华理概率论答案第三册

求 Eξ , E (2ξ + 3), E (ξ + e −2ξ ) 和 E (max{ξ , 2}) 。 解
Eξ = ∫
+∞ 0
xe − x dx = 1 ；
E (2ξ + 3) = 2 Eξ + 3 = 5 ；
E (ξ + e −2ξ ) = Eξ + E (e −2ξ ) = 1 + ∫ e −2 x ⋅ e− x dx =
二． 选择题
2 1. 在相同条件下独立的进行 3 次射击，每次射击击中目标的概率为 ，则至 3 少击中一次的概率为 （ D ） 4 12 19 26 B. C. D. A. 27 27 27 27
3. 某保险公司的某人寿保险险种有 1000 人投保，每个人在一年内死亡的概率 为 0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这 1000 个投保人死亡人数不超过 10 人的概率。用 Excel 的 BINOMDIST 函 数计算。BINOMDIST（10 , 1000, 0.005, TRUE）= 0.986531_。 4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为 4 的泊松分布，用 Excel 的 POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于 10 的概率。 POISSON（10 , 4 ，TRUE）=0.9972, 所求概率 p=_0.0028_。 5. ξ ~ P(4) ，由切比雪夫不等式有 P (| ξ − 4 |< 6) ≥ __8/9___。
在运转中各部件需要调整的概率分别为 0.1， 0.2 3. 一台机器由三大部件组成， 和 0.3。假设各部件的状态相互独立，用 ξ 表示同时需要调整的部件数，试 求 ξ 的数学期望。 解 设 Ai = ｛第 i 个部件需要调整｝ （i=1,2,3） ， 则 P(A1)=0.1， P(A2)= 0.2， P(A3)=0.3 。 所以
Dξ = 0.1 ，
由契比雪夫不等式 令
P{| ξ − 1|≥ a} ≤
0.01 ， a2
0.01 ≤ 0.1 ， 得 a ≥ 0.32 。 a2
6. 设随机变量 ξ 的概率分布为 ⎛a⎞ 1− x P (ξ = x) = ⎜ ⎟ (1 − a) , x = −1, 0,1 ⎝2⎠
其中 0<a<1。试求： Dξ ， D | ξ | 。 解 所以 又
概率论与数理统计
作业簿（第三册）
学 学 院 号 ____________专 ____________姓 业 名 ____________班 级 ____________ ____________任课教师____________
第七次作业
一．填空题：
1.
ξ 的分布列为: ξ
P
则 Eξ = 2.7 。 1 2 3 4
⎛ξ ⎞ ⎜ ⎟ ,那 ⎝2⎠
3
么, Eη =
4π π b x3 π (a + b)(a 2 + b 2 ) ⎛ξ ⎞ π ⋅ E ⎜ ⎟ = ⋅ Eξ 3 = ∫ dx = 。 3 6 6 a b−a 24 ⎝2⎠
3
5.
6 个元件装在 3 台仪器上，每台仪器装两个，元件的可靠性为 0.5。如果一台仪器中
x
a a Eξ = (−1) ⋅ + 0 ⋅ (1 − a) + 1⋅ = 0, 2 2 Dξ = Eξ 2 − ( Eξ ) 2 = a 。
a a Eξ 2 = (−1) 2 ⋅ + 02 ⋅ (1 − a) + 12 ⋅ = a, 2 2
E ξ = a, E ξ = Eξ 2 = a ， 故 D ξ = E ξ − ( E ξ ) 2 = a(1 − a) 。
（2） 因为 Eξ = 0, Dξ =
1 8. 证明：事件在一次试验中发生次数 ξ 的方差一定不超过 。 4
证 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ，又设随机变量
⎛ p+q⎞ 1 则 Dξ = p(1 − p ) = pq ≤ ⎜ ⎟ = 。 4 ⎝ 2 ⎠
2
第九次作业
一． 填空题 1. 设 X 服从泊松分布，若 EX 2 = 6 ，则 P ( X > 1) = 解 X ~ P(λ ), 6 = EX 2 = DX + ( EX ) 2 = λ + λ 2 故 P ( X > 1) = 1 − P ( X ≤ 1) = 1 − P ( X = 0) − P ( X = 1)
P(ξ = 0) = P( A1 A2 A3 ) = 0.9 × 0.8 × 0.7 = 0.504 ， P (ξ = 1) = P ( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 0.389, P (ξ = 2) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 0.092, P (ξ = 3) = P ( A1 A2 A3 ) = 0.006.
从而
Eξ = 0 × 0.504 + 1× 0.389 + 2 × 0.093 + 3 × 0.006 = 0.6 。 4. 设球的直径均匀分布在区间[a , b]内，求球的体积的平均值。
解
设球的直径长为 ξ , 且 ξ ∼ U [a, b] ,球的体积为 η , 与直径 ξ 的关系为 η =
4π 3
0 +∞ +∞ −∞ 0
+∞
4 ； 3
E (max{ξ , 2}) = ∫ max{x, 2} p ( x)dx = ∫ max{x, 2}e − x dx = ∫ 2e − x dx + ∫
0 2 +∞ 2
xe − x dx = 2(1 − e −2 ) + 2e −2 + e−2 = 2 + e−2 。
1 10
2 5
1 5
3 10
2.
ξ 的分布列为:
ξ
P
-1 0
1 3 1 2 则 Eξ = ， E (−ξ + 1) = ， 3 3
二．填空题：
1 6
Eξ 2 =
1 2 1 6 35 。 24
1
2
1 12
1 4
1. 若对任意的随机变量 ξ ， Eξ 存在，则 E ( E ( Eξ )) 等于 (A)．0 (B)． ξ (C)． Eξ
（ C
） 。
(D)． ( Eξ ) 2
2. 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元，2 张为 5 元，某人从中随机地无放回地 抽取 3 张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ） (A) 6.5 （B）12 （C）7.8 （D）9 三．计算题
−θ ⎧ 1 2 θ −1 x ， 0 < x <1 ⎪ 1. 设随机变量 X 的概率密度为 p ( x) = ⎨ θ − 1 ⎪0 ， 其他 ⎩
2
2
7. 设随机变量 ξ
U (−1,1) .
(1) 试求 P (| ξ |> 0.6) ; (2) 试用切比雪夫不等式给出 P(| ξ |≥ 0.6) 的上界.
解
（1） P (| ξ |> 0.6) =0.4
1 ，所以 3 1 100 P (| ξ |≥ 0.6) = P(| ξ − Eξ |≥ 0.6) ≤ 。 = 2 3 × 0.6 108
至少有一个元件正常工作，不需要更换，若两个元件都不工作，则要更换，每台仪器 最多更换一次，记 X 为 3 台仪器需要更换元件的总次数，求 EX
解
随机变量 X 的取值：k=0,1,2,3 ，每台仪器需要更换元件的概率:
p = 0.5 × 0.5 − 0.25 ，则
k k P ( X = k ) = Cn p (1 − p )3− k , k = 0,1, 2,3
所以 Eξ = 1 。
第八次作业
一. 填空题 1. 设随机变量 ξ 的分布律为
ξ
P
-1
a 1/4
0 1 2
1
b 1/4 。
已知 Dξ = 0.5 ，则 a= 二. 选择题
，b
1. 设 X 是一随机变量，E ( X ) = μ , D( X ) = σ 2 , (μ, σ >0 为常数)， 则对任意常数 C，必有 A E(X-C)2 = E(X2) - C2 C. E(X-C)2< E(X- μ )2
D(ξ ) = E (ξ 2 ) − [ E (ξ )]2 =
1 。 6
4.
设随机变量 ξ 仅在[a , b]取值，试证
⎛b−a⎞ a ≤ Eξ ≤ b, Dξ ≤ ⎜ ⎟ 。 ⎝ 2 ⎠
证 因为 a ≤ ξ ≤ b , 所以 a ≤ Eξ ≤ b . 又因为
2
a −b a+b a+b a+b b−a =a− ≤ξ − ≤b− = 2 2 2 2 2
2
2. 对第七次作业第三大题第 3 小题中的 ξ ，求 Dξ 。
解 Dξ = E (ξ 2 ) − ( Eξ ) 2 = 0 × 0.504 + 1× 0.389 + 4 × 0.093 + 9 × 0.006 − 0.62 = 0.46.
0 ≤ x ≤1 ⎧ x ⎪ 3. 设随机变量 ξ 具有概率密度 p ( x) = ⎨ 2 − x 1 < x ≤ 2 , 计算 Dξ 。 ⎪ 0 其它 ⎩
1 − 3e −2 。
λ = 2.
2.
= 1 − e−2 − 2e −2 = 1 − 3e−2 . 设随机变量 ξ ~ B(n, p ) ， 已知 Eξ = 2.4, Dξ = 1.44 ， 则参数 n= 6
，
p = 0.4
解
。 ⎧ Eξ = np = 2.4, ⎧n = 6, ⇒⎨ ⎨ ⎩ Dξ = npq = 1.44, ⎩ p = 0.4.
三. 计算题 （ D ）
B. E(X-C) = E(X-μ ) D. E(X-C)2≥E(X- μ )2
2 2
1. 对第七次作业第一大题第 2 小题的 ξ ，求 Dξ 和 D (1 − 3ξ ) 。
解
Dξ = E (ξ 2 ) − ( Eξ ) 2 =
35 ⎛ 1 ⎞ 97 97 −⎜ ⎟ = ， D (1 − 3ξ ) = 9 Dξ = 。 8 24 ⎝ 3 ⎠ 72
⇒ξ−
a+b⎞ ⎛b−a ⎞ a+b b−a ⎛ ， ⇒ Dξ ≤ E ⎜ ξ − ≤ ⎟≤⎜ ⎟ 。 2 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝
2
5. 已知某种股票的价格是随机变量 ξ ，其平均值是 1 元，标准差是 0.1 元。求
常数 a，使得股价超过 1+a 元或低于 1-a 元的概率小于 10%。(提示: 应用 切比雪夫不等式)。 解 已知 Eξ = 1,
解
Eξ = ∑ k ⋅
k =0
∞
∞ 1 1 1 ∞ ⎛1⎞ = ⋅ = k ∑ ∑ k ⋅⎜ ⎟ 2k +1 k =1 2k +1 4 k =1 ⎝ 2 ⎠
k −1
，
令 x=
∞
1 ， 则 2
′ ⎛ 1 ∞ ′ ⎛ ∞ 1 ⎞′ k −1 k k ⎞ ， ⋅ = = = − 1 k x x x ( ) ⎜∑ ⎟ ⎝ ∑ ∑ ⎜ ⎟ = 1 − x ⎠ (1 − x) 2 k =1 k =1 ⎝ k =1 ⎠
其中θ >1，求 EX 。
解来自百度文库
EX = ∫ x
0
1
−θ 1 1 1 1 2 1 θ 1 1 x θ −1 dx = ∫ x θ −1 dx = x θ −1 = 。 0 θ −1 0 θ θ −1 θ
2.
设随机变量 ξ 的概率密度函数
⎧e − x , x > 0 p( x = ）⎨ ⎩ 0, x ≤ 0
证 设 ξ 的密度函数是 p( x) ，由 α > 0 得
Eξ
α
P (ξ ≥ α ) =
+∞
∫ α
+∞
p ( x)dx ≤ Eξ
∫ α α
。
x
p( x)dx =
1
+∞
α
∫ α
xp( x)dx ≤
1
+∞
α
∫ xp( x)dx =
0
Eξ
α
，
所以 P (ξ < α ) ≥ 1 −
α
7. * 某种产品上的缺陷数 ξ 服从分布律 1 , k = 0,1, 2,L 2k +1 求此种产品上的平均缺陷数。 （* 高等数学 8 学分的学生可以不做） P (ξ = k ) =
X P
0 27/64
1 27/64
2 9/64
3 1/64
故 EX = 0 ×
27 27 9 1 3 （或 EX = np = 0.75 ） + 1× + 2 × + 3 × = 。 64 64 64 64 4
6. 设 ξ 是非负连续随机变量且 Eξ 存在，对任意 α > 0 试证 P (ξ < α ) ≥ 1 −
解
E (ξ ) = ∫
2 +∞
+∞
−∞
xp( x)dx = ∫ x ⋅ xdx + ∫
0 1 2 2
1
2
1
x3 x3 x ⋅ (2 − x)dx = + ( x2 − ) = 1， 3 0 3 1
1 2 2
1
2
E (ξ ) = ∫
−∞
x p( x)dx = ∫ x ⋅ xdx + ∫
2 0
1
x4 2 x3 x 4 7 x ⋅ (2 − x)dx = +( − ) = ， 4 0 3 4 1 6