克莱姆法则

14 0 6
27 27
=
1
2 1 5 8
1 D4 0
3 2
0 1
9 5
=27
x4
D4 D
27 27
1 4 7 0
=1
A
7
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件
齐次线性方程组:
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a21x1
a22x2 a2n xn
0
an1x1 an2 x2 annxn 0
a21x1 an1x1
a22x2 a2nxn
an2x2 annxn
b2 bn
的系数行列式 a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
0
an1
aA n2
ann
2
则该线性方程组有且仅有唯一解:
x1D D 1,x2D D 2, ,xnD D n
其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即
(1)未知数个数等于方程个数
(2)系数行列式D0
A
4
2 x1 x2 5 x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 2x
3 2
x2 x3
6 x4 2 x4
9
5
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
解: 方程组的系数行列式
2 1 5 1
1 3 0 6
D 0
2
1
2 =27 0
1 4 7 6
a11 a1,j1
Dj
a 21
a2,j1
b1 a1,j1
b2 a2,j1
a1n a2n
an1 an,j1 bn an,j1 ann
A
3
定理中包含三个结论:
(1)方程组有解
(2)解是唯一的
(3)解由公式
xj
Dj D
( j=1,2,...,n)给出
注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两 个前提条件:
显然,齐次线性方程组总是有解的.因为 x1=0, x2=0,, xn=0就是一个解,它称为零解.
齐次线性方程组除了零解以外还有没
有其它解,即非零解? A
8
定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. [证] 若D0
由克莱姆法则知齐次线性方程组只有 唯一的零解.
与已知矛盾
§1.3 克莱姆法则
1.克莱姆法则
2.齐次线性方程组有非零解的充要条件
我们已经知道,在一定条件下,二元(或
三元) 线性方程组的解可以用二阶(或三
阶)行列式表示出来.那么,对于n元线性方
程组能否用n阶行列式来表示?
A
1
一、克莱姆法则
定理二(克莱姆法则) 设线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
D=0
A
9
注: 由定理三可知,齐次线性方程组的系
数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 的必要条件.
在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 方程组有非零解的充分条件.
综合上述,得到: 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0.
A
10
例2 取何值时,下述齐次线性方程组有非
零解?
( 1)x1 x2 x3 0 x1 ( 1)x2 x3 0 x1 x2 ( 1)x3 0
解:
1 1 1
D 1 1 1 =(+3)2
1 1 1
齐次线性方程组有非零解 D=0
A
= 3或0 11
A
5
由克莱姆法则知,方程组有唯一解
8 1 5 1

9 D1 5
3 2
0 1
6 2
=81
x1
D1 D
81 27
0 4 7 6
=3
2 8 5 1
1 D2 0
9 5
0 1
6 2
=
108
x2
D2 D
1 0 7 6 A
108 27
=
4
6
21 8 1
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
=
27
x3
D3 D