最优控制课件第3章
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最优控制_西安交通大学课件第三章
tf t0
F
x
x
F x
x
o
(
x)2, (
x)
2
dt
上式中 o[( x)2 , ( x)2 ]是高阶项。
根据定义，泛函的变分 J 是 J 的线性
主部，即
J
tf t0
F x
x
F x
x dt
对上式第二项作分部积分，按公式
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X , X ,t)dt t0
x1 (t)
X
x
2
(t
)
x
n
(t
)
x1 (t)
X
x
2
(t
)
x
称 J (X ) 在 X X *处有极值。
定理：J (X ) 在 X X * 处有极值的必要条件是对 于所有容许的增量函数 X（自变量的变分）， 泛函 J (X )在 X *处的变分为零
J(X*, X ) 0
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变 分 2J。但在实际问题中根据问题的性质容易
J
1
(
x
2
x 2
)dt
0
取极值的轨迹 x* (t)。
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方
程为 即
2x d (2x) 0 dt
x x 0
它的通解形式为
最优控制理论课件
8
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0)MF
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
22.03.2020
现代控制理论
24
最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
22.03.2020
现代控制理论
50
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
22.03.2020
现代控制理论
51
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
泛函的增量 J ( x ( g ) ) J ( x ( g ) x ) J ( x ( g ) ) L ( x , x ) r ( x , x )
J x ( T ) ,y ( T ) ,x & ( T ) ,y & ( T ) x & ( T )
控制
(t)
22.03.2020
现代控制理论
最优控制全部PPT课件
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
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目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
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3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
最优控制 第三章 静态最优化问题的最优控制
第三章 静态最优化问题的最优控制
5
它在定义域上可以不止一个， 它在定义域上可以不止一个，如果将整个定义 上所有的极小值进行比较， 域[a,b]上所有的极小值进行比较，找出最小的极小 上所有的极小值进行比较 称为最小值 它具有全局性质， 最小值。 值，称为最小值。它具有全局性质，而且是唯一 的。一般地记为
三、具有等式约束条件的极值
上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。 上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。 对于具有等式约束条件的极值问题，则要通过等效 对于具有等式约束条件的极值问题， 变换，化为无约束条件的极值问题来求解。 变换，化为无约束条件的极值问题来求解。
第三章 静态最优化问题的最优控制
第三章 静态最优化问题的最优控制
18
嵌入法只适用于简单情况， 嵌入法只适用于简单情况，而拉格朗日乘子 法具有普遍意义。现把式(3-15)写成更为一般的形 法具有普遍意义。现把式 写成更为一般的形 式。 目标函数为 设连续可微的目标函数 设连续可微的目标函数为 J = f(x,u) 等式约束条件为 等式约束条件为 g(x,u) = 0 式中x——n维列矢量； 维列矢量； 式中 维列矢量 u——r维列矢量； 维列矢量； 维列矢量 g——n维矢量函数。 维矢量函数。 维矢量函数
第三章 静态最优化问题的最优控制 19
(3-18)
(3-19)
在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量 乘等式 在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量λ乘等式 约束条件并与目标函数相加，构造拉格朗日函数 约束条件并与目标函数相加，构造拉格朗日函数
H = J + λ g = f ( x, u) + λ g( x, u)
第三章 静态最优化问题的最优控制
13
显然， 显然，式(3-11)取极值的条件为 取极值的条件为
5
它在定义域上可以不止一个， 它在定义域上可以不止一个，如果将整个定义 上所有的极小值进行比较， 域[a,b]上所有的极小值进行比较，找出最小的极小 上所有的极小值进行比较 称为最小值 它具有全局性质， 最小值。 值，称为最小值。它具有全局性质，而且是唯一 的。一般地记为
三、具有等式约束条件的极值
上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。 上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。 对于具有等式约束条件的极值问题，则要通过等效 对于具有等式约束条件的极值问题， 变换，化为无约束条件的极值问题来求解。 变换，化为无约束条件的极值问题来求解。
第三章 静态最优化问题的最优控制
第三章 静态最优化问题的最优控制
18
嵌入法只适用于简单情况， 嵌入法只适用于简单情况，而拉格朗日乘子 法具有普遍意义。现把式(3-15)写成更为一般的形 法具有普遍意义。现把式 写成更为一般的形 式。 目标函数为 设连续可微的目标函数 设连续可微的目标函数为 J = f(x,u) 等式约束条件为 等式约束条件为 g(x,u) = 0 式中x——n维列矢量； 维列矢量； 式中 维列矢量 u——r维列矢量； 维列矢量； 维列矢量 g——n维矢量函数。 维矢量函数。 维矢量函数
第三章 静态最优化问题的最优控制 19
(3-18)
(3-19)
在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量 乘等式 在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量λ乘等式 约束条件并与目标函数相加，构造拉格朗日函数 约束条件并与目标函数相加，构造拉格朗日函数
H = J + λ g = f ( x, u) + λ g( x, u)
第三章 静态最优化问题的最优控制
13
显然， 显然，式(3-11)取极值的条件为 取极值的条件为
《最优控制》第3章庞德里雅金极大值原理解析
3
tf
t0
第3章——庞德里雅金极大值原理
(1)最优轨线 x * (t ) 和协态向量 (t ) 满足规范方程组
x
H H x
(2)在最优轨线 x * (t )上与最优控制 u * (t )上对应的哈密顿 函数取最小值
H ( x*, u*, , t )umin H ( x, u, , t )
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
7
第3章——庞德里雅金极大值原理
2、双积分装置时间最优控制系统 考察惯用语性负荷在一无阻尼环境中运动情况：
Y (s) 1 m y 2 (t ) f (t ) 设m 1 G ( s ) F (s) S
1 x2 x 设 x1 y, x2 x 1 y 得 2 u x
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
tf
t0
第3章——庞德里雅金极大值原理
(1)最优轨线 x * (t ) 和协态向量 (t ) 满足规范方程组
x
H H x
(2)在最优轨线 x * (t )上与最优控制 u * (t )上对应的哈密顿 函数取最小值
H ( x*, u*, , t )umin H ( x, u, , t )
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
7
第3章——庞德里雅金极大值原理
2、双积分装置时间最优控制系统 考察惯用语性负荷在一无阻尼环境中运动情况：
Y (s) 1 m y 2 (t ) f (t ) 设m 1 G ( s ) F (s) S
1 x2 x 设 x1 y, x2 x 1 y 得 2 u x
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
高等教育《最优控制理论》课件 第三章
系统方程
& x = f ( x, u , t )
x(t 0 ) = x0 ,
M [ x ( t f ), t f ] = 0
约束条件
正则方程
& x=
∂H ∂λ
& λ =−
∂H ∂x
控制方程
∂H =0 ∂u
条件边界条件和横截条件
终端固定
tf
x(t 0 ) = x0 ,
M [ x (t f )] = 0 ⇒ x (t f ) = x f
2 2
M = x1 (2) + 5 x 2 (2) − 15 = 0
λ1 ( 2) = x1 ( 2) − 5 + v = c1
λ 2 (t f ) =
∂θ ∂ x 2 (t ) + ( ∂M ) T v (t f ) ∂ x 2 (t f )
f
λ 2 ( 2 ) = x 2 ( 2 ) − 2 + 5 v = c 2 e 2 + c1
边界条件和横截条件
x(0) = 0, → −0.5c 2 − c3 + c 4 = 0
− c1 − 0.5c 2 + c3 = 0
λ 1 (t f ) =
∂θ ∂M + ( ) T v (t f ) ∂ x1 (t f ) ∂ x1 (t f )
1 x1 (t ) = −c3 e −t − c 2 e t − c1t + c 4 2 1 x 2 (t ) = c3 e −t − c 2 e t − c1 2 1 1 θ = [ x1 (2) − 5] 2 + [ x 2 (2) − 2] 2
三. 初始时刻 t 0 及始端状态 x(t 0 ) 给定, t f 自由,终端约束
& x = f ( x, u , t )
x(t 0 ) = x0 ,
M [ x ( t f ), t f ] = 0
约束条件
正则方程
& x=
∂H ∂λ
& λ =−
∂H ∂x
控制方程
∂H =0 ∂u
条件边界条件和横截条件
终端固定
tf
x(t 0 ) = x0 ,
M [ x (t f )] = 0 ⇒ x (t f ) = x f
2 2
M = x1 (2) + 5 x 2 (2) − 15 = 0
λ1 ( 2) = x1 ( 2) − 5 + v = c1
λ 2 (t f ) =
∂θ ∂ x 2 (t ) + ( ∂M ) T v (t f ) ∂ x 2 (t f )
f
λ 2 ( 2 ) = x 2 ( 2 ) − 2 + 5 v = c 2 e 2 + c1
边界条件和横截条件
x(0) = 0, → −0.5c 2 − c3 + c 4 = 0
− c1 − 0.5c 2 + c3 = 0
λ 1 (t f ) =
∂θ ∂M + ( ) T v (t f ) ∂ x1 (t f ) ∂ x1 (t f )
1 x1 (t ) = −c3 e −t − c 2 e t − c1t + c 4 2 1 x 2 (t ) = c3 e −t − c 2 e t − c1 2 1 1 θ = [ x1 (2) − 5] 2 + [ x 2 (2) − 2] 2
三. 初始时刻 t 0 及始端状态 x(t 0 ) 给定, t f 自由,终端约束
《最优控制》第3章庞德里雅金极大值原理
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第3章——庞德里雅金极大值原理
性能指标
J
tf 0
| u(t ) | dt
寻求最优控制u* f
T
H | u | 1x2 2u
(2) 协态方程:
H X
0 1 10 1 , 2 10t 20 1 2
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
(3)寻求H最小的 u (t )
由 | u(t) | 1可知，当| u(t) | 1,且u(t) 的符号与2相反 时，H最小
10
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 u (t ) sgn[ 2 ] 1 不定
2 0 2 0 2 0
（4） 对u * (t ), x * (t )而言，有H 1 1x2 2u 0 （5）分析 ①2 0
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
(tf ) V x(tf ) x(tf )
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
第3章——庞德里雅金极大值原理
性能指标
J
tf 0
| u(t ) | dt
寻求最优控制u* f
T
H | u | 1x2 2u
(2) 协态方程:
H X
0 1 10 1 , 2 10t 20 1 2
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
(3)寻求H最小的 u (t )
由 | u(t) | 1可知，当| u(t) | 1,且u(t) 的符号与2相反 时，H最小
10
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 u (t ) sgn[ 2 ] 1 不定
2 0 2 0 2 0
（4） 对u * (t ), x * (t )而言，有H 1 1x2 2u 0 （5）分析 ①2 0
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
(tf ) V x(tf ) x(tf )
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
最优控制理论课件
第一章绪论1.1 引言近50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象如宇宙飞船、导弹、卫星和现代工业设备与生产过程的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。
这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度进行研究分析和设计。
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分。
其形成与发展奠定了整个现代控制理论的基础。
早在20世纪50年代初九开始了对最短时间控制问题的研究。
随后，由于空间技术的发展，越来越多的学者和工程技术人员投身于这一领域的研究和开发，逐步形成了较为完整的最优控制理论体系。
最优化问题就是根据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目标，寻找一个最优控制规律，或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。
最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某性能指标达到最优值。
从数学的观点来看，最优控制理论研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函取值问题，属于变分学的理论范畴。
然而，经典变分学理论只能解决容许控制属于开机的一类，为适应工程实践的需要，20世纪50年代中期出现了现代变分理论。
在现代变分理论中最常用的两种分法是动态规划和极小值原理。
动态规划时美国学者R.E贝尔曼于1953-1957年为了解决多级决策问题的算法而逐步创立的。
最小值原理时前苏联科学院院士π.C.庞特里亚金与1956年-1958年间逐步创立的。
近年来，由于数字计算机的飞速发展和完善，逐步形成了最优控制理论中的数值计算法，参数优化方法。
当性能指标比较复杂或者不能用变量或函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，都所到最优点。
常用的方法有邻近极值法、梯度法、共轭梯度法及单纯形法等。
同时由于可以把计算机作为控制系统的一个组成部分，以实现在线控制，从而使最优控制理论的工程实现成为现实。
因此，最优控制理论提出的求解方法，既是一种数学方法，又是一种计算机算法。
最优控制3
解： 控制函数受闭集性约束，应用最小值 原理求解。 为使H达到最小，控制函数应为：
H L f (3) u x ( x u ) 2 1 (1 ) x ( )u 2
(t f )
1 u * (t ) sgn( (t ) ) (4) 2 由协态方程求解 (t ) H 1 (5) x T
第3章
（2）最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符 合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需进一步判断： • 数学证明 • 根据问题的物理性质来判断 （3）若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号 ，即可应用最小值原理来求解。 （4）最小值原理没有涉及最优控制的存在性和唯一性，可根据实 际物理意义判定。 （5）为了适合于计算机运算的需要，最小值原理还有离散的表达 形式。
解：定常系统、积分型 J ，
t f 固定， x t f 自由， u 受约束
H x u x u x1 1 u
1 * u t 0.5
1
1
第3章
由协态方程
H t 1 x
第3章
3.1 连续系统的最小值原理
用变分法求解最优控制时，认为 控制向量不受限制。但是实际的 系统，控制信号都是受到某种限 制的。
因此，应用控制方程 H 0 来确定最优控制，可能出错。
u
a)图中所示，H 最小值出现在左 侧，不满足控制方程。
b)图中不存在 H 0
u
第3章
考虑条件极值定理中，控制函数u受约束的情况 。为了便于分析，控制 方程（3-1），可写成另一种形式（3-2）：
x( N )
H L f (3) u x ( x u ) 2 1 (1 ) x ( )u 2
(t f )
1 u * (t ) sgn( (t ) ) (4) 2 由协态方程求解 (t ) H 1 (5) x T
第3章
（2）最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符 合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需进一步判断： • 数学证明 • 根据问题的物理性质来判断 （3）若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号 ，即可应用最小值原理来求解。 （4）最小值原理没有涉及最优控制的存在性和唯一性，可根据实 际物理意义判定。 （5）为了适合于计算机运算的需要，最小值原理还有离散的表达 形式。
解：定常系统、积分型 J ，
t f 固定， x t f 自由， u 受约束
H x u x u x1 1 u
1 * u t 0.5
1
1
第3章
由协态方程
H t 1 x
第3章
3.1 连续系统的最小值原理
用变分法求解最优控制时，认为 控制向量不受限制。但是实际的 系统，控制信号都是受到某种限 制的。
因此，应用控制方程 H 0 来确定最优控制，可能出错。
u
a)图中所示，H 最小值出现在左 侧，不满足控制方程。
b)图中不存在 H 0
u
第3章
考虑条件极值定理中，控制函数u受约束的情况 。为了便于分析，控制 方程（3-1），可写成另一种形式（3-2）：
x( N )
最优控制 经典ppt
Department of Automation School of Information Science & Engineering Central South University Changsha, Hunan, 410083, China
1
Contents
Chapter 1 Introduction
According to the principle of optimality, if the N -stage decision VN [ x (0)] is optimal,
then the ( N − 1)-stage decision VN −1 [ x(1) ] , regarding the x(1) resulting from x(0)
Recurrently solving from final state:
V (F ) = 0
⎧V (a3 ) = 4 ⎪ ⎨V (b3 ) = 6 ⎪V (c ) = 8 ⎩ 3
⎧V (a2 ) = min { L ( a2 → V (a3 ) ) , L ( a2 → V (b3 ) ) , L ( a2 → V (c3 ) )} = 10 ⎪ ⎪ ⎨V (b2 ) = min { L ( b2 → V (a3 ) ) , L ( b2 → V (b3 ) ) , L ( b2 → V (c3 ) )} = 9 ⎪ ⎪V (c2 ) = min { L ( c2 → V (a3 ) ) , L ( c2 → V (b3 ) ) , L ( c2 → V (c3 ) )} = 8 ⎩
7
V ( S ) = min {L ( S → V ( a1 ) ) , L ( S → V (b1 ) ) , L ( S → V ( c1 ) )} = 12
最优控制理论PPT课件
生产计划与调度
在企业生产管理中，利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化，提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性 ，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略，通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入，使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略，它根据系统的输出信息 ，通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入，使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题 都需要通过最优控制理论来解决，如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。
最优控制3
Bang－Bang控制原理举例 Bang－Bang控制原理举例
0 B= 1
& x2 = 1
x2 = t + x20
1 2 1 2 1 2 最优轨迹方程: 最优轨迹方程: x1 = x2 + ( x10 − x 20 ) = x2 + C 2 2 2
x(t f ) = 0
x2
1 2 γ + : x1 = x2 , Tbj
奇异情况
-M
λTbj
-M
§3.1 最小时间控制
Bang－Bang控制原理 Bang－Bang控制原理 对于线性定常系统，若系统是正常， 对于线性定常系统，若系统是正常，则可应用极小值原 正常 理求解时间最优控制问题，其最优控制从一个边界值来回切 理求解时间最优控制问题，其最优控制从一个边界值来回切 到另一个边界值,称此为Bang Bang原理 Bang原理。 换到另一个边界值,称此为Bang-Bang原理。 定理：对于上述描述的最小时间控制问题，若线性定常系统属于 定理：对于上述描述的最小时间控制问题，若线性定常系统属于 平凡情况，则其最短时间控制的最优解满足下列必要条件： 平凡情况，则其最短时间控制的最优解满足下列必要条件： （1）极值条件： 极值条件：
& x = Ax + Bu
属于平凡情况,若时间最优控制存在,则必定是唯一的。 属于平凡情况,若时间最优控制存在,则必定是唯一的。 平凡情况
§3.1 最小时间控制
Bang－Bang控制原理 Bang－Bang控制原理 讨论 （3）开关次数定理 若线性定常系统
& x = Ax + Bu
控制变量满足不等式约束|u(t)|≤M 控制变量满足不等式约束|u(t)|≤M 矩阵A的特征值全部为实数, 若最短时间控制存在, 矩阵A的特征值全部为实数, 若最短时间控制存在,则每 实数 个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过n 个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过n-1次， 其中n是系统的维数。 其中n是系统的维数。
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第三章 极小值原理及应用
经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
－－－－－－－－
但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
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②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
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取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
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3.3 极小值原理的意义
（1 ）容许控制条件放宽
H 0 。但即使u不受限制， 变分法：在整个控制域，对u 没有约束 u H 0 计算不易。 有时 u 极小值原理：H在u的约束闭集中取极小值。
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3.1 连续系统极小值原理 定理3.1 设系统的状态方程为 始端条件为 终端约束为
控制约束为
性能泛函为
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④协态终值满足横截条件
⑤满足边界条件
这就是著名的极小值原理。
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如：燃料最优控制： J t u (t ) dt
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(3)控制作用有界和无界时的区别和联系 ①当控制作用无界时，控制方程 控制作用有界时不成立。 ②控制作用有界时，控制作用满足 成立,
(2)极值条件的说明 第 1 条件和第 2 条件，适用于求解各种类型的最优控制问 题，且与边界条件形式或终端时刻是否自由无关。 第2条件，说明当u*(t)和u(t)都从容许的有界闭集 U中取值 时，只有 u*(t) 能使 H 函数沿最优轨线 x*(t) 取全局最小值， 且与闭集的特性无关。 第 3条件，描述了 H函数终值与 tf之间的关系，可以确定 tf 的值，该条件是由于 tf 变动产生的，当 tf 固定时，该条件 不存在。 第 4 条件和第 5 条件，为正则方程提供数量足够的边值条 件。若初态固定，其一半由 x(t0)=x0 提供，另一半由协态 终值约束方程 和协态终值方程 共同提供。
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_
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H [ X (t ), (t ), U (t )] max H [ X * (t ), (t ), u (t )]
* * u (t )
_
_
所以有的文献中也称为“极大值原理”。 （3）H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 （4）极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值，需进一步判断。
变分法仅为极小值原理的一个特例。
（2）最优控制 u *使哈密顿函数H取极小值,极小值原理由此得名。 这一原理是苏联学者庞特里亚金等人首先提出，后加以证明。 在证明过程中： 与H的符号与这里所定义的相反。 H H
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③控制作用无界是控制作用有界时的一个特例。从上面的条 件可以看出当控制作用无界时，由控制方程确定的最优控制 实际上是使H极小或极大的驻点条件，取得的最优控制u*(t) 只能取得相对极小值或极大值。而控制作用有界时确定的最 优控制u*(t)保证了使H取得全局极小值。
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3.4 讨论
前面讨论的是 t 0和 x(t0 ) 已知， t f自由的最一般情况。 x(t f )受约束，
若 t f 和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。
0
tf
H 若采用经典变分法： 0 u
关于u不可微。
再如：
极小值原理是变分法的推广，可以克服前面的局限性。 若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值原理 与经典变分法，所得结论一致。
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极小值原理的几点说明 (1) 控制作用不等式约束与等式约束下最优控制的必要条 件比较 横截条件和端点边界条件相同
控制方程 不成立，代之以下条件：
协态方程发生了改变
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主要内容
1 2 3 4 5 6 7
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经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
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但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
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②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
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取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
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（1 ）容许控制条件放宽
H 0 。但即使u不受限制， 变分法：在整个控制域，对u 没有约束 u H 0 计算不易。 有时 u 极小值原理：H在u的约束闭集中取极小值。
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3.1 连续系统极小值原理 定理3.1 设系统的状态方程为 始端条件为 终端约束为
控制约束为
性能泛函为
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④协态终值满足横截条件
⑤满足边界条件
这就是著名的极小值原理。
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如：燃料最优控制： J t u (t ) dt
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(3)控制作用有界和无界时的区别和联系 ①当控制作用无界时，控制方程 控制作用有界时不成立。 ②控制作用有界时，控制作用满足 成立,
(2)极值条件的说明 第 1 条件和第 2 条件，适用于求解各种类型的最优控制问 题，且与边界条件形式或终端时刻是否自由无关。 第2条件，说明当u*(t)和u(t)都从容许的有界闭集 U中取值 时，只有 u*(t) 能使 H 函数沿最优轨线 x*(t) 取全局最小值， 且与闭集的特性无关。 第 3条件，描述了 H函数终值与 tf之间的关系，可以确定 tf 的值，该条件是由于 tf 变动产生的，当 tf 固定时，该条件 不存在。 第 4 条件和第 5 条件，为正则方程提供数量足够的边值条 件。若初态固定，其一半由 x(t0)=x0 提供，另一半由协态 终值约束方程 和协态终值方程 共同提供。
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* * u (t )
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所以有的文献中也称为“极大值原理”。 （3）H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 （4）极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值，需进一步判断。
变分法仅为极小值原理的一个特例。
（2）最优控制 u *使哈密顿函数H取极小值,极小值原理由此得名。 这一原理是苏联学者庞特里亚金等人首先提出，后加以证明。 在证明过程中： 与H的符号与这里所定义的相反。 H H
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③控制作用无界是控制作用有界时的一个特例。从上面的条 件可以看出当控制作用无界时，由控制方程确定的最优控制 实际上是使H极小或极大的驻点条件，取得的最优控制u*(t) 只能取得相对极小值或极大值。而控制作用有界时确定的最 优控制u*(t)保证了使H取得全局极小值。
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3.4 讨论
前面讨论的是 t 0和 x(t0 ) 已知， t f自由的最一般情况。 x(t f )受约束，
若 t f 和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。
0
tf
H 若采用经典变分法： 0 u
关于u不可微。
再如：
极小值原理是变分法的推广，可以克服前面的局限性。 若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值原理 与经典变分法，所得结论一致。
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极小值原理的几点说明 (1) 控制作用不等式约束与等式约束下最优控制的必要条 件比较 横截条件和端点边界条件相同
控制方程 不成立，代之以下条件：
协态方程发生了改变
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主要内容
1 2 3 4 5 6 7
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