上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题含答案

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上海市2019-2020学年高二第二学期期末数学检测试题

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 2．在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)4．已知()23()f x x x R =+∈，若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>，则a ，b 之间的关系是（） A ．2a bB ．2a b <C ．2b aD ．2b a >5．设函数()x f x xe =，则（） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（）A ．1BC ．2D ．37．已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（）A ．22(3,1)e e -+B ．2(3,)e -+∞C ．2(,22)e -∞+D ．22(26,22)e e -+8．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,59．已知二项式2(*)nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（） A ．14B ．14-C ．240D ．240-10．复数22cos sin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（） A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行 12．若()()()()9290129111x a a a x a x a x +=+++++++，若684a =，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．2-D ．3-二、填空题：本题共4小题 13．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'()ln f x xf e x =+，则()f e =__________．14．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件15．已知33210n n A A =，那么n =__________．16．已知函数1y x =的图象的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测，函数12202012019x x x y x x x +++=+++++的图象的对称中心为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

上海市七宝中学2019-2020 学年度第二学期高二年级期中考数学试卷

七宝中学2019-2020学年度第二学期高二年级期中考数学试卷（时间：120分钟；满分：150分）2020.5一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.若直线,a b 均平行于平面α,那么a 与b 位置关系是__________；2.若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=___3.某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13,则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为____4.在0120的二面角内有一点P ,P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为__________5.若12232113C +3C ++3C 385n n n n n n n C ---+⋅⋅⋅+=,则n =__________6.7271除以100的余数是__________7.甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为__________8.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列四个命题：①若,a b a α⊥⊥,则//b α②若//,a ααβ⊥,则//a β③若,a βαβ⊥⊥,则//a α④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥其中正确的命题序号是__________9.若y =+则y 的取值范围是__________10.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法。

（用数字作答）11.在5月6日返校体检中，学号为(1,2,3,4,5)i i =的五位同学的体重增加量()f i 是集合{}1,1.5,2,2.5kg,3,3.5kg kg kg kg kg 中的元素，并满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则这五同学的体重增加量所有可能的情况有__________种12.设S 为一个非空有限集合，记S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集,A B 满足：A B k =I 并且A B S =U ,则称子集{},A B 为集合的一个“k -覆盖”（其中0k S ≤≤.若S n =,则S 的“k -覆盖”个数为__________二、选择题（每小题5分，共20分）13.在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82,方差为10.2,则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（)A.100 B.85 C.65 D.5514.在正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 成060角的面对角线的条数是（)A.4条 B.6条 C.8条 D.10条15.电子钟－－天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（)A.1240 B.1160 C.11440 D.118016.四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（)三、解答题（12分＋14分＋16分＋16分＋18分，共76分）17.若n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列。

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、填空题1. 已知，则________________________ ．2. 若正方体的体对角线长是4，则正方体的体积是______________________________ ．3. 经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是____________________________ ．4. 在二项式的展开式中，含的项的系数是______________________________ ．（用数字作答）5. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．6. 设<a href=""> 分别是双曲线<ahref=""> 的左、右焦点，若点<ahref=""> 在双曲线上，且，则_________________________________ ．7. 若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是____________________________ ．（结果用数值表示）8. 已知，，若直线与射线（为端点）有交点，则实数的取值范围是______________________________________ ．9. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为 cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为 ________ ．10. 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是______________________________ ．11. 在一个水平放置的底面半径为<a href="/"> cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为<a href="/"> cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升<ahref="/"> cm，则<a href="/">___ ____cm ．12. 如图，中，，在三角形内挖去半圆，圆心在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M ，与AC交于点N，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为____________________ ．13. 已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为_________________________________ ．14. 半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是_________________________________ ．二、选择题15. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（）A ．_________B ．_________C ．D ．16. 已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①　；②　；③　；④　，其中真命题的个数是（）A ．①②____________________________B ．①④____________________________C ．②③______________________________D ．②④17. 方程的图象表示曲线C，则以下命题中甲：曲线C为椭圆 , 则1< t<4 ；乙：若曲线C为双曲线 , 则 t > 4 或 t<1 ；丙：曲线C不可能是圆； ________________________丁：曲线C表示椭圆,且长轴在 x 轴上 , 则．正确的有（）A ． 1个____________________________B ． 2个____________________________C ． 3个____________________________D ． 4个18. 将正整数n表示成k个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P （ n,k ），则P（ 10,3 ）的值为（）A ． 12______________________________B ． 10_________________________________C ． 8______________________________D ． 6三、解答题19. （本题满分 1 2分）如图，直线平面，为正方形，，求直线与所成角的大小．20. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第 2 小题满分8分．在二项式的展开式中：（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项．21. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第2小题满分8分．已知圆．（1）求过点的圆C的切线的方程；（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹．22. （本题满分 1 6分）本题共有3个小题，第 1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点．（1）如果的中点为，，求证：平面；（2）如果 , ，求此圆锥的体积；（ 3 ）如果二面角大小为，求的大小．23. （本题满分 1 8分）本题共有3个小题，第 1 小题满分5分，第 2 小题满分8分，第3小题满分5分．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）如图：直线与两个“相似椭圆”　和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题含答案参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）。

如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）。

若（x ，y ），…，（x ，y ）为样本点，=+为回归直线，则 =，==∑∑=-=-----ni ini i ix xy y x x121)())((=∑∑=-=----ni i ni iixn x yx n yx 1221，=－。

K=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d 为样本容量一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 函数f （x ）=3x －x 的单调增区间是A. （0，+）B. （－，－1）C. （－1，1）D. （1，+）2. （x+1）的展开式中x 的系数为A. 4B. 6C. 10D. 203. 在复平面内，复数6+5i ，－2+3i 对应的点分别为A ，B 。

若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i4. 用数字0，1，2，3组成无重复数字的四位数，这样的四位数的个数为A. 24B. 18C. 16D. 125. =A. 1B. e －1C. eD. e+16. 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表：则随机变量K 的观测值为班组与成绩统计表优秀不优秀总计甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计1971 90A. 0.600B. 0.828C. 2.712D. 6.0047. 设随机变量~N （0，1），若P （≥1）=p ，则P （－1<<0）=A. 1－pB. pC. +pD. －P8. 某游戏规则如下：随机地往半径为l的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为A. B. C. D.9. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项。

上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题(解析版)

七宝中学2019学年第二学期高二4月考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样. 【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题． 2.若事件E 与F 相互独立，且1()()4P E P F ==，则()P E F I 的值为_______（用最简分数表示）. 【答案】116【解析】【分析】直接利用公式()=()()P E F P E P F I 计算即可.【详解】因为事件E 与F 相互独立，所以111()=()()4416P E F P E P F =⨯=I . 故答案为：116【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.12x⎛+ ⎝的二项式展开式中的常数项为________（用数值作答）.【答案】495 【解析】【分析】由二项式定理可得12x⎛+ ⎝展开式的通项为3122112rr r T C x -+=，再令31202r -=得8r =，再代入通项计算即可.【详解】由已知，12x ⎛+ ⎝展开式的通项为31212211212r r r r r r T C x C x --+==，令31202r -=，得8r =，所以常数项为812495C =.故答案为：495【点睛】本题考查求二项展开式中的特定项，考查学生的运算能力，是一道容易题.4.计算：103237n nn n C C -+++=________（用数值作答）【答案】46 【解析】【分析】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解不等式组可得3n =，再代入原式计算即可.【详解】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解得7732n ≤≤，又n N ∈，所以3n =，所以10379237910361046nnn n C C C C -+++=+=+=. 故答案为：46【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5.从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________. 【答案】133【解析】【分析】先算出6个样本数据的平均数，然后再利用方差公式计算即可. 【详解】6个样本的平均数456107466x +++++==，所以方差22222221[(46)(56)(66)(106)(76)(46)]6s =-+-+-+-+-+-261363==. 故答案为：133【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.6.从正方体的6个面中取3个，其中有2个面不相邻的概率为________（用最简分数表示）. 【答案】35【解析】【分析】利用间接法，先找到所取3个面都相邻的种数，并求出其概率，利用对立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】从正方体的6个面中取3个共有36C 种不同结果，从8个顶点出发，3个面都相邻共有8种不同结果，而其中有2个面不相邻的对立面是3个面都相邻，故2个面不相邻的概率为3681231205C -==. 故答案为：35【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，正面情况较多可以考虑其对立事件，是一道容易题.7.直线1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）与曲线2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）的公共点的坐标为________. 【答案】()1,0 【解析】【分析】直接利用参数方程与普通方程互化的方法分别得到直线与曲线的普通方程，解方程组即可.【详解】由15x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ，得210x y --=①，2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩消去参数θ，得21,(11)y x x =--≤≤②，由①②解得10x y =⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=-⎩（舍），所以公共点的坐标为()1,0. 故答案为：()1,0【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，涉及到解方程组，考查学生的计算能力，是一道容易题.8.在5(231)x y -+在展开式中，不含y 的所有项的系数和为________（用数值作答）. 【答案】243 【解析】【分析】先将问题转化为5(21)x +各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案.【详解】5(231)x y -+=5(213)x y +-，其展开式的通项为515(21)(3)rrr r T C x y -+=+-，不含y 的项的系数和等于5(21)x +各项的系数之和，令1x =，得53243=. 故答案为：243【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，考查学生的数学运算能力，本题可以直接令1,0x y ==得到答案，是一道中档题.9.从集合{}23|1,nM z z i i i i n N ==+++++∈L ________（用最简分数表示）. 【答案】13【解析】【分析】先化简集合M ，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】由已知，123111n ni z i i i i i+-=+++++=-L ，当4,n k k N =∈时，41411()111n n i i iz i i+--⋅===--；当41,n k k N =+∈时，424211()21111n n i i i z i i i i +--⋅====+---；当42,n k k N =+∈时，434311()1111n n i i i iz i i i i +--⋅+====---；当43,n k k N =+∈时，444111()011n n i i z i i++--===--；所以{}0,1,,1M i i =+，故从M 中任取2个元素相加有246C =种不同结果，{1,1}i +，{,1}i i +共2种不同结果，根据古典概型的概率计算公式可得所求的概率为2163=. 故答案为：13【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到复数的运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10.已知袋中有()*82,n n n N+≥∈个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球n 个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为n P ，则n P 的最大值为________（用最简分数表示）. 【答案】815【解析】【分析】先求出11828165615n nn C C C n n P +⋅==++，只需求出56n n+的最小值即可，结合对勾函数的性质即可得到答案. 【详解】由已知，11822816161656(8)(7)155615n n n C C n n C n n n n n nP +⋅====++++++，又易知函数56y x x =+在上单调递减，在)+∞上单调递增，因为78<<，所以56n n +的最小值应在7n =或8n =处取得，又5656781578+=+=，所以min 56()15n n +=，118281616856301515n n n C C C n nP +⋅==≤=++. 故答案为：815【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到利用对勾函数的性质求函数的最值问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知关于x 的实系数方程2220x x +=-和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面内对应的点共圆．则m 取值的集合是______. 【答案】3112m m m ⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭或【解析】【详解】易知方程2220x x -+=的两根为11x i =+，21x i =-.当2440m ∆=-<，即11m -<<时，方程2210x mx ++=有两个共轭的虚根34x x 、，且34x x 、的实部为1m -≠，此时，12x x 、对应的点在以34x x 、对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为()()2340x x x x y --+=，即()2234340x y x x x x x +-++=.将342x x m +=-，341x x =及12x x 、对应点的坐标()1,1±代入方程，得32m =-. 故m 的取值范围是3112m m m 或⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭.12.假设一个随机数发生器一次只能从1，2，3，…，9这九个数学中等可能地选一个数，则该随机数发生器完成了(1)n n >次选择后，选出的n 个数的乘积能被10整除的概率为________（用含n 的代数式示）.【答案】85419n n nn+-- 【解析】【分析】由题意n 个数中，至少有一次选择了5，至少有一次选择了偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数，则所求概率是1()P A B -U ，再利用加法公式()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂计算即可.【详解】为使选出的n 个数的乘积能被10整除，其中至少有一次选择了5，并且至少有一次选择了偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数，则所求概率是1()P A B -U ，从而1()1()()()P A B P A P B P A B -=--+U I8541()()()999n n n =--+=85419n n nn+--. 故答案为：85419n n nn+-- 【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及概率的加法公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13.若虚数1z ，2z 满足12=z z ，则“1z 与2z 互为共轭复数”是“12z z R ⋅∈”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用定义法判断即可.【详解】当1z 与2z 互为共轭复数，则12z z =，所以1221||z z z R =⋅∈，令121,1z z ==-，满足12z z R ⋅∈，但1z 与2z 不互为共轭复数，所以1z 与2z 互为共轭复数是12z z R ⋅∈的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到共轭复数的相关知识，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.14.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 140D. 120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用．15.某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（） A. 7200种 B. 4800种 C. 2640种 D. 1560种【答案】D 【解析】【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可. 【详解】由题意，分两类：第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项，另外三组各1项，共有3111632133C C C C A 种不同方式，再分配给4个人共311146321433480C C C C A A = 种不同方式；第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项，另外两组各1项，共有221164212222C C C C A A 种不同方式，再分配给4个人共221146421422221080C C C C A A A = 种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式. 故选：D【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.16.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l 与这三条直线所成角皆为θ，则tan θ=（）A.B.C. 1D. 直线l 不存在【答案】B 【解析】【分析】在正方体中，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，可得a b c ==，从而tan tan BC BAC AB aθ=∠==，代入a b c ==即可得到答案. 【详解】由题意，可将问题放入长方体中研究，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，易得AB ⊥平面BCF ,所以222cos AB BAC AC a b c∠==++，同理可得 222cos AE EAC AC a b c ∠==++，222cos AD CAD AC a b c∠==++，所以222a b c =++222a b c ++222a b c =++，即a b c ==，所以22tan tan 2BC c b BAC AB aθ+=∠===.故选：B【点睛】本题考查求空间中直线所成的角，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.从A ，B ，C 等8人中选出5人排成一排. （1）A 必须在内，有多少种排法？（2）A ，B ，C 三人不全内，有多少种排法？（3）A ，B ，C 都在内，且A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，都多少种排法？（4）A 不允许站排头和排尾，B 不允许站在中间（第三位），有多少种排法？【答案】（1）4200种；（2）5520；（3）240；（4）4440 【解析】【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可；（2）采用间接法；（3）先从余下5人中选2人有25C 种不同结果，由于A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决；（4）分所选的5人无A 、B ，有A 、无B ，无A 、有B ，有A 、B 四种情况讨论即可.【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有47C 种不同结果，再将这4人与A 进行全排列有55A 种不同的排法，故由乘法原理可知共有45754200C A =种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有58A 种不同排法，A ，B ，C 三人全在内有2555C A 种不同排法，由间接法可得A ，B ，C 三人不全在内共有58A -25555520C A =种不同排法；（3）因A ，B ，C 都在内，所以只需从余下5人中选2人有25C 种不同结果，A ，B 必须相邻，有22A 种不同排法，由于C 与A ，B 都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有22A 种不同排法，再将A 、B 这个整体与C 插入到选出的2人所产生的3各空位中有23A 种不同排法，由乘法原理可得共有22225223240C A A A =种不同排法；（4）分四类：第一类：所选的5人无A 、B ，共有56720A =种排法；第二类：所选的5人有A 、无B ，共有4146341080C C A =种排法；第三类：所选的5人无A 、有B ，共有4146441440C C A =种排法；第四类：所选5人有A 、B ，若A 排中间时，有3464C A 种排法，若A 不排中间时，有31136233C C C A 种排法，共有3411364233()1200C A C C A +=种排法；综上，共有4440种不同排法.【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，求排列与组合的应用题的主要方法有：1.优先法，2.捆绑法，3.插空法，4.间接法，5.先整体后局部，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.18.某工厂生产A ，B ，C 三种纪念品，每种纪念品均有普通型和精品型两种，某一天产量如下表（单位：个）：现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取100个，其中有A 种纪念品40个.（1）若再用分层抽样的方法在所有B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率（用最简分数表示）；（2）从C 种精品型纪念品中抽取6个，其某种指标的数据分别如下：4，7，x ，y ，8，5.把这6个数据看作一个总体，其均值为7、方差为6，求x y -的值. 【答案】（1）1126；（2）【解析】【分析】（1）先由抽样比算出n ，进一步得到13个样本中精品型的个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）利用平均数、方差可得18x y +=，22176x y +=，进一步得到2148xy =，代入x y -.【详解】（1）由已知，10040(800200)800200150500350n =+⨯+++++，解得500n =，B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本中，精品型有131503150500⨯=+个，从13个纪念品中任取2个有213C 中不同结果，无精品型有210C 种不同结果，所以至少有1个精品型纪念品的概率为210213151126C C -=-=1126. （2）由题意，1(4785)76x y +++++=，所以18x y +=，又2222221[(47)(77)(7)(7)(87)(57)]66x y -+-+-+-+-+-=，所以22(7)(7)22x y -+-=，即2214()9822176x y x y +=+-+=，所以2222()()148xy x y x y =+-+=，故x y -=.【点睛】本题考查统计与概率的简单应用，涉及到分层抽样、平均数、方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.19.如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米【解析】【分析】（1）以点A坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=34x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米，所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝02227+24-4b 3+4＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)．故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求．（2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋b，即3x＋4y－4b＝0，r，解得b＝h＋2r或b＝h－r2(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋h＋2r，令x＝30，得EG＝2r＋h－452，由EG≤52，得h≤25－2r.所以S＝2rh＋12πr2＝2rh＋32×r2≤2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-1005.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－3r+4h-1005，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．20.已知数列{}n a 的首项为1.记()12*12()knn n k n n n f n a C a C a C a C n N=++⋅⋅⋅+⋅⋅+∈+⋅.（1）若{}n a 为常数列，求(3)f 的值：（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式：（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式：若不存在，请说明理由.【答案】（1）(3)7f =（2）31()2n f n -=（3）存在等差数列{}n a 满足题意，21n a n =-【解析】【分析】(1)根据常数列代入其值得解；(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；(3)对于开放性的问题先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论. 【详解】解：（1）∵{}n a 为常数列，∴()1n a n N +=∈.∴123333(3)7f C C C =++=（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，()12n n a n N -+=∈.∴1231()242n nn n n n f n C C C C -=+++L∴1223312()12222n nn n n n f n C C C C +=++++L(12)3n n +=故31()2n f n -=. （3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*n N ∈都成立，设公差为d ，则()12*12()k nn n k n n n f n a C a C a C a C n N=+++++∈L L1111()n n k n n n n k n n f n a C a C a C a C --=+++++L L相加得()()121112()2k n n n n n n n f n a a a C C C C --=++++++L L∴()11()222nn n a a f n a -+=+-()11(1)[2(2)]21n n d n d -=+-++--. ∴1()1(2)[2(2)]2(1)2n n f n d n d n --=-++-=-恒成立，即1(2)(2)(2)20n d d n --+--=n ∈+N 恒成立，∴2d =故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n ∈+N 都成立，它的通项公式为21n a n =- 【点睛】本题关键在于观察所求式子的特征运用二项式展开式中的赋值法的思想，属于难度题.21.已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅u u u v u u u v的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM = 【答案】（1）2212y x -=；（2）1229PP PP ⋅=u u u r u u u r ；（3）详见解析. 【解析】【分析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=o可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP u u u v u u u v 夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯u u u v u u u v 为定值23，故可得12·PP PP u u u vu u u v 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=.【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为,0)y因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=o,22||MF b =,所以21||2MF b =，由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y , 设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos θ=，故21cos 22cos 13θθ=-=-，所以12,PP PP u u u v u u u v的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=. 点Q到两条渐近线的距离分别为1||PP =，2||PP =.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以12PP PP ⋅=u u u r u u ur ()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y , 切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-，所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =u u u r u u u u r.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b -=>> 交于,A B ，则22b AB a=（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.。

2019—2020学年度高二数学下学期期末考试测试卷(含答案解析)

所以抛物线为
。
设点
，因为
，
所以过点 P 的切线 EF 的方程为
，
。设边缘线所在的抛
令，得
；令得
所以
的面积为
，
即
，
而
=
由
得，
，
； [来源:学,科,网 Z,X,X,K]
所以在
上是增函数，在
上是减函数，
所以 S 在
上有最大值
。
三、解答题
17．（1）
（2）1
18．（1）a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；（2）f（x）最小值＝﹣25，f（x）最大值＝2.
恒成立，求实数 a 的取值范围．
21．已知函数
（a＞0）．
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）证明：对任意 x∈[1，＋∞），有 f (x) 2x a2 ．
22．已知函数
.
（1）若函数在
上是增函数，求正数的取值范围；
（2）当时，设函数的图象与 x 轴的交点为，，曲线
分别为，，求证： + <0
16．国务院批准从 2009 年起，将每年 8 月 8 日设置为“全民健身日”，为
响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图，有一个长
方形地块
，边为，为．地块的一角是草坪（图中阴
影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部
分．现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，，分别在
在，两点处的切线斜率
[来源
参考答案
一、选择题 1．C 2．C 3．D 6．B 7．D 8．D 9．D 11. 【详解】
4． C 10．A

2019-2020年高二下学期期末考试数学理含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学理含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，则A. B. C. D.2．已知是虚数单位，则等于A．B．C．D．3．公差不为零的等差数列第项构成等比数列，则这三项的公比为A．1 B．2 C．3 D．44．从中任取个不同的数，设表示事件“表示事件“取到的个数均为偶数”，则A．B．C．D．5.在中,已知,且,则A.B.C. D.6．执行如右图所示的程序框图，输出的值为A．B．C．D．7. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为锐角的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为A．B．C．D．8．函数的图象是A．B．C．D．9. 已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为A．B．C．D．10．已知球的直径，是球球面上的三点，是正三角形，且，则三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）俯视图11. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.12．已知函数的两个极值点分别为且，记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数的取值范围为A．B．C．D．试卷Ⅱ（共90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A、B、C三所学校共有高二理科学生1500人，且A、B、C三所学校的高二理科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二理科学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.14．过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为.15. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为．16．观察下列算式：，若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）已知中，角所对的边分别是，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，为中点，与交于点，丄面．(Ⅰ )证明：(Ⅱ)若求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率且经过点，抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合．（Ⅰ）过的直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，求直线的交点的轨迹方程；（Ⅱ）从圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为，试问的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1. 已知集合6,2,0,4,2,1B A ，则B A _________。

2. 如果复数mi i 11是实数，则实数m _________。

3. 已知2053cos x x ，则x 2sin 的值为_________。

4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5y x 上的概率为_________。

5. 已知函数0,log 0,22xx x x x f ，则2f f 的值为_________。

6. 执行下边的程序框图，若4p ，则输出的S _________。

7. 直线b x y平分圆082822y x y x 的周长，则b __________。

8. 等比数列n a 的各项均为正数，31a ，前三项的和为21，则654a a a __________。

9. 已知实数y x,满足2211y x y x xy ，若y x z 3在y x,处取得最小值，则此时y x,__________。

10. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b b a ab 2，则满足x ⊙02x 的实数x 的取值范围是__________。

11. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，D 为斜边BC 的中点，则AD AB 的值为__________。

12. 已知函数2,0,6sin 2x x x f ，则该函数的值域为__________。

13. 把数列n 21的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有12k 个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为s k,，则20121可记为__________。

14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点y x P ,的纵坐标与横坐标的函数关系式是x f y ，x f y 在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积记为S ，则S=__________。

2019-2020年高二下学期期末考试数学试题含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学试题含答案一、选择题（共12小题，共60分） 1．设，则下列不等式一定成立的是（） (A) (B) (C) (D)2．已知实数x ，y 满足，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、03．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（）A. B. C. D.或4．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975．已知，则“”是“成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 7．已知，则“”是“成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知变量x,y 满足约束条件则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(3,6] 9．当时，的最小值为（）A ．10B ．12C ．14D ．16 10．已知实数满足，则目标函数的最大值为（） A ． B ． C ． D ． 11．在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )A ．1B ．C ．D ．2 12．已知数列是公比为2的等比数列，若，则= ( )A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13．已知向量，若⊥，则16x +4y 的最小值为．14．在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________. 15．已知数列中，，，则=___________. 16．不等式的解是___________. 三、解答题（8小题，共70分）17．已知等比数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 4=a 6．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n =，求该数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知数列的各项均为正数，是数列的前n 项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．19．在中，已知内角，边.设内角,面积为. (1)若，求边的长； (2)求的最大值. 20．等差数列中，，（），是数列的前n 项和. （1）求；（2）设数列满足（），求的前项和．21．已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足，．（1）求；（2）求的面积．22．已知函数，且的解集为．（1）求的值；（2）若，且，求证：． 23．已知数列满足首项为，，．设，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和． 24．已知正实数、、满足条件，（1）求证：；（2）若，求的最大值．参考答案 1．D 【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D ，事实上由于函数是增函数，故是正确的．考点：不等式的性质． 2．B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8考点：线性规划. 3．D【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，自直线经过原点起，向上平移，当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 4．B【解析】由已知及等差数列的性质得，所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.5．B【解析】解得其解集，解得，因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 6．B【解析】由已知及等差数列的性质得，所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.7．B【解析】解得其解集，解得，因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 8．A 【解析】试题分析：画出可行域，可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（），（）则可知k ＝的范围是. 考点：线性规划，斜率. 9．D 【解析】试题分析：因为所以＝16.考点：基本不等式的应用.10．C【解析】试题分析：作出可行域如图：再作出目标函数线，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点时纵截距最小但最大，此时.故C正确.考点：线性规划问题.11．A【解析】试题分析：由正弦定理得，即。

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部，所以直线与椭圆必相交，所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点，由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________；【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________；【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ，所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________；【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ，解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ，所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-，得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________；【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________；【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-，因为 2l 也通过定点()2,3-，将()2,3-代入220++=m x y n ，得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】设(),P x y ，1x =+，两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =，当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________；【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切，所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=，故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时：（1）在复平面上z 对应的点在第二象限？（2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上，所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-；（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-，代入22y px =，得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，代入22y px =，得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-，所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点，有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ，即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ，即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ，因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ，由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ，又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程，所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。

2019-2020学年度高二下数学期末考试答案

2019～2020学年度第二学期期末考试高二数学参考答案及评分标准 2020．7一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．BCDA BCDD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．ACD 10．BC 11．BCD 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1m - 14．8 15．(,1][2,)-∞+∞ 16． 157301()22 674四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）………………………………………………………………………………4分（2）22105(15302040)211.9095550357011K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯． ······································· 8分因为2 1.909 2.706K ≈<，所以没有90%的把握认为“成绩与班级有关”． ································· 10分 18．（本小题满分12分）解：（1）当0x 时，0x ， ··································································· 1分因为()f x 是定义在R 上的偶函数，故22()()()2()323f x f x x x x x ． ································ 5分所以2223, 0 ,()23, 0 x x x f x x x x ．······················································· 6分（2）223yx x 图象的对称轴为直线10x．又223yx x 的图象开口向上，所以()f x 在[0,)上单调递增． ········· 7分又()f x 是定义在R 上的偶函数，故(21)(|21|)f m f m ，(2)(|2|)f m f m ． ································ 9分由(21)(2)f m f m ，得(|21|)(|2|)f m f m ．又()f x 在[0,)上单调递增，所以|21||2|m m ，即22(21)(2)m m ． ····································· 11分解得11m ．故m 的取值范围是(1,1)．········································· 12分 19．（本小题满分12分）解：（1）2(4(1)40)ax a bx f x b ．由题意，2(41)40ax a x b 的解集为{|12}x x ，则0a ．且11x ，22x 是方程2(41)40ax a x b 的两个实根．··············· 2分故12(41)3a x x a，1242b x x a，解得1,6.a b ·················· 4分（2）()0f x ，即(1)(4)0ax x ．·························································· 5分 ①当0a 时，有40x ，得4x ． ··············································· 6分 ②当0a 时，有1()(4)0xx a ，此时14a ．解得14x a ． ············· 7分 ③当0a 时，有1()(4)0xx a． ···················································· 8分若104a ，则14a ．解得4x ，或1x a ； ···································· 9分若14a ，此时不等式为2(4)0x ．解得4x ；······························· 10分若14a，此时14a．可得1xa ，或4x ． ······································ 11分综上，0a 时，解集为1{|4}x x a ；0a 时，解集为{|4}x x ；104a 时，解集为{|4x x ，或1}x a ；当14a 时，解集为{|4}x x ≠；当14a 时，解集为1{|x x a，或4}x ． ············································································· 12分 20．（本小题满分12分）（1）A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=； ············································ 2分（2）B 恰好答对两个问题的概率为223214C ()339⋅=． ········································ 4分（3）X 所有可能的取值为1,2,3．124236C C 1(1)C 5P X ===；214236C C 3(2)C 5P X ===；304236C C 1(3)C 5P X ===． ···································································· 7分所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=． ·················································· 8分由题意，随机变量Y ～2(3,)3B ，所以2()323E Y =⨯=． ·························· 9分 2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=． ····························· 10分 212()3333D Y =⨯⨯=． ····································································· 11分因为()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定．所以选择投票给学生A ． ·································································· 12分 21．（本题满分12分）解：（1）由题意，判别式214104a ∆=-⨯⨯， ·············································· 2分解得11a -．所以实数a 的取值范围是11a -． ······························· 4分（2）当1x >时，()ln 0g x x =-<，()min{(),()}()0h x f x g x g x =<，所以()h x 在(1,)+∞上无零点． ····························································· 6分由题意，()h x 在(0,1]上有三个零点． 5(1)4f a =+，(1)0g =，若(1)(1)f g ，则54a -，(1)(1)0h g ==，1是()h x 的一个零点；若(1)(1)f g <，则54a <-，(1)(1)0h f =<，1不是()h x 的一个零点． ········· 8分当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->．由题意，1是()h x 的一个零点，且21()4f x x ax =++在(0,1)上有两个零点． ····································································································· 9分所以54a -，且21410,401,21(0)0,45(1)0,4a a f f a ⎧∆=-⨯⨯>⎪⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=+>⎩解得514a -<<-． ······················ 11分综上，若()h x 有三个零点，a 的取值范围是514a -<<-． ······················· 12分 22．（本小题满分12分）证明：（1）()f x 的定义域为R ．由()(1)e 1x f x x x =---，得()e 1x f x x '=-，()(1)e x f x x ''=+． ················· 1分()01f x x ''<⇔<-；()01f x x ''>⇔>-．所以()f x '在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． ······················· 2分所以1min ()(1)e 10f x f -''=-=--<．当1x <-时，显然()0f x '<；当1x >-时， 1211()e 1022f '=-<，(1)e 10f '=->， ······························· 3分故存在唯一的实数01(,1)2x ∈，使得0()0f x '=．综上，()f x 在0(,)x -∞上单调递减，()f x 在0(,)x +∞上单调递增．因此，()f x 存在唯一的极值点，且为极小值点． ···································· 4分（2）由（1）知，0()(1)20f x f <=-<，2(2)e 30f =->，且()f x 在0(,)x +∞上单调递增．所以()0f x =在0(,)x +∞上存在唯一的实根α，且(1,2)α∈． ··················· 5分由12α<<，得21α-<-<-．()(1)e 1f αααα--=--+-e [(1)e 1]αααα-=---e ()f αα-=0=， ············ 6分由（1），01(,1)2x ∈，所以0x α-<．又()f x 在0(,)x -∞上单调递减，所以()0f x =在0(,)x -∞上存在唯一的实根α-．综上所述，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数． ············· 7分（3）由()(1)e 1n f n n n --=--+-e [(1)e 1]n n n n -=---e ()n f n -=，可得()e ()n f n f n =-，因此|()|e |()|n f n f n =-．由（2）可知，对*n ∀∈N ，()0f n ≠，()0f n -≠．22|()|(22)|()|f n n n f n >++-⇔21|()|(1)|()|2f n n n f n >++-⇔21e |()|(1)|()|2n f n n n f n ->++-⇔21e 12n n n >++． ································ 9分令21()e 12x h x x x =---，求导得()e 1x h x x '=--，()e 1x h x ''=-．当0x >时，()e 10x h x ''=->，因此()e 1x h x x '=--在(0,)+∞上为增函数．因此，当0x >时，()(0)0h x h ''>=，所以21()e 12x h x x x =---在(0,)+∞上为增函数． ································· 11分所以，当0x >时，()(0)0h x h >=，即21e 102x x x --->．因此21e 12x x x >++．因为*n ∈N ，所以21e 12n n n >++．因此原不等式成立．······················· 12分。

上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题(原卷+解析版)

公式可得所求的概率为 .
故答案为：
【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到复数的运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
10.已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为________（用最简分数表示）.
【答案】
【解析】
9.从集合中任取两个元素相加，则所得复数的模为的概率为________（用最简分数表示）.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简集合M，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.
【详解】由已知，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
所以，故从M中任取2个元素相加有种不同结果，
所得复数的模为有，共2种不同结果，根据古典概型的概率计算
A.56B.60C.140D.120
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.
考点：频率分布直方图及其应用．
15.某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（）
A.7200种B.4800种C.2640种D.1560种
【详解】为使选出的n个数的乘积能被10整除，其中至少有一次选择了5，并且至少有一次选择了
偶数2、4、6、8之一，设事件A表示没有一次选择了5，事件B表示没有一次选择了偶数，
则所求概率是，从而
.
故答案为：
【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及概率的加法公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(原卷+解析版)

10.在正方体中，给出下面四个命题：
① ；② 与夹角为120∘；③ ；④正方体的体积是，则正确的命题是__________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐一判断即可.
【详解】建立空间直角坐标系，如图：
，，，
，，故①正确；
设与夹角为，
，，
所以，因为
所以与夹角为120∘，故②正确；
，，
，故③正确；
正方体的体积为
但是，故④错误.
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示、空间向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
11.如图，半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段，分别与球面交于点、，则三棱锥的体积是__________．
【详解】∵点到直线的距离为定值，
∴点落在以轴、底面半径为圆柱的侧面上，且该侧面与三棱锥侧面的交线为椭圆的一部分．
①设其与的交点为，此时最大．由题意可得，点到的距离为，∴点为的中点．又，
在中，由余弦定理可；
②当点落在的垂直平分线上时，最小．
易得，∴ ，
从而，
A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④
16.如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（）
A.3B.5C.9D.21
三、解答题
17.设函数的定义域为集合，函数在[-3，-1]上存在零点时的的取值集合．
七宝中学高二下期末数学试卷

上海市七宝中学2019_2020学年高二数学9月月考试题(含解析)

上海市七宝中学2019-2020学年高二数学9月月考试题（含解析）一.填空题1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】【分析】“0x <”⇒ “x a <”,但是“x a <”⇏“0x <”，即可求解.【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。

【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题2.函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________【答案】(3,)+∞ 【解析】【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。

【详解】解：3020310x x x x ->⎧⎪-≠⇒>⎨⎪+≠⎩，故原函数定义域为(3,)+∞.【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。

3.已知向量(2,1)a =-r ，(3,4)b =r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影为________【答案】25- 【解析】【分析】a r 在向量b r方向上的投影为a b br r g r ，即可求解.【详解】向量a r 在向量b r方向上的投影为642cos ,55a b a b a a b a a b b-+<>====-r r r rr r r r g g g r r r g【点睛】a r 在向量b r 方向上的投影a b b r r g r ， b r 在向量a r 方向上的投影a b ar r g r ，可以直接使用，基础题。

4.已知点P是直线12PP 上一点，且1213PP PP =-uu u r uuu r ，若212P P PP λ=uuu r uuu r ，则实数λ=________【答案】23-【解析】【分析】利用向量的三角形加法法则，即可求解。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二(下)期末数学试卷

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={（x.y ）|x 2+y 2=1}.B={（x.y ）|y=-x}.则A∩B 中元素的个数是___ ．2.（填空题.3分）若平面α外的直线a 与平面α所成角为θ.则θ的取值范围是___ ．3.（填空题.3分）已知 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2）.则直线AM 和CN 所成角的余弦值是___ ．4.（填空题.3分）在北纬45°圈上有A 、B 两点.若该纬度圈上A 、B 两点间的劣弧长为 √24 πR （R 为地球的半径）.则A 、B 两点间的球面距离是___ ．5.（填空题.3分）设x 、y 满足约束条件 {x +2y −2≥0x −y +1≥02x −y −4≤0 .则z=2x+y 的最大值是___ ．6.（填空题.3分）不等式mx 2-mx-2＜0对任意x∈R 恒成立的充要条件是m∈___ ．7.（填空题.3分）某圆柱的高为2.底面周长为16.其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正（主）视图上的对应点为A.圆柱表面上的点N 在侧（左）视图上的对应点为B.则在此圆柱侧面上.从M 到N 的路径中.最短路径的长度为 ___ ．8.（填空题.3分）有一多边形ABCD 水平放置的斜二测直观图A′B′C′D′是直角梯形（如图所示）.其中∠A'B′C′=45°.B′C′⊥C′D′.A′D′=D′C′=1.则原四边形ABCD 的面积为___ ．9.（填空题.3分）正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中.AB=AD=1.E 为BB 1中点.若点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ .且BP || 平面AED 1.则λ=___ ．10.（填空题.3分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.给出下面四个命题： ① （ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=3（ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2； ② AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为120°； ③ A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ④ 正方体的体积是| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.则正确的命题是___ ．11.（填空题.3分）如图.半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α.垂足为B.△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形.线段AC.AD 分别与球面交于点M 、N.则三棱锥A-BMN 的体积是___ ．12.（填空题.3分）在三棱锥A-BCD中.AC=AD=BC=BD=10.AB=8.CD=12.点P在侧面ACD上.且到直线AB的距离为√21 .则PB的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）已知直线n⫋平面α.则m || n是m || α的（）A.充要条件B.充分非必要条件件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题.3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G分别为棱1.A1B1的中点.用过点E.F.G的平面截正方体.则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A.B.C.D.15.（单选题.3分）中国有悠久的金石文化.印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体.但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体.它的所有顶点都在同一个正方体的棱上.且此正方体的棱长为1．则该半正多面.正确的有（）体：① 有12个顶点；② 有14个面；③ 表面积为3；④ 体积为56A. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ② ④D. ① ② ③ ④16.（单选题.3分）如图.已知正四面体A 1A 2A 3A 4.点A 5.A 6.A 7.A 8.A 9.A 10分别是所在棱中点.点P 满足 A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x A 4A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y A 4A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z A 4A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且x+y+z=1.记| A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min .则当1≤i .j≤10且i≠j 时.数量积 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •A i A j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的不同取值的个数是（）A.3B.5C.9D.2117.（问答题.0分）设函数f （x ）=lg （x 2+2x-3）的定义域为集合A.函数g （x ）=a+ 1|x| -x 在[-3.-1]上存在零点时的a 的取值集合B ．（1）求A∩B ；（2）若集合C={x|x+2p≥0}.若x∈C 是x∈A 充分条件.求实数p 的取值范围．18.（问答题.0分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中的棱长为2.O 1是A 1C 1中点．（1）求证：AO 1 || 平面DBC 1；（2）设BB 1的中点为M.过A 、C 1、M 作一截面.并求出截面面积．19.（问答题.0分）设一正方形纸片ABCD边长为4厘米.切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形.剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形.沿虚线折起.恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计）.图中AH⊥PQ.O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等.请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ的底角为x.试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数.并求S范围．20.（问答题.0分）如图.在Rt△SOA中.∠OSA= π.斜边SA=4.半圆H的圆心H在边OS上.且与6SA相切.现将Rt△SOA绕SO旋转一周得到一个几何体.点B为圆锥底面圆周上一点.且∠AOB=90°．（1）求球H的半径；（2）求点O到平面SAB的距离；（3）设P是圆锥的侧面与球的交线上一点.求PO与平面SAB所成角正弦值的范围．21.（问答题.0分）设集合A的元素均为实数.若对任意a∈A.存在b∈B.c∈C．使得b+c=a且b-c=1.则称元素最少的B和C为A的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”；称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”.依此类推…（1）设A={3.5.7}.直接写出集合A的“孪生集”；（2）设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C.若使集合∁B∪C（B∩C）中元素个数最少且所有元素之和为3.证明：A中所有元素之和为3n；（3）若A={a k|a k=a1+2（k-1）.1≤k≤n.k∈N*}.请直接写出A的“n级孪生集”的个数.设A的所有”n级孪生集”的并集为Ω.若Ω=M1∪M2∪M3；求有序集合组（M1.M2.M3）的个数．2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={（x.y ）|x 2+y 2=1}.B={（x.y ）|y=-x}.则A∩B 中元素的个数是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：解方程组 {x 2+y 2=1y =−x 即可得出A∩B 中的元素个数．【解答】：解：解 {x 2+y 2=1y =−x得. {x =−√22y =√22 或 {x =√22y =−√22.∴A∩B 元素的个数是2．故答案为：2．【点评】：本题考查了描述法的定义.元素、集合的定义.交集的定义及运算.考查了计算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）若平面α外的直线a 与平面α所成角为θ.则θ的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0. π2 ]【解析】：当直线a || 平面α时.θ取最小值0.当直线a⊥平面α时.θ取最大值 π2 .当a 与平面α相交且不垂直时.θ∈（0. π2 ）.由此能求出θ的取值范围．【解答】：解：平面α外的直线a 与平面α所成角为θ. 当直线a || 平面α时.θ取最小值0. 当直线a⊥平面α时.θ取最大值 π2. 当a 与平面α相交且不垂直时.θ∈（0. π2 ）.∴平面α外的直线a 与平面α所成角为θ.则θ的取值范围是[0. π2 ]．故答案为：[0. π2 ]．【点评】：本题考查线面角的取值范围的求法.考查空间中线面关系等基础知识.考查空间想象能力.是基础题．3.（填空题.3分）已知 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2）.则直线AM 和CN 所成角的余弦值是___ ．【正确答案】：[1] 45【解析】：利用向量夹角余弦函数公式直接求解．【解答】：解：设直线AM 和CN 所成角为θ. ∵ AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2）. ∴cosθ= |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √5•√5= 45 ． ∴直线AM 和CN 所成角的余弦值为 45 ．故答案为： 45 ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法.考查向量夹角余弦函数公式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．4.（填空题.3分）在北纬45°圈上有A 、B 两点.若该纬度圈上A 、B 两点间的劣弧长为 √24 πR （R 为地球的半径）.则A 、B 两点间的球面距离是___ ．【正确答案】：[1] πR3【解析】：先求出北纬45°圈所在圆的半径.是A 、B 两地在北纬45°圈上对应的圆心角.得到线段AB 的长.设地球的中心为O.解三角形求出∠AOB 的大小.利用弧长公式求A 、B 这两地的球面距离．【解答】：解：北纬45°圈所在圆的半径为 √22 R.它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于 √24 πR （R 为地球半径）.∴ √24 πR=θ× √22 R （θ是A 、B 两地在北纬45°圈上对应的圆心角）. 故θ= π2 .∴线段AB=R. ∴∠AOB= π3 .∴A 、B 这两地的球面距离是 πR3 . 故答案为： πR3 ．【点评】：本题考查球的有关经纬度知识.球面距离.弧长公式.考查空间想象能力.逻辑思维能力.是基础题．5.（填空题.3分）设x 、y 满足约束条件 {x +2y −2≥0x −y +1≥02x −y −4≤0 .则z=2x+y 的最大值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：作出不等式组表示的平面区域.由z=2x+y 可得y=-2x+z.则z 表示直线y=-2x+z 在y 轴上的截距.截距越大.z 越大.结合图象即可求解z 的最大值．【解答】：解：作出x 、y 满足约束条件 {x +2y −2≥0x −y +1≥02x −y −4≤0 表示的平面区域.如图所示：由z=2x+y 可得y=-2x+z.则z 表示直线y=-2x+z 在y 轴上的截距.截距越大.z 越大作直线2x+y=0.然后把该直线向可行域平移. 当直线经过A 时.z 最大由 {x −y +1=02x −y −4=0 可得A （5.6）.此时z=16．故答案为：16．【点评】：本题主要考查了线性规划知识的应用.求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义． 6.（填空题.3分）不等式mx 2-mx-2＜0对任意x∈R 恒成立的充要条件是m∈___ ．【正确答案】：[1]（-8.0]【解析】：由不等式mx2-mx-2＜0对任意x∈R恒成立.得m=0或{m≠0(−m)2+8m＜0 .由此能求出不等式mx2-mx-2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件．【解答】：解：∵不等式mx2-mx-2＜0对任意x∈R恒成立.∴m=0或{m≠0(−m)2+8m＜0 .解得-8＜m≤0．∴不等式mx2-mx-2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈（-8.0]．故答案为：（-8.0]．【点评】：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．7.（填空题.3分）某圆柱的高为2.底面周长为16.其三视图如图.圆柱表面上的点M在正（主）视图上的对应点为A.圆柱表面上的点N在侧（左）视图上的对应点为B.则在此圆柱侧面上.从M到N的路径中.最短路径的长度为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √5【解析】：判断三视图对应的几何体的形状.利用侧面展开图.转化求解即可．【解答】：解：由题意可知几何体是圆柱.底面周长16.高为：2.直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B.则在此圆柱侧面上.从 M到N的路径中.最短路径的长度：√22+42=2√5．故答案为：2√5．【点评】：本题考查三视图与几何体的直观图的关系.侧面展开图的应用.考查计算能力.属于中档题．8.（填空题.3分）有一多边形ABCD 水平放置的斜二测直观图A′B′C′D′是直角梯形（如图所示）.其中∠A'B′C′=45°.B′C′⊥C′D′.A′D′=D′C′=1.则原四边形ABCD 的面积为___ ．【正确答案】：[1]3 √2【解析】：由四边形ABCD 水平放置的直观图得出四边形ABCD 的各边关系.再求四边形ABCD 的面积．【解答】：解：四边形ABCD 水平放置的直观图是直角梯形. 且∠A'B'C'=45°.A'D'=D'C'=1.D'C'⊥B'C'. 所以B′C′=2A′D′=2.A′B′= √2 ；所以四边形ABCD 中.AB=2A′B′=2 √2 .AD=A′D′=1.BC=B′C′=2. 且AB⊥BC .AD || BC.所以四边形ABCD 的面积为S= 12×（1+2）×2 √2 =3 √2 ．故答案为：3 √2 ．【点评】：本题考查了水平放置的直观图性质等应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题． 9.（填空题.3分）正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中.AB=AD=1.E 为BB 1中点.若点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ .且BP || 平面AED 1.则λ=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先猜想点P 为AD 的中点.取AD 1的中点F.连接EF 、PF.再证明BP || 平面AED 1．结合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形BPFE 为平行四边形.从而BP || EF.然后由线面平行的判定定理可证得BP || 平面AED 1．【解答】：解：如图所示.分别取AD 1、AD 的中点F 、P.连接EF 、PF.此点P 即为所求．理由如下：∵F 、P 分别为AD 1、AD 的中点.∴FP || D 1D.FP= 12 D 1D.∵E 为BB 1中点.∴BE= 12 BB 1.又D 1D || BB 1.∴FP || BE .FP=BE.∴四边形BPFE 为平行四边形.∴BP || EF .∵BP⊄平面AED 1.EF⊂平面BPFE.∴BP || 平面AED 1．由于P 为AD 的中点.所以λ=1．故答案为：1．【点评】：本题考查空间中线与面的平行关系.对于找点问题.一般可采用先猜后证的思想.熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键.考查学生的空间立体感、逻辑推理能力.属于中档题．10.（填空题.3分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.给出下面四个命题： ① （ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=3（ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2； ② AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为120°； ③ A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ④ 正方体的体积是| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.则正确的命题是___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：通过空间向量的运算以及向量的模.判断 ① 的正误；利用建立空间直角坐标系.求解向量的夹角判断 ② 的正误；利用空间向量的数量积判断 ③ 的正误；利用向量的数量积的值判断 ④ 的正误；【解答】：解：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.设正方体的棱长为1.对于 ① （ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=（ A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2= |A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =3.3（ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=3.所以 ① 正确；② 建立如图所示的坐标系.则 AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0-1）. A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.-1）.AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦函数值为 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = −1√2×√2=- 12 . 所以 AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为120°.所以 ② 正确；③ A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.1.-1）•（0.-1.-1）=0.所以 ③ 正确；④ | AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= |0•CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =0.所以正方体的体积是| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.不正确；故答案为： ① ② ③ ．【点评】：本题考查命题的真假.空间向量的坐标运算以及数量积的应用.夹角的求法.考查计算能力． 11.（填空题.3分）如图.半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α.垂足为B.△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形.线段AC.AD 分别与球面交于点M 、N.则三棱锥A-BMN 的体积是___ ．【正确答案】：[1] 8√375 R 3【解析】：AB=2R.BC=R.AC= √5 R.△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形.ABC∽△AMB . AM AC =45 .类似有 AN AD = 45 . V A−BMN V A−BCD = S △AMN S △ABC =（ 45 ）2.由此能求出三棱锥A-BMN 的体积．【解答】：解：∵AB=2R .BC=R.AC= √5 R.半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α.垂足为B.△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形. 线段AC.AD 分别与球面交于点M 、N.∴∠BAM=∠BAC.∠AMB=∠ABC=90°. ∴△ABC∽△AMB.∴ AB AM = ACAB.∴A M= 4√55R .∴ AMAC =45.类似有ANAD= 45.∴ V A−BMN V A−BCD = S△AMNS△ABC=（45）2= 1625.∴三棱锥A-BMN的体积：V A-BMN= 1625×13×√34×R2×2R = 8√375R3．故答案为：8√375R3．【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法.考查球、三棱锥的结构特征等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．12.（填空题.3分）在三棱锥A-BCD中.AC=AD=BC=BD=10.AB=8.CD=12.点P在侧面ACD上.且到直线AB的距离为√21 .则PB的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][ √92−16√7 . √57 ]【解析】：由题意画出图形.可知P的轨迹.求出tan∠PAB的范围.得到AH.BH的范围.再由勾股定理求解BP的范围．【解答】：解：如图.∵P 到直线AB 的距离为 √21 为定值.∴P 在以AB 为轴.底面半径为 √21 的圆柱的侧面上. 由题设条件可知.P 的轨迹为侧面ACD 与圆柱侧面的交线.是椭圆的一部分．（平面ACD 与轴AB 不垂直.该平面与圆柱侧面的交线为椭圆）．如图设CD 的中点为M.连接AM.BM.由AC=AD=BC=BD=10.CD=12.知AM⊥CD .BM⊥CD .且AM=BM=8．连接AP 并延长交CD 于Q.连接BQ.则AQ=BQ ．∴cos∠BAQ= 12AB AQ =4AQ. ∵AM≤AQ≤AC .即8≤AQ≤10.∴cos∠BAQ= 4AQ ∈（ 25，12）.则tan∠BAQ∈[ √3 . √212 ]．过P 作PH⊥AB 于H.则PH= √21 ．∴AH= PH tan∠BAQ ∈[2. √7 ].则BH∈[8- √7 .6].∴PB= √BH 2+PH 2 ∈[ √92−16√7 . √57 ]．故答案为：[ √92−16√7 . √57 ]．【点评】：本题考查空间中点、线、面间的距离计算.考查空间想象能力与思维能力.考查运算求解能力.是中档题．13.（单选题.3分）已知直线n ⫋平面α.则m || n 是m || α的（）A.充要条件B.充分非必要条件件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：D【解析】：直线n⫋平面α.则m || n⇒m || α或m⊂α.m || α⇒m与n平行或异面．【解答】：解：直线n⫋平面α.则m || n⇒m || α或m⊂α.m || α⇒m与n平行或异面.∴m || n是m || α的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.考查线面平行、线面平行的性质等基础知识.考查空间想象能力.是基础题．14.（单选题.3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G分别为棱1.A1B1的中点.用过点E.F.G的平面截正方体.则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：首先求出截面的图形.进一步利用三视图求出结果．【解答】：解：正方体被经过E、F、G点的平面所截.其中左边的正方形的左上顶点A被切去.故少一个角.右下面留一个斜棱.故左视图为C．故选：C ．【点评】：本题考查的知识要点：三视图的应用．15.（单选题.3分）中国有悠久的金石文化.印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体.但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体.它的所有顶点都在同一个正方体的棱上.且此正方体的棱长为1．则该半正多面体： ① 有12个顶点； ② 有14个面； ③ 表面积为3； ④ 体积为 56 .正确的有（）A. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ② ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：C 【解析】：由图形即可判断 ① ② ；由半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上.可得正方形和正三角形的边长.计算即可判断 ③ ；利用割补法计算可得半正多面体的体积.即可判断 ④ ．【解答】：解：由图形可得该半正多面体共有12个顶点.14个面.故 ① ② 正确；半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上.且此正方体的棱长为1.可得该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点.所以该半正多面体的棱长为 √22 .故半正多面体的面积为6× √22 × √22 +8× √22 × √22× sin60°=3+2 √3 .故 ③ 错误；半正多面体的体积为1-8× 13 × 12 × 12 × 12 × 12 = 56 .故 ④ 正确．故选：C ．【点评】：本题考查正方体的切割后的多面体的性质.属于中档题．16.（单选题.3分）如图.已知正四面体A 1A 2A 3A 4.点A 5.A 6.A 7.A 8.A 9.A 10分别是所在棱中点.点P 满足 A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x A 4A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y A 4A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z A 4A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且x+y+z=1.记| A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min .则当1≤i .j≤10且i≠j 时.数量积 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •A i A j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的不同取值的个数是（）A.3B.5C.9D.21【正确答案】：B 【解析】：先根据空间向量四点共面的向量表达式得到点P 在平面A 1A 2A 3内.又由 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min 可得到 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面A 1A 2A 3.再结合向量数量积的几何意义即可求解．【解答】：解：∵点P 满足 A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x A 4A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y A 4A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z A 4A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且x+y+z=1.∴点P 在平面A 1A 2A 3内.由| A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min .可得 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面A 1A 2A 3.由向量数量积的几何意义.A i A j 在 A 4Q 的投影有 5 种情况： 0，±12|A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，±|A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴ 数量积 A 4Q •A i A j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的不同取值的个数是 5．故选：B ．【点评】：本题考查空间向量四点共面的向量表达式.向量数量积的几何意义.难点在意将数量积转化为几何意义来解题.属于难题．17.（问答题.0分）设函数f （x ）=lg （x 2+2x-3）的定义域为集合A.函数g （x ）=a+ 1|x| -x 在[-3.-1]上存在零点时的a 的取值集合B ．（1）求A∩B ；（2）若集合C={x|x+2p≥0}.若x∈C 是x∈A 充分条件.求实数p 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）先分别求出集合A.B.由此能求出A∩B ．（2）求出集合C={x|x+2p≥0}={x|x≥-2p}.由x∈C 是x∈A 充分条件.得到C⊆A .由此能求出实数p 的取值范围．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）=lg （x 2+2x-3）的定义域为集合A.∴A={x|x 2+2x-3＞0}={x|x ＜-3或x ＞1}.∵函数g （x ）=a+ 1|x| -x 在[-3.-1]上存在零点时的a 的取值集合B.g （x ）=a+ 1|x| -x 在[-3.-1]有解.∴a=x - 1|x| =x+ 1x ∈[- 103 .-2].∴B=[- 103 .-2].∴A∩B=[- 103 .-3）．（2）∵集合C={x|x+2p≥0}={x|x≥-2p}.x∈C 是x∈A 充分条件.∴C⊆A .∴-2p ＞1.解得p ＜−12 ．∴实数p 的取值范围是（-∞.- 12 ）．【点评】：本题考查交集、实数的取值范围的求法.考查函数性质、交集定义、充分条件等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．18.（问答题.0分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中的棱长为2.O 1是A 1C 1中点．（1）求证：AO 1 || 平面DBC 1；（2）设BB 1的中点为M.过A 、C 1、M 作一截面.并求出截面面积．【正确答案】：【解析】：（1）连接AC.BD.设AC∩BD=O.连接OC1.证明四边形AOC1O1为平行四边形.得AO1 || C1O.再由直线与平面平行的判定.得到C1O⊂平面DBC1.（2）找出过A、C1、M的平面截正方体的截面图形.再由三角形面积公式求解．【解答】：解：（1）证明：如图.连接AC.BD.设AC∩BD=O.连接OC1.由AA1 || CC1.AA1=CC1可得四边形AA1C1C为平行四边形.则AC || A1C1.又C1O1=AO.∴四边形AOC1O1为平行四边形.得AO1 || C1O．而A1O⊄平面DBC1.C1O⊂平面DBC1.∴AO1 || 平面DBC1；（2）连接AM.C1M.设平面AMC1与平面AA1D1D交于AN.由平面AA1D1D || 平面BB1C1C.且平面AMC1∩平面BB1C1C=C1M.平面AMC1∩平面AA1D1D=AN.∴C1M || AN．同理可得AM || C1N.得到四边形AMC1N为平行四边形.在Rt△ABM与Rt△C1B1N中.求得AM=C1M.即四边形AMC1N为菱形.得N为DD1的中点．∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.∴MN= 2√2 .AC1=√22+22+22=2√3．∴截面面积S= 1×2√2×2√3=2√6．2【点评】：本题考查直线与平面平行的判定.考查空间想象能力与运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）设一正方形纸片ABCD边长为4厘米.切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形.剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形.沿虚线折起.恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计）.图中AH⊥PQ.O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等.请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ的底角为x.试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数.并求S范围．【正确答案】：a .结合【解析】：（1）设出正四棱锥的棱长a.正方形纸片ABCD边长为4厘米.可得AH= √32正四棱锥的棱长都相等.即可求解a的值.（2）设PH=b.值AH=btanx.由2atanx+2a=4 √2 .即可得a.在表示出正四棱锥的侧面积S.利用基本不等式即可S范围.a . 【解答】：解：（1）设出正四棱锥的棱长a.正方形纸片ABCD边长为4厘米.可得AH= √32a+a=AC=4√2 .∵正四棱锥的棱长都相等.即2×√32∴ a=2√6−2√2．故得正四棱锥的棱长为2√6−2√2；（2）由题意.设PH=b.则AH=btanx.由2atanx+2a=4 √2 . 可得a= 2√2tanx+1.从而侧面积S= 4×12×PO•AH=2a2•tanx = 16tanx(tanx+1)2.其中tanx∈（1.+∞）；∴S= 16tanx+1tanx +2∈（0.4）.故得S范围是（0.4）．【点评】：本题主要考查了正四棱锥的几何性质.正四棱锥中的棱长、高、体积的计算.建立函数模型并求其最值的方法.有一定的难度．20.（问答题.0分）如图.在Rt△SOA中.∠OSA= π6.斜边SA=4.半圆H的圆心H在边OS上.且与SA相切.现将Rt△SOA绕SO旋转一周得到一个几何体.点B为圆锥底面圆周上一点.且∠AOB=90°．（1）求球H的半径；（2）求点O 到平面SAB 的距离；（3）设P 是圆锥的侧面与球的交线上一点.求PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围．【正确答案】：【解析】：（1）令SA 与圆切于K.则有SO=3r.即可求解．（2）由等体积法得V O-SAB =V S-OAB ⇒ 13S △SAB •d =13S △OAB •SO .即可得点O 到平面SAB 的距离；（3）如图建立空间直角坐标系.求得平面SAB 的法向量 n ⃗ =(x ，y ，z) .设PO 与平面SAB 所成角为α.则sinα= |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = |√6sin(θ+π4)+√3|2√7【解答】：解：（1）如图.令SA 与圆切于K.∵∠OSA= π6 .∴SH=2r .（r 为球半径）∴SO=3r .∵在Rt△SOA 中.∠OSA= π6 .斜边SA=4.∴SO=2 √3 .OA=2.∴r= SO3=2√33．（2）由等体积法.V O-SAB =V S-OAB ⇒ 13S △SAB •d =13S △OAB •SO .∵S △SAB = 12AB •√SA 2−(AB 2)2= 12×2√2•√16−2=2√7 .S △OAB =2. ∴d= 2√217 .即点O 到平面SAB 的距离为 2√217；（3）如图建立空间直角坐标系.则A （0.2.0）.B （2.0.0）.S （0.0.2 √3 ）.P （cosθ.sinθ. √3 ）. SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，−2√3) . SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，−2√3 ）. PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cosθ，−sinθ，−√3) .设平面SAB 的法向量 n ⃗ =(x ，y ，z) .由 {SA ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0SB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0 ⇒ {y =√3z x =√3z∴ n ⃗ =(√3，√3，1) . 设PO 与平面SAB 所成角为α.则sinα= |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = |√6sin(θ+π4)+√3|2√7 . √6+√32√7 ]. ∴PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围为：[0.√42+√2114 ]．【点评】：本题考查了空间几何体内切球问题、线面角求解.考查了数学运算、直观想象等核心素养.属于中档题．21.（问答题.0分）设集合A的元素均为实数.若对任意a∈A.存在b∈B.c∈C．使得b+c=a且b-c=1.则称元素最少的B和C为A的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”；称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”.依此类推…（1）设A={3.5.7}.直接写出集合A的“孪生集”；（2）设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C.若使集合∁B∪C（B∩C）中元素个数最少且所有元素之和为3.证明：A中所有元素之和为3n；（3）若A={a k|a k=a1+2（k-1）.1≤k≤n.k∈N*}.请直接写出A的“n级孪生集”的个数.设A的所有”n级孪生集”的并集为Ω.若Ω=M1∪M2∪M3；求有序集合组（M1.M2.M3）的个数．【正确答案】：【解析】：（1）根据集合定义直接得到答案；（2）将集合 A 中元素从小到大排列：a1＜a2＜…＜a n.则“孪生集” B={a1+12，a2+12，…，a n+1 2} . C={a1−12，a2−12，…，a n−12} .a1.a2.….a n构成公差为 2 的等差数列.计算得到答案；（3）A 的“n级孪生集”的个数为 2n.计算元素个数得到答案．【解答】：解：（1）B={2.3.4}.C={1.2.3}；（2）将集合 A 中元素从小到大排列：a1＜a2＜…＜a n.则其“孪生集“ B={a1+12，a2+12，…，a n+12} . C={a1−12，a2−12，…，a n−12} .设集合D=∁（B∪C）（B∩C）.由于a1−12∈C，a1−12∉B，a n+12∈B，a n+12∉C .因此集合 D 中元素个数card（D）≥2.若card（D）=2.则有a k+12=a k+1−12(1≤k≤n−1) .即a k+1-a k=2（1≤k≤n-1）.因此a1.a2.….a n构成公差为 2 的等差数列.D={a1−12，a n+12} .所以a1−12+a n+12=a1+a n2=3 .进而a1+a2+⋯+a n=(a1+a n)n2=3n．（3）A 的“n 级孪生集”的个数为 2n.A 所有“n 级孪生集”的并集Ω 的元素个数为 2n+n-1.每个元素至少属于 M1.M2.M3中的一个.所以有序集合组（M1.M2.M3）的个数为(23−1)2n+n−1=72n+n−1．【说明】由（2）知.A 所有“1 级孪生集”为B={a1+12，a1+32，…，a1+2n−12}，C={a1−12，a1+1 2，…，a1+2n−32} .它们的并集Ω={a1−12，a1+12，…，a1+2n−32，a1+2n−12}有 n+1=21+n-1 个元素；A 所有“2 级孪生集“为{a1+34，a1+54，…，a1+2n+14}，{a1−14，a1+14，…，a1+2n−34} . {a1+14，a1+3 4，…，a1+2n−14}，{a1−34，a1−14，…，a1+2n−54} .它们的并集Ω={a1−34，a1−14，…，a1+2n−14，a1+2n+14} .有 n+3=22+n-1 个元素；A 所有“3 级孪生集“为{a1+78，a1+98，…，a1+2n+58}，{a1−18，a1+18，…，a1+2n−38} .{a1+38，a1+58，…，a1+2n+18}，{a1−58，a1−38，…，a1+2n−78} .{a1+58，a1+78，…，a1+2n+38}，{a1−38，a1−18，…，a1+2n−58} .{a1+18，a1+38，…，a1+2n+18}，{a1−78，a1−58，…，a1+2n−98} .它们的并集Ω={a1−78，a1−58，…，a1+2n+38，a1+2n+58} .有 n+7=23+n-1个元素；A 所有“n 级孪生集“的并集Ω={a1−(2n−1)2n ，a1−(2n−3)2n，…，a1+2n+(2n−3)2n} .其中第 2 个元素的分子和最大元素的分子和恰为2a1+2n.即所有元素从小打到大构成首项为a1−(2n−1)2n .公差为12n−1的等差数列.所以共有a1+2n+(2n−3)2n−a1−(2n−1)2n12n−1+1=2n+n−1项.也即A所有“n 级孪生集”的并集Ω 的元素个数为 2n+n-1．【点评】：本题考查集合的定义.集合元素的个数和元素和.已在考查学生的应用能力.属于难题．。