八年级数学拓展训练题1
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拓展五
1、如图⑴⑵⑶⑷…n分别为以△ABC的AB、AC为边在三角形外作正三角形ABE和正三
角形ACF，正方形ABDE和ACGF,正五边形ABDHE和ACKGF，…正n边形ABD…E 和ACKG…F,BF与CE交于O
（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；
②探究：如图1，∠BOC=120°
；如图2，∠BOC=90°；
如图3，∠BOC=72°
（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O．
②根据图4证明你的猜想．
解：（1）①证法一
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC
证法二：
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到，
∴△ABE≌△ADC，
②120°，90°，72°．
（2）①360°/n
②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，
AB=AD，AE=AC，
∴∠BAD=∠CAE=(n-2)180/n
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠ADC+∠ODA=180°，
∴∠ABO+∠ODA=180°，
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°，
∴∠BOC+∠DAB=180°，
∴∠BOC=180°-∠DAB=180°-(n-2)180/n=360°/n
证法二：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC，如图，延长BA交CO于F，
∵∠AFD+∠ABE+∠BOC=180°，∠AFD+∠ADC+∠DAF=180°，
∴∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD=360°/n
证法三：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=180°-（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∴∠BOC=180°-（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠ADC+∠ACD=180°-∠DAC，
∴∠BOC=180°-（360°-∠BAC-∠DAC），
即∴∠BOC=180°-∠BAD==360°/n
证法四：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠AEB=∠ACD．如图，连接CE，
∵∠BEC=∠BOC+∠OCE，
∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD-∠ACE，
∴∠BOC=∠AEC+∠ACE．
即∴∠BOC=180°-∠CAE=360°/n
如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为边的正三角形，CE、BF相交于O．则∠EOB的度数为（60）
解：∵∠EAB=∠FAC，Array∴∠EAC=∠BAF，
在△AEC和△ABF中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AC=AF，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠AEO=∠ABO
∵∠AEO+∠BEO=60°
∴∠BEO+∠ABO=60°
∵在△EBO中，∠BEO+∠ABO=60°，∠EBA=60°，∠BEO+∠ABO+∠EBA=120°
∴∠EOB=60°
2、如图⑴⑵⑶中，点E、D分别是正三角形ABC正四边形ABCM、正五边形ABCMN 中，以C为顶点，一边延长线和另一边反响延长线上的点，且BE=CD，DB延长线交AE于F。.求：（1）∠AFB的度数：（3）根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正N边形情况，若能，写出推广问题和结论：若不能，请说明理由
如图3，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB延长线交AE
（3）若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为
(n-2)180°
/n．（可用含n的代数式表示，不必证明）
解：（1）在正△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ABE=∠BCD=120°，
又∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D
又∵∠FBE=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°
由∠FBE=∠CBD，∠E=∠D得：△FBE∽△CBD
∴
CD
EF
=
BD
EB
，又BE=CD，
∴CD2=BD•EF；
（2）由以上不难得：△AEB≌△BDC进一步证出，
△BEF∽△BDC，得出，∠AFB的度数等于∠DCB=90°，
同理可得：∠AFB度数为108°，（1）中式子成立；
故填：90°，108°，成立；
（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为(n-2)•180°
n
．
故填：
(n-2)•180°
n
．