A O B D
直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.
C
即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 5 斜边上的中线长为________.
已知: 如图，矩形ABCD的 A 两条对角线交于点O, AB= 4cm ，∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 B
四边形 矩形 平行四边形 四边形 平行四边形 矩形
A
四边形 平行四边形 矩形
B
四边形 矩形 平行四边形
C
D
在操作过程中,请你思考下列问题: 1、平行四边形变成矩形时，图形的内角 有何特征？ 2、平行四边形变成矩形时，两条对角线 的长度有什么关系？
A
D
求证:矩形的对角线相等
O
B 已知：矩形ABCD中， 对角线AC和BD相交于点O, 求证：AC=BD
在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
O
B
C
公平,因为OB=OD = OA=OC
A
在 Rt ABC 中，∠ABC=900 ， BO是斜边AC上的中线 O
D
B
1 1 1 OB=OD OB = OA=OC = 2 AC= 2 BD = AC 2
G
A
∴∠1=45 °, B ∴∠2=∠ACF-∠ACD=15 °
如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°,现将补成 矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求 的矩形可以画出两个，矩形ACBD和矩形AEFB D A 1）矩形ACBD和矩形AEFB的 面积有何数量关系？ B 2）如果△ABC是钝角三角形， E 按短文中的要求把它补成矩形那么 C 符合要求的矩形可以画出几个？ F 试试看。 3)如果△ABC是锐角三角形呢?
人教版八年级下册数学教案：18.2.1矩形的定义与性质
e.矩形的对角线相等。
3.矩形的判定方法：
a.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
b.对角线相等的平行四边形是矩形。
c.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
4.矩形的周长和面积计算。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和分析矩形的特点，理解矩形的定义和性质，提高对几何图形的认识和判断能力。
实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现得相当积极。他们通过实际操作来探索矩形的性质，这种亲身体验似乎让他们对矩形有了更深刻的认识。不过，我也观察到，在成果展示时，有些小组的表达能力还有待提高。在未来的教学中，我需要更多地鼓励学生们开口表达，提高他们的沟通能力。
小组讨论时，我尝试扮演引导者的角色，提出了一些开放性的问题。学生们在讨论矩形在实际生活中的应用时，提出了很多有趣的观点。这让我感到欣慰，因为他们能够将理论知识与生活实际联系起来。但同时，我也注意到，有些学生在讨论中较为被动，可能需要我在以后的教学中更多地关注他们的参与度。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了矩形的定义与性质。我注意到，当引入矩形的概念时，学生们对于矩形与一般平行四边形的区别有些混淆。为了帮助他们更好地理解，我通过展示一些具体的例子，强调了矩形的独特性质，比如对边相等且平行，四个角都是直角。这种直观的展示似乎对学生们的理解有所帮助。
在讲授过程中，我发现有些学生对矩形的判定方法掌握得不够牢固。我尝试通过案例分析和具体的例题，让学生们看到这些判定方法是如何在实际中应用的。我意识到，可能需要更多的时间和练习来巩固这部分内容，确保学生们能够熟练运用这些判定方法。
-举例：通过实际操作教具或几何画板，演示矩形性质，加深学生理解。
c.矩形的判定方法：学会运用定理判断一个四边形是否为矩形。
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解：∵AD是△1ABC的高1 ，E、F分别是AB、AC的
中点，
2
2
1
1
∴DE＝AE＝ A2 B＝ ×2 10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5
＋5＋4＋4＝18；
(2)求证：EF垂直平分AD. 证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD.
已知△ABC是Rt△，∠ABC=90° ，BD是斜边AC上的中线。
1.若BD=3㎝则AC＝___6__㎝;
2.若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝__1_0___㎝，BD＝__5___㎝， ∠BDC＝_1_2__0_°。
A
D
┓
B
C
例4 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中 点．
∴DF=DC.
例3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在
C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面
积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
探究并掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四 边形的从属关系？
会初步运用矩形的性质解决问题？
平行四边形有哪些性质？
边
角 对角线 对称性
平行四 边形
对边平行 且相等
对角相等 邻角互补
对角线互 中心对称
相平分
图形
定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
平行四边形 一个角是直角
归纳 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直 角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
1.矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
2.矩形的性质：
（1）具备平行四边形的所有性质。A
D
（2）矩形的四个角都是直角。
O
（3）矩形的对角线相等。
B
C
谢谢观看！
矩形
例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一
点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. A
D
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
B
F E
C
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5.
矩形的折叠问 题常与勾股定 理结合考查
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
直角三角形斜边的中线的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
A O
B
C
数学语言：
在Rt三角形ABC中 ∵∠ABC=90°,BO是AC边的中线
∴BO=AO=CO= 1 AC 2