向量的平行四边形法则运用

向量基本定理与平行四边形法则运用

1. 已知点P 是△ABC 所在平面上一点，且 1

3

AP AB t AC =

+ ，t 为实数，若点P 在△ABC 内部（不包括边界），则t 的取值范围为20,3⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

2. 在

四

边

形

ABCD

中，

()

1,1AB DC ==，

113

BA BC BD BA

BC

BD

+

=

，则四边形ABCD 3. 已知平面向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的

夹角是

A ．

56π B ．23π C ．3π D ． π

6

4. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足

2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为

A. 4-

B.2-

C.2

D. 4

5. 半圆的直径AB=6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，

若P 为半径OC 上动点，则()PC PB PA ⋅+的最小值为9

2

-.

6. 若等边ABC ∆的边长为平面内一点M 满足12

63

CM CB CA =+，

则MA MB ⋅=-2

7. 若非零向量a 、b 满足 2a b a b a -=-=，a 与a b +的夹

角为 060

8. 已知()0,3-A ，()

3,0B ，O 为坐标原点，点C 在AOB ∠内，且

60AOC ∠=，设OB OA OC +=λ，则实数λ等于

3

1

9. 梯形ABCD 中，DA=AB=BC=1，CD=2，点P 在△BCD 内部（包括

边界）中运动，则AP BD ⋅的取

值范围是33,22⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

坐标处理比较方便.

10. 平面上三点O 、A 、B 不共线，求证：平面上任一点C 与A 、B 共线

的充要条件是存在实数λ和μ，使OC =λOA + μOB ，且λ+ μ = 1。 证：必要性：设A ,B ,C 三点共线，则可设AC = t AB (t ∈R) 则OC =OA +AC =OA + t AB =OA + t (OB -OA ) = (1-t )OA + t OB 令1-t =λ，t = μ，则有：OC =λOA + μOB ，且λ+ μ = 1 充分性：AC =OC -OA =λOA + μOB -OA = (λ-1)OA + μOB = -μOA + μOB = μ(OB -OA ) = μAB ∴三点A 、B 、C 共线

练习：

11. （2007江西）如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直

线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AB m AM =，AC n AN =，则m n +=

12. 已知O 是ABC ∆的外心，2,3AB AC ==，若AO x AB y AC =+，且

21x y +=，则3cos 4

A =

解： 22

AC

AO x AB y AC x AB y =+=+，2AO x AB y AM =+，所以 O ，B ，M 共线，3

cos 4

AM A AB =

= 一般情况：如AB=8，AC=7，….

13. 已知O 是ABC ∆内一点， OA +2OB +3OC =0，则问ABC ∆的面积与

AOC ∆的面积的比是多少？

解：（一）平行四边形法：设E D ,分别是BC AC ,的中点，则OD OC OA 2=+，

()OE OC OB 42=+，故可得： OC OB OA 32++()

022=+=OE OD ，即

OE OD 2-=， 故2:3:=∆∆AOC AEC S S ，则1:3:=∆∆AOC ABC S S

（二）化归法：延长OB 使OB OB 2'=，延长OC 使OC OC 2'=，则O 是

''C AB ∆的重心， '''9

1

31C AB AOC AOC S S S ∆∆∆==，

14. 设点O 是ABC ∆内一点，满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆的面积与

OBC ∆的面积之比为 5：1 .

15. 在ABC ∆中，AD AB ⊥ ，3BC BD = ，1AD = ，求AC

AD 的

值. 法一：建立直角坐标系处理、法二：选基向量,AB AD 、法三：先数量积运算，设角解三角形.

16. G 为ABC ∆的重心，AG AB AC λμ=+，,R λμ∈，0120A ∠=，

2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值为

2

3

17. ABC ∆中，F E D ,,为三边AB CA BC ,,的中点，G 为三条中线的交点，

（1）试用向量方法证明：GD AG 2=；（2）若过点G 的直线交AC AB ,于N M ,，AB AM λ=，AC AN μ=，求

μ

λ1

1+。

18. （2013杭二模文）在△AOB 中，C 为OA 上一点，且2

3

OC OA =

，D 是BC 的中点，过点A 的直线l //OD ，点P 是直线l 上任意

一点，若12OP OB OC λλ=+，则 123

2

λλ-=-.

19. 非零向量a 、b 的夹角为060，且1a = ，则a b - 的最小值为

3

2

20. 若非零向量a 、b 满足b b a =-，则下列各式正确的是 ③ ①向量a 、b 的夹角恒为锐角 ， ② 2||2→

b ＞a ⋅b

③｜2b ｜＞｜a 一2b ｜； ④｜2a ｜＜｜2a 一b ｜

b a 2=θcos 2b a a

=，所以：

0cos >θ，但是，有可能1cos =θ，即向量a 、b 、b a -同向 易错题

21. 在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP ∥OM ，且

(0)OP xOA yOB x =+≠，则y

x

= 1 ．