上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题含答案

正方体的棱上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体：①有 12 个顶点；②有 14 个面；③表面积为 3；
④体积为 5 ，正确的有（ ） 6
2
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①②③④
16．如图，已知正四面体 A1 A2 A3 A4 ，点 A5 ， A6 ， A7 ， A8 ， A9 ， A10 分别是所在棱中点，点 P 满足
七宝中学高二下期末数学试卷
一、填空题
1．已知集合 A (x, y) | x2 y2 1 ， B x, y | y x ，则 A B 中元素的个数是__________．
2．若平面 外的直线 a 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是__________．
3．已知 AM (0,1, 2) ， CN (1, 0, 2) ，则直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是__________．
4．在北纬 45°圈上有 A 、 B 两点，若该纬度圈上 A 、 B 两点间的劣弧长为 2 R （ R 为地球的半径）， 4
则 A 、 B 两点间的球面距离是__________．
x 2y 2 0
5．设
x
、
y
满足约束条件
x
y
1
0
，则 z 2x y 的最大值是__________．
2x y 4 0
的长度为__________．
8．有一多边形 ABCD 水平放置的斜二测直观图 ABCD 是直角梯形（如图所示），其中 ABC 45 ， BC CD ， AD DC 1，则原四边形 ABCD 的面积为__________．
9．正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 1 ， E 为 BB1 中点，若点 P 满足 AP PD ，且 BP// 平 面 AED1 ，则 __________． 10．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，给出下面四个命题：
二、选择题
13．已知直线 n Ü 平面 ，则 m//n 是 m// 的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
14．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F ， G 分别为棱 CD ， CC1 ， A1B1 ，的中点，用过点 E ， F ，
A4P x A4 A1 y A4 A2 z A4 A3 且 x y z 1 ，记 | A4Q || A4P |min ，则当1 i ， j 10 且 i j 时，数量
积 A4Q Ai Aj 的不同取值的个数是（ ）
A．3 三、解答题
B．5
C．9
D．21
17．设函数 f x lg(x2 2x 3) 的定义域为集合 A ，函数 g(x) a 1 x 在[-3，-1]上存在零点时的 a
6．不等式 mx2 mx 2 0 对任意 x R 恒成立的充要条件是 m __________．
7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图 1，圆柱表面上的点 M 在正（主）视图上的对应点为 A ， 圆柱表面上的点 N 在侧（左）视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径
|x|
的取值集合 B ． （1）求 A B ； （2）若集合 C {x | x 2 p 0} ，若 x C 是 x A 充分条件，求实数 p 的取值范围．
18．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中的棱长为 2， O1 是 A1C1 中点，
（1）求证： AO1 // 平面 DBC1 ； （2）设 BB1 ，的中点为 M ，过 A 、 C1 、 M 作一截面，并求出截面面积． 19．设一正方形纸片 ABCD 边长为 4 厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形 纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中 AH PQ ， O 为正四棱锥底面中心．，
3
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形 APQ 的底角为 x ，试把正四棱锥的侧面积表示为 x 的函数，并求 S 范围． 20．如图，在 Rt△SOA 中， OSA ，斜边 SA 4 ，半圆 H 的圆心 H 在边 OS 上，且与 SA 相切，现
1
①
A1A A1D1 A1B1
2
3(A1 A ) 2
；②
AD1
与
A1B
夹角为
120∘ ； ③
A1C
C1D
0
④正方体的体积是
Leabharlann Baidu
AB BC CC1 ，则正确的命题是__________．
11．如图，半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ，垂足为 B ，△BCD 是平面 内边长为 R 的正三角
6 将 Rt△SOA 绕 SO 旋转一周得到一个几何体，点 B 为圆锥底面圆周上一点，且 AOB 90 ．
（1）求球 H 的半径； （2）求点 O 到平面 SAB 的距离； （3）设 Р 是圆锥的侧面与球的交线上一点，求 PO 与平面 SAB 所成角正弦值的范围． 21．设集合 A 的元素均为实数，若对任意 a A ，存在 b B ，c C ．使得 b c a 且 b c 1，则称元 素最少的 B 和 C 为 A 的“孪生集”；称 A 的“孪生集”的“孪生集”为 A 的“2 级孪生集”；称 A 的“2 级 孪生集”的“孪生集”为 A 的“3 级孪生集”，依次类推．．．．．．．
G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的
多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为 24 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个
形，线段 AC ， AD 分别与球面交于点 M 、 N ，则三棱锥 A BMN 的体积是__________．
12．在三棱锥 A BCD 中， AC AD BC BD 10 ， AB 8 ， CD 12 ，点 P 在侧面 ACD 上，
且到直线 AB 的距离为 21 ，则 PB 的取值范围是__________．