2.1坐标轴的平移与旋转(2)
一平移旋转和轴对称旋转课件
2023一平移旋转和轴对称旋转课件pptCATALOGUE 目录•引言•平移旋转的概念及性质•轴对称旋转的概念及性质•平移旋转与轴对称旋转的联系与区别•平移旋转和轴对称旋转在几何中的应用•平移旋转和轴对称旋转在现实生活中的应用•总结与展望01引言平移、旋转和轴对称是平面几何的基本变换，是研究图形性质的重要工具。
平面几何的基本概念传统教学往往只注重理论知识的传授，缺乏对实际应用的讲解，学生难以理解和掌握这些变换。
传统教学的不足课程背景1课程目标23掌握平移、旋转和轴对称变换的基本概念和性质。
理解这些变换在平面几何中的应用，包括对称性、相似性、全等等。
培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
03培养空间想象能力和逻辑推理能力，为未来的学习和工作提供帮助。
学习收益01掌握平面几何的基本变换，为进一步学习平面几何打下坚实的基础。
02了解这些变换在解决实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。
02平移旋转的概念及性质平移在平面直角坐标系中，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做平移。
旋转在平面直角坐标系中，将一个图形绕着某个点旋转一定的角度，这样的运动叫做旋转。
平移旋转的定义平移旋转的性质•平移的性质•移动前后图形的形状和大小不变。
•移动前后图形的对应点之间的距离相等。
•移动前后图形的对应点之间的连线平行（或在同一条直线上）且长度相等。
•旋转的性质•旋转前后图形的形状和大小不变。
•旋转前后图形的对应点之间的距离相等。
•旋转前后图形的对应点之间的连线相等且平行（或在同一条直线上）平移的例子将一个三角形沿着x轴移动2个单位。
旋转的例子将一个正方形绕着中心点旋转90度平移旋转的例子03轴对称旋转的概念及性质轴对称旋转是指一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称旋转的特性包括旋转前后的图形全等、对应线段相等、对应角相等，同时旋转角为0°或360°。
坐标变换与参数方程1坐标轴的平移与旋转1坐标轴的平移
3二题，如果不移动图像，移动坐 标轴，该如何平移？
正好与上面图像平移方向相反
导学
圆心在O1(2，1)，半径为1的圆的方程为
(x2)2(y1)21．
对应图形如图所示．如果不改变坐标轴的方
向和单位长度，将坐标原点移至点O 1 处，那
么，对于新坐标系x1 O 1 y 1，该圆的方程就是
这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，
使得新坐标原点在点O（1 －2，1），
由公式2.1，得
x y
x1 y1
2, 1.
将上式代入圆的方程，得 x12 y12 9．
这就是新坐标 x 1 O 1 y 1 中圆的方程． 新坐标系和圆的图形如图所示．
练习与评价
1．平移坐标轴，把坐标原点移至O （1 －1，－3），求下列 各点的新坐标：
x12 y12 1．
导学
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的 坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．
下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之 间的关系．反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
所以方程简化为 x12 y12 11， 新坐标系的原点为 ( 3，2 )．
课堂总结
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题2.1.1（必做题） 习题集2.1.1（选做题） 学习与训练2.1（选做题）
2、实践作业： 实践指导2.1
坐标系转换矩阵
坐标系转换矩阵1. 介绍坐标系转换矩阵是数学中一种常用的工具，用于将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
在二维和三维空间中，坐标系转换矩阵可以表示为一个矩阵，通过乘法运算将原始坐标转换为目标坐标。
坐标系转换矩阵在计算机图形学、机器人学、物体定位以及航空航天等领域具有广泛的应用。
2. 二维坐标系转换矩阵2.1 平移矩阵平移矩阵用于将一个点在二维平面上沿 x 轴和 y 轴方向移动一定的距离。
平移矩阵可以表示为：[1 0 dx][0 1 dy][0 0 1 ]其中 dx 和 dy 分别表示在 x 轴和 y 轴上的平移距离。
通过乘法运算，可以将原始点的坐标 (x, y) 转换为移动后的坐标 (x+dx, y+dy)。
2.2 缩放矩阵缩放矩阵用于将一个点在二维平面上沿 x 轴和 y 轴方向进行放大或缩小。
缩放矩阵可以表示为：[sx 0 0][0 sy 0][0 0 1]其中 sx 和 sy 分别表示在 x 轴和 y 轴上的缩放比例。
通过乘法运算，可以将原始点的坐标 (x, y) 转换为缩放后的坐标 (sx x, sy y)。
2.3 旋转矩阵旋转矩阵用于将一个点在二维平面上绕原点进行旋转。
旋转矩阵可以表示为：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]其中θ 表示旋转角度。
通过乘法运算，可以将原始点的坐标 (x, y) 转换为绕原点旋转后的坐标 (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)。
2.4 总体转换矩阵总体转换矩阵可以通过平移、缩放和旋转矩阵的乘法运算得到。
假设需要将一个点从坐标系 A 转换到坐标系 B，首先可以将点的坐标通过平移矩阵从坐标系 A 转换到原点所在的坐标系，然后通过旋转矩阵将点的坐标围绕原点进行旋转，最后通过缩放矩阵将点的坐标进行放大或缩小，得到在坐标系 B 中的新坐标。
3. 三维坐标系转换矩阵三维坐标系转换矩阵与二维类似，只是需要增加一维。
人教版九年级上册数学活动：用坐标表示旋转-2课件(共31张PPT)
旋转180°，则旋转后的抛物线表达式为
_________________.
应用新知
y y = 2x + 4
O
x
应用新知
y y = 2x + 4
N（0，4）
M（-2，0）
O
x
应用新知
y y = 2x + 4
N（0，4）
M（ꞌ 0，2）
M（-2，0）
待定系数法： 设直线表达式为y kx （b k 0） （实际应用时注意数形结合）
对应点的坐标是
.
把点 Q（0，4）绕原点分别顺时针旋转90°, 180°, 270°, 360°后的对应点的坐标依次是___________________________________.
在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），
___________________________________.
探索新知
y
（0，5）
老师的答案是否 和你一样呢？
（-5，0） O
P（5，0） x
（0，-5）
探索新知
把点 P（5，0）绕原点分别顺时针旋转90°, 180°, 270°, 360°后的对应点的坐标依次是
_（_0_，__-5_）__，_（__-_5_，_0_）__，__（_0_，__5_）_，__（__5_，__0）___.
y = 2x + 4
90°，180
老师的答案是否和你一样呢？
270°，360°后的对应点的 数学活动：用坐标表示旋转
仿照上述过程探索把点P(x，y)绕原点分别逆时针旋转90°, 180°, 270°, 360°后的对应点的坐标依次是_____________________________.
坐标变换与参数方程教案全
§16.1坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题2.1坐标轴的平移与旋转创设情境兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．例如，圆心在O1(2,1),半径为1的圆的方程为．对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点处，那么，对于新坐标系，该圆的方程就是．图2-1动脑思考探索新知只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．图2-2如图2-2所示，把原坐标系平移至新坐标系，在原坐标系中的坐标为．设原坐标系两个坐标轴的单位向量分别为i和j，则新坐标系的单位向量也分别为i和j，设点P在原坐标系中的坐标为，在新坐标系中的坐标为，于是有xi+y j，x1i+y1 j，x0i+yo j，因为，所以，即．（转下节）§16.1坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2会利用坐标轴平移化简曲线方程．（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式（2.1）或（2.2）【想一想】公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识典型例题例1 平移坐标轴，将坐标原点移至（2，－1），求下列各点的新坐标：O(0,0)，A(2,1)，B(－1,2)，C(2,－4)，D(－3,－1)，E(0,5)．解由公式(2.2)，得将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O（－2，1），A（0，2），B（－3，3），C（0，－3），D（－5，0），E（－2，6）．例2 利用坐标轴的平移化简圆的方程，并画出新坐标系和圆.解将方程的左边配方，得．这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点（－2，1），由公式（2.1）得将上式代入圆的方程，得．这就是新坐标系中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．运用知识强化练习1．平移坐标轴，把坐标原点移至（－1，－3），求下列各点的新坐标：A（3，2），B（－5，4），C（6，－2），D（1，－3），E（－5，－1）．2．利用平移坐标轴，化简方程，并指出新坐标系原点的坐标．继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P40/练习1-2、P41/练习；教材P42/习题1-4§16.3参数方程（一）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境兴趣导入如图2-6所示，质点M从点（1，0）出发，沿着与x轴成60o角的方向，以10 m/s的速度运动．质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60o的直线（x轴上方的部分）．容易求得其方程为【想一想】为什么要附加条件？动脑思考探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M的坐标与时间t的关系，得即时间t确定后，点M的位置也就随之确定.【想一想】为什么要附加条件？由此看到，曲线上动点M(x，y)的坐标 x和y，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组（2.5）来表示质点的运动轨迹．我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t叫做参变量．相应地把以前所学过的曲线方程f(x，y)＝0叫做普通方程．（转下节）§16.3参数方程（二）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识典型例题例1 写出圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程．解如图2-7所示，设圆上任意点P（x，y）联结OP，设角为参变量，则为所求的圆的参数方程．与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x与y的对应值，以每一数对（x，y）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．例2 作出参数方程的图形．解由于所以．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：t …－2.5 －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 2.5 …x …－15.63 －8 －3.38 －1 0 1 3.38 8 15.63 …y … 6.25 4 2.25 1 0 1 2.25 4 6.25 …以表中的每对（x，y）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8所示．【想一想】如果例2中的参变量t换为，那么，曲线的范围会不会发生变化？继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P48练习/1-3；教材P49练习/1-3；教材P52/习题1-4(3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．§16.3参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．（2）掌握圆心为坐标原点半径为R的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．能力目标：通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程．【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程．【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量或的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是与生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．。
九年级数学中考知识点归纳复习 第24讲 平移、对称、旋转与位似 视图和投影
在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
视图与投影
二、知识清单梳理
知识点一：三视图内容
关键点拨
1.三视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36 .
4.图形的中心对称
（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．
（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
2.三视图的对应关系
(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
第七单元图形与变换
第24讲平移、对称、旋转与位似视图和投影
一、知识清单梳理
知ห้องสมุดไป่ตู้点一：图形变换
关键点拨与对应举例
1.图形的轴对称
（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．
②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
双曲线的性质及计算方法
双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。
双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。
1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。
其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。
这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。
（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。
（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。
焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。
常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。
（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。
（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。
二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。
2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。
通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
解析几何中的坐标轴旋转与平移操作
解析几何中的坐标轴旋转与平移操作在解析几何中，坐标轴旋转与平移操作是非常常见且重要的操作。
通过对坐标轴进行旋转和平移，我们可以方便地研究图形的性质和变化，从而解决许多几何问题。
本文将对坐标轴的旋转和平移进行详细解析，帮助读者更好地理解和应用这些操作。
一、坐标轴的旋转操作坐标轴的旋转操作是指将坐标轴按照一定的角度旋转，从而改变坐标系的方向和位置。
通过旋转操作，我们可以将几何问题转化为更简单的形式，使得计算和分析更加方便。
1. 二维平面坐标轴的旋转在二维平面中，我们通常使用x轴和y轴构成的直角坐标系来描述点的位置。
当我们需要对坐标轴进行旋转时，可以按照以下步骤进行操作：（1）确定旋转中心：旋转中心是指坐标轴旋转的中心点，可以是原点或者其他点。
（2）确定旋转角度：旋转角度决定了坐标轴旋转的程度，可以是正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
（3）应用旋转矩阵：根据旋转中心和旋转角度，应用旋转矩阵对坐标轴进行旋转。
旋转矩阵的具体形式如下：| cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转角度。
2. 三维空间坐标轴的旋转在三维空间中，我们通常使用x轴、y轴和z轴构成的直角坐标系来描述点的位置。
当我们需要对坐标轴进行旋转时，可以按照以下步骤进行操作：（1）确定旋转中心：旋转中心是指坐标轴旋转的中心点，可以是原点或者其他点。
（2）确定旋转轴：旋转轴是指坐标轴旋转的轴线，可以是x轴、y轴、z轴或者其他直线。
（3）确定旋转角度：旋转角度决定了坐标轴旋转的程度，可以是正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
（4）应用旋转矩阵：根据旋转中心、旋转轴和旋转角度，应用旋转矩阵对坐标轴进行旋转。
旋转矩阵的具体形式与二维平面类似，根据旋转轴的不同而有所区别。
二、坐标轴的平移操作坐标轴的平移操作是指将坐标轴沿着某个方向进行平移，从而改变坐标系的位置。
通过平移操作，我们可以将几何问题转化为更方便计算和分析的形式。
常用坐标系介绍及变换
➢ GPS定位采用坐标系： 在GPS定位测量中，采在空用间的两位类置和坐方标向应系保持，不变，
或仅作匀速直线运动。
即天球坐标系与地球坐标系，两坐标系的坐 标原点均在地球的质心，而坐标轴指向不 同。天球坐标系是一种惯性坐标系，其坐标 原点及各坐标轴指向在空间保持不变，用于 描述卫星运行位置和状态。地球坐标系随同 地球自转，可看作固定在地球上的坐标系， 用于描述地面观测站的位置。
长半轴： （m） 扁率： 1：298.3
BJ54可归结为： a．属参心大地坐标系； b．采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数； c. 大地原点在原苏联的普尔科沃； d．采用多点定位法进行椭球定位； e．高程基准为 1956年青岛验潮站求出的黄海平
均海水面。
f．高程异常以原苏联 1955年大地水准面重新平 差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得 。
➢ 为什么选用空间直角坐标系？ 任一点的空 间位置可由该点在三个坐标
面的投影（X，Y，Z）唯一地确定，通过坐 标平移、旋转和尺度转换，可以将一个点的 位置方便的从一个坐标系转换至另一个坐标 系。与某一空间直角坐标系所相应的大地坐 标系（B，L，H），只是坐标表现形式不 同，实质上是完全等价的，两者之间可相互 转化。
几何定义：
ZWGS84
原点—在地球质心
BIH定义的
Z轴—指向 BIH 1984.0 零子午圈
定义的协议地球 （1984.0）
P
N
CTP
赤道
平面
(CTP）方向。
X轴—指向BIH 1984.0
O
的零子午面和CTP 赤道的交点。 Y轴—与Z、X轴构成右
手坐标系。
E
YWGS8
4
XWGS84
坐标轴的平移与旋转PPT
导学
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的
坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．
设点M在原坐标系 x O
y
中的坐标为(x,y)，对应向量ຫໍສະໝຸດ uuuur OM的模
为r，辐角为 ．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角
y
M
x1
形成新坐标系 x1 O y 1，点M在新坐标系x1 O y 1
y1
中的坐标为 (x1 , y1（) 如图），则
新坐标.
A(2， 0)， B(1， 3)， C( 2， 2)．
2.平移坐标轴，把坐标原点移至 π
O
（－1，1），然后再将坐
1
标轴旋转 4
，求原坐标系中点（1，2）的新坐标（精确到0.01）.
(2.12， 0.71)．
9
课堂总结
本次课学了哪些内容？ 重点和难点各是什么？
10
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题2.1.2（必做题） 习题集2.1.2（选做题） 学习与训练2.1（选做题）
x1 y1
x y
x0， y0.
由公式（2.3）得
xy22
x1cos y1sin， y1cos x1sin.
因此得 xy2 2 ((xy xy00))ccooss ((yx yx0 0))ssiin n， .
8
练习与评价
π
1. 将坐标轴旋转 4
，求点 A (2 ， 2)， B (2 ， 22)， C (0 ， 2 )的
x 1
1 2
x
3 y， 2
y1
1 2
y
3 x. 2
将各点的原坐标分别代入公式，
得到各点的新坐标分别为
A (1 3 ， 1 3 )， B ( 1 3 ， 1 3 )， C (53 ， 5 )．
平移与旋转教案 (2)
例1：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D
（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）画出平移后的三角形．
例2：(2013.湖南郴州）在下面的方格纸中.
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
例3：如图，将四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，已知EF=13，GF=12，GH=3，EH=4，且∠D=90 ，求四边形ABCD的周长和面积.
二、基础练习：
1．(2013.湖南湘西)在平面直角坐标系中，将点A(-2,3)向右平移3个单位长度后，那么平移后对应点A1的坐标是.
2．在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A.B两点的坐标分别为
（-2，3），（-3，1），若点A1的坐标为（3，4），则点B1的坐标为.
三、例题讲解：
2．平移的性质：平移不改变图形的和，故平移前后的两个图形是的.因此平移具有以下性质：（1）对应点所连的线段（或在同一条直线上）且.（2）对应线段（或在同一条直线上）且.（3）对应角.
二、基础练习：
1.下列现象属于平移的是_______________
A.打开抽屉；B.健身时做呼啦圈运动；C.风扇扇叶的转动；D.小球从高空竖直下落；
五、课堂小结
作业布置
板
书
设
计
教
学
反
思
单元
三
教学内容
3．2图形的旋转（一）
课时
1
教
学
目
标
1、学会分析生活中的图形的旋转现象，发展初步的审美能力，增强对图形的欣赏的意识。
2、通过具体事例认识旋转，理解旋转的性质。
opencv坐标系和旋转角度定义
在计算机视觉和图像处理领域，OpenCV是一个广泛使用的开源计算机视觉库，它具有丰富的图像处理和计算机视觉算法。
在使用OpenCV进行图像处理时，经常会涉及到坐标系和旋转角度的定义，这些概念对于了解图像处理和计算机视觉算法非常重要。
本文将介绍OpenCV中坐标系和旋转角度的定义，希望对读者有所帮助。
一、坐标系定义在OpenCV中，常用的坐标系是以图像的左上角为原点(0,0)，x轴向右为正方向，y轴向下为正方向。
这个坐标系与数学中常用的笛卡尔坐标系有所不同，需注意转换。
1.1 图像坐标系图像坐标系是一个以图像左上角为原点的2D坐标系，其中x轴向右为正方向，y轴向下为正方向。
在OpenCV中，图像的坐标系通常表示为(x,y)，x表示列数，y表示行数。
1.2 世界坐标系世界坐标系是一个基于实际世界物体位置的坐标系，通常与相机坐标系相关联。
在使用OpenCV进行摄像机标定和三维重建时，会用到世界坐标系的概念。
二、旋转角度定义在图像处理和计算机视觉中，经常需要对图像进行旋转处理。
在OpenCV中，旋转角度的定义遵循数学中的正角度定义，即逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向。
2.1 顺时针旋转角度在OpenCV中，对图像进行顺时针旋转时，旋转角度为负值。
当需要将图像顺时针旋转90度时，旋转角度为-90度。
2.2 逆时针旋转角度对图像进行逆时针旋转时，旋转角度为正值。
当需要将图像逆时针旋转90度时，旋转角度为90度。
总结：在使用OpenCV进行图像处理和计算机视觉算法开发时，了解坐标系和旋转角度的定义是非常重要的。
本文介绍了OpenCV中常用的图像坐标系和世界坐标系的定义，以及旋转角度的定义。
希望本文对读者在学习和使用OpenCV时有所帮助。
以上就是本文的全部内容，谢谢阅读！在图像处理和计算机视觉中，我们经常会涉及到对图像进行旋转、平移、缩放等操作。
而要进行这些操作，我们首先需要了解图像的坐标系以及旋转角度的定义。
第三章 图形的平移与旋转(回顾与思考)(课件)-八年级数学下册(北师大版)
2 cm至△A′B′C′的位置，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为( C )
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm
二、考点精讲
考点一：平移的性质 例2. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到 △DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求 (3)△ABC 的面积＝2×3－12 ×1×3－12 ×1×1－12 ×2×2＝6－1.5－0.5－2＝2
二、考点精讲
考点四：旋转作图
例8. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O 均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点).
(1)作点A关于点O的对称点A1； (2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线 段A1B1； (3)连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
三、课堂练习
8．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移， 使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F. (1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论； (2)求线段BD的长．
三、课堂练习
解：(1)AC与BD互相垂直．证明如下： ∵△DCE由等边三角形ABC平移得到， ∴BC＝CD. ∵∠ACB＝∠ACD＝180°－60°－60°＝60°， ∴CF是等腰△BCD的角平分线． ∴CF垂直平分BD，即AC⊥BD.
解：∵△DCE 由△ABC 平移而成， ∴△ABC 平移的距离为：BC＝2， ∴CD＝CB＝CE＝2， ∴∠BDE＝90°，∴△BED 是直角三角形， ∵BE＝BC＋CE＝4，DE＝CE＝2， ∴BD＝ BE2－DE2 ＝2 3
平移_旋转_轴对称_知识点总结2021优秀版
平移_旋转_轴对称_知识点总结(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）旋转、平移、轴对称、中心对称知识点总结年月日知识点1、时间单位：时、分、秒、年、月、日2、一年=12个月，平年=365天、闰年=366天，有7个是大月31天，有4个小月30天，平年2月份是28天闰年2月份是29天第一季3、一年四个季度，一个季度=3个月，一星期=7天，一天=24小时，一小时=60分钟，一分钟=60秒4、平年一年有365天（31×7+30×4+28=365），52个星期零1天，闰年有366天（31×7+30×4+29=366）,52个星期零2天。
5、如何判断哪一年是平年还是闰年？看是不是4的倍数特殊地，如果是整百数的年份，要看是不是400的倍数，比如1900年是整百数年份，也是4的倍数，但不是400的倍数，所以这一年不是闰年。
2017年是闰年吗？2000年是闰年吗？2020年是闰年吗？1800年是闰年吗？6、背诵这些节假日：1月1日元旦3月8日妇女节3月12日植树节5月1日劳动节6月1日儿童节8月1日建军节9月10日教师节10月1日国庆节7、平年上半年有181天，下半年有184天。
闰年上半年有182天，下半年有184天。
平面直角坐标系一、目标认知学习目标:1．理解平面直角坐标系产生的背景，能正确画出平面直角坐标系.能在直角坐标系中,根据坐标找点,由点求出坐标，掌握点坐标的特征（包括四个象限内点坐标的特征，数轴上点坐标的特征，象限角平分线上点坐标的特征和对称点坐标的特征）.2．由数轴到平面直角坐标系,渗透了类比的数学思想方法. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应的关系,进而培养数形结合的数学思想．3．在掌握平面直角坐标系的基础知识基础上，可把该知识应用到地理位置识别以及图形平移,培养应用数学的意识,并激发学习数学的兴趣.4．通过学习活动，验证平面直角坐标系的特征，获得理性认识.重点:正确画出平面直角坐标系，掌握点坐标的特征．难点:掌握点坐标的特征，知道如何在平面直角坐标系内进行平移．二、知识要点梳理知识点一：有序数对比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。
机器人的空间描述与坐标变换
BPCBTCP APA BTBPA BTC BTCP
（2-24） （2-25）
{A}
{C}
{B}
CP
AP
OC
OB OA
图2-10 复合坐标变换
根据坐标变换的定义得
CATABTCBT
（2-26）
11
例2-3已知点u=7i+3j+2k，先对它进行绕Z轴旋转90o 的变换得点v，再对点v进行绕Y轴旋转90o的变换得 点w，求v和w。
f fxifyjfzk
以 f 为 Z 轴建立与{A}固连的坐标系{C}用n、o和f表示坐标系{C}三个坐标
轴的单位矢量，在坐标系{A}下表示为
ZA
n nxi ny j nzk o oxi oy j ozk f fxi fy j fzk
A C
R
n n
x y
ox oy
f f
x y
B
P
BAR
BP
（2-6）
图2-4旋转变换
B
Z
T A
式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐
标系之间的旋转变换实现的。
5
3.复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移
又存在旋转，如何计算同一个空间点
在两个坐标系下描述的变换关系？
{A}
{C} {B}
BP AP
OB
为了得到位置矢量BP和AP之 间的变换关系，我们建立一个中 间坐标系{C}。
c90 0 s90 1
0
0
CAR
0
1
0
0
c 30
s 30
s90 0 c90 0 s 30 c 30
0 0
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运 用 知 识 强 化 练 习
坐标轴旋转的坐标变换公式
x1 x cos y sin ， y1 y cos x sin .
x x1 cos y1 sin ， y y1 cos x1 sin .
（2.3）
（2.4）
自 我 反 思 目 标 检 测
将各点的原坐标分别代入公式， 得到各点的新坐标分别为
A(1 3 1 1 3 5 3 5 ， 3)，B( 31 ， )，C ( ， )． 2 2 2 2 2 2
巩 固 知 识 典 型 例 题
例4 设点M在原坐标系xOy 中的坐标为(x,y)，首先平移坐标轴， 将坐标原点移至 O1 ( x0, y0 )，构成坐标系 x1O1 y1，然后再将坐标轴绕点
巩 固 知 识 典 型 例 题
π 2 2)，C (0， 2) 的 1. 将坐标轴旋转 ，求点 A( 2，2)，B( 2， 4
新坐标.
A(2，， 0) B(1，， 3) C ( 2，2)．
π 标轴旋转 ，求原坐标系中点（1，2）的新坐标（精确到0.01）. 4
(2.12， 0.71)．
2.平移坐标轴，把坐标原点移至 O（－ 1，1），然后再将坐 1
1
1
o
x
x r cos , y r sin x1 r cos( )，y1 r sin( )，
于是 x1 r cos cos r sin sin x cos y sin ,
y1 r sin cos r cos sin y cos x sin .
第2章 坐标变换与参数方程
2.1 坐标轴的平移与旋转
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的 坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转． 设点M在原坐标系 xOy 中的坐标为(x,y)，对应向量 OM 的模
为r，辐角为 ．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角 y 形成新坐标系 x1Oy1，点M在新坐标系x1Oy1 M x y ) 中的坐标为 ( x1 , y1（如图），则
O1 旋转 角构成新坐标系x2O1 y2 .求点M在新坐标系x2O1 y2中的坐标．
解 设点M在坐标系 x1O1 y1 中的坐标为 ( x1, y1 )，点M在新坐标系
x2O1 y2中的坐标为 ( x2 , y2 )，则由公式（2.2）得
x1 x x0， y1 y y0 .
1 1
x1 x cos y sin ， y1 知
例3
π 将坐标轴旋转 ，求点A(2,1)，B(－1,2)，C (0,5)的新 3
坐标（如图）.
解 由公式（2.3）得
1 x1 x 2 y 1 y 1 2 3 y， 2 3 x. 2
学习效果 学习行为 学习方法
自 我 反 思 目 标 检 测
将坐标轴旋转5º ，求点A(0.2，1.5) ，B(－2.3，2) ， C (0，3.2)的新坐标（精确到0.01）.
A(0.331.48) ， ，B(1.71 ， 3.36)，C (0.28， 3.19)．
自 我 反 思 目 标 检 测
动 脑 思 考 探 索 新 知
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的 坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．
由此得到坐标轴的旋转的坐标变换公式
y M x1
y1
o
（2.3） 想一想 公式(2.3)和 公式(2.4)的区 将新坐标系看作原坐标系，则旋转角度为 x 别在哪里？使用 ，代入公式（2.3）得 x x1 cos y1 sin ， 公式要注意些什 （2.4） 么问题？ y y cos x sin .
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题2.1（必做） 学习与训练2.1（选做）
继 续 探 索 活 动 探 究
作 业
x2 x1 cos y1 sin ， y2 y1 cos x1 sin .
由公式（2.3）得
因此得
x2 ( x x0 ) cos ( y y0 )sin ， y2 ( y y0 ) cos ( x x0 )sin .