第二节 定积分计算公式和性质
定积分计算法则
定积分计算法则一、定积分的基本概念1. 定积分的定义- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有界。
- 在[a,b]中任意插入n - 1个分点a=x_0< x_1< x_2<·s< x_{n - 1}< x_n = b，把区间[a,b]分成n个小区间[x_{i - 1},x_i]，i = 1,2,·s,n。
- 记Δ x_i=x_i - x_{i - 1}，λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}。
- 在每个小区间[x_{i - 1},x_i]上任取一点ξ_i∈[x_{i - 1},x_i]，作和式∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
- 如果当λ→0时，上述和式的极限存在（这个极限值与[a,b]的分法及ξ_i的取法均无关），则称函数y = f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_{a}^bf(x)dx，即∫_{a}^bf(x)dx=limlimits_{λ→0}∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。
2. 定积分的几何意义- 当f(x)≥slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质（假设以下性质中的函数在相应区间上可积）1. 线性性质- ∫_{a}^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_{a}^bf(x)dx + k_2∫_{a}^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
微积分》第二篇第二章讲义定积分
dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
（4） 求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解： 原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274，题2，（1）—（4）
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反，如果极限 lim b f (x)dx不存在， b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标：计算一些函数的广义积分
定积分性质与运算法则
定积分性质与运算法则引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
定积分可以用来计算曲线所包围的面积、求某一区间上函数的平均值等。
为了更好地理解和应用定积分，我们需要了解定积分的性质和运算法则。
定积分性质定积分的存在性定积分的存在性是指，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在[a, b]上连续或者仅有有限个间断点，那么这个函数在[a, b]上就是可积的。
也就是说，函数f(x)在[a, b]上的定积分是存在的。
定积分的线性性质定积分具有线性性质，即对于两个可积函数f(x)和g(x)，以及任意实数c，有如下等式成立：∫(c1f(x) + c2g(x)) dx = c1∫f(x) dx + c2∫g(x) dx其中，c1和c2是任意实数。
定积分的加法法则对于一个可积函数f(x)，以及给定的区间[a, b]和[c, d]，有如下等式成立：∫(a到b) f(x) dx + ∫(b到c) f(x) dx = ∫(a到c) f(x) dx这说明，对于一个函数在不同的区间上的定积分，我们可以通过将这些区间连在一起进行求解，得到整个区间上的定积分。
定积分的比较性质对于两个可积函数f(x)和g(x)，如果在[a, b]上满足f(x) ≤ g(x)，那么有如下不等式成立：∫(a到b) f(x) dx ≤ ∫(a到b) g(x) dx也就是说，如果在某个区间上一个函数始终小于等于另一个函数，那么这两个函数在该区间上的定积分的大小关系也是相同的。
定积分的运算法则分部积分法分部积分法是一种计算定积分的方法，它可以将一个乘积形式的积分转化为一个易于处理的形式。
分部积分法的公式如下：∫u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - ∫v(x) u’(x) dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。
代换法代换法是另一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量来简化积分的计算。
代换法的公式如下：∫f(u(x)) u’(x) dx = ∫f(u) du其中，u是一个可导函数。
定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图5-10从几何上看，也很显然。
因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数) 性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。
定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质、变上限函数设函数/S）在区间卜上］上连续，并且设x为^上］上的任一点，于是，/W 在区间卜“］上的定积分为M比这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数恥），我们把处）称为函数7匕）在区间卜上］上变上限函数记为心:二「‘r咐m :图5-10从几何上看，也很显然。
因为X是上一个动点，从而以线段b』］为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度吨作直线运动，那么在时间区间也打上所经过的路程S为图5-111 f 曲■■ V -------------------- <5 』 £■另一方面，如果物体经过的路程 s 是时间t 的函数「盯，那么物体从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）由导数的物理意义可知即（丿是一个原函数，因此，为了求出定积分设函数 /W 在闭区间上连续， 陀）是"） 的一个原函数，即 弘）5）， 则打加皿紂―％）这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成"（诟十魁"糾-陀）牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、 下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供 了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1计算I"应先求出被积函数 皿）的原函数呦，再求呦在区间 M 上的增量血卜册即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 因为I 是-的一个原函数所以般方法:例2求曲线 图形面积A(5-12)解这个图形的面积为 = J am 二—uosjrg图5-12-—COS7T + cos 0 = 1 -Fl = 2二、定积分的性质设「•；）、-:—在相应区间上连续，利用前面学过的知识，单性质： 性质1被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即（A 为常数）性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即f L/C ）士 ★出“打（说士 f £陽这个性质对有限个函数代数和也成立。
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
同济七版NUAA高数课件 第五章 定积分 第二节 定积分的性质、中值定理
1. 定积分性质 2. 中值定理
一、定积分性质和中值定理
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1
b
b
b
a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx.
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a,b]上至少存在一个点
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
f ( )(b a)(.a
b)
1. 积分中值公式的几何解释：
y
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
则 b a
f
(
x)dx
0.
(a b)
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
n
xi 0, f (i )xi 0,
i 1
max{x1,x2 ,,xn }
n
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx 0.
a
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
mb定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图5-10从几何上看，也很显然。
因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数)性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。
第二节定积分的性质
智慧城市的智能公共交通智慧城市的建设已经成为现代城市规划的重要组成部分，其中智能公共交通系统的发展具有关键性的意义。
智慧公共交通通过融合信息技术与交通系统，提供更加高效、便捷、可持续的出行方式，为城市居民带来全新的出行体验。
一、智能公共交通系统智能公共交通系统是指通过网络技术和智能设备，使城市公共交通更加智能化、高效化的系统。
其核心是基于信息技术的数据采集、分析和应用，为公共交通管理实现智能化、精细化的运营管理。
1.1 数据采集与分析智能公共交通系统通过各类传感器、监控设备等手段，实现对城市交通状况、公交车辆运营、乘客需求等数据的实时采集。
这些数据经过处理和分析，可以为公共交通管理者提供决策参考，优化车辆调度，提高运行效率。
1.2 公交信号优化智能公共交通系统还可以通过智能信号控制技术，为公交车辆提供绿波通行的便利。
交通信号可以根据实时交通数据和公交车辆的位置信息，动态调整信号灯的时长，尽量减少红灯等待时间，提高公交出行速度和运行效率。
1.3 公交调度与导航智能公共交通系统通过建立信息平台，将公交车辆的实时位置信息与乘客需求进行匹配，实现公交车辆的实时调度和导航。
乘客可以通过手机或电子显示屏查看公交车辆的实时到站信息和运行状态，提前规划出行路线，减少等待时间。
二、智能公共交通的优势智能公共交通系统的引入，为城市公共交通带来了诸多优势和便利，不仅提升了乘客出行体验，也有助于城市交通管理的提升。
2.1 提高运行效率智能公共交通系统可以实时获取乘客需求和交通状况，通过优化调度和信号控制，提高公交车辆的运行效率。
乘客等待时间减少，公交车辆的行驶速度增加，整体交通流量得以优化，提升了公共交通的吸引力。
2.2 减少碳排放智能公共交通系统的推广使用，可以减少汽车出行需求，降低交通拥堵，从而减少了尾气排放和能源的消耗。
这有助于改善城市的空气质量，减少环境污染，推动可持续交通的发展。
2.3 提升出行体验智能公共交通系统为乘客提供了多种出行信息服务，包括实时车辆到站信息、乘车路线建议、交通状况预测等。
定积分的计算方法及其性质证明
定积分的计算方法及其性质证明定积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的计算方法，并证明一些与定积分相关的性质。
一、定积分的计算方法1. 首先，我们介绍定积分的定义。
对于函数f(x)在[a, b]上的定积分可以用下面的极限形式表示：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) ∑[i=1 to n] f(xi)Δx其中，xi是[a, b]上的一系列划分点，Δx是每个子区间的长度。
2. 一种常用的计算定积分的方法是使用定积分的几何意义。
对于非负函数f(x)，它在[a, b]上的定积分表示f(x)与x轴之间的面积。
当f(x)是负函数时，定积分可以表示为x轴与f(x)之间的绝对值的面积。
例如，计算函数y = x^2在[1, 2]上的定积分可以通过计算由y = x^2, x = 1, x = 2和x轴所围成的区域的面积来完成。
3. 常用的定积分计算方法之一是基于牛顿-莱布尼兹公式，也称为微积分的基本定理。
该定理表明，如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有：∫[a, b] f(x) d x = F(b) - F(a)这意味着我们可以通过求解函数f(x)的原函数，并使用原函数在区间的端点处的值来计算定积分。
4. 对于一些特定的函数，我们可以使用一些基本的公式和性质来计算定积分。
例如，对于多项式函数和三角函数，我们可以利用它们的导数和基本积分表来计算定积分。
5. 对于一些复杂的函数，我们可以将其进行分解成更简单的函数，然后分别计算它们的定积分，最后将结果进行合并。
这种方法常用于计算不可积函数的定积分。
二、定积分的性质证明1. 定积分的线性性质对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有以下等式成立：∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx这个性质可以通过定积分的定义和极限运算的性质进行证明。
定积分的计算方法和性质
定积分的计算方法和性质定积分是高等数学中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨定积分的计算方法和性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定积分的计算方法1. 函数积分法函数积分法是计算定积分最常用的方法之一。
它的基本思想是将被积函数表示成某个函数的导数形式，然后利用函数的导数与原函数之间的关系进行计算。
例如，对于普通的多项式函数，可以通过逐项积分的方式计算定积分。
2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的另一种重要方法。
它建立了定积分和原函数之间的关系，可以通过求解原函数的差值来计算定积分的值。
应用这个公式时，需要注意定义域和连续性等条件的满足，以保证计算的正确性。
3. 积分换元法积分换元法是解决复杂函数积分问题的有效方法之一。
通过引入新的变量，将被积函数转化成容易处理的形式，从而简化计算过程。
利用换元法，可以将定积分转化为可以用常见函数求解的基本积分形式。
4. 切割法切割法是计算曲线下面的定积分的一种常见方法。
通过将定积分区间分割成多个小区间，然后计算每个小区间上的积分值，再将这些值相加，最后得到整个区间上的定积分值。
这一方法在计算复杂曲线下的面积时经常被使用。
二、定积分的性质1. 线性性质定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的定积分，等于这两个函数分别的定积分的和或差。
这一性质在实际问题中的应用非常广泛，能够简化复杂函数的积分计算过程。
2. 区间可加性定积分具有区间可加性，即在一个区间上的定积分等于该区间上子区间定积分的总和。
这一性质使得我们可以通过划分区间来计算复杂函数在整个区间上的定积分，从而简化计算难度。
3. 中值定理中值定理是定积分的重要性质之一。
根据中值定理，对于连续函数，在一个闭区间上的定积分等于该区间上某一点函数值与区间长度的乘积。
这一定理在实际问题中通常用于估计积分值或证明定积分的存在性。
4. 积分换元法的导数形式积分换元法的导数形式是定积分计算中的常用性质之一。
定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线所夹面积、计算物体的体积、求解解析几何中的定性表达式等问题。
在本文中，我们将介绍定积分的性质和计算方法。
一、定积分的性质：1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分存在。
也就是说，连续函数一定可积。
2.定积分具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及两个连续函数f(x)和g(x)，有：∫[a,b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx3.若函数f(x)在区间[a,b]上非负且可积，则定积分表示的是曲线f(x)与x轴之间的面积。
4. 定积分的取值与区间的选取无关。
即∫[a,b]f(x)dx =∫[c,d]f(x)dx，只要[a,b]和[c,d]的函数f(x)在二者都是可积函数。
5.若函数f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]内的每个子区间上f(x)的值都大于等于0，则在[a,b]上的定积分不小于0。
也就是说，不会出现整个区间上的定积分为负数的情况。
二、定积分的计算方法：1. 基本积分法：对于一些简单的函数，我们可以直接利用已知的基本积分公式进行计算。
比如∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。
2. 反向运用微积分定理：利用微积分基本定理，我们可以求取函数的原函数（也称为不定积分），然后通过减去两个边界条件的原函数，即可求得定积分的结果。
比如∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
3.凑微分法：当函数难以直接积分时，我们可以通过凑微分来简化积分。
具体方法是，选取合适的函数和常数，使得被积函数可以表示为一个已知函数与该函数对应的导数的乘积。
然后利用换元法将积分转化为一个更容易求解的形式。
4. 分部积分法：分部积分法实质上是对乘积求导公式的反向运用。
对于乘积积分，我们可以利用分部积分法将其转化为两个函数分别求导和积分的问题。
第二节定积分计算公式和性质
记为
图5-10
从几何上看，也很显然。因为X是 上一个动点，从而以线段 为底的曲边梯形的面积,必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图5－１0）
3．一物体由静止出发沿直线运动,速度为 ，其中,v以m／s单位，求物体在1ｓ到２s之间走过的路程。
解首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当时火车速度
刹车后火车减速行驶。其速度为 当火车停住时，速度 ,故从
解得
于是在这段时间内,火车走过的距离为
=
即在刹车后,火车需走过40m才能停住。
习题5-2
1求下列定积分：
(1) (2)
(3) （４)
（５) （６）
（7)
(8） (9) （1０)
(11)设
２．求由 与直线x＝1,ｘ=２及x轴所成的图形的面积。
这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质３积分的上、下限对换则定积分变号，即
以上性质用定积分的定义及牛顿－莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
性质4如果将区间 分成两个子区间 及 那么有
这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义,对性质４加以说明。
当a<c<ｂ时,从图5－13ａ可知,由y＝f 与和ｘ=ａx=b及x轴围成的曲边梯形面积 :
例1计算
因为 是 的一个原函数所以
例２求曲线 和直线ｘ=０、x= 及ｙ=0所围成图形面积Ａ(５-１2)
解这个图形的面积为
图5-12
二、定积分的性质
设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质:
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成n 个小区间，小区间的长度在每个小区间上任取一点作乘积，求和取极限：则面积取极限其中，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在内插入若干分点将其分成n 个小区间，小区间长度，。
任取，做求和取极限：则路程取极限定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点将分成n 个小区间，其长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积，并求和，记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即，（*）其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。
叫积分和式。
说明：1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间可积，（1）在区间上连续，则在可积。
（2）在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以3.规定时 ,在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积；在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）设可积性质1性质2性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有性质4性质5 如果在区间上，，则推论性质6 （定积分的估值）设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则性质7 （定积分中值定理）如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，使成立例2 比较下面两个积分的大小与解设，在（0，1）内，单调增当时，有，即由性质5，例3估计积分的值解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。
定积分的性质和基本定理
第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。
因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效§2.1一、定积分的基本性质 性质 1b a1dx=∫b adx=b-a证 0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ＝lim →λ∑=n1i １·Δx i ＝0lim →λ(b-a)=b-aba 1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ba f(x)dx+β∫b ag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),lim →λ∑=n1i F(ξi ）Δx i ＝0lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］Δxi ＝0lim →λ［α∑=n1i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n1i g(ξi ）Δxi＝αbaf(x)dx+β∫bag(x)dxαf(x)+βg(x)在［a,bba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b ag(x)dx特别当α=1,β=±1ba ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫b ag(x)dx当β=0ba αf(x)dx=α∫b af(x)dx性质 2性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意b af(x)dx=∫c a f(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c(i)当a<c<b ，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b ］时，可以让点C是一个固定的b af(x)dx= 0lim →λ∑],[b a f(ξi ）Δx i∑],[c a＝0lim →λ［∑],[c a f(ξi ）Δx i ＋∑],[b c f(ξi )Δxi＝0lim →λ∑],[c a f(ξi )Δx i ＋0lim →λ∑],[b c f(ξi ）Δxica f(x)dx+∫bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)a cf(x)dx=∫bc f(x)dx+∫abf(x)dx-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b af(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b cf(x)dx 对于其它4种位置与(ii)性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。
第一节定积分的概念,第二节定积分的性质
证: 当 a c b时,
a
因在
上可积 ,
cb
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
f ( i )xi f ( i )xi f ( i )xi
[a, b]
[a, c]
[c, b]
令 0
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
y
y x2
lim
n
1 3
o
i 1x
n
例2. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
np
解:
(1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
n
lim
n i1
1 i 1 nn
x i
证
b
n
[ f (x) g(x)]dx
a n
lim
0
i 1
[
f
(i )
g(i )]xi
n
此性质可 以推广到
lim 0
i 1
f (i )xi
lim 0
i 1
g(i )xi
有限多个
b
b
a f (x)dx a g(x)dx.
函数代数 和的情况
n
曲边梯形的面积
A lim 0 i1
f ( i )xi
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
定积分的积分公式
定积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念，它是积分的一个重要分支。
与不定积分不同，定积分涉及到一个积分区间，并在这个区间上对函数进行积分。
定积分具有广泛的应用，特别是在求解面积、体积、弧长、功等实际问题中。
下面将详细介绍定积分的积分公式及其相关知识。
一、定积分的基本概念定积分是对一个函数在一个区间上的积分，它的结果是一个实数。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在这个区间上可积，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a, b] f(x) dx其中，∫表示积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
定积分的值与被积函数、积分区间以及积分变量的选取有关。
二、定积分的积分公式定积分的积分公式是通过原函数或基本积分表来求解定积分的一种方法。
常用的定积分公式包括：1. ∫[a, b] k dx = k(b - a)，其中k为常数。
这个公式表示在一个区间上对常数函数进行积分，积分结果等于常数与区间长度的乘积。
2. ∫[a, b] x^n dx = (1/(n+1)) x^(n+1) |[a, b]，其中n≠-1。
这个公式表示在一个区间上对幂函数进行积分，积分结果等于幂函数的指数加1后的倒数与幂函数在区间端点值的差。
3. ∫[a, b] sin(x) dx = -cos(x) |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对正弦函数进行积分，积分结果等于余弦函数在区间端点值的差。
4. ∫[a, b] cos(x) dx = sin(x) |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对余弦函数进行积分，积分结果等于正弦函数在区间端点值的差。
5. ∫[a, b] e^x dx = e^x |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对指数函数进行积分，积分结果等于指数函数在区间端点值的差。
需要注意的是，这些公式中的|[a, b]表示在区间端点a和b处取函数值并进行相减。
此外，这些公式只是定积分的一部分，对于其他类型的函数，可能需要使用其他方法或技巧进行积分。
定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
定积分运算公式
定积分运算公式定积分运算是微积分中的重要概念，在许多实际问题的求解中具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨定积分运算的公式，并解释其背后的意义和应用。
首先，定积分的基本公式如下：∫(a到b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是被积函数，F(x)是其原函数。
在这个公式中，我们通过求解原函数F(x)在区间[a, b]上的差值来计算被积函数f(x)在同一区间上的定积分。
这个公式的意义在于，定积分可以被视为函数在给定区间上的累积变化量。
也就是说，通过对函数在该区间上的不断累加，我们可以得到函数在该区间上的总变化。
定积分公式的应用非常广泛。
例如，它可以用于计算曲线下的面积、求解物体在给定时间间隔内的位移以及计算动力学等问题。
在计算曲线下的面积方面，我们可以使用定积分来计算曲线与x 轴之间的面积。
通过将曲线分割成无穷小的矩形，在每个矩形上计算面积并进行求和，最终可以得到曲线下的总面积。
在求解物体的位移问题中，我们可以通过对速度函数进行定积分来计算物体在给定时间间隔内的位移。
速度函数表示物体在不同时间点的速度，通过对其进行定积分，我们可以得到物体的位移。
在动力学中，定积分也被广泛应用。
例如，通过计算力在物体上的定积分，我们可以确定物体所受到的总力以及其他与力相关的参数。
除了基本公式外，定积分还有一些其他重要的性质和公式。
例如，定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的定积分等于两个函数分别的定积分的和或差。
另外，定积分还满足区间可加性。
如果一个函数在区间[a, b]上可积，那么它在[a, c]和[c, b]上的定积分之和等于它在整个区间上的定积分。
这个性质在进行复杂的积分计算时非常有用。
最后，我们还需要注意定积分的区间选择。
当我们选择不同的区间时，定积分的结果也会发生变化。
因此，在进行定积分计算时，我们需要根据具体问题选择适当的区间。
综上所述，定积分运算是微积分中重要的概念之一。
通过定积分公式的应用，我们可以计算曲线下的面积、解决物体位移以及研究动力学问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节 定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的任一点，于是，()x f 在区间[]b a ,上的定积分为()dx x f xa ⎰ 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 ()dt t f x a ⎰ 如果上限x 在区[]b a ,间上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在[]b a ,上定义了一个以x 为自变量的函数()x ϕ，我们把()x ϕ称为函数()x f 在区间[]b a ,上变上限函数记为()()()b x a dt t f x x a ≤≤=⎰ϕ从几何上看，也很显然。
因为X 是[]b a ,上一个动点，从而以线段[]b a ,为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度()()()0〉t v t v 作直线运动，那么在时间区间[]b a ,上所经过的路程s 为()dt t v s b a ⎰=另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数()t s ，那么物体从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）即 ()()()a s b s dt t v ba -=⎰ 由导数的物理意义可知：()()t v t s ='即()t s 是()t v 一个原函数，因此，为了求出定积分()dt t v ba ⎰，应先求出被积函数()t v 的原函数()t s ，再求()t s 在区间[]b a ,上的增量()()b s a s -即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分()dx x f ba ⎰的一般方法： 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，()x F 是()x f 的一个原函数，即()()x f x F ='，图 5-10 图5-11则()()()a F b F dx x f ba-=⎰ 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成 ()()[]()()a F b F x F dx x f b a b a -==⎰牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算dx x ⎰102 因为331x 是2x 的一个原函数所以3103131103102=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x dx x 例2 求曲线x y sin =和直线x=0、x=π及y=0所围成图形面积A(5-12)解 这个图形的面积为[]ππ00cos sin x xdx A -==⎰2110c o s c o s =+=+-=π二、定积分的性质 设()x f 、()x g 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质 1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即()()dx x f A dx x Af ba ba ⎰⎰=(A 为常数)性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即 ()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰±=± 这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即()()dx x f dx x f ab b a ⎰⎰-= 以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
性质4 如果将区间[]b a ,分成两个子区间[]c a ,及[]b c ,那么有()()()dx x f dx x f dx x f b cc a b a ⎰⎰⎰+=这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。
当a<c<b 时，从图5-13a 可知，由y=f ()x 与和x=a x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积A :A A A 21+= 图 5-12 图 5-13a因为⎰⎰⎰===bc ca b a dxx f A dx x f A dx x f A )(;)(;)(21所以⎰⎰⎰+=bc c a b a dxx f x f dx x f )()()(即性质4成立。
当a<b<c 时，即点c 在[]b a ,外，由图5-13b 可知，()()()dx x f dx x f A A dx x f cb b ac a ⎰⎰⎰+=+=21()()()()()dxx f x f dxx f dx x f x f bc c a c b ca b a ⎰⎰⎰⎰⎰+=-=所以显然，性质4也成立。
总之，不论c 点在[]b a ,内还是[]b a ,外，性质4总是成立的。
例3 求dxx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+21213[][]2ln 71ln 2ln 18ln 13132121321212212+=-+-=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰x x dxx dx x dx x x例 4 求dx x2sin 2202⎰π解 dx x 2sin 2202⎰π=()dx x ⎰-20cos 1π[][]120sin 2sin 2sin cos 20202020-=+-=-=-=⎰⎰πππππππx x dx x dx例 5 求dx x x ⎰+10221解 图5-13b()41a r c t a n 11111111010210221022π-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+=+⎰⎰⎰x x dx x dxx x dx x x 所以[]()252212121202012200121=+=+-=+-=---⎰⎰⎰x x x d xdx x dx x 例 6 求dx x ⎰-21 解 (){2001≤≤〈≤--==x x x x x x f 于是， ⎰⎰⎰--+-=012021xdx xdx dx x2020122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-x x25221=+=例 7 设 ()1121112≤≤-≤〈-⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 求()dx x f ⎰-21解 因为 ()[]上分段连续在2,1-x f所以()()()dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+=--211121=()dx x dx x ⎰⎰+--2121111 =2111212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x x =23- 例8 火车以v=72km/h 的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。
设火车以加速度a=-5m/2s 刹车。
问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。
当 时火车速度s m s m h km v /203600100072/720=⨯==刹车后火车减速行驶。
其速度为()t at v t v 5200-=-=当火车停住时，速度()0=t v ，故从()0520=-=t t v 解得s s m s m t 4/5/202==于是在这段时间内，火车走过的距离为 ()()40240402520520⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰t t dt t dt t v s=mm402454202=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯即在刹车后，火车需走过40m才能停住。
习题5-2 1 求下列定积分：（1）dxx⎰--2121211(2)；dxxx⎰⎪⎭⎫⎝⎛+2121(3)dxx⎰+331211(4)()dxxx⎰+πsincos(5)dxxx⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+321（6）tdt⎰-222cosππ(7)dxxxx⎰-+++12241133(8)dxxxx⎰+20sincos2cosπ(9)dxxx⎰3622cossin1ππ(10)dxx⎰π0sin(11)设(){()⎰-≤≤-≤〈-=2121111,2dxxfxf xxxx求2.求由2xy=与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。
3.一物体由静止出发沿直线运动，速度为23tv=，其中,v以m/s单位，求物体在1s到2s之间走过的路程。