南开大学本科数学课程教学大纲

第三章 不定积分 熟练运用基本公式和基本法则计算各种不定积分。（讲授参考课时：12 课时； 习题课参考课时：6 课时）
第一节 不定积分的概念和基本性质（讲授参考课时：4 课时；习题课参考课时：2 课时） §3.1.1 不定积分的概念和基本性质 原函数，被积函数，不定积分，基本积分公式，不定积分的基本法则及其例子。
第二学期 总学时：68 学时；习题课时：34 课时
第五章 空间解析几何和矢量代数 了解空间直角坐标系的基本概念，理解矢量的定义，熟练掌握矢量的三种基本 运算。了解曲面与方程的关系，熟练运用直线和平面方程计算相互距离和夹角， 了解简单二次曲面的形状。 （讲授参考课时：12 课时；习题课参考课时：8 课时） 第一节 空间直角坐标系（讲授参考课时：2 课时；习题课参考课时：1 课时） §5.1.1 空间直角坐标系 坐标面，卦限，点的坐标，两点间距离，相关例子。
第一节 定积分的基本概念和计算（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课时） §4.1.1 定积分的应用背景 定积分与曲边梯形的面积的关系， 定积分与路程的关系， 定积分与电量的关系。 §4.1.2 定积分的定义和可积准则 定积分的定义，上和与下和，振幅，两个可积准则，三类可积函数（以上证明 均为选讲内容）。 §4.1.3 定积分的性质 定积分的线性性，定积分的可积区间的可加性，定积分的保序性，积分中值定 理，积分平均值，相关例子。 §4.1.4 定积分与不定积分的关系 原函数存在定理，牛顿-莱布尼兹公式，相关例子。 §4.1.5 定积分的计算 定积分的换元法，定积分的分部积分法。*选讲内容：定积分的近似计算。
第二节 微分（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课时） §2.2.1 微分的概念 微分的定义，可微与可导的关系，相关例子，微分的几何含义。 §2.2.2 微分公式和运算法则
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常见初等函数的微分公式，微分的四则运算，复合函数的微分，微分的形式不 变性，相关例子。 §2.2.3 高阶微分 高阶微分的定义及其例子，高阶微分不具有形式不变性。 §2.2.4*选讲内容：微分在近似计算中的应用 函数的近似计算，误差估计。
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三矢量共面的充要条件。
第三节 空间中的平面和直线（讲授参考课时：3 课时；习题课参考课时：2 课时） §5.3.1 空间中的平面 平面的法矢量，平面的一般方程，平面的截距式方程，平面的法式方程，点到 平面的距离，两平面的关系，相关例子。 §5.3.2 空间中的直线 直线的方向矢量，直线的参数方程，直线的标准方程，直线的联立方程，两直 线的关系，两直线的夹角，点到直线的距离，直线与平面的关系，相关例子。
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介值性、一致连续性（证明为选讲内容）。 §6.1.4 偏导数 二元函数偏导数的定义， 二元函数偏导数的几何意义， 二元函数的高阶偏导数， 高阶偏导与顺序无关的条件定理，相关例子。 §6.1.5 全微分 全微分的定义，可微与连续和偏导的关系，可微的充分条件，相关例子。选讲 内容：偏导数在近似计算中的应用。 §6.1.5 复合函数微分法 链式法则及相关例子。 §6.1.5 隐函数微分法 隐函数存在及微分与雅可比行列式关系定理，隐函数微分求法，相关例子。
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第二节 积分法（讲授参考课时：8 课时；习题课参考课时：4 课时） §3.2.1 换元法 第一换元法，第二换元法，三角变换。 §3.2.2 分部积分法 分部积分法及其常见类型。 §3.2.3 常见类型的积分法 有理函数的积分，三角函数有理式的积分，简单无理函数的积分。
第四章 定积分 了解定积分的几何背景， 它与微分的联系， 熟练计算定积分。 （讲授参考课时： 10 课时；习题课参考课时：5 课时）
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第三节 连续函数（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课时） §1.3.1 函数连续的概念 函数的增量，函数在一点连续、左连续、右连续的ε -δ 定义及其例子。 §1.3.2 函数的间断点 函数的第一类间断点，函数的第二类间断点，函数的可去间断点，相关例子。 §1.3.3 在闭区间上连续函数的性质 在闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性，一致连续性，零点定理，相 关例子。以上性质的所有证明均为选讲内容。 §1.3.4 初等函数的连续性 连续函数关于四则运算、复合、取反函数的不变性，基本初等函数的连续性的 ε -δ 证明，初等函数的连续性。*选讲内容：双曲函数。 第二章 微分学 了解导数和微分产生的背景及其实质，熟练掌握导数和微分的运算。熟练运用 中值定理。 （讲授参考课时：20 课时；习题课参考课时：10 课时） 第一节 导数（讲授参考课时：8 课时；习题课参考课时：4 课时） §2.1.1 导数的概念 平均变化率实例，导数、左导数、右导数的定义及其例子，导数的几何意义， 可导与连续的关系及其例子。 §2.1.2 导数的基本公式和运算法则 基本初等函数的导数，导数的四则运算及其例子。 §2.1.3 复合函数和反函数的导数 复合函数和反函数的导数及其例子。 §2.1.4 隐函数的导数 隐函数的导数，对数求导法，相关例子，常见函数导数表。 §2.1.5 高阶导数 高阶导数的定义，莱布尼兹公式。 §2.1.6 由参数方程所确定函数的导数 由参数方程所确定函数的导数和高阶导数， 极坐标表示的函数的导数及高阶导 数。 §2.1.7*选讲内容：连续和可导的关系 连续不一定可导，处处可导导函数也不一定连续。
第三节 中值定理和导数的应用（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课 时） §2.3.1 中值定理 费尔马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理及其应用实例，柯西中值定理。 §2.3.2 洛必达法则 无穷小比无穷小型的洛必达法则，无穷大比无穷大型的洛必达法则，其它不定 型的洛必达法则，相关例子。 §2.3.3 泰勒公式 泰勒公式和麦克劳林公式，在求极限中的应用。 §2.3.4 导数的应用 函数的单调性和导函数的关系，函数的凸凹性和二阶导函数的关系，函数的极 值和导数的关系，第一判别法，第二判别法，求函数的最值，函数的渐进线，相 关例子。*选讲内容：函数作图，曲线的曲率和曲率半径，导数在电路计算中的应 用，方程的近似解。
第一节 多元函数（讲授参考课时：8 课时；习题课参考课时：4 课时） §6.1.1 二元函数的概念 邻域，开集，闭集，开区域，闭区域，二元函数的定义，二元函数的定义域， 二元函数的值域 §6.1.2 二元函数的极限 二元函数的ε -δ 极限，二元函数的二重极限，二元函数的二次极限，两者的 关系，二元函数极限的四则运算法则，相关例子。 §6.1.3 二元函数的连续 二元函数连续的ε -δ 定义，二元函数的间断点，相关例子。二元函数连续性 在复合函数的作用下的不变性，有界闭区域上连续二元函数的有界性、最值性、
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课程内容及学时分配：
第一学期 总学时：68 学时；习题课时：34 课时
第一章 函数与极限 从笛卡儿直角坐标系和集合两个方面去理解函数的概念， 从理论和形象上认识 现实世界中变量之间的依存关系。掌握极限的概念，熟练运用极限的性质和判别 准则由基本极限计算初等函数的一般极限。 （讲授参考课时：16 课时；习题课参考 课时：8 课时） 第一节 函数（讲授参考课时：4 课时；习题课参考课时：2 课时） §1.1.1 函数的基本概念 函数的概念，函数的定义域，函数的值域，函数的表示法。 §1.1.2 函数的基本特性 函数的单调性，函数的有界性，函数的奇偶性，函数的周期性，最小周期。 §1.1.3 复合函数和反函数 函数的复合，反函数。 §1.1.4 初等函数 基本初等函数及其大概图形，初等函数。 第二节 极限（讲授参考课时：6 课时；习题课参考课时：3 课时） §1.2.1 数列的极限 数列极限的ε -N 定义，基本极限的ε -N 定义的证明。 §1.2.2 数列的极限的性质 数列极限的唯一性、有界性、保序性，数列极限的四则运算法则及其例子。 §1.2.3 数列的收敛判别法 两边夹定理，单调有界收敛定理，柯西收敛准则，相关例子。*选讲内容：有 界必有确界定理，闭区间套定理，紧致性定理及其与柯西收敛准则的等价性。 §1.2.4 函数的极限 自变量趋于无穷大时的函数的ε -M 极限，自变量趋于一点时的函数的ε -δ 极 限，函数的单侧极限，函数极限与单侧极限的关系，相关例子。 §1.2.5 函数极限的性质 函数极限的唯一性、有界性、保序性，函数极限的四则运算法则，相关例子。 *选讲内容：海涅定理。 §1.2.6 函数极限存在的判别准则 两边夹定理，两个基本极限，柯西收敛准则，相关例子。 §1.2.6 无穷小量和无穷大量 无穷小量，无穷大量，无穷小量和无穷大量的关系，函数极限的无穷小量的表 示，无穷小量关于加、减和乘的性质，无穷小量的同阶和无穷小量的等价，相关 例子。
南开大学 本科课程教学大纲
课程名称： 英文ced Mathematics
号：1010510051 1010510052 1010510053 数学科学学院 2006 年 3 月 30 日
所 属 院： 日 期：
第一学期 6 学时 总 第一学期 5 280 周学时 第二学期 6 学时 学 学分 第二学期 5 第三学期 4 学时 时 第三学期 4 教学类 主讲：第一学期 4 学时 习题课：第一学期 2 学时 型及学 第二学期 4 学时 第二学期 2 学时 时数 第三学期 4 学时 教学对象（本课程适合的专业和年级） ： 适用于物理学院各专业大学本科一、二年级学生。 预备知识： 初等数学的基础知识，包括初等几何，函数，三角函数，直角坐 标系等。 课程在教学计划中的地位作用： 本课程是物理系的基础课程，为一年级必修课程。 课程的教学目的和要求（注明考核方式和考核要求） ： 物理电子类的高等数学是属于二类高等数学课程。要求学生通过 三个学期的学习，理解极限与连续、导数与微分、偏导数与全微分、 不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分与曲面积分等重 要概念。学会并掌握极限、导数与微分、偏导数与全微分、不定积分、 定积分、二重积分、三重积分、曲线积分与曲面积分等的计算方法与 技巧。学会解一阶与二阶常微分方程。能够熟练地运用微分（导数） 理论与积分理论、常微分方程理论等解决一些实际问题。初步掌握线 性代数知识，包括矩阵、行列式、线性方程组、线性空间与内积空间、 二次型等。掌握级数理论和广义积分，参变量积分理论。进一步提高 数学的运算能力，培养良好的数学理解能力和分析问题解决问题的能 力，养成良好的思维习惯与品质，为以后的进一步学习打下坚实的基 础。 考核方式为平时+期末考试。 该课程为全校统考课程，第一年实行考教分离。第三学期为任课 教师集体命题。 三个学期阅卷工作为统一标准集体流水阅卷。