第1章 线性规划基本模型
第一章 线性规划
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
线性规划模型
线性规划模型● 知道线性规划模型的一般形式● 知道什么是可行解、可行域、最优解、最优值 ● 会用图解法求解二个变量的线性规划问题● 会利用软件WINQSB 求线性规划问题的最优解、最优值 ● 会建立简单的线性规划问题● 知道什么是缩减成本、影子价格，会利用软件WINQSB 进行灵敏度分析一、基本概念1. 线性规划模型的一般形式可以表示为：目标函数 max (或min )=c l x 1+c 2x 2+ … + c n x n 。
约束条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ),(),(),(22112222212111212111或或或 非负条件： x 1≥0, x 2≥0, …, x n ≥0可简写为 max(或min)=∑=n j j j x c 1 约束条件： ∑=n j j ij x a1≤(或=，≥) b i ，i=1，2，…，m非负条件： x j ≥0，j=1，2，…，n目标函数中的系数c i , i=1,2, …，n , 常称为价值系数，它反映某种价值（如利润、收益或效益）；约束条件中的右端项bj ，j=1,2, …，m ，右端系数，它反映某种资源的限制（如劳动力、原材料等）；约束条件中的a ij 常称为技术系数。
一般，它们都是已知的常数。
2.一个线性规划问题有解，是指能找出一组x j（j=1，2，…，n），使其满足所有的约束条件和非负条件。
称任何一组这样的x j（j=1，2，…，n）是线性规划问题的一个可行解。
通常，线性规划问题含有多个可行解。
称全部可行解的集合为该线性规划问题的可行域。
使目标函数值达到最优的可行解称为该线性规划问题的最优解，最优目标函数值称为该线性规划问题的最优值。
对不存在可行解的线性规划问题，称该线性规划问题无解。
二、两个变量的线性规划问题的图解法图解法的步骤为：第1步：在平面上建立直角坐标系；第2步：图示约束条件和非负条件，找出可行域；第3步：图示目标函数，并寻找最优解。
第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
线性规划基本模型
n
max z c j x j j 1
n
aij x j bi
s.t.
j 1
xj
e
j
x
j
d
j
i 1, 2,L , m
j 1, 2,L , n j 1, 2,L , n
13
山西大学经济与管理学院 范建平
2020年6月18日星期四
2、产品配套模型
例1.2某厂生产一种部件，由3个A零件和5个B零件配套 组装成品。该厂有甲、乙、丙三种机床可加工A，B两种 零件，每种机床的台数，以及每台机床每个工作日全部 用于加工某一种零件的最大产量（即生产率：件/日）见 表1-2。则应如何安排生产？试建立其数学模型。
单耗/（工时/件）
甲
乙
1
0
0
2
C
2
3
利润/（1×100元/件） 3
2
设 x1, x2 分别为甲、乙产品的周产量（决策变量）
最大生产能力 /(工时/周)
6 8 18
z为这两种产品每周的总利润，则 z 3x1 2x2 0
式（0）称为目标函数，z为目标值
由于，z取值受限于x1, x2 ，而x1, x2 受限于A，B，C三个车
间的生产能力，则
1x1 0x2 6 0x1 2x2 8 2x1 3x2 18
①
②
约束条件
③
6
山西大学经济与管理学院 范建平
2020年6月18日星期四
1、资源分配模型
又因产量x1, x2 取值不能为负，则
x1 0, x2 0 ④ 非负性约束
上述函数约束和非负性约束，统称为约束条件或约束方程， 简称约束。
某企业拟将现有的 m 种资源（用 i =1,2，···，m 表示）投 入 n 项生产或商务活动（用 j=1，2，···，n表示）。其中第 i 种资源的数量为 bi，项目 j 每经营1个单位所创造的利润 （或价值）为 cj，所消耗的第 i 种资源的数量为aij。为履行 合同，项目 j 的经营数量至少为 ej；而市场调查，其最高需 求量为dj。试建立其数学模型。
第一章线性规划
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0（i = 1,2；j = 1,2,3,4）.
其中c =（c1,c2,…,cn）为行向量，称为价值向量，
a11 a A = 21 a m1 a12 a22 am 2
C
单500
75
解：(1) 确定决策变量：设x1，x2为下一个 生产周期产品甲和乙的产量；
(2) 所满足的约束条件:
对资源A的限制：3x1 + 2x2 ≤ 65 对资源B的限制：2x1 + x2 ≤ 40
对资源C的限制： 3x2 ≤ 75
基本要求：x1，x2 ≥ 0 ； (3) 明确目标函数: 获利最大，即求Z= 1500x1 + 2500x2的最大值，用 max表示最大值，s.t.（subject to的简写）表示约束条件，则该模型 可记为： max Z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x1 + x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 75
标准形式
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn (1.2a)
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
第1章 线性规划-标准型和图解法
Y
x－y≥1
－ x+2y≤0
O A1 X
39
例
max z=x+2y s.t. － x+2y≥1 x+y≤ － 2 x、y ≥0
x+y≤ － 2
Y
－ x+2y≥1
O
X
40
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 无穷多最优解，无界界，无可行解； 无穷多最优解，无界界，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸 若线性规划问题可行域存在， 集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解 若线性规划问题最优解存在， 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标 解题思路是，先找凸集的任一顶点， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐 点转移，直到找到最优解。 点转移，直到找到最优解。
C(1,3) 2x+2y=8 B(3,1) 4x+12y=24
x=7
2 4 6 7 (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0)
43
22
例
max = − x − y x + y ≥ 2 s.t.x ≤ 3 x , y无约束
23
解：令
x,当x ≥ 0 x′ = 0,当x < 0
y,当y ≥ 0 y′ = 0, 当y < 0
0, 当x ≥ 0 x ′′ = − x, 当x < 0
0,当y ≥ 0 y′′ = − y, 当y < 0
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
第1章-线性规划模型-宋
第一章 线性规划模型线性规划（Linear Programming ）是数学规划的一个重要组成部分，是最优化与运筹学理论中的一个重要分支和常用的方法，是最优化理论的基础性内容。
第一节 线性规划问题及其数学模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 生产计划问题某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A 、B 两种原材料的消耗以及每件产品可获得的利润如下表所示。
问应如何安排生产计划使该工厂获利最多？解：设12,x x 分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
由于资源的限制，所以有：机器设备的限制条件: 1228x x +≤原材料A 的限制条件： 1416x ≤（称为资源约束条件） 原材料B 的限制条件： 2412x ≤同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有120,0x x ≥≥（称为变量的非负约束）。
显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。
而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量12,x x 以得到最大的利润，即使目标函数1223z x x =+的值达到最大。
综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示：例2 运输问题某公司经销某种产品，三个产地和四个销地的产量、销量、单位运价如下表所示。
问在保证产销平衡的条解:（1）决策变量：设(1,2,3;1,2,3,4)ij x i j ==为从产地i 运到销地j 的运量（2）目标函数：总运费最小3411min ij iji j z c x===∑∑（3）约束条件： 产量约束 销量约束 非负约束 模型为：二、线性规划问题的模型上述几例所提出的问题，可归结为在变量满足线性约束条件下，求使线性目标函数值最大或最小的问题。
它们具有以下共同的特征。
（1）每个问题都可用一组决策变量12(,,,)n x x x 表示某一方案，其具体的值就代表一个具体方案。
第1章 线性规划基本性质
1. X1≥0, X2 ≥0 2. 2X1 + 3X2 ≤ 100 3. 4X1 + 2X2 ≤ 120
所有约束条件的的交集为R.
A B R
10 60
现在,问题变为在R内找一点, O 使目标函数值最大.如何找?…
C
20 30 40 50
Ｘ1
§1.2 线性规划的图解法
Ｘ2
（三）目标函数的图形表示 Z = 6X1 + 4X2 将上式改写： X2 ＝－3X1/2 ＋ Z/4 令Z为参量，使其取不同 的值，则得到以－3/2为斜率的 一族平行等值线. 如令: 60, 则经过点(10,0)和(0,15); Z=0, 则经过原点; Z=120,则经过点(20,0)和(0,30);
0.8X1 + X2≥1.6 X1 X2 ≤2 ≤1.4
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
所谓线性规划问题： 就是求一组变量 ( x1 , x2 , , xn ) 的值，它们 在满足一组线性等式或不等式的限制条件下，使某 一线性函数的值达到极大或极小。而线性规划就是 研究并解决这类问题的一门理论和方法。 请问在企业中有哪些问题属于线性规划问题？
§1.2 线性规划的图解法
maxZ = 6X1 + 4X2 2X1 + 3X2 ≤ 100 --① 4X1 + 2X2 ≤ 120 --② X1≥0, X2 ≥0 （一）建立坐标系 （二）约束条件的图形表示
Ｘ2
60 50 40 30 20 10
两个概念:
1.可行解:满足约束条件的点. 2.可行域:全部可行解的集合, 即区域OABCO,用R表示.
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
1.1 72线性规划问题及其数学模型
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
线性规划模型
线性规划模型线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ． 一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论 二、线性规划发展简史早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域． 三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标；2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析． 数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型． 四、线性规划方法解决的两类问题1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多． 五、线性规划可解决以下几方面的问题１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；2、生产组织问题：⎩⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本最低；4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数量、期限，使库存效益最佳；6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效益最高；……第一节 线性规划模型的基本概念 一、建立模型的方法1 根据影响所要达到的目的的因素找到决策变量2 由决策变量和所要到的目的之间的函数关系确定的目标函数3 由决策变量所受到的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件若模型满足：1 目标函数是线性函数 2 约束条件是线性等式或不等式； 则称为线性规划模型 二、常用模型 例1： 生产计划莫工厂生产I II 两种产品需要A 、B 两种原料，问怎样生产获利最大？1） 决策变量：设12,x x 分别生产I II 的数量 2） 目标函数：获利最大 12max 24x x + 3） 约束条件：1228x x +≤ 设备约束 12416,412x x ≤≤ 原料约束 12,0x x ≥ 基本约束 则我们可以建立模型12121212max 24.28416412,0z x x s tx x x x x x =++≤≤≤≥例2： 配料问题某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料一斤，其中动物饲料不少于1/5，动物饲料每斤0.25元，谷物饲料每斤0.2元，饲料公司每周至多能供应谷物饲料5万斤，问怎样混合饲料才能使每周成本最低？ 解：1）决策变量 设动物饲料1x 斤，谷物饲料2x 斤。
第1章 线性规划问题
7连续加工问题
一工厂在第一车间用一单位M可加工成3单位产品 A，2单位产品B,A可以按每单位售价8元出售， 也可以在第二车间继续加工，每单位生产费用增 加6元，加工后每单位售价为16元；B可以按每 单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工， 每单位生产费用增加4元，加工后每单位售价为 12元.原料M的单位购入价为2元。上述生产费用 不包括工资在内.三个车间每月最多有20万工时， 每工时工资0.5元.每加工一单位M需1.5工时，如 A继续加工，每单位需3工时；如B继续加工，每 单位需1工时。每月最多能得到的原料M为10万 单位。问如何安排生产，使工厂获利最大？
23
管
理
运
筹
学
三、线性规划标准型及解的概念
• 线性规划的一般形式 max (min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
xj 0
x j ; j 1,2,...,n
c (c1 , c 2 , , c n )
( j 1,2, , n)
为待定的决策变量，
为价值向量， c j ; j 1, 2,...,n 为价值系数，
b ( b1 , b 2 ,...,b m ) 为右端向量，
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a mn a1n a 2n
线性规划理论与模型应用
授课人 葛金辉
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
运筹学课件——第2讲 线性规划模型(1)
本章要求： 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 题 2.掌握线性规划的图解法 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容 5.理解有关灵敏度分析内容
+ = x 1 x 3 4 x 12 2x 2 + 4 = s.t. + 3x 1 + 2 x 2 x 5 = 18 x j ≥ 0( j = 1,2,3,4,5)
max Z = 70 x1 + 120 x 2 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 4 x + 5 x ≤ 200 1 2 s.t . 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
例4：饮料配制计划
大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料，管 大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料， 理层决定下月总产量至少达到350 350升 理层决定下月总产量至少达到350升。甲饮料每 升的制造成本为2 制造时间需2小时， 升的制造成本为2元，制造时间需2小时，乙饮 料每升的制造成本为3 制造时间需1小时， 料每升的制造成本为3元，制造时间需1小时， 下月总生产时间为600小时。此外， 600小时 下月总生产时间为600小时。此外，下月有一位 客户已预定甲饮料125升。试为管理层制定满足 客户已预定甲饮料125升 125 客户要求且制作成本最小的生产计划。 客户要求且制作成本最小的生产计划。 线性规划模型？ 线性规划模型？
显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 最优化问题（ 最优化问题（Constrained Optimization）。 ） 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 常用的方法，其涉及的主要概念包括： 常用的方法，其涉及的主要概念包括： ◆目标（Objective）:所要达到的最优结果（最 所要达到的最优结果（ 目标（ ） 所要达到的最优结果 大或最小）； 大或最小）； ◆约束条件（Constraints）:对所能产生结果的 约束条件（ ） 对所能产生结果的 限制。 限制。
2022年Python数学实验与建模第1章 线性规划
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
5.灵敏度分析
灵敏度分析是指对系统因周围条件变化显示出 来的敏感程度的分析。
实际问题中aij ,bi ,c j是怎么来的？是确定的常数吗？
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数学建模算法与应用
第1章 线性规划
两个问题 （1）如果参数aij ,bi ,c j 中的一个或者几个发生了 变化，现行最优方案会有什么变化？
第三步：根据问题的目标，构造关于决策变量的 一个线性函数，即为目标函数。
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数学建模算法与应用
第1章 线性规划
3.线性规划模型的形式
线性规划模型的一般形式（代数形式）为
max(或min）z c1 x1 c2 x2 cn xn ,
a11 x1 a12 x2
s.t.
第1章 线性规划
约束条件——①生产甲、乙两种机床所花费的加工 时间不能超过 A、B、C 机器每天的最大可用加工时间， 故
2 x1 x2 10, x1 x2 8, x2 7.
约束条件——②甲乙两种机床的产量还应该满足非 负约束，即
xi 0, i 1, 2。
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求解数学规划模型的常用软件有 MATLAB、Python、LINGO 等
MATLAB 求解数学规划问题采用两种模式： （1）基于求解器的求解方法 （2）基于问题的求解方法
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第1章 线性规划
Naval Aeronautical University
02 线性规划模型求解及 应用
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线性规划模型
.
管理运筹学
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四、线性规划的标准型
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
• 标准形式
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 用量要求： x1 ≤50,x2 ≤60,x3 ≤50,x4 ≤70,x5 ≤40 非负性要求：x1 ≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,x4 ≥0,x5 ≥0
.
管理运筹学
22
例题4：人员安排问题
• 医院护士24小时值班，每次值班8小时。不 同时段需要的护士人数不等。据统计：
序号
时段
最少人数 安排人数
1
06—10 60
X1
2
10—14 70
X2
3
14—18 60
X3
4
18—22 50
X4
5
22—02 20
X5
6
02—06 . 30
x6
管理运筹学
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例题4建模
• 目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 • 约束条件： x1+x2 ≥70
数学建模第1章线性规划
数学
建模
例 1.6
min{max
xi
yi
|
ei
|}，其中e i
=
xi -
yi 。
取v
=
max yi
|
e
i
|，这样，上面的问题就变换成
min v，
s.t.
ìïïíïïî
x1 y1
-
y1 ? x1 ?
v,L , xn v,L , yn
yn ? v, n ? v.
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数学 建模
2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
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数学 建模
解 （1）化成 Matlab 标准型
min w = - 2x1 - 3x2 + 5x3，
s.t.
轾 犏- 2 犏 臌1
5 3
-1 1
轾 犏x1 犏 犏x2 犏 臌x3
a=1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3;
enddata
min=@sum(col:c*@abs(x));
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@for(col:@free(x)); !x的分量可正可负;
end
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@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@sum(col:x)=7;
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end
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数学 建模
例 1.2 求解下列线性规划问题 max z = 2x1 + 3x2 - 5x3， s.t. x1 + x2 + x3 = 7， 2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
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目标函数：总利润=总收益-原料总费用
8 x11 x12 x13 6 x21 x22 x23 3 x31 x32 x33 5 x11 x21 x31 -6 x12 x22 x32 -2 x13 x23 x33 =3x11 2 x12 6 x13 x21 4 x 23 2 x31 3x32 x33
20
2
1 0 2
0.2
3
0 2 1
0.3
4
0 1 2
1.0
5
0 0 4
0.6
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1 1 0
0.6
150 200 300
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截法j
一根原材所截各种用材的数量（根） 1 2 1 0 3 0 2 4 0 1 5 0 0
需求量/根
3、下料模型
总根数 则LP模型如下：
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4、配料模型
约束条件—原理供应约束
x11 x21 x31 100 x12 x22 x32 60 原料A 原料B
总收益
10 2x11 x12 x13 8 2x21 x22 x23 6 3x31 x32 x33
别为300元和200元。甲、乙产品的部件分别在A、B两个 车间生产，每件甲、乙产品的部件分别消耗A、B车间1、 2工时。两种产品的部件最后都要在C车间装配，装配每 件甲、乙产品分别消耗2工时和3工时。已知A，B，C三 个车间每周可用于这两种产品的最大生产能力分别为6工 时、8工时、18工时，则每周各生产甲、乙产品多少件？ 试建立该问题的数学模型。
A x11 x21 x31
B x12 x22 x32
C x13 x23 x33
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4、配料模型
约束条件—规格约束
x11 x12 0.5; 0.3; x11 x12 x13 x11 x12 x13 x21 x22 0.6; 0.2; x21 x22 x23 x21 x22 x23 x31 x33 0.4; 0.6; x31 x32 x33 x31 x32 x33
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2、产品配套模型
非线性约束等价转换
z 60 x11 75 x21 108 x31 / 3 z 80 x12 105 x21 120 x32 / 5 即 z 20 x11 25 x21 36 x31 0 z 16 x12 21x21 24 x32 0
投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大
劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要
运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
4
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1、资源分配模型
例1.1 某装配厂拟生产甲、乙两种新产品，每件利润分
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1、资源分配模型—小结
建立线性规划模型的一般步骤：
1.正确设立决策变量
设xj（j=1,2,· · · ,n）为项目j的经营数量。
2.恰当建立目标函数
n项经营活动的总利润（或总产值，总收入）为
z cj xj
j 1
（1）工时约束
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2、产品配套模型
（2）配套约束(表1.3)
表1-3 每台机床的生产率
机床种类
每种机床生产率/(件/日) A零件 B零件
甲
乙 丙
60
75 108
80
105 120
z min 60x11 75x21 108x31 3, 80x12 105x22 120x32 5
1. 决策变量：
设xij 表示机床i每个工作日加工零件j的时间（单位：工作日） i 1, 2,3; j 1, 2 ； z为A,B两种零件按3: 5的比例配套的数量（套 日）
2. 约束条件：
x11 x12 1 x21 x22 1 x31 x32 1
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1、资源分配模型—小结
小结：对于例题1.1的资源分配问题（经营规划问题），
一般可表述为：
某企业拟将现有的m种资源（用i=1,2，· · · ，m表示）投入n
项生产或商务活动（用j=1，2，· · · ，n表示）。其中第i种资 源的数量为bi，项目j每经营1个单位所创造的利润（或价值） 为cj，所消耗的第i种资源的数量为aij。为履行合同，项目j 的经营数量至少为ej；而市场调查，其最高需求量为dj。试 建立其数学模型。
产品 车间
单耗/（工时/件） 甲 乙 0 2 1 0
最大生产能力 /(工时/周) 6 8
1、资源分配模型
A B
C
利润/（1×100元/件）
2
3
3
2
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设 x1, x2 分别为甲、乙产品的周产量（决策变量） z为这两种产品每周的总利润，则 式（0）称为目标函数，z为目标值
z 3x1 2x2
0
x1 0, x2 0 ④
非负性约束
上述函数约束和非负性约束，统称为约束条件或约束方程，
简称约束。 综上所述，例题1.1的数学模型简记如下：
max z 3 x1 2 x2 6 1x1 2 x2 8 s.t. 2 x1 3 x2 18 x , x 0 1 2
0
① ② ③ ④
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1、资源分配模型—小结
由目标函数和约束方程构成的一组数学表达式，称为数
学规划（模型）； 若全为线性表达式，则称为线性规划（模型）； 若组中有一个或更多表达式非线性，则称为非线性规划 （模型）。
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用材 A（2.6） B（1.8） 余料/m 1 1 150 200
设xj表示第j种截法下料的根数（ j=1,2,3,4,5 0 2 1 2 ）， 4 z为下料 300 C（1.1）
0.6 0.2 0.3 1.0 0.6
min z x1 x2 x3 x4 x5 150 x1 x2 x 2 x3 x4 200 1 s.t. 2 x2 x3 2 x4 4 x5 360 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
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4、配料模型
例1.4 某食品厂拟用A，B两种紧俏原料和一种普通原料C，
加工制作甲、乙、丙三种食品。食品的规格、加工费、 销价，以及原料的购价、供量见表1-6。应如何为三种食 品配料？试建立其数学模型。
表1-6 原料 食品 甲 乙 丙 原料
购价 供量
食物规格（配用的原料所占比率）/% A
不少于50 不少于60 不少于40 5 100
食品 加工费 2 2 3 元/kg Kg/元
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B
不少于30 不少于20 不限 6 60
C
不限 不限 不多于60 2 不限
销价 10 8 6
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4、配料模型
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线性规划的三个要素
决策变量
决策问题待定的量值 取值要求非负
约束条件
任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解 把各种限制条件表示为一组等式或不等式称约束条件 约束条件是决策方案可行的保障 约束条件是决策变量的线性函数
目标函数
衡量决策优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小
需求量/根 150 200 360
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3、下料模型
解：首先需要找出全部省料截法(见表1-5) 。 （所谓省料截法，这里指一个原材截后的余料长度小于最短的 用材C的长度的各种截法）
表1-5 截法j 用材 一根原材所截各种用材的数量（根） 需求量/根
1
A（2.6） B（1.8） C（1.1） 余料/m
nห้องสมุดไป่ตู้
3. 适度构建约束方程
（1）合同约束
x j ej
xj d j
j 1,2,, n
j 1,2,, n
bi
（2）需求约束
（3）资源约束
a x
j 1 ij
n
j
i 1, 2,, m
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1、资源分配模型—小结
综上所述可得LP模型如下：
n
max z c j x j
j 1
n aij x j bi j 1 s.t. x j e j x j d j
i 1, 2, , m j 1, 2, , n j 1, 2, , n
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2、产品配套模型