圆的几何知识在物理解题中的应用

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如何利用圆解决初中几何问题

如何利用圆解决初中几何问题几何问题在初中数学中占有重要地位，其中对于圆的应用更是应该引起我们的注意。

圆作为几何形状的一种特殊情况，具有独特的性质和应用，能够帮助我们解决很多几何问题。

本文将介绍如何利用圆解决一些常见的初中几何问题。

一、圆的基本性质在利用圆解决几何问题之前，我们首先要了解圆的一些基本性质。

圆是由同心圆及其直径或弦组成的，有以下基本性质：1. 圆心到圆上任意一点的距离相等。

2. 圆上任意两点之间的弧长相等的充要条件是这两点所对的圆心角相等。

3. 圆上的任意一条弦所对的圆心角等于其所对的弧所对的圆心角的一半。

4. 圆上的任意一条弧所对的圆心角等于其所对的弦所对的圆心角的一倍。

二、利用圆解决问题的基本方法1. 利用圆的对称性圆具有对称性，通过利用圆的对称性可以简化一些几何问题的解决过程。

例如，在证明两个角相等时，我们可以通过连接角的顶点和圆心，利用圆的对称性来简化证明过程。

2. 利用圆的切线和割线性质对于与圆相切或相割的直线，有一些重要的性质可以帮助我们解决几何问题。

例如，对于与圆相切的直线，切点与切线的两条线段相互垂直；对于与圆相割的直线，相交部分的弧长成等分线段所对的圆心角。

通过利用这些性质，我们可以解决一些线段和角的关系问题。

3. 利用圆的弧长和扇形面积圆的弧长和扇形面积是圆的重要性质之一，也是解决几何问题常用的手段。

例如，在求解弧长或扇形面积的问题时，我们可以利用角度与弧长或面积之间的关系，根据已知条件进行计算。

4. 利用圆锥曲线的性质圆锥曲线是圆的一种特殊情况，具有独特的性质和应用。

例如，利用椭圆的焦半径性质可以解决椭圆的平移、旋转和伸缩问题；利用双曲线的对称性可以解决双曲线的焦点和直角位置问题。

三、应用实例现在，让我们通过一些具体的几何问题来演示如何利用圆解决初中几何问题。

1. 如何利用圆解决正六边形的问题？已知正六边形的顶点均在一个圆上，可以通过绘制圆的中心到顶点的连线，利用圆心角和扇形面积的关系来解决正六边形的问题。

第24章圆-第九讲圆的垂径定理及运用(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到，教学不仅仅是传授知识，更重要的是引导学生学会思考、学会学习。在今后的教学中，我将更加关注学生的个体差异，尽量满足不同学生的学习需求，帮助他们建立自信，培养解决问题的能力。
五、教学反思
在上完这节课之后，我思考了很多。首先，关于圆的垂径定理的教学，我发现学生们对于定理的理解和掌握程度超出了我的预期。他们能够通过直观的图形和简单的例子，快速抓住定理的核心。特别是在实践活动中，学生们通过分组讨论和实验操作，将理论知识与实际应也注意到，在定理的证明部分，有一部分学生还是感到有些困惑。我意识到，几何证明对于他们来说是一个难点，需要更多的引导和练习。在接下来的教学中，我打算多花一些时间，通过逐步引导和反复练习，帮助学生克服这个难题。
-举例：在圆中，若AB为弦，O为圆心，OD垂直于AB，则OD平分AB，并且AD=BD，同时弧AC和弧BC相等。
2.教学难点
-理解并证明垂径定理：学生需要理解定理背后的几何逻辑，并能够通过作图和逻辑推理来证明定理的正确性。
-定理在实际问题中的灵活应用：学生在面对具体问题时，可能会难以找到合适的入手点，不知道如何将定理应用到解题过程中。
针对这些教学难点和重点，教师应采用以下策略：
-使用直观的动画或实物模型来展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
-通过典型例题的讲解，展示定理在实际问题中的应用方法，并指导学生进行步骤分解。

高中物理运动学中等时圆应用技巧(含答案)

1运动学等时圆运用问题一等时圆问题引出（1）讨论：小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如图a ）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为g d g d a s t 2sin sin 220===ααg R2= （式中R 为圆的半径。

）结论：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

（2）讨论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间结论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ，证明同上）g d g d a s t 2sin sin 220===ααgR2= （式中R 为圆的半径。

）说明：如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，设弦与水平方向的夹角为θ，则弦长2R sin θ，下滑受力 F =mg sin θ－mg cos θ沿斜面加速度： a =mF= g sin θ－g cos θ 由运动学公式有 2R sin θ=21(g sin θ—μg cos θ) t 2，解得 t =)cot 1(2)cos (sin sin 2θμθμθθ-=-g Rg R ， θ 增大，时间t 减小，规律不成立.图a 图b二等时圆的应用（1）比较运动快慢（2）确定运动路径（3）测定圆周半径（4）计算运动时间例1 直接利用等时圆结论解题（2004年高考试题）如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。

每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1<t2<t3B. t1>t2>t3C. t3>t1>t2 D .t1=t2=t3【答案】D二、“等时圆”的应用,1：如图，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【答案】A解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。

物理高中圆周问题总结归纳

物理高中圆周问题总结归纳在高中物理学习中，圆周问题是一个重要的概念和应用领域。

圆周问题涵盖了圆的性质、圆周运动以及圆周上的力学问题。

通过对圆周问题的总结归纳，我们可以更好地理解和应用圆周相关的知识。

本文将对物理高中圆周问题进行总结和归纳。

一、圆的性质1. 圆的定义：圆是由平面上所有距离中心点相等的点组成的集合。

2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线等。

3. 圆的重要性质：- 半径和直径的关系：直径是半径的两倍。

- 弧和角度的关系：圆心角为360°，弧度角为2π。

- 弧长和圆心角的关系：弧长等于圆心角度数除以360°再乘以圆周长。

- 弦长和半径的关系：弦长等于2倍半径乘以正弦一半的圆心角。

- 切线和半径的关系：半径与切线垂直，切线切割弦产生相等的弧。

二、圆周运动1. 圆周运动的定义与特点：圆周运动是物体围绕一个固定中心点做匀速运动，轨迹为圆。

2. 角速度和角频率的概念及计算：- 角速度：物体单位时间内转过的角度，单位为弧度/秒。

- 角频率：物体单位时间内转过的圈数，单位为转/秒。

- 角速度与角频率的关系：角速度等于角频率乘以2π。

3. 圆周运动的基本物理量：- 周期T：物体绕圆一周所需时间，单位为秒。

- 频率f：单位时间内绕圆的圈数，单位为赫兹。

- 角速度ω：物体单位时间内转过的角度，单位为弧度/秒。

- 线速度v：物体单位时间内所走过的弧长，单位为米/秒。

- 关系公式：v = rω，T = 1/f。

三、圆周上的力学问题1. 圆周运动的受力分析：- 向心力：指向圆心的力，保持物体做圆周运动。

- 重力和支持力：垂直于运动方向，对圆周运动无影响。

- 摩擦力：与运动方向相反，影响物体做圆周运动。

2. 向心力的计算：- 向心力的大小：F_c = mω²r，其中F_c为向心力，m为物体质量，ω为角速度，r为半径。

- 向心力的方向：向圆心的方向。

3. 圆周运动的动力学关系- 牛顿第二定律在圆周运动中的应用：F_c = mω²r。

高中物理丨外接圆与内切圆解题方法,8大模型

高中物理丨外接圆与内切圆解题方法,8大模型高中物理丨外接圆与内切圆解题方法，8大模型1. 解题方法在解决外接圆与内切圆相关的物理问题时，可以采用以下步骤和方法：步骤1. 阅读问题并理解题意。

2. 绘制问题所描述的图形，包括外接圆、内切圆和其他相关元素。

3. 根据已知条件，确定问题中所涉及的物理量的数值。

4. 分析问题，找出与外接圆与内切圆相关的物理原理和定律。

5. 运用物理原理和定律，建立相应的数学方程。

6. 求解方程并计算出所需的未知物理量。

7. 总结并回答问题，给出相应的解答和结论。

方法在解题过程中，可以采用以下方法：1. 几何法：利用几何关系来解决问题，例如利用相似三角形或圆上的弧长等关系。

几何法：利用几何关系来解决问题，例如利用相似三角形或圆上的弧长等关系。

2. 三角函数法：利用三角函数的性质来解决问题，例如正弦、余弦、正切等。

三角函数法：利用三角函数的性质来解决问题，例如正弦、余弦、正切等。

3. 向量法：将问题转化为向量的运算，利用向量的性质和运算来解决问题。

向量法：将问题转化为向量的运算，利用向量的性质和运算来解决问题。

4. 能量守恒法：利用能量守恒的原理，将问题转化为能量的转化和平衡问题。

能量守恒法：利用能量守恒的原理，将问题转化为能量的转化和平衡问题。

5. 牛顿定律法：利用牛顿定律和相关的力学原理来解决问题，例如受力分析、力的平衡等。

牛顿定律法：利用牛顿定律和相关的力学原理来解决问题，例如受力分析、力的平衡等。

6. 动量守恒法：利用动量守恒原理解决问题，例如碰撞问题中的动量守恒。

动量守恒法：利用动量守恒原理解决问题，例如碰撞问题中的动量守恒。

7. 电路分析法：将问题转化为电路的分析和计算，利用电路定律和电路分析方法来解决问题。

电路分析法：将问题转化为电路的分析和计算，利用电路定律和电路分析方法来解决问题。

8. 数学分析法：利用数学分析方法和相关的数学工具解决问题，例如微积分、方程求解等。

“圆模型”在高中物理解题中的妙用

“圆模型”在高中物理解题中的妙用高考对应用数学知识处理物理问题的能力要求是“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并能根据结果得出物理结论，必要时能用几何图形、函数图像进行表达、分析”。

平面几何中的“圆”模型，既是物理中一个重要的基本运动模型，又是一个重要的解题工具与方法，解题中若能合理构建“圆模型”，能把抽象问题直观化，把复杂问题简单化，让学生易于理解和接受，下面就构建“圆模型”在物理习题中的应用分析说明。

一、动态平衡问题中的“动态平衡圆”物体处于动态平衡，如果物体所受三个力中只有一个力恒定不变，另外两个力的大小、方向都在变，如在矢量三角形的基础上再借助圆，利用圆的一些性质就能直观求解。

例1（2017·新课标Ⅰ卷）如图1，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。

初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）。

现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。

在OM由竖直被拉到水平的过程中A ．MN上的张力逐渐增大B．MN上的张力先增大后减小C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小解析：以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力TOM, MN上拉力TMN，缓慢拉，三个力合力始终为零，矢量三角形如图2所示，对力平移，得到图3闭合矢量三角形，因为TOM , TMN夹角不变，mg恒定，可把此矢量三角形移入一个圆中，利用“圆内同一条弦所对圆周角相等”性质构造出圆内接动态三角形，如图4，在点A逆时针变动中，MN长度（表示TMN 大小）由较短逐渐变为直径，OM由竖直到水平的过程中，先从弦增大为直径再减先变大后变小，立即获得答案AD。

小为弦，即TOM例2、如图5所示，金属棒MN两端由等长的轻质绝缘细线水平悬挂，处于垂直纸面水平向里的匀强磁场中，棒中通有由M到N 的恒定电流，细线中拉力不为零，两细线竖直。

保持匀强磁场磁感应强度大小不变，方向缓慢地转过90°变为竖直向下，在这个过程中A.细线向纸面外偏转，其中的拉力先增大后减小B.细线向纸面外偏转，其中的拉力一直增大C.细线向纸面内偏转，其中的拉力先增大后减小D.细线向纸面内偏转，其中的拉力一直增大解析：在匀强磁场大小不变方向缓慢转过90°变为竖直向下的过程中，导体棒所受安培力由竖直向上逐渐向内偏转，大小保持不变。

归类例析辅助圆在高中物理中的应用

＠
难点剖析
：
类例析辅助圆在高１中物理中ｆＩＩｌ
■ 李慧
出，当小船沿辅助圆的切线ＡＢ方向航行时，过河的
距离最短．
圆作为一种几何图形，其特点和应用是数学学科内容之一。高中物理中应用到圆的知识也有不少，如力学中的圆周运动，磁场中的带电粒子的运动，点电荷电场中电势分布的特点，直线电流中磁场分布的规律等．而应用辅助圆分析解决物理问题，往往能收到意想不到的效果，达到优化解题的目的。辅助圆按其作用功能可分为等力圆、等速圆、等角圆、等时圆等。本文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的
妙用。
一
根据相似三角形可得，：／ｄ＝／ｓ，得ｓ＝ｖｌｄ／ｖ当Ｖ＜：时，小船能沿垂直河岸的方向过河，过河的最短距离为故选曰、Ｃ．
三、等角圆
例３．将已知力盼解为、，已知Ｆ＝１０Ｎ，Ｆｔ、Ｆ２的夹角为１５０。，则的最大值为Ｎ．分析：根据矢量的分解与合成，把、两个分力首尾相接，从起４ＮＦ２终点的有向线段就是合力Ｆ，构成的矢量三角形如图中 △ＡＢＣ．已知、的夹角为１５０￣，则：３０。，作一个辅助圆０，合力ＦＸｆ应圆Ｏ上的弦曰，点Ｃ位，
— —
９ｔ１２．如图所示，有一宽为ｄ的直河流，水速为Ｖ，小船在静水中的速度为若要使小船渡河时到达

高中物理学习思想、方法：物理解题中常用的数学知识

物理解题中常用的数学知识物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、微元法等．<1>．方程法物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的．列方程组解题的步骤①弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型．②按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架． ③据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体．④对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验． <2>．比例法比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点：①比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个．讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．②比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R ＝IU认定为电阻与电压成正比)． ③比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量，如果该条件不成立，比例也不能成立．(例在串联电路中，不能认为Ｐ＝RU 2中，P 与R 成反比，因为R 变化的同时，U 随之变化而并非常量)<3>．数列法凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”．该类问题求解的基本思路为：①逐个分析开始的几个物理过程。

②利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题。

高中数学平面解析几何的圆的方程推导与应用

高中数学平面解析几何的圆的方程推导与应用一、圆的方程推导在平面解析几何中，圆是一个非常重要的概念。

我们知道，圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的。

为了方便研究圆的性质和应用，我们需要找到一种数学表达方式来表示圆。

这就是圆的方程。

1. 圆的标准方程假设圆的圆心坐标为(x0, y0)，半径为r。

那么，圆上的任意一点(x, y)到圆心的距离为：√[(x - x0)² + (y - y0)²] = r这就是圆的标准方程。

我们可以通过这个方程来推导圆的其他形式。

2. 圆的一般方程将圆的标准方程进行平方运算，得到：(x - x0)² + (y - y0)² = r²这就是圆的一般方程。

一般方程的形式更加简洁，方便进行计算和分析。

3. 圆的参数方程圆的参数方程是通过参数来表示圆上的点的坐标。

假设参数为θ，那么圆上的点的坐标可以表示为：x = x0 + rcosθy = y0 + rsinθ通过参数方程，我们可以方便地求得圆上的点的坐标。

二、圆的应用圆作为数学中的重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。

下面我们将介绍几个常见的圆的应用场景。

1. 圆的几何应用圆的几何应用非常广泛。

例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形的窗户、圆形的花坛等。

在制作轮胎、车轮等物品时，也需要考虑圆的性质。

此外，圆的性质还可以应用于地理测量、天文学等领域。

2. 圆的运动学应用在物理学中，圆的运动学应用非常重要。

例如，当一个物体以圆周运动时，我们可以通过圆的方程来描述它的运动状态。

通过对圆的运动进行分析，我们可以计算出物体的速度、加速度等重要参数。

3. 圆的工程应用在工程领域，圆的应用也非常广泛。

例如，在建筑工程中，我们需要计算圆形的地基面积、圆形的管道长度等。

在机械工程中，我们需要设计圆形的齿轮、圆形的轴承等。

总结：通过对圆的方程推导和应用的介绍，我们可以看到，圆作为平面解析几何中的重要概念，在实际生活和学习中有着广泛的应用。

运用圆的知识求解物理问题

平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．定点称为圆心，定长称为半径．在平面直角坐标系中，以点Ｏ（ａ，６）为圆心，以ｒ为半径的圆的标准
方程是
（ｚ— ａ）。＋（ｙ一６）＝ｒ。
化成圆周），注意到ＡＰＯＱ与 △ＢＣＯ相似（就算是
根据热力学第一定律ＡＥ内＝Ｗ＋Ｑ，求得Ｑ一
１２７９Ｊ，正值表示吸收热量．
椭圆中该结论仍成立），则有
ＯＰＢＣ
ＯＱ — — ０Ｃ
（２）从Ａ到Ｂ过程气体吸收的热量为多少？
解析：在Ｐ—Ｖ坐标系中圆的方程为
（一３）＋（Ｖ一３）。一１
结合的体现．
１圆的几何特性
结合克拉伯龙方程
ｐＶ＝＝ｎＲＴ
联立后消去，可求出Ｔ的极大值．为简化数学运算，以下改用数形结合的方法来求解．
“
ห้องสมุดไป่ตู้
ＰＡＶＡ
一
到的几何性质有：
（１）圆周长Ｃ一兀一２ｎｒ，圆面积Ｓ一丌ｒ；
代人数据得
ＴＡ一３００Ｋ
（２）同一段圆弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角；
同理，ＴＤ一３００Ｋ —ＴＡ，ＴＢ一６００Ｋ—Ｔｃ．对一定质

巧用几何知识解决物理问题论文

巧用几何知识解决物理问题论文摘要：在物理解题中，数学技巧具有不可取代的地位，尤其是将矢量引入物理学中后，这一特点显得尤为突出。

以下，我们以电场叠加为例，一起来体会数学应用在物理解题中的绝妙之处。

例如图1所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为-q外，其余各点处的电荷量均为+q，则圆心O处（）。

A。

场强大小为kqr2，方向沿OA方向B。

场强大小为kqr2，方向沿AO方向C。

场强大小为2kqr2，方向沿OA方向D。

场强大小为2kqr2，方向沿AO方向解析：将A处的点电荷-q等效为在A处同时放一个+q和一个-2q，即可认为圆心O处的电场是5个+q和一个-2q的点电荷产生的电场的叠加，由于5个+q处于对称位置上，在圆心O处产生的合场强为零，那么此题即可转化成求A处点电荷-2q在O处产生的场强。

易得：场强大小为2kqr2，方向沿OA方向，故选C。

本题的解题关键点是：处于对称位置上的等量同种电荷在圆心处产生的合场强为零。

根据对称性，其实我们不难证明处于对称位置上的两个、三个、四个、六个、…+q在圆心处产生的场强叠加后恰好为零。

但如上题中所述，有五个+q处于对称位置上，又如何证明呢？方法1：图2如图2所示，设这些电荷在圆心O处产生的场强分别为E1、E2、E3、E4和E5，则有E1=E2=E3=E4=E5=E，且相邻场强间夹角为72°。

证明过程如下：E1、E2的合场强：E1，2=2E·cos36°，方向与E4方向相反；E3、E5的合场强：E3，5=2E·cos72°，方向与E4方向相同；所以，E合=E3，5+E4-E1，2=[2（cos72°-cos36°）+1]·E若要证明E合=0，只需证明cos72°-cos36°=-1/2即可，其过程如下：cos72°-cos36°=cos54°+18°-cos54°-18°=-2sin54°sin1 8°=-sin54°sin36°cos18°=-cos36°sin36°cos18°=-sin72°2 cos18°=-12。

圆系方程在解题中的应用

倒，已知圆ｚ。＋ｙ。＋ｚ一６ｙ＋Ｔｎ一０与直线．ｚ＋２ｙ一３ —０相交于Ｐ，Ｑ两点，０为坐标原点，若ＯＰ上ＯＱ，求实数ｍ的值。解：若ＯＰ上ＯＱ，则过Ｏ，Ｐ，Ｑ三点可作圆，该
圆在过两交点Ｐ，Ｑ的圆系方程为ｚ＋ｙ＋ｚ一
０，即一一÷。故过原点的圆的方程为＋ｙ。＋
３１７ｚ一＝０ｏ
（一，一
）在公共弦上。
因为点Ｍ在直线２ｘ－ｙ一。上，所以２（一）
一
（２）当圆心在直线２ｌｚ＋＋４ —０上时（即以两交点所在的弦为直径），圆的面积最小，而圆心为
３Ａ，得ｍ一３。
一
１薜－２２
２Ｉ－Ａ。
理丫匕
解上述方程得一１（一一１不合题意，舍去）。故所求圆的方程为ｚ＋一ｚ一２ｙ一０。侧
高
倒２求过直线２－ｚ＋ｙ＋４ —０和圆Ｘ＋ｙ。＋２ｚ一４＋１ —０的交点，并满足下列条件之一的圆的
毒
一
■江苏
含有参数的圆的方程叫做圆系方程，它表示具
二、过两圆Ｃ１：ｚ。＋ｙ。＋Ｄｌｚ＋Ｅ１Ｙ＋Ｆｌ一０，
麟
蒋庆富
有某种共同性质的圆的集合，称为圆系。在处理有关圆的方程问题时，如果能用圆系方程解题，则可以简化运算，优化解题过程，能使问题得到巧妙解决。下面就常见的两种类型，举例说明。

数学知识在解物理试题中的应用

开始计时经过多长时间加这个匀强电场；光与Ｂ重合，由圆心角与弧长关系式可得ＲＬＯ＝＝。２４点评：此题是一道联系天文地理用圆的知识解决物理问（３）为了在Ｍ处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第题的试题，虽然题中已把太阳光理想为平行光，但要正确解答象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区
嚎
ｂ＞ × （（
ｋ ×
×
×
×
×
试写出估算地球半径的表达式Ｒ。
ｌ
．
× Ｘ
× ＸＸ
ｘｘｘ ×
。
．
０
．
Ｌ
．一
时ｔ】
，囝１
； … … … …… … … …
，
…
２
… … ｉ
（）求上述粒子的比荷；１（２）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象
质点能从Ｘ上的ｂ以垂直于Ｏ轴的速度ｖ出，可在适当的地轴点Ｘ射方加一个垂直于ｘ平面，磁感应强度为Ｂｖ的匀强磁场，若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计。
，．：
华
①
图５
… …
图６
… …
数学知识解题、５．讨论验证结果。特别利用数学知识求解物理Ｘ１一０Ｔ，在ｘ上距坐标原点Ｌ０５ｍ的Ｐ为离子的入射口，轴＝．０处题是高考中普遍存在的一类试题，综合性强，难度大。由其数在Ｙ上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以ｖ３５Ｘ１４ｓ＝．０ｍ／的速

参考圆在高中物理教学中的应用

一一
亡一
可知一詈＋詈一，而参考点在圆上运动一周即转过
厶ＵＵ
［下
２丌的角所需时间为一个周期Ｔ，则转过所需时间＊，
参考圆的引入
１厶
、
匕ｒ
如图１所示是一个做匀速圆周运动的质点，它在轴或Ｙ轴上的投影是做简谐运动的。这个实验事实告
【ｔ
ｓｉｍ，所以由图７可知，角越大渡河位移越小。以的顶点为圆心，以的大小为半径作圆，很明显，只有当ａ一９Ｏ。时，最大，渡
正的最大位移处（Ｐ点），乙位于ｓ＝一０．５ｃｍ处（Ｑ点）并向轴的负方向运动，借用参考圆，对应的参考点应分别为Ｐ点（与Ｐ点重合）及Ｑ点（图５）。由几何关系可知Ｐ＝＝＝。所以在此时刻甲比乙的位相落后。
图５４１
Ｅ — ｍｉｌ：ｚｘｃｋｌｋ＠ｌ６３・ｃ。呻
中学教学参考
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解析：从振动图像上可知，在甲起振后÷ 时，甲位于
二、参考圆在简谐运动及波中的应用我们可以借用参考圆及应用匀速圆周运动的知识
来研究简谐运动。在求解振动和波的有关习题时，如果能正确而灵活地利用参考圆，往往能使解题过程更直观、更简便。那么在介绍参考圆的应用前我们来看一下与参考圆有关的几个概念。参考圆的各量与简谐运动的有关量有如下一些对应关系：参考圆的圆心为简谐运动的平衡位置，参考圆的半径为简谐运动的振幅Ａ，参考点ｍ做匀速圆周运动的周期或频率和其投影点Ｍ做简谐运动的周期或频率是相同的。参考点做匀速圆周运动的角速度 ∞与简谐运动的周期Ｔ或频率厂有如下关系：ｃｕ一２７ｃ／Ｔ一２ｎｆ；参考圆的半径与ｚ轴的夹角＝或一＋可用来描述振动的状态，故又叫振动的相位。ｔ＝０时，一叫做初相。掌握了上述各量之问的对应关系，如果已知简谐运动的平衡位置、振幅、周期（或频率）、初相等量，就可以找到与之相对应的参考圆及确定在此参考圆上做匀速圆周运动的参考点的运动状态，反之亦然。下面我从几个方面来谈一下参考圆在简谐运动及波中的应用。

如何利用圆的相切性质解决问题

如何利用圆的相切性质解决问题关键信息项1、圆的相切性质的定义及分类：直线与圆相切圆与圆相切2、利用圆的相切性质解决几何问题的方法：求线段长度求角度大小证明几何关系3、利用圆的相切性质解决实际问题的案例：工程中的应用数学建模中的应用11 圆的相切性质的定义圆的相切是指直线或圆与圆之间只有一个公共点的位置关系。

111 直线与圆相切当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。

此时，圆心到直线的距离等于圆的半径。

112 圆与圆相切分为内切和外切两种情况。

两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差；两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和。

12 利用圆的相切性质解决几何问题的方法121 求线段长度通过构建与圆相切的图形，利用圆的半径、圆心到切点的距离以及相关线段之间的关系，可以求解线段的长度。

例如，在一个直角三角形中，如果一条直角边是圆的半径，斜边是圆心到切点的距离，那么可以利用勾股定理求出另一条直角边的长度。

122 求角度大小利用圆的切线与经过切点的半径垂直这一性质，可以得到直角，从而求解相关角度。

或者通过两圆相切时圆心角与圆周角的关系来求角度大小。

123 证明几何关系证明线段相等、平行、垂直等关系时，可以借助圆的相切性质构建辅助线，创造条件进行证明。

13 利用圆的相切性质解决实际问题的案例131 工程中的应用在机械制造中，零件的设计和加工常常需要用到圆的相切性质。

例如，齿轮的齿廓曲线就是基于圆的相切原理设计的，以保证齿轮的平稳传动。

132 数学建模中的应用在优化问题中，如确定最优路径、最小面积等，可以通过构建圆相切的模型来求解。

例如，要在一个区域内铺设管道，使管道长度最短，可以利用圆的相切性质找到最优解。

21 具体解题示例假设存在一个圆 O，半径为 r，直线 l 与圆 O 相切于点 A，连接 OA。

已知 OA 的长度为 5，圆 O 的半径 r 为 3，求直线 l 上一点 B 到圆心 O的距离。

因为直线 l 与圆 O 相切，所以 OA 垂直于直线 l。

高中物理“等时圆”模型及应用

高中物理“等时圆”模型及应用江苏省溧阳中学（213300）蒋鑫［摘要］“等时圆”是高中物理的经典模型，在各类测试中出现频率较高，为使学生牢固掌握该模型，并能灵活应用，教师在教学中应做好对等时圆模型的推导、分析，使学生掌握结论，更理解结论的本质，从而提高学生的应用能力。

［关键词］高中物理；等时圆模型；应用［中图分类号］G 633.7［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）02-0055-02“等时圆”模型是高中力学中的重要模型之一，相关问题情境复杂多变，很多学生由于不知道该模型，因而在解答相关问题时浪费了大量的时间，甚至出错。

教学中，教师有必要对该模型进行深入探讨，帮助学生理解该模式并能应用该模型解决问题。

一、“等时圆”模型的引入如图1所示，在竖直圆环上的最高点A 处放置一物体，使其分别沿着光滑轨道AB 、AC 、AD 下滑，其中AB 为圆环的竖直直径，物体沿AB 、AC 、AD 轨道下滑的时间分别为t 1、t 2、t 3，试分析下滑时间t 1、t 2、t 3的大小关系。

设圆环的直径AB =d ，轨道AD 与AB 的夹角为θ，由几何知识可知轨道AD 的长l =d cos θ。

物体沿着轨道AD 下滑时，加速度a =g cos θ。

由l =12at 2，可得t的长短、与竖直方向的夹角无关，即t 1=t 2=t 3，该模型即为“等时圆”模型。

二、“等时圆”模型的分析“等时圆”模型推导的难度并不大。

该模型还包括另外两种情境。

情境一：物体在竖直圆环上的最高点沿着不同的光滑轨道运动至圆环的低点，所用的时间相等；情境二：物体沿不同光滑弦上端，由静止下滑到最低点所用的时间相等。

为保证学生在解题过程中能够灵活应用该模型，教学中应设计相关问题，鼓励学生思考、解答，引导学生深入认识该模型，明确模型结论成立的条件。

问题1.一定是最高点和最低点吗？“等时圆”模型中最高点和最低点至少需满足其中一个，教师可引导学生寻找圆的一条直径进行分析。

圆的几何知识在物理解题中的应用

“圆”的几何知识在物理解题中的应用圆是一个很重要的模型，物理中很多物体的运动轨迹都是圆，人造卫星绕地球的运动可近似看作圆周运动，带电粒子在匀强磁场中的运动是匀速圆周运动，绕轴旋转的物体上的每一点都做圆周运动等等，解决这类问题常常涉及到有关圆的一些知识。

以下从几个方面说明它在物理解题中的应用.1、弧长等于半径乘以圆心角，即θ·r s=例1 已知一颗人造卫星在某行星表面上空绕行星做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星的行程为s ，卫星与行星的中心连线扫过的角度是rad 1，那么卫星的环绕周期T 等于，该行星的质量M 等于 .【分析与解答】卫星在一个同期的时间内半径要转过2π，由π21T t=得t T π2=;由2324G T r M π=，关键求出卫星的半径，再根据弧长等于半径乘以圆心角得s r=，代入得23Gt sM =2、直径所对的圆周角为直角例2 如图2ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点，每一根杆上都套着一个小滑环（图中末画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速度为0），用1t 、2t 、3t 依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A 、321t t t <<B 、321t t t >>C 、213t t t >>D 、321t t t ==【分析与解答】如图2连结ac ,过d 作圆的切线。

设圆的半径为R ，由直径所对的圆周角为直角，则三角形acd 为直角三角形，环沿cd 下滑就像沿倾角为θ的光滑斜面下滑.加速度θsin g a=，θsin 2R cd =，时间gRg R a cd t 2sin 222=⨯==θ与倾角无关，故选D3、所有的几何图形，周长一定时圆的面积最大例3 如图3所示正方形的导线框与磁场垂直，现将正方形整成圆形，则导线框中应有（顺、逆）时针的感应电流.【分析与解答】由正方形到圆形，周长一定时圆的面积最大，导线框中磁通量向下增大，由楞次定律得线圈中感应电流为逆时针方向4、直径为最长的弦，弦越长对应的圆心角越大例4 在真空中有半径2100.3-⨯=r m 的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度T B2.0=，方向如图4，一带负电的粒子初以速度60100.1⨯=v m/s ，从磁场边界上直径的一端a 向着各个方向射入磁场，且速度方向与磁场方向垂直.已知粒子比荷为q/m=1.0×108C/kg，d图2图3图1不计重力，求：（1）轨道半径；（2）粒子在磁场中运动的最长时间.【分析与解答】（1）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R，由m R B qv qBmv Rmv 20105,020-⨯===（2）根据粒子运动时间T t πθ2=，周期T 一定，t 与θ成正比，要时间最长则圆心角θ最大，由圆的知识，即要求弦最长，而最长的弦应为磁场圆的直径，也就是要带电粒子从a点射入,从b点射出.如图三角形1aoo 为直角三角形，,37,6.0sin o R r===αα带电粒子在磁场中运动的最长时间为s t Bqm82360372105.60-⨯⨯==π5、弦切角等于所夹弧所对的圆心角的一半例5 如图5在0<y 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子以速度v ，从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电荷量与质量之比mq？【分析与解答】粒子在磁场中作匀速圆周运动，运动半径Bq mv R =，如图x N O ⊥1，N O 1是圆心角的平分线，由弦切角等于所夹弦所对的圆心角的一半，所以θ＝O NO 1∠，Rl 2sin =θ，所以lBv mq θsin 2=圆还有一些几何性质，如弦切角等于所夹弧所对的圆周角（在例1中即有应用）；垂直于弦的直径必平分弦（例5中的x NO ⊥1轴，所以N 点平分弦，2lON ＝）；圆的切线垂直于过切点的半径（例4，例5中轨迹圆圆心的确定，粒子的速度与圆弧相切，两速度垂线的交点即是圆心）；两圆相交时连心线必垂直平分弦（例4中的1OO 垂直平分ab ），等在解题中也是经常用到的。

圆在物理解题中的巧妙应用

圆在物理解题中的巧妙应用物理学中经常会涉及用圆的相关知识求解的问题，可以说物理与圆有着不解之缘.本文拟通过一些具体的实例，阐明圆在求解物理问题中的巧妙应用.圆在物理解题中有很多应用，本文主要介绍圆的三个应用。

用半径表示大小相等的矢量，应用于力的合成与分解和船在流水中过河的问题中；圆的对称性应用于圆周问题的求解和点电荷电场问题的求解；最后介绍物理解题中经常用到的“等时圆”。

一、用半径表示大小相等的矢量圆的第一个特征就是圆任意一点到圆心的距离都等于半径，这个特征在矢量的合成与分解过程中就能得到很好的应用。

应用1：力的合成与分解已知力F 的一个分力1F 跟F 成300角，大小未知，另一个分力2F/3，方向未知，则1F 的大小可能是（）A/3 B/2 C、/3 D解析：根据题意先作出1F 跟F 成300角，再以O 点为圆/3为半径作圆，然后过F 未端作1F 的平行线交圆于C 、D 两点，则OC 、OD 为2F 的两种可能方向，由平行四边形法则可知1F 的大小有两种可能值。

图中OB 、OB '为1F 的大小可能值。

由三角形知识求出正确答是A 、C 。

应用2：船在流水中过河的问题一条河宽m d 200=，小船在静水中的速度s m v /21=，水流速度s m v /42=。

求小船过河的最短位移。

解析：根据题意，因船速小于水速，故船不能垂直过河。

下面我们就用圆来求解小船过河的最短路程。

如图，m 、n 分别为河的两岸，作出水速2v 沿河岸，以2v 的端点为圆心，1v 的大小为半径作圆。

则小船过河路程最短时过河速度v 和2v 的夹角为ϑ，根据几何关系求解即可得到过河的位移ϑsin dx =21sin 21==v v ϑ 所以带值得m x 400=二、圆的对称性的应用圆的对称性在物理解题中有很多应用，对称性给解题带来了很多方便，下面我们就两个例子来说明。

应用1：圆周运动问题的求解质量为m 的小车以恒定的速率v 沿半径为R 的竖直圆环轨道运动。