离散数学课件16.1-2无向树和生成树
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离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
《离散数学》课件-第16章树
解：易见所求为该图的一棵最小生成树，如图所示 总造价为57
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
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16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散数学生成树
离散数学生成树一、引言离散数学是数学的一个分支，它研究的是不连续的、离散的数学结构。
生成树是离散数学中的一个重要概念，它在图论中有着广泛的应用。
本文将介绍生成树的定义、性质以及应用领域。
二、生成树的定义在图论中，生成树是指包含图中所有顶点的一个连通子图，并且该子图是一个树。
换句话说，生成树是从图中选择一些边，构成一个没有回路的子图，同时保持图的连通性。
三、生成树的性质1. 生成树的边数等于顶点数减一。
这个性质可以通过数学归纳法证明。
假设一个图有n个顶点，那么它的生成树一定有n-1条边。
2. 生成树是连通图的最小连通子图。
也就是说，对于一个连通图来说，它的生成树是包含所有顶点的子图中边数最少的一个。
3. 生成树中任意两个顶点之间都是互联的。
也就是说，生成树中任意两个顶点之间存在且仅存在一条路径，这个路径就是生成树中的边。
四、生成树的应用生成树在计算机科学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 网络设计：生成树可以用于设计计算机网络中的最优传输路径，以提高网络的稳定性和可靠性。
2. 电力传输：生成树可以用于规划电力传输网络，以确保电力的高效传输和供应。
3. 数据压缩：生成树可以用于数据压缩算法中，通过构建最优编码树来减少数据的存储空间。
4. 优化问题：生成树可以用于解决一些优化问题，比如旅行商问题中的最短路径搜索。
5. 连接关系：生成树可以用于分析社交网络、物流网络等复杂系统中的连接关系。
五、总结生成树作为离散数学中的重要概念，在图论和计算机科学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于网络设计和电力传输等实际问题，还可以用于解决优化问题和分析复杂系统中的连接关系。
通过对生成树的研究和应用，我们可以更好地理解和优化各种实际问题。
生成树的定义和性质使得它成为离散数学中的重要研究对象。
希望本文对读者理解生成树的概念和应用有所帮助。
离散数学PPT课件 5树与生成树(ppt文档)
(b)
4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
5.与树定义等价的几个命题
定理8-9.1给定图T,以下关于树的定义是等价的.
⑴无回路的连通图.
⑵无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的结点数.
⑶连通的且e=v-1.
⑷无回路但添加一条新边则得到一条仅有的回路.
⑸连通的,但删去任一条边,T便不连通.
v2 71
2 3 2
v3 51
v1 8 v8 7 v5 3 v4
4 2 v7 4
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: 43;1
⑹每对结点之间有一条且仅有一条路.
证明:⑴⑵:已知T是连通无回路图,通过不断地增加T中
的结点数,归纳证明.
当 v=2时, T如右图所示,e=1 显然e=v-1.
以后对T在保证连通又无回路的前提下每增加一个结点,
也增加一条边. 设最后T有v个结点e条边, 所以 e=v-1.
⑵⑶: 已知T是无回路的,且e=v-1.(推出T是连通的) 假设T不是连通的,设T有k个连通分支, T1,T2,...,Tk,(k≥2) 因为它的每个连通分支都是连通无回路的,所以都是树, 设Ti有结点数vi,边数ei, 所以边数 ei =vi-1 设T有v个结点,e条边. 所以
边 e78 e56 e35 e46 e67 e58 e12 e18
权4 4 5 6 6 7 7 8
v2
2 3
7 12
v3 51
v1 8 v8 7 v5 3 v4
离散数学 树(思维导图)
树
1
无向树:连通且不含任何简单回路的无向图称为无向树,简称树。
树中度数为1的顶点称为叶子，度数大于1的顶点称为分枝点
2
树的相关性质
定理1 : 设n(n≥2)阶无向连通图G的边数满足m=n-1,则图G中至少存在两个度数为
1的顶点
定理2 : 设T是(n，m)-无向图，则下述命题相互等价
1.T是树，即T连通且不存在简单回路
2.T的每一对相异顶点之间存在唯一的简单道路
3.T不存在简单回路，但在任何两个不相邻的顶点之间加一条新边后得到的图中存
在简单回路。
(也称作“极大无圈”)
4.T连通，但是删去任何一边后便不再连通，即T 中每一条边都是桥。
(也称作“极
小连通")
5.T是树，即T连通且不存在简单回路
6.T连通且m=n-1
7.T不存在简单回路且m=n-1
定理3 : 无向树都是平面图。
定理4 : 假设无向树T中有aᵢ个度数为i的顶点，aᵢ则T的叶子数为\sum \limits
_{i=3}(i-2) \times a_{i}+2
生成树 : 若连通图G的支撑子图T是一棵树，则称T为G的生成树
或支撑树 一个连通图可以有多个不同的支撑树。
最小生成树 : 给定一个无向连通赋权图，该图所有支撑树中各
边权值之和最小者称为这个图的最小支撑树。
kruskal算法
备注：
1. 根据这个定义，一阶简单图K₁也是树，称作平凡树,它是一个既无叶子又无分枝点的特殊树 由定义可知，树必定是不含重边和自环的，即树一定是简单图。
不含任何简单回路的图称为森林(显然，森林的每个连通分支都是树
2. 无向,连通,m=n-1。
离散数学-树
该n元有序树又称n元位置树。2元位置树各分支结点 的左右儿子分别称为左儿子和右儿子。
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学 16章
3/7/2011 8:48 AM Discrete Math. , huang liujia 4
CHAPTER Fourteen
先证G中无回路 中无回路。 中存在某个结点v上的环 ②⇒③ 先证 中无回路。若G中存在某个结点 上的环， 中存在某个结点 上的环， 存在一条路L ∀u∈V，由条件知 到v存在一条路 1：u…v， ∈ ，由条件知u到 存在一条路 ， 有另一条路L 则u到v有另一条路 2：u…vv，矛盾。 到 有另一条路 ，矛盾。 中存在长度大于等于2的一条回路 若G中存在长度大于等于 的一条回路，则回路上两个结点之间存 中存在长度大于等于 的一条回路， 在不同的路, 矛盾。所以G中无回路 中无回路。 在不同的路 矛盾。所以 中无回路。 以下用归纳法证明m=n–1。 。 以下用归纳法证明 为平凡图， 当n=1时，G为平凡图，m=0=1–1=n–1。结论成立。 时 为平凡图 。结论成立。 设n≤k时，结论成立。下证 时 结论成立。下证n=k+1时，结论也成立。 时 结论也成立。 中的一条边， 中无回路， 设e=(u,v)是G中的一条边，由于 中无回路，所以 e有两个连 是 中的一条边 由于G中无回路 所以G- 通分支G 设它们的结点数和边数分别为： 通分支 1和G2，设它们的结点数和边数分别为：n1，m1和n2，m2。 于是有n 和 于是有 1≤k和n2≤k，由归纳假设知：m1=n1–1和m2=n2-1， ，由归纳假设知： 和 ， m=m1＋m2＋1=n1-1＋n2-1＋1=n-1。 ＋ ＋ 。
3/7/2011 8:48 AM
Discrete Math. , huang liujia
8
例题
CHAPTER Fourteen
已知无向树T有 片树叶 度与 度顶点各1个 片树叶, 度与3度顶点各 例2 已知无向树 有5片树叶 2度与 度顶点各 个, 其余顶点的度 数均为4. 求T的阶数 并画出满足要求的所有非同构的无向树. 数均为 的阶数n, 并画出满足要求的所有非同构的无向树 的阶数 的阶数为n, 度顶点的个数为n− 解 设T的阶数为 则边数为 −1, 4度顶点的个数为 −7. 由握手定 的阶数为 则边数为n− 度顶点的个数为 理得 2m=2(n−1)=5×1+2×1+3×1+4(n−7) − × × × − 解出n=8, 4度顶点为 个. 度顶点为1个 解出 度顶点为 T的度数列为 的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4 的度数列为 有3棵非同构的无向树 棵非同构的无向树
CHAPTER Fourteen
先证G中无回路 中无回路。 中存在某个结点v上的环 ②⇒③ 先证 中无回路。若G中存在某个结点 上的环， 中存在某个结点 上的环， 存在一条路L ∀u∈V，由条件知 到v存在一条路 1：u…v， ∈ ，由条件知u到 存在一条路 ， 有另一条路L 则u到v有另一条路 2：u…vv，矛盾。 到 有另一条路 ，矛盾。 中存在长度大于等于2的一条回路 若G中存在长度大于等于 的一条回路，则回路上两个结点之间存 中存在长度大于等于 的一条回路， 在不同的路, 矛盾。所以G中无回路 中无回路。 在不同的路 矛盾。所以 中无回路。 以下用归纳法证明m=n–1。 。 以下用归纳法证明 为平凡图， 当n=1时，G为平凡图，m=0=1–1=n–1。结论成立。 时 为平凡图 。结论成立。 设n≤k时，结论成立。下证 时 结论成立。下证n=k+1时，结论也成立。 时 结论也成立。 中的一条边， 中无回路， 设e=(u,v)是G中的一条边，由于 中无回路，所以 e有两个连 是 中的一条边 由于G中无回路 所以G- 通分支G 设它们的结点数和边数分别为： 通分支 1和G2，设它们的结点数和边数分别为：n1，m1和n2，m2。 于是有n 和 于是有 1≤k和n2≤k，由归纳假设知：m1=n1–1和m2=n2-1， ，由归纳假设知： 和 ， m=m1＋m2＋1=n1-1＋n2-1＋1=n-1。 ＋ ＋ 。
3/7/2011 8:48 AM
Discrete Math. , huang liujia
8
例题
CHAPTER Fourteen
已知无向树T有 片树叶 度与 度顶点各1个 片树叶, 度与3度顶点各 例2 已知无向树 有5片树叶 2度与 度顶点各 个, 其余顶点的度 数均为4. 求T的阶数 并画出满足要求的所有非同构的无向树. 数均为 的阶数n, 并画出满足要求的所有非同构的无向树 的阶数 的阶数为n, 度顶点的个数为n− 解 设T的阶数为 则边数为 −1, 4度顶点的个数为 −7. 由握手定 的阶数为 则边数为n− 度顶点的个数为 理得 2m=2(n−1)=5×1+2×1+3×1+4(n−7) − × × × − 解出n=8, 4度顶点为 个. 度顶点为1个 解出 度顶点为 T的度数列为 的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4 的度数列为 有3棵非同构的无向树 棵非同构的无向树
离散数学 树共38页
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
离散数学 树
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
无向树及生成树
一、无向树及其性质
1、 无向树 定义 5-17:不包括回路的无向连通图称为无向树， 简称树,记为 T . （1）两棵以上的图称为森林。 （2）设 T 是树，则 T 的边称为树枝。 （3）树中度数为 1 的结点，称为树叶。 （4）树中度数大于等于 2 的结点称为分支点。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 1 设 v1 , v 2 是 T 的两个不同结点， 则连接 v1 , v 2 有 且仅有一条通路，而且这条通路是初级通路。 性质 2 设 v1 , v 2 是 T 的两个结点， 如果 v1 , v 2 不邻接， 则在 T 中添加边 v1 , v 2 后所得的图有且仅有一条回 路，而且这条回路是初级回路。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 3 树中任意删除一条边后所得的图是不连通 的。 性质 4 设 T 是 (n, m) 树，则 m n 1。 性质 5 设树 T 的结点数为 n(n 2) ，则至少两片树 叶。
一、无向树及其性质
2、 树的性质
例 5-7：设树 T 中有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余 都是 4 度结点，问: T 中有几个 4 度结点？ 例 5-8．设树 T 中有 1 个 3 度结点，2 个 2 度结点， 其余结点都是树叶，问 T 中有几片树叶？ 例 5-9 画出所有 6 个顶点非同构的无向树。
e1 , e2 ,, em ，它们带的权分别为 a1 , a2 ,, am ，不妨
设 a1 a2 am （1） 一开始取权最小的边 e1 ， 且 w(e1 ) a1 ， 取
e1 在 T 中。
三、求最小生成权的克鲁斯科尔算法
（ 2）若 e2 不与 e1 构成回路，将 e2 添加在 T 中，否 则放弃 e2 ，再查 e 3 ，继续这一过程，直到得到的子 图就是所求的一棵最小生成树 T 为止。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学——树ppt课件
4
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。
存在性。 由G的连通性及定理14.5的推论（在n阶图G中，若从顶点vi到 vj(vivj)存在通路，则vi到vj 一定存在长度小于等于n-1的初级 通路(路径)）可知，
u,v∈V，u与v之间存在路径。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
ij，i, j互不为前缀，则称A为前缀码。
若i(i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称A为二元前缀码。 (2)如何产生二元前缀码？ 定理16.6 由一棵给定的2叉正则树，可以产生唯一的一个二元前缀
码。
35
方法：
将每个分支点引出的两条边分别标上0和1。
结果：
图所示树产生的前缀码为{00, 10, 11, 011, 0100, 0101}。
r叉完全正则有序树——r叉完全正则树是有序的
30
最优二叉树
定义16.9 设2叉树T有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2,
t
…, wt，称 W (t) wil(vi ) 为T的权，其中l(vi)是vi的层数， i 1
在所有有t片树叶、带权w1, w2, …, wt的2叉树中，权最小的 2叉树称为最优2叉树。
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个 顶点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
15
例16.2
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。
存在性。 由G的连通性及定理14.5的推论（在n阶图G中，若从顶点vi到 vj(vivj)存在通路，则vi到vj 一定存在长度小于等于n-1的初级 通路(路径)）可知，
u,v∈V，u与v之间存在路径。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
ij，i, j互不为前缀，则称A为前缀码。
若i(i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称A为二元前缀码。 (2)如何产生二元前缀码？ 定理16.6 由一棵给定的2叉正则树，可以产生唯一的一个二元前缀
码。
35
方法：
将每个分支点引出的两条边分别标上0和1。
结果：
图所示树产生的前缀码为{00, 10, 11, 011, 0100, 0101}。
r叉完全正则有序树——r叉完全正则树是有序的
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最优二叉树
定义16.9 设2叉树T有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2,
t
…, wt，称 W (t) wil(vi ) 为T的权，其中l(vi)是vi的层数， i 1
在所有有t片树叶、带权w1, w2, …, wt的2叉树中，权最小的 2叉树称为最优2叉树。
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个 顶点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
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例16.2
无向树及生成树PPT文档59页
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
无向树及生成树
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
离散数学第十六章课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
Sc={c,f,h}
g
h
i
Sd={d,h,i}
Se={e,f,i}
基本割集系统为：{Sa , Sb , Sc , Sd , Se}
割集秩为5.
14
实例
例 下图实线边所示为生成树，求基本回路系统与基本割集系统
解 弦e, f, g相应旳基本回路分别为 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d, C基={Ce, Cf, Cg}.
所求最小生成树如 图所示，W(T)=38.
17
16.3 根树及其应用
定义16.6 有向树T ——基图为无向树旳有向图。 (1) T 为根树——T 中一种顶点入度为0，其他顶点入度均为1
旳有向树. (2) 树根——入度为0旳顶点 (3) 树叶——入度为1，出度为0旳顶点 (4) 内点——入度为1，出度不为0旳顶点 (5) 分支点——树根与内点旳总称 (6) 顶点v旳层数——从树根到任意顶点v旳途径旳长度（即
途径中旳边数） (7) 树高——T 中全部顶点旳最大层数 (8) 平凡根树——平凡图
18
根树实例
根树旳画法:树根放上方,省去全部有向边上旳箭头 如右图所示
a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4
6
子图
定义14.8 G=<V,E>, G =<V ,E >
(1) G G —— G 为G旳子图，G为G 旳母图
(2) 若G G且V =V，则称G 为G旳生成子图
(3) 若V V或E E，称G 为G旳真子图
(4) V （V V且V
）旳导出子图，记作G[V ]
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由定理9.1可知m＝n-1,将此结果代入 上式经过整理得k≥2,这说明T至少有 2片树叶.
生成树
❖ 设G＝<V,E>是无向连通图,T是G的 生成子图,并且T是树,则称T是G的生 成树.
❖ G在T中的边称为T的树枝, ❖ G不在T中的边称为T的弦. ❖ T的所有弦的集合的导出子图称为T
的余树.
(2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T 的余树,注意余树不一定是树.
定理 任何连通图G至少存在一棵生成 树.
推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1.
推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T 是G的生成树,T'是T的余树,则T'中有 m-n+1条边.
图
基本回路
在图中,实边所示的子图是图G的一 棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦 c,产生G的一个初级回路cef.这3 个回路中每一个回路都只含一条 弦,其余的边都是树枝,这样的回 路称为基本回路.
定义 设T是n阶连通图G=<V,E>的 一棵生成树,称T的n-1个树枝对应的 G的n-1个割集(每个割集只含一个 树枝,其余的边都是弦)S1,S2,···,Sn-1 为对应生成树T的G的基本割集,称 {S1,S2,···,Sn-1}为对应生成树T的基 本割集系统.
对一个n阶连通图G来说,对应 不同的生成树的基本割集可能 不一样,但基本割集的个数必为 n-1个,这也是G的固有特性.
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割 集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
基本割集系统为{Sa, Sb, Sc, Sd, Se}.
定义 设无向连通带权图
G=<V,E,W>,T是G的一棵生成 树.T各边带权之和称为T的权, 记作W(T).G的所有生成树中带 权最小的生成树称为最小生成 树.
定理 树的判定定理
❖ 设G＝<V,E>,则下面各命题是等价的: (1)G连通而不含回路; (2)G的每对顶点之间具有唯一的一条
路径; (3)G是连通的且n＝m+1; (4)G中无回路且n＝m+1;
(5)G中无回路,但在G中任两个不相邻的顶 点之间增加一条边,就形成唯一的一条初级 回路;
(6)G是连通的且G中每条边都是桥;
第十六章 Tree
1. 无向树和生成树 2. 根树
树
❖ 连通而不含回路的无向图称为无 向树,简称树,常用T表示树.
❖ 连通分支数大于等于2,且每个连 通分支均是树的非连通无向图称 为森林.
❖ 平凡图称为平凡树.Fra bibliotek树叶❖ 设T＝<V,E>为一棵无向 树,v∈V,若d(v)＝1,则称v为T的 树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
Kruskal算法
设n阶无向连通带权图G=<V,E,W> 中有m条边e1,e2···,em,它们带的权 分别为a1,a2,…am,不妨设 a1≤a2≤…≤am.
(1)取e1在T中(e1非环,若e2为环,则弃
e1);
(2)若e2不与e1构成回路,取e2在T中,否 则弃e2,再查e3,继续这一过程,直到 形成生成树T为止.用以上算法生成 的T是最小生成树.
实边所示的生成树均由避圈法得到 的最小生成树.图(1)中,W(T)=15, 图(2)中,W(T)=23.
基本回路系统
定义 设T是n阶连通图G=<V,E> 的一棵生成树,G有n条边.设 e1,e2···,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回 路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为对应于 弦er的基本回路,称{C1,C2,···,Cmn+1} 为对应生成树T的基本回路系统.
基本割集系统
例 图G中,实线边所构成的子图是 G的一棵生成树T,求T对应的基本 回路和基本回路系统,基本割集和 基本割集系统.
解: G中顶点数n=6,边数m=9,基本回 路个数为m-n+1=4,即T有4条弦 f,g,h,i.对应的基本回路:
Cf=facd; Cg=gba;
Ch=hdcb; Ci=ied. 基本回路系统为{Cf,Cg,Ch,Ci}
(7)G是连通的,但删除任何一条边后,就不 连通了.
❖ 其中n为G中顶点数,m为边数.
定理
❖ 设T＝<V,E>是n阶非平凡的树,则T中至少 有2片树叶.
证明 因为T是非平凡树,所以T中每个顶点的度 数都大于等于1,设有k片树叶,则有(n-k)个顶 点度数大于等于2,由握手定理可知
n
2m d(vi ) k 2(n k), i 1
生成树
❖ 设G＝<V,E>是无向连通图,T是G的 生成子图,并且T是树,则称T是G的生 成树.
❖ G在T中的边称为T的树枝, ❖ G不在T中的边称为T的弦. ❖ T的所有弦的集合的导出子图称为T
的余树.
(2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T 的余树,注意余树不一定是树.
定理 任何连通图G至少存在一棵生成 树.
推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1.
推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T 是G的生成树,T'是T的余树,则T'中有 m-n+1条边.
图
基本回路
在图中,实边所示的子图是图G的一 棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦 c,产生G的一个初级回路cef.这3 个回路中每一个回路都只含一条 弦,其余的边都是树枝,这样的回 路称为基本回路.
定义 设T是n阶连通图G=<V,E>的 一棵生成树,称T的n-1个树枝对应的 G的n-1个割集(每个割集只含一个 树枝,其余的边都是弦)S1,S2,···,Sn-1 为对应生成树T的G的基本割集,称 {S1,S2,···,Sn-1}为对应生成树T的基 本割集系统.
对一个n阶连通图G来说,对应 不同的生成树的基本割集可能 不一样,但基本割集的个数必为 n-1个,这也是G的固有特性.
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割 集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
基本割集系统为{Sa, Sb, Sc, Sd, Se}.
定义 设无向连通带权图
G=<V,E,W>,T是G的一棵生成 树.T各边带权之和称为T的权, 记作W(T).G的所有生成树中带 权最小的生成树称为最小生成 树.
定理 树的判定定理
❖ 设G＝<V,E>,则下面各命题是等价的: (1)G连通而不含回路; (2)G的每对顶点之间具有唯一的一条
路径; (3)G是连通的且n＝m+1; (4)G中无回路且n＝m+1;
(5)G中无回路,但在G中任两个不相邻的顶 点之间增加一条边,就形成唯一的一条初级 回路;
(6)G是连通的且G中每条边都是桥;
第十六章 Tree
1. 无向树和生成树 2. 根树
树
❖ 连通而不含回路的无向图称为无 向树,简称树,常用T表示树.
❖ 连通分支数大于等于2,且每个连 通分支均是树的非连通无向图称 为森林.
❖ 平凡图称为平凡树.Fra bibliotek树叶❖ 设T＝<V,E>为一棵无向 树,v∈V,若d(v)＝1,则称v为T的 树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
Kruskal算法
设n阶无向连通带权图G=<V,E,W> 中有m条边e1,e2···,em,它们带的权 分别为a1,a2,…am,不妨设 a1≤a2≤…≤am.
(1)取e1在T中(e1非环,若e2为环,则弃
e1);
(2)若e2不与e1构成回路,取e2在T中,否 则弃e2,再查e3,继续这一过程,直到 形成生成树T为止.用以上算法生成 的T是最小生成树.
实边所示的生成树均由避圈法得到 的最小生成树.图(1)中,W(T)=15, 图(2)中,W(T)=23.
基本回路系统
定义 设T是n阶连通图G=<V,E> 的一棵生成树,G有n条边.设 e1,e2···,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回 路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为对应于 弦er的基本回路,称{C1,C2,···,Cmn+1} 为对应生成树T的基本回路系统.
基本割集系统
例 图G中,实线边所构成的子图是 G的一棵生成树T,求T对应的基本 回路和基本回路系统,基本割集和 基本割集系统.
解: G中顶点数n=6,边数m=9,基本回 路个数为m-n+1=4,即T有4条弦 f,g,h,i.对应的基本回路:
Cf=facd; Cg=gba;
Ch=hdcb; Ci=ied. 基本回路系统为{Cf,Cg,Ch,Ci}
(7)G是连通的,但删除任何一条边后,就不 连通了.
❖ 其中n为G中顶点数,m为边数.
定理
❖ 设T＝<V,E>是n阶非平凡的树,则T中至少 有2片树叶.
证明 因为T是非平凡树,所以T中每个顶点的度 数都大于等于1,设有k片树叶,则有(n-k)个顶 点度数大于等于2,由握手定理可知
n
2m d(vi ) k 2(n k), i 1