高二数学竞赛试卷

高二数学竞赛试卷

命题人：张胜生

一、选择题：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案填在答题表中．．．．．．．．．．！．

) 1、空间四个点，如果其中任意三点不共线，则过其中任意三点的平面的个数为：( )

A 、2或3个

B 、3或1个

C 、4或3个

D 、4或1个 2、或a 、b 为异面直线，b 、c 是异面直线，则a 与c ：

A 、平行

B 、异面

C 、相交

D 、以上都有可能 3、设a 、b 是两条不相交的直线，则过b 具平行于a 的平面：( ) A 、有且仅有一个 B 、至少一个 C 、至多一个 D 、无数个

4、设直线l 和平面α、β，且直线l ⊄α，l ⊄β，给出下列论断：①l ⊥α ②α⊥β③l ∥β，从中取两个作为条件，其余的一个作为结论，在构成的诸命题中，正确命题的个数是 （ ）． A 、0 B 、 1 C 、2 D 、 3

5、已知三棱锥D —ABC 三个侧面与底在全等，且AB=AC=3，BC=2，则以BC 为棱以面BDC 与面BCA 为面的二面角大小是：( ) A 、

4π B 、3π C 、2π D 、π3

2

6、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1是，A 1B 1与BC 1的距离是：( ) A 、2 B 、

2

2

C 、3

D 、6 7、正四棱柱一个侧面的面积为S ，则它的对角面面积为：( ) A 、S 2 B 、2S 2 C 、S D 、2S

8、在()n

x 21-的展开式中，各项系数的和是 （ ）

A 、1

B 、n

2 C 、－1 D 、1或－1

9、把长和宽分别是8和6的长方形ABCD 沿对角线AC 折成二面角B —AC —D ，使A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则此球的表面积为：( )

A 、100π

B 、400π

C 、

π3

400

D 、200π 10、设平面α⊥平面β，在α内一条直线m 垂直于β内的一条直线n ，则：( ) A 、m 必垂直于平面β B 、n 必垂直于平面α

C 、m 不一定垂直于平面β

D 、过m 的平面与过n 的平面垂直

11、从6个中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边（可以不相邻），则所有不同排法种数是 （ ）

A 、36

B 、72

C 、144

D 、288 12、已知：a 、b 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①a ∥b ，a ⊥α,b ∥β，则α⊥β; ②a ⊥β, α⊥β, 则a ∥α; ③α⊥γ,β⊥γ，则α∥β; ④a ∥b ，a ∥α,b ∥β，则α∥β; ⑤a ∥α，a ∥β,α∩β=b ，则a ∥b.

其中正确命题的个数是 （ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分满分共25分；将正确答案填入答卷的相应横线上）

14、 半径为R 的球面上有A 、B 两点，它们的球面距离是2

π

R ，则线段AB 的长为 。 15、设n 为奇数，则7c 7c 7

c 71

n n

2n 2n 1

n 1

n n

⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+---，被9除所得的余数是 。 15、长方体的一条对角红同两个面所成的角分别为30°、45°，则它与另一个面所成的角为

___________。

16、βα、是两个不同平面，m 、n 为面、βα、外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②、βα⊥；③β⊥n ；④α⊥m ，以其中三个为条件，余下一个为结论，写出你认为正确的一个___________________。

三、解答题（本大题共6个小题，满分共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17、（本题满分10分）

3名老师带领6名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查，每小组有1名老师和2名学生组成，求不同的分配方法有多少种？（用数字作答）

18、（12分）如图，三棱锥ABCD 中，BA ，BC ，BD 两两垂直，E 是AC 的中点，旦AB=BC=2，

异面直线AD 与BE 所成的角为10

10

arccos ，求BD

19、（12分）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 ，MN 是异面直线AC 及A 1D 的公垂线，求证MN ∥BD 1

20、（本题满分12分）

已知二项式()5

1x 2-，求其展开式中

（1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和； （4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和

21、（本题满分12分）

七个人排成一排，按下列要求分别求出不同的排法的种数（用数字作答） ①A 不站在排头，也不站在排尾 ②A 不站在排头，B 不站在排尾 ③C 、D 、E 三人两两不相邻 ④A 、B 两人连排在一起

⑤A 、B 两人连排在一起，C 、D 、E 三人两两不相邻

22、（12分）

已知正四棱锥R —ABCD 的底面边长为4，高为6，点P 是高PO 的中点，点Q 是侧面RBC 的重心。求：

（1）P 、Q 两点的距离

（2）异面直线PQ 与BR 所成的角 （3）直线PQ 与底面ABCD 所成的角