2013-2014学年高三数学一轮复习导学案：应用题导学案(2)
高三数学一轮复习导数导学案
课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1.导数、导数的计算（1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′.（3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． !（4）．基本初等函数的导数公式（5）．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________．(2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，⇔f (x )在(a ，b )上为____函数．[（2）函数的极值与导数(1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________.（3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． `二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0f (x )＝x n (n ∈Q *) ；f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________f (x )＝e x >f ′(x )＝________ f (x )＝log a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln xf ′(x )＝________2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． {A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．~【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)．；【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ；考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．…【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；\【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．"【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．【变式】设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．@【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．【变式】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．、(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．四、课题巩固：一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． ?A ．2B ．－1C ．1D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )二、填空题： —5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数．?10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．~(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时参考答案 二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2}2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1 D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．《参考答案：1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx . 2．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.3．D 解析：由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点． 4．A 解析：∵y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，∴当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33＜0. ∴要使y ′＜0，必须取a ＞0.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4，∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0.6．3 解析：∵f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而当x ∈[1，＋∞)时，(3x 2)min ＝3×12＝3.∴a ≤3，故a max ＝3. 三、考点突破： ^考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx ＋1＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3. 【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴ΔyΔx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴f ′(1)＝－12. 【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数． 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1，￥∴ΔyΔx ＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.∴Δx →0时，Δy Δx →x x 2＋1.∴y ′＝xx 2＋1.考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)． 解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. ?（5）设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5)由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝22x ＋5.【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ； 考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y－⎝⎛⎭⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x－y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.？【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程． 解:f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x .考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，∵e x ＞0，∴－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.∴函数f (x )的单调递增 /区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a－2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立．设h (x )＝x 2－(a －2)x －a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h －1≤0h 1≤0，解得a ≥32.【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0f ′0＝－a a ＋2＝－3,解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)． 【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 【解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4故函数为f (x )＝13x 3－4x ＋4. (2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 ](2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )~ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43， 所以函数的大致图象如右图，故实数k 的取值范围为(－43，283)．【变式】 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． >解 (1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a ＋2b ＋1＝0f ′2＝a2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－x －1x －23x.函数定义域为(0，＋∞)，列表 x(0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) { f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减[极小值单调递增极大值单调递减∴x ＝1是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点．【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解： (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；① 、当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，23，即为f (x )的减区间．[－3，－2)、⎝⎛⎦⎤23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4，∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； ）当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 四、课题巩固： 一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞):3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )参考答案：1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x ＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2－1x (x ＞0)，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x ＞0，解得x ∈(0,1]．因此函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B.3．C [由图象知f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴b ＝－1，c ＝－2，d ＝0.而x 1，x 2是函数f (x )的极值点，故x 1，x 2是f ′(x )＝0，即3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝－2b 3，x 1x 2＝c3，、x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49b 2－2c 3＝169.][∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇒|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13.即13<x <23. 二、填空题：5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是_____． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点．|参考答案：1．(0,1) 2.－37 3. ⎣⎡⎭⎫3π4，π 4. 1个解析：f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )＝0⇒x 1＝0，x 2＝2a >4，易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，在函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有1个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化的情况如下：x ⎝⎛⎭⎫0，1e 1e 《⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值￥所以，f (x )在(0，＋∞)上的极小值是f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞.令y ＝f (x )，y ＝m ，两函数图象交点的横坐标是f (x )－m ＝0的解，由(1)知当m <－1e 时，原方程无解；由f (x )的单调区间上函数值的范围知，当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1e <m <0时，原方程有两解． 10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 结合①，可知 所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．解: (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2,＋∞);由f ′(x )<0,得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)，令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得：当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )无极值．x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 …⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )极大值极小值。
导学案016导数的应用(二)
导数的应用（二）考纲要求1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题.考情分析1.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！2.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.教学过程基础梳理1．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2．生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：双基自测1．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1) ( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是（）A．－9 B．－16C．－12 D．－113．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件4．(教材习题改编)函数g(x)＝ln(x＋1)－x的最大值是______．5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是______．典例分析考点一、函数的最值与导数[例1] (2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x－k)e x(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．变式1．[文](2012·济宁模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点 p(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求a，b；(2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值．方法总结：函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.考点二、实际生活中的优化问题与导数例2. (2012·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x>6)，年销售为u万件，若已知5858－u与⎝⎛⎭⎪⎫x－2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．变式2.(2012·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x>6)，年销售为u万件，若已知5858－u与⎝⎛⎭⎪⎫x－2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．方法总结：利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，并根据实际意义确定定义域；(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4)还原到实际问题中作答.考点三、利用导数解决不等式问题[例3] (2011·辽宁高考)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.变式3. (2012·辽宁协作体联考)已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f x ＋k x(k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e≤f (x )恒成立．方法总结：利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对∀x ∈[a ，b ]都有f (x )≥g (x )，可设h (x )＝f (x )－g (x )只要利用导数说明h (x )在[a ，b ]上的最小值为0即可．考点四、恒成立问题与导数例4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值， (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．方法总结：利用“要使a x f >)(成立，只需使函数的最小值a x f >min )(恒成立即可；要使a x f <)(成立，只需使函数的最大值a x f <max )(恒成立即可”.两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．(2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件．如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导；②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．(3)若y＝f(x)可导，则f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取极值的必要条件．本节检测1．函数f(x)＝x e－x，x∈[0,4]的最大值是( )A．0 B.1 eC.4e4D.2e22．已知f(x)＝12x2－cos x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是( )A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值，又有最小值的奇函数3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( ) A．0≤a<1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<1 24．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.abB.a2bC.baD.b2a5．已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________．6．若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．自我反思。
江苏省建陵高级中学高三数学一轮复习导学案应用题导学案(2)
（2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
例3. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h）内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城?如果不会,请说明理由．
当堂检测
1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为
2．我们知道，烟酒对人的健康有危害作用，从而我国加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外,还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x％），则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为
3．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，。
江苏省盐城市时杨中学高考数学一轮复习 导数的应用导学案2
【学习目标】
能用导数方法求解函数的最值问题
【问题情境】
一、知识回顾：
二、预习练习：
1、函数 在区间 上的最大值是____________。
2、函数 在区间 上的最大值是_________。
3、已知函数 （ ）。
（1） 与 轴仅有一个交点，则 的取值范围是____ ____。
（2） 与 轴有三个不同的交点，则 的取值范围是____ ____。
4、关于函数 ，判断正确的是______________。
（1） 的解集是 ；（2） 为极小值， 为极大பைடு நூலகம்；
（3） 无最小值，也无最大值；（4） 有最大值，但无最小值。
【我的疑问】
备注
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【自主探究】
1．求函数 ， 的最值。
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝ ）
【回标反馈】
备注
第3页共4页
【巩固练习】
1、曲线 在点 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为_____ ___。
2、设 的极小值为 ，其导函数 的图像经过点 如图所示。 （1）求 的解析式；
（2）对 都有 恒成立，求 的取值范围。
备注
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
备注
第2页共4页
【课堂检测】
1、若函数 在 上是减函数，在 上是增函数，则 的极小值、极大值分别是_____________
2、已知函数 在 上是增函数，求a的取值范围.
3、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案2
第2章函数学案4函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念(1)函数定义设A，B是两个非空的________，如果按某种对应法则f，对于集合A中的____________，在集合B中______________，称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)函数的三要素________、________和__________．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.(4)函数相等如果两个函数的定义域和____________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的__________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的______，值域是各段值域的______．2．映射的概念(1)映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素，在集合B中__________确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：A→B叫集合A到集合B的________．(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集．自我检测1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)．2．(2010·湖北改编)函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________．3．(2010·湖北改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ， x ≤0，则f (f (19))＝________.4．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________(填序号)．①y ＝x 2x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log 2x .5．函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 下列对应法则是集合P 上的函数的是________(填序号)． (1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应法则f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；(2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应法则：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应法则f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．变式迁移1 已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．探究点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域是___________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，求f (x )．变式迁移3 给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ； (2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围为______________．1．与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②y 1＝x ＋1x －1，y 2＝(x ＋1)(x －1)； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2；④f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1； ⑤f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是________． 3．(2011·南京模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为________．4．(2009·江西改编)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________． 5．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为____________．6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数为________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 (x ≥0)x 2 (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤1)2 (x >1)，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.二、解答题(共42分) 9．(12分)(2011·苏州期末)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；(3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(14分)某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．11．(16分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？答案 自主梳理1．(1)数集 每一个元素x 都有惟一的元素y 和它对应 定义域 值域 (2)定义域 值域 对应法则 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应法则 (5)定义域 对应法则 并集 并集 2.(1)都有惟一 映射自我检测 1．③解析 对于题图①：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图②：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图③：符合M 到N 的函数关系；对于题图④：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．2．(34，1) 3.14 4．③5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ， 即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．答案 (2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 (1，＋∞)解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2] 解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋lg (x ＋1)≠0得－1<x ≤2且x ≠－910.即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．点评 本题一定要注意答案的规范性，写成：－1<x ≤2且x ≠－910是错误的．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x )等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x )＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得 2f (1x )＋f (x )＝3x ，②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x (x ≠0)．变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应法则．③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．答案 3解析 方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c ，(－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0， 解得－1<x <2－1.课后练习区 1．④解析 ①定义域不同；②定义域不同；③对应法则不同；④定义域相同，且对应法则相同；⑤定义域不同．2．0或1解析 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．3. 3解析 该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.4．(－1,1) 5．∅或{1}解析 由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}． 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 3116 8．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3. ………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，…(10分)又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 当x ＝1时，y ＝48×0.9＝43.2； 当x ＝2时，y ＝48×0.85＝40.8； 当x ＝3时，y ＝48×0.8＝38.4；当3<x ≤10，x ∈N 时，y ＝48×0.75＝36. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 43.2， x ＝1，40.8， x ＝2，38.4， x ＝3，36， 3<x ≤10，x ∈N .……………………………………………………(8分)图象如图所示．……………………………………………………………………………………………(14分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.…………………………………………………………………(8分)当x >5时，有8.2－x >0，得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．………………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(13分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.…………………………………………………………(15分) 所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R(4)4＝ 2.4(万元/百台)＝240(元/台)．…………………………………………………………………………（16分）。
2013-2014学年高三数学一轮复习导学案：空间几何体的综合应用
EG // 平面PCD ,并说明理由.
4
【学后反思】
空间几何体的综合应用检测案
2
【课堂检测】
AB 2 ，CC1 2 2 ， E 为 CC1 的中点，则 1.已知正四棱柱 ABCD A 1B 1C1D 1中 ，
直线 AC1 与平面 BED 的距离为 2.如图，已知 PA⊥ 菱形 ABCD 所在平面，G 为 PC 的中点，E 在 PD 上。 （1）求证：BD⊥ PC； （2）当
（1）求证： GH // 平面 CDE ； （2）求证： BD 平面 CDE ．
E 是 B 1C1D 1 中，
1
A1 C1
D1
B1
E
A
D
B
C
BDE ； 求证： （Ⅰ） AC 1 // 平面
（Ⅱ ）平面 A1 AC 平面 BDE 。 例 3.在长方形 AA1B1B 中， AB=2AA1=4， C， C1 分别是 AB， A1B1 的中点 （如下左图） ． 将 此长方形沿 CC1 对折，使平面 AA1C1C⊥ 平面 CC1B1B（如下右图） ，已知 D，E 分 别是 A,B,，CC1 的中点． （1）求证：C1D∥ 平面 A,BE; （2）求证：平面 A1BE⊥ 平面 AA1B1B； （3）求三棱锥 C1-A1BE 的体积，
1 2
【课外作业】
1.如图一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O， G,H 分别是 AE,BC 的中点,AB 是圆 O 的直 径，四边形 DCBE 为平行四边形，且 DC 平面 ABC． （1）求证:GH//平面 ACD; （2）证明：平面 ACD 平面 ADE； （3）若 AB=2，BC=1， tan EAB
②．若 a⊥ b，则 ⊥ ,b// ，且 a⊥ ，且 a⊥ ④．若 a⊥ b，则 ⊥ ,b ⊥
2014届高三数学一轮复习导学案：三角函数的值域与最值
1-4题基础学生板演
5-6题优秀学生板演
3个例题学生板演学生点评教师总结
例4学有余力学生完成
课堂检测——三角函数的最值与值域姓名：
1.函数f(x)=tan x( ＞0)的图象的相邻的两支截直线y= 所得线段长
为 ,则f（ ）的值是.
2.已知函数f(x)=2sin x( ＞0)在区间 上的最小值是-2，
3、函数 的最大值为
4、函数y= 的最小值为
5、设 ，则函数 的最小值为．
6、 的值域为
变式 的值域为
7、已知 当 时，︱ ∣<2,求a的范围。
四：课堂研讨
例1：⑴已知 的定义域为 ，值域为 ，求 的值.
⑵求函数 的最小值.
例2：求函数的最值.（1） ；（2）
例3：已知 的最大值为 ，求实数a的值.
M
ABCD来自EFH
G
例4：（备选题）体育馆计划用运动场的边角地建造一个矩形健身室，如图，ABCD是正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，半径为40m，矩形AGHM就是计划的健身室，G、M分别在AB、AD上，H在弧EF上，设矩形AGHM面积为S，∠HCF= ，将S表达为 的函数，并且指出H在弧EF上何处时，健身室面积最大，最大值是多少？
则 的最小值等于.
3.求下列函数的值域：
(1)y= ;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;
(3)y=2cos +2cosx.
课外作业——三角函数的最值与值域姓名：
1.已知f(x)=sin ( ＞0),f =f ,且f(x)在区间
上有最小值，无最大值，则 =.
2.函数f(x)=sin2x+ sinxcosx在区间 上的最大值是.
2013-2014高三数学一轮复习导数导学案2
课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1. 利用导数求函数的单调性及极值、最值2. 利用导数讨论函数最值、零点个数3. 利用导数证明不等式4. 会利用导数解决某些实际问题． 二、基础自测：1．函数f (x )＝xex ，x ∈[0,4]的最大值是( )．A ．0B ．1eC ．4e 4D ．2e22．函数f (x )＝x 3- 3ax -a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )．A ．0≤a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜123．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的底面半径为__________时，才能使饮料罐的体积最大． 4.若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系为________．三、考点突破：考点一、函数的单调性、切线方程、极值与导数 【例1】已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）若对于任意(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.【变式1-1】：已知函数.sin ()sin x f x e k x =- （Ⅰ）若k e =，试确定函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)若函数()g x ＝()()f x f x m +--在3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围．【变式1-2】已知函数32()f x x ax bx c =-+++图象上的点(1,(1))P f 处的切线方程为31y x =-+. ⑴若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的表达式；⑵若函数()f x 在区间[2,0]-上单调递增，求实数b 的取值范围.考点二、函数的最值与导数【例2】已知f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝e 处的切线方程；(2)设实数a ＞0，求函数F (x )＝()f x a在[a,2a ]上的最小值．【变式2】 已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈ （Ⅰ）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；考点三、利用导数解决实际生活中的优化问题【例3】某园林公司计划在一块O 为圆心,R （R 为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，OCD ∆区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本．．是每平方米2元，花木的利润．．是每平方米8元，草皮的利润．．是每平方米3元．（1）设(COD θ∠=单位：弧度）, 用θ表示弓形CMDC 的面积()S f θ=弓； （2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的θ．【变式3】： (2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．考点四、运用导数证明不等式问题【例4】已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R ) (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.【变式4】 设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.四、难点突破，能力拓展 【例5】已知函数xax x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R .（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数4)(2+-=mx x x h , 当2=a 时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．【变式5】 已知函数()xx ex f ln =； (1)求函数()x f 的单调区间； (2)设0>x ，求证：()121->+x ex f(3)设*∈N n ，求证：()()()[]3211ln 132ln 121ln ->+++⋅⋅⋅++⨯++⨯n n n五、课题巩固： 一、选择题：1．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)-- 2．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A -2B 0C 2D 43.若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．94．曲线4()2f x x =上的点到直线1y x =--的距离的最小值为( )B. 2C. 3 二、填空题：5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________. 6．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋tx ＋t 在(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围是________．7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m ，长和宽的和为20 m ，则仓库容积的最大值为_________m 3. 8．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题9. 设函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围．10．已知函数1ln ()x f x x +=（Ⅰ）若函数在区间1(,)2a a +其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1. 利用导数求函数的单调性及极值、最值2. 利用导数讨论函数最值、零点个数3. 利用导数证明不等式4. 会利用导数解决某些实际问题． 二、基础自测：1．函数f (x )＝xex ，x ∈[0,4]的最大值是( )．A ．0B ．1eC ．4e 4D ．2e22．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )．A ．0≤a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜123．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的底面半径为__________时，才能使饮料罐的体积最大． 4.若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系为________．解析：1．B f ′(x )＝e x －x e x(e x )2＝1－x e x ＝e －x (1－x )，令f ′(x )＝0，∴x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值．2．B ∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得a ＝x 2.又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1. 3．S6π 设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R ，高为h .S ＝2πRh ＋2πR 2⇒h ＝S －2πR 22πR ⇒V (R )＝S －2πR 22πR πR 2＝12(S －2πR 2)R ＝12SR －πR 3⇒V ′(R )＝12S －3πR 2，令V ′(R )＝0，∴R ＝S6π.因V (R )只有一个极值点，故它就是最大值点． 4. f ′(x )＝x cos x －sin xx ，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x ，∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b .三、考点突破：考点一、函数的单调性、切线方程、极值与导数【例1】已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）若对于任意(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.解: (I) 直线2y x =+的斜率为1， 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()af x x x'=-+，所以22(1)111a f '=-+=-，所以1a =. 所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x-'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2).(II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=，由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a<<.所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减.所以当2x a=时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1f x a >-成立，所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln 22(1)2a a a a+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<.所以a 的取值范围是2(0, )e(III)依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222()x x g x x +-'=.由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数. 又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0, (1)0.g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e <+-≤.所以b 的取值范围是2(1, 1]e e +-.【变式1-1】：已知函数. sin ()sin xf x ek x =-（Ⅰ）若k e =，试确定函数()f x 的单调递增区间； (Ⅱ)若函数()g x ＝()()f x f x m +--在3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围． ⑴由e k =得sin ()e esin xf x x =-，则()sin ()e e cos x f x x '=-．又sin ee 0x-≤，故32,2,22x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间是32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，注：闭区间也正确 ⑵ sin sin ()xx g x ee m -=+-,sin sin ()cos ()x x g x x e e -'=-，在3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上,sin sin sin 0,1x x x e e ->>>,所以()g x 在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,在3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数,且3()()44g g ππ=所以当1[)m ee e -∈++时函数()g x 在3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点【变式1-2】已知函数32()f x x ax bx c =-+++图象上的点(1,(1))P f 处的切线方程为31y x =-+.⑴若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的表达式； ⑵若函数()f x 在区间[2,0]-上单调递增，求实数b 的取值范围.【解析】⑴∵点(1,(1))P f 在切线方程31y x =-+上，∴ ()12f =-，()'1233f a b =+-=-，∵函数()f x 在2x =-处有极值，∴ ()'20f -=，可得：2,4,3a b c =-==-∴32()243f x x x x =--+-⑵由⑴可知：212b a bc ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴32()122b b f x x x bx =--+--，∴()'23f x x bx b =--+∵函数()f x 在区间[2,0]-上单调递增，即：()'0f x ≥在区间[2,0]-上恒成立，∴()()''2000f f ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，解得：4b ≥。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第2章 学案11
学案11函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理1．函数零点的定义(1）对于函数y＝f(x) （x∈D)，把使y＝f（x）的值为____的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D）的零点．(2）方程f(x）＝0有实根⇔函数y＝f（x）的图象与____有交点⇔函数y＝f（x）有______．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x）在区间［a，b］上的图象是一条不间断的曲线，且____________,那么函数y＝f（x）在区间________上有零点．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与零点的关系Δ〉0Δ＝0Δ〈0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a〉0)的图象与x轴的（x1,0)无交点交点零点个数4.二分法对于区间[a，b]上连续不断的，且f（a）·f(b)〈0的函数y＝f（x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．自我检测1．(2010·福建改编)f（x）＝错误!的零点为______________．2．（2010·山东省实验中学模拟）函数f(x)＝3ax＋1－2a，在区间（－1，1)上存在一个零点,则a的取值范围为________________________．3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是________（填序号)．4．若函数f（x）唯一的零点在区间(1，3)、(1，4)、（1，5)内，则下列说法正确的个数是________．①函数f（x）在(1,2)或［2,3）内有零点;②函数f(x）在(3,5）内无零点；③函数f（x）在(2，5）内有零点；④函数f（x）在(2，4）内不一定有零点．5．（2009·山东)若函数f（x)＝a x－x－a（a〉0,且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．探究点一函数零点的判断例1 判断函数y＝ln x＋2x－6的零点个数．变式迁移1 （1)(2011·南通调研)设f(x)＝x3＋bx＋c(b〉0)，且f（－错误!)·f（错误!)〈0，则方程f（x)＝0在[－1,1］内根的个数为________．(2）（2010·烟台一模）若定义在R上的偶函数f(x)满足f（x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f（x）＝x,则函数y＝f(x)－log3｜x|的零点个数是________．探究点二用二分法求方程的近似解例2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1。
2014届高三数学一轮复习导学案：正余弦定理(2)
4
（3）若 b 13, a c 4 ，求 SABC
2
课堂检测——正余弦定理（2）
姓名： 三角形. .
1.在△ABC 中，若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 2.在△ABC 中，A=120° ,AB=5,BC=7，则
sin B 的值为 sin C
3.已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且面积 S△ABC= （b2+c2-a2） ， 则 A= .
b+c=8，求 ABC 面积的最大值。
例 2： ABC 中， AB 求 sin A 的值。
4 6 6 , cos B , AC 边上的中线 BD 5, 3 6
1
例 3 ABC 中 (2a c) cos B b cos C 0 （1）求 B； （2）求 y sin 2 A sin 2 C 的范围；
5 4 ，cosC= . 5 13
1 4
4.在△ABC 中，cosB=（C 的面积 S△ABC=
33 ，求 BC 的长. 2
3
课外作业——正余弦定理（2） 1.在△ABC 中，BC=2，B=
2 2 2
姓名： .
3 ，若△ABC 的面积为 ，则 tanC 为 3 2
课题：正余弦定理（2）
一：学习目标
班级
姓名：
备 注
（1）掌握：正弦定理及其变式；余弦定理及其变式； （2）掌握：边角互化及求解三角形。 （3）掌握：三角形面积公式，三角形内切圆半径、外接圆半径公式； （4）掌握：三角形的中线公式及角平分线性质及其应用。 二：课前预习 1、RtΔ ABC 的两条直角边长分别为 5、12 则其内切圆半径 r= 外接圆半径 R= 2、已知△ABC 的周长为 18，且 sin A : sin B : sin C 3 : 2 : 4 ，则△ABC 的 面积为 BC 边上中线长为 3．Δ ABC 中，cos(A-B)+sin(A+B)=2，则Δ ABC 的形状是 4．边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 5．若△ABC 的 3 条边的长分别为 3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三 角形所成的两个三角形的面积比是 三：课堂研讨 例 1 ： 已知 a,b,c 是 ABC 的三边， ABC 面积 S a 2 (b c)2 且 内切圆半径 r= 外接圆半径为
高三数学一轮复习 14 第3章 两角和、差及倍角公式(2)导学案 理
高三数学理科专题复习14.2----两角和、差及倍角公式（二）【高考要求】：两角和（差）的正弦、余弦和正切(C); 二倍角的正弦、余弦和正切(B) ；几个三角恒等式(A).【教学目标】：了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式,体会化归思想的应用；掌握上述两角和与差的三角函数公式,能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,体会化归思想的应用,掌握二倍角公式（正弦、余弦、正切）,能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换,推导出积化和差、和差化积公式及半角公式（不要求记忆和应用）.【教学重难点】：两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式.从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.【知识复习与自学质疑】练习.1、若54sin =α，且α是第二象限角，则)4tan(πα+= 2、求值125cos 12cos ππ= ，040400175sin 175cos 40sin 130sin -= 3、若24,81cos sin ππ<<=x x x ，则x x sin cos -= 4、求值)20tan 10(tan 320tan 10tan 0000++=5、若223tan 1tan 1+=-+αα，则αα2cos 2sin 1-= 【例题精讲】例1、求值（1）)310(tan 40sin 00- （2）000010cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2+++例2、设)2,23(),,2(,1312)cos(,54)cos(ππβαππβαβαβα∈+∈-=+-=-，求βα2c o s ,2c o s例3、已知71tan ,21)tan(-==-ββα，且),0(,πβα∈求βα-2的值【矫正反馈】1、000010cos 70cos 50sin 20cos = ，000168cos 96cos 48cos 24cos = 2、若x x f 2sin )(tan =，则)1(-f 的值是3、已知41)4tan(52)tan(=-=+πββα，则)4tan(πα+的值 4、已知21)4tan(=+απ，求（1）αtan 的值，（2）ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值5、设),2(),2,0(,1411)cos(,71cos ππβαπαβαα∈+∈-=+=，求β的值6、设α为锐角，31)tan(,53cos =-=βαα求αtan 和βtan 的值。
2013-2014学年高三数学一轮复习导学案：解三角形(2)
3. △ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列。 （1）若 b=7,a+c=13，求此三角形的面积； （2）求 3 sin A sin(c
6ห้องสมุดไป่ตู้
) 的取值范围。
4. 设锐角△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a,b,c，已知 a=2bsinA. （1）求 B 的大小； （2）求 cosA+sinC 的取值范围。
例 3 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c 。 （1）若 sin( A
) 2 cos A, 求 A 的值； 6 1 （2）若 cos A , b 3c, 求 sin C 的值。 3
四、 【学后反思】
课堂检测：解三角形（2）
姓名：
2
1. 若三条线段长分别为 5，6，7，则该三条线段组成的三角形的形状是
3
，当△ABC 的面积等于 3 时， tan C
3. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a, b, c ，且满足 c 2a cos B ，则△ABC 的形状是 三角形。
4. 在△ABC 中，若 sin A
3 5 , cos B ，则 cos C 的值为 5 13
三、 【探究提高】
例1 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a, b, c ，且满足
a 2 tan A ，试判 b2 tan B
断△ABC 的形状。
1
例2
设△ABC 的内角 A， B， C 所对的连长分别为 a, b, c ， 且 a cos B 3, b sin A 4.
（1）求边长 a ； （2）若△ABC 的面积 S 10 ，求△ABC 的周长 l 。
2013-2014学年高三数学一轮复习导学案：利用导数研究函数的单调性与极值
1 2 x a ln x(a R) 2
，求 a， b 的值
（1）若函数 f(x) 的图象在 x=2 处的切线方程为 y=x+b （2）函数 f(x)在 (1, ) 上为增函数，求 a 的取值范围
4
课题：利用导数研究函数的单调性
班级
姓名：
一：学习目标 1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的 单调区间。 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大 值、极小值 3. 利用函数的单调性和极值求参数的范围 二：课前预习 1.函数 f ( x) x3 3x 2 的单调增区间 2.若函数 值范围是 3.函数 f ( x) ( x 3)e x 的单调递增区间是 4. 函数 f ( x) x 3x 1 在 x
3 2
上是增函数，则实数 a 的取 f ( x) x3 ax 2在区间（， 1 +）
处取得极小值。
5.确定下列函数的单调区间 备 （1） f ( x) 2 x ln x
2
注
(2) f ( x) a a (a 0, a 1)
x
x
三：课堂研讨 例 1.求函数 f ( x) 2sin x cos 2 x( x (0, 2 )) 的单调递减区间
3
3 2 x 1, ( x R ) ，其中 a 0 ． 2
（Ⅰ ）若 a 1 ，求曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程； （Ⅱ ）若在区间
1 1 , 上， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围． 2 2
四：学后反思
课堂检测利用导数研究函数的单调性与极值 班级
2013年高考数学(理)一轮复习导学案2
学案2命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若綈p则綈q(綈p⇒綈q)；逆否命题：若綈q则綈p(綈q⇒綈p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p 叫做q的充要条件．自我检测1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题答案 C解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案 ①③解析 ①的逆命题是“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q ≤1，则Δ＝4－4q ≥0，所以x 2＋2x ＋q ＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二 充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件．(1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 (2011·邯郸月考)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三 充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0， 可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用 例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数， [8分]∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津模拟)给出以下四个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 C解析 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．(2010·浙江)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵0<x <π2，∴0<sin x <1. ∴x sin x <1⇒x sin 2x <1，而x sin 2x <1x sin x <1. 故 选B.3．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )可得到cos 2α＝12. 由cos 2α＝12得2α＝2k π±π3(k ∈Z )． ∴α＝k π±π6(k ∈Z )． 所以cos 2α＝12不一定得到α＝π6＋2k π(k ∈Z )． 4．(2011·威海模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真答案 D解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．(2011·枣庄模拟)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.故选B.二、填空题(每小题4分，共12分)6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．答案充要7．(2011·惠州模拟)已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则p是q的____________条件．答案必要不充分解析由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，由(x－1)2＋(y－2)2＝0得x＝1且y＝2，所以由q能推出p，由p推不出q, 所以填必要不充分条件．8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．答案[3,8)解析因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(3)若x2＋y2＝0，则x、y全为零．解(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(4分)(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．(8分)(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．(12分)10．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}，(2分)B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．(4分)∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p綈q.则{x |綈q }Ø{x |綈p }，(6分) 而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，∴{x |－4≤x <－2}Ø{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}， (10分)则⎩⎨⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎨⎧ a ≤－4，a <0.(11分) 综上，可得－23≤a <0或x ≤－4.(12分) 11．(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.(2分)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．(4分)于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)， 即数列{a n }为等比数列．(6分)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .(10分) ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q＝p ， 即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.(13分)综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．(14分)。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第2章 学案10
学案10函数的图象导学目标：1。
掌握作函数图象的两种基本方法:描点法，图象变换法.2。
掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性);④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图:（1）平移变换:函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向____(a>0)或向____（a<0）平移____个单位得到；函数y＝f（x）＋a 的图象可由函数y＝f（x）的图象向____（a>0)或向____(a〈0)平移____个单位得到．（2）伸缩变换:函数y＝f（ax）(a〉0）的图象可由y＝f(x）的图象沿x轴伸长（0〈a〈1)或缩短（____）到原来的错误!倍得到;函数y＝af(x）（a>0）的图象可由函数y＝f(x）的图象沿y轴伸长(____)或缩短（______)为原来的____倍得到．（可以结合三角函数中的图象变换加以理解）(3）对称变换:①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称；②f(x)与f(－x）的图象关于____轴对称；③f(x）与－f(x）的图象关于____轴对称；④f(x）与－f(－x）的图象关于______对称；⑤f(x）与f(2a－x）的图象关于直线______对称；⑥曲线f(x,y）＝0与曲线f(2a－x,2b－y)＝0关于点______对称；⑦|f（x）|的图象先保留f（x）原来在x轴______的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；⑧f（｜x|)的图象先保留f（x）在y轴______的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．自我检测1．(2009·北京改编）为了得到函数y＝lg错误!的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向（填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向（填“上”或“下”）________平移________个单位长度．2．(2010·烟台一模)已知图1是函数y＝f(x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________（填序号）．①y＝f（|x|)；②y＝｜f(x)|；③y＝f（－|x｜）;④y＝－f(－｜x｜)．3．函数f（x)＝错误!－x的图象关于________对称．4．使log2(－x)〈x＋1成立的x的取值范围是________．5．（2011·淮安模拟)已知f(x)＝a x－2，g(x）＝log a|x|（a〉0且a≠1)，若f(4)·g(－4)〈0，则y＝f（x)，y＝g（x）在同一坐标系内的大致图象是________(填序号）．探究点一作图例1 (1)作函数y＝｜x－x2｜的图象；(2)作函数y＝x2－｜x|的图象;（3）作函数y＝错误!｜x|的图象．变式迁移1 作函数y＝错误!的图象．探究点二识图例2 (1）函数2log2xy ｜的图象大致是________（填入正确的序号)．(2）函数f（x）的部分图象如图所示,则函数f（x）的解析式是下列四者之一,正确的序号为________．①f(x)＝x＋sin x；②f(x）＝错误!;③f(x）＝x cos x；④f(x）＝x·（x－错误!）·(x－错误!）．变式迁移2 已知y＝f(x）的图象如图所示，则y＝f（1－x）的图象为________（填序号)．探究点三图象的应用例3 若关于x的方程|x2－4x＋3｜－a＝x至少有三个不相等的实数根,试求实数a的取值范围．变式迁移3 (2010·全国Ⅰ）直线y＝1与曲线y＝x2－｜x|＋a 有四个交点，则a的取值范围为________．数形结合思想例(5分）（2010·北京东城区一模）定义在R上的函数y＝f(x）是减函数，且函数y＝f（x－1)的图象关于（1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时,ts的取值范围为________．答案错误!解析因函数y＝f(x－1）的图象关于(1，0)成中心对称,所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f(x)，即y＝f（x）的图象关于（0，0)对称,所以y＝f(x）是奇函数．又y＝f(x）是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1）2－1,图象的对称轴为x＝1,当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1｜，当t≥1时，有s≥t≥1,所以错误!≤错误!≤1；当t〈1时，即s－1≥1－t，即s＋t≥2,问题转化成了线性规划问题,画出由1≤s≤4，t〈1,s＋t≥2组成的不等式组的可行域。
2014届高考数学一轮复习教学案数列地综合应用(含解析汇报)
A． a3 ＋ a9 ≤b4 ＋ b 10
B． a3 ＋ a9 ≥b4 ＋b 10
C．a3 ＋ a9 ≠b4 ＋ b 10
D ．a3 ＋ a9 与 b4 ＋ b 10 的大小不确定
解析：选 B a3＋ a9 ≥2 a3a9 ＝ 2 a26 ＝ 2a6 ＝ 2b 7 ＝ b4 ＋ b 10 ，当且仅当 a3 ＝ a9 时，不
等差数列与等比数列的综合问题
典题导入 [例 1] 在等比数列 {an }(n∈ N * )中， a1 >1 ，公比 q>0 ，设 b n＝ log 2an，且 b 1＋ b 3＋ b5 ＝6 ，b 1 b 3 b5 ＝ 0.
(1) 求证：数列 {b n} 是等差数列；
(2) an.
这个固定的数就是公比．
(3) 递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化 时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推关系，还是前 n 项和 Sn 与 Sn＋ 1 之间的递推关系．
[ 小题能否全取 ] 1．某学校高一、 高二、 高三共计 2 460 名学生， 三个年级的学生人数刚好成等差数列，
1－ 2n －1 1 －2
＝ 2n＋2－ 6，
当 n ＝1 时上式也成立． 综上，当 n 为正整数时， Sn＝ 2n＋ 2－ 6.
等差数列与等比数列的实际应用
典题导入 [例 2] (2011 ·湖南高考改编)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M ， M 的价值在使用过程中逐年减少．从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%. 则第 n 年初 M 的价值 an＝ ________. [自主解答 ] 当 n≤6 时，数列 {an}是首项为 120 ，公差为－ 10 的等差数列， an＝ 120 －10( n － 1) ＝ 130 － 10 n；
2014届高三数学一轮复习导学案：圆的方程
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5、若圆： x2 y 2 4x ay 3 0 上任意一点关于直线 x y 1 0 的对称 点都在圆 C 上，则 a _____ . 三：课堂研讨 例 1.根据下列条件分别求圆的方程。 ⑴Δ ABC 顶点的坐标是 A（4，3） ，B（5，2） ，C（1，0） ，求它的外接圆方程。 ⑵由 y x, x 2 和 y 0 围成的三角形内切圆方程。 ⑶经过两圆 x 2 y 2 4, x 2 y 2 4x 4 y 4 0 的交点，且关于直线 x 2 y 1 0 对称的圆的方程。
对称， 它截 x 轴所得弦长为
3.M（3，0）为圆 x 2 y 2 8x 2 y 10 0 内一点，过 M 点最长的弦的在 直线方程为 ，以 M 为中点的弦所在直线方程为 . .
4.圆 ( x 3) 2 ( y 2) 2 1 上点到 x 轴、 y 轴距离之和的最大值为
课题：圆的方程
班级
姓名： 备 注
一：学习目标 了解确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据 问题的条件选择恰当的形式求圆的方程。 二：课前预习
（ 1，-2） 1.⑴圆以 为圆心且与直线 x y 6 相切的圆的方程是____________.
⑵过点 (2, 2) ，圆心是 C (3, 0) 的圆的方程为_________________. ⑶经过点 A(1,1), B(1,3) ，圆心在 x 轴上的圆的方程是_______________. 2. 若方程 a 2 x 2 (a 2) y 2 2ax a 0 表示圆，则 a = 为 ， 半径为 ， 它关于点 ，圆心坐标 。
例 2.设圆 C 满足：⑴截 y 轴所得弦长为 2； ⑵被 x 轴分成的两段弧长之比为 3：1；
2014届高三数学一轮复习导学案：向量的数量积(2)
6、 点 A、 B 的坐标分别为 （a,0） 与 （0， a） ,a 是正数， P 在线段 AB 上， 且 AP tAB ， 则 PA PB 的最小值为 此时 t= .
7 、设 a, b 是互相垂直的单位向量，且 (a c) (b c) ，则 | c | 的最大值为 ____________. 三：课堂研讨 例 1、已知 | a | 3,| b | 2 ，向量 a 和 b 的夹角为 90 ，
1 2 3 ,b=(- 3 ,-1). 2
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课外作业——向量的数量积（2）
1.若 a 与 b-c 都是非零向量，则“a· b=a· c”是“a⊥（b-c）”的
姓名：
条件.
2.已知 a，b 是非零向量，且满足（a-2b）⊥a， （b-2a）⊥b，则 a 与 b 的 夹角是 . .
0
（1）若向量 ka 2b 与 4a 3b 垂直，求实数 k 的值。
1
（2）若向量 ka 2b 与 4a 3b 的夹角为锐角，求实数 k 的取值范围。
例 2、已知 a, b 为非零向量， a 3b 与 7a 5b 垂直， a 4b 与 7a 2b 垂直， 求 a 与 b 的夹角. （2）求分别于 a ( 3, 1), b (1, 3) 夹角相等且模为 2 的向量 c 的坐标.
1 3 1 x | a | x 2 ( a b) x 在 R 上 3 2
有极值，则 a 与 b 夹角的取值范围为___________. 3、在 ABC 中， AB c, BC a, CA b ，则下列推导中，不正确的序号 是 ①.若 a b 0 ，则 ABC 为钝角三角形 ②. 若 a b 0 ，则 ABC 为直角三角形 ③.若 a b b c ，则 ABC 为等腰三角形 ④. 若 | a || b c | ，则 ABC 为直角三角形 4、已知： a =(4,2),则与 a 垂直的单位向量的坐标为 5 、 已 知 O 是 三 角 形 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 满 足 心
2013-2014学年高三数学一轮复习导学案：空间几何体的表面积(1)
课题： 空间几何体的表面积
姓名：
一：学习目标
1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面积 2.会求一些简单几何体的表面积. 二：课前预习 1. 对于一些特殊的简单的多面体，我们如何求它们的表面积？
备注
2. 请回答一下直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台相关概念。
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2013-2014 学年高三数学一轮复习导学案：空间几何体的表面积(1)
1．长方体 AC1 的长宽高分别为 5、4、3，一个能爬不能 飞的小虫由长方体的表面沿顶点 A 到顶点 C1 所走的最短 路程为________
空间几何体的表面积 姓名： 3/5
2013-2014 学年高三数学一轮复习导学案：空间几何体的表面积(1) 当堂检测 1．.以下命题：
SHale Waihona Puke 1O2E
变题：求底面边长为 2m,高为 1m 的正三棱锥的全面积
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2013-2014 学年高三数学一轮复习导学案：空间几何体的表面积(1)
例 2.一个直角梯形上底、下底和高之比 2：4： 5 .将此直角梯形以垂直
于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台求这个圆台上底面积、下底面积和 侧面积之比.
2x B
(1) 求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积.
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①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥； ②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台. 其中正确的命题序号是________.
2.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为 8cm 和 18cm,侧棱长为 13cm,求 它的侧面积.
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例 3. 据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动 速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂 线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km)．
(1)当 t＝4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵 袭到 N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明 理由．
例 2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元)与 x2 年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y＝ －48x＋8 000，已知此生产 5 线年产量最大为 210 吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
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(2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最 大利润？最大利润是多少？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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函数的模型及应用（2）
姓名：
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当堂检测 1．设甲、乙两地的距离为 a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则 小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为
2．我们知道，烟酒对人的健康有危害作用，从而我国加强对烟酒生产的宏观 管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为 70 元，不收 附加税时，每年大约销售 100 万瓶；若每销售 100 元国家要征附加税 x 元(叫 做税率 x%)，则每年销售量将减少 10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收 取的附加税额不少于 112 万元，则 x 的最小值为 3． 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用， 管理这些自行车的费用是每日 115 元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出； 若超出 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆． 为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求出租自行 车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日净 收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)． (1)求函数 y＝f(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
课题：函数模型及应用 （2）
姓名：
一：学习目标 备 1. 能根据实际问题的情况,建立合理的函数模型 注 2. 应用函数模型解决实际问题 二：课前预习 1.若干毫升水倒入底面半径为 2ｃｍ的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm．若 将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 2、某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软 件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式 共有 3、今年“十一”迎来祖国 60 周年华诞，北京十家重点公园将进行免费游园活动，北 海公园免费开放一天，早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园，第一个 30 分钟内有 4 人 进去并出来 1 人，第二个 30 分钟内进去 8 人并出来 2 人，第三个 30 分钟内进去 16 人并出来 3 人，第四个 30 分钟内进去 32 人并出来 4 人……按照这种规律进行 下去，到上午 11 时 30 分公园内的人数是 三：课堂研讨 例 1．如图所示，一条直角走廊宽为 2 米。现有一 2m 转动灵活的平板车，其平板面为矩形 ABEF，它的 宽为 1 米。直线 EF 分别交直线 AC、BC 于 M、N， N 过墙角 D 作 DP⊥AC 于 P，DQ⊥BC 于 Q； E ⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠ CAB ，试 Q D 求平板面的长 (用 表示)； B ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能 F 2m l 超过多少米? C M AP