误差理论与平差基础课件 第1、2章

−
e
dx = μ
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第二章 误差分布与精度指标 2
方差
2 D( x), D x , σ x
(a) 定义
D( x) = E{[ x − E ( x)] }
2
∞ i =1
D( x) = ∑[ xi − E ( x)]2 pi 离散型：
连续型： D( x) = (b) 运算规则 (c)正态随机变量的方差
极限误差 (limit error)
Δ 限 = 3σ
相对（中、真、极限）误差 (relative error)
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第二章 误差分布与精度指标
例1. 在测站D上，观测了三
a b c da db dc
个方向A、B、C，得10个测 1 28 47 29 47 18 19 69 50 34 2.3 0.4 -1.2 回的方向观测读数a、b、c， 2 34 20 35 -2.7 -0.6 -2.2 3 28 18 33 3.3 1.4 -0.2 试估算各个方向观测值的方差、 4 33 17 35 -1.7 2.4 -2.2 协方差、相关系数。
本课程的主要内容及任务 主要任务：讲述测量平差的基本理论和基本方 法； 研究对象：处理带有偶然误差的观测列； 教学目的：掌握误差理论和经典平差基本原理及各 种平差方法； 两大任务：参数估计 精度评定
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本次课的主要内容 教学安排 课程的研究对象 测量平差的简史和发展 测量平差的两大任务及 本课程的主要内容 偶然误差的规律性
ˆ a=
[a] = 28 o 47'31.3" 10
ˆ [b] = 47 018'19.4" b= 10
ˆ c= [c ] = 69o50'32.8" 10
5 6 7 8 9 10
35 35 31 29 27 32
24 18 16 25 19 18
31 -3.7 -4.6 30 -3.7 1.4 29 0.3 3.4 32 2.3 -5.6 32 4.3 0.4 37 0.7 1.4
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第二章 误差分布与精度指标 二、随机变量的数字特征 1 2 3
反映随机变量集中位置的数字特征 ---数学期望（expected value) 反映随机变量偏离集中位置的离散程度 ----方差 (variance) 反映两两随机变量x、y相关程度的数字特征 ---协方差(covariance) ---相关系数 (correlation coefficient)
-4-
测量平差的简史和发展
使人们从低精度的度、量、衡手段中获取高精度的成果 18世纪末，在测量学、天文测量学等实践中提出了如 何消除由于观测误差引起的观测量之间的矛盾问题 法国大地测量学家拉普拉斯（Laplace 1749-1827） 最早提出测量偶然误差的概率分布密度函数 1794年德国大地测量学家高斯（Gauss 1777-1855） 首先提出最小二乘法 1806年法国数学家勒让德尔（Legendre 1752-1833）在 论著《决定卫星轨道的新方法》中独立提出最小二乘法 1809年高斯在他的《天体沿圆锥面绕太阳运动的理论》 著作中，对勒让德尔的最小二乘法作了理论上的阐述。 高斯分布密度函数 -5-
相关系数：
ρ xy
σ xy = σ xσ y
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第二章 误差分布与精度指标 三、衡量精度的指标 1 方差和中误差 (variance and mean square error ) σ 2 2 3 4 5
平均误差 (average error)
σ
θ=
2
π
σ
2 或然误差 (probable error) ρ ≈ σ 3
正态分布 (normal distribution)
− 1 f (Δ) = e 2π σ ( Δ−μ )2 2σ 2
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第二章 误差分布与精度指标 3 偶然误差的统计特性
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值即超过 一定限值的偶然误差出现的概率为零； 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大； 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 偶然误差的理论平均值为零
例1有观测向量 X = [L1 L2
T L3 ] 的协方差 D ,XX 33
试写出各观测值的中误差及协方差 σ L1L2 , σ L2 L3
⎡ 4 −2 0 ⎤ = ⎢− 2 9 − 3⎥， ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 3 16 ⎥ ⎣ ⎦
例2 已知随机向量 X , Y
t ,1
的协方差和互协方差阵
r ,1
为
∫
∞
−∞
[ x − E( x)]2 f ( x)dx
D( x) = ∫ ( x − μ )
−∞
∞
2
1 2π σ
−
( x−μ )2 2σ 2
e
dx = σ 2
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第二章 误差分布与精度指标
例1：求随机变量 t =
x−μ
σ
的期望和方差。
3
协方差 定义
D xy , σ xy
σ xy = E{[ x − E ( x)][ y − E ( y )]}
4
误差的分类
粗差 (gross error) , 系统误差(systematic error) 偶然误差(random error、accident error)
5
误差的处理方法 -3-
本次课的主要内容 教学安排 课程的研究对象 测量平差的简史和发展 测量平差的两大任务及 本课程的主要内容 偶然误差的规律性
D XX , DYY , D XY
⎡X ⎤ ，写出向量 Z = ⎢ ⎥ ⎣Y ⎦
的协方差阵。
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第二章 误差分布与精度指标 六、小结
误差 测量误差 （观测误差） 真误差 名 词 方差 中误差 平均误差 或然误差 极限误差 相对误差 绝对误差 粗差 偶然误差 随机误差 系统误差 准确度 精度 精确度
衡量精度的指标
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测量平差的简史和发展
高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30 日—1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、 天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学 家，有数学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家 之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。 高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几 何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注 重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于 用数学方法进行研究。 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过 他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方 法，显著的提高了测量的精度。 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测，夜晚计算。五六年间，经他 亲自计算过的大地测量数据，超过100万次。当高斯领导的三角测量外 场观测已走上正轨后，高斯就把主要精力转移到处理观测成果的计算上 来，并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
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第二章 误差分布与精度指标 一、偶然误差的规律性 1 随机变量（stochastic variable) 2 偶然误差的分布
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第二章 误差分布与精度指标 2 偶然误差的分布
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第二章 误差分布与精度指标----偶然误差的分布
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第二章 误差分布与精度指标----偶然误差的分布
本次课的主要内容 教学安排 课程的研究对象 测量平差的简史和发展 测量平差的两大任务及 本课程的主要内容 偶然误差的规律性
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教学安排 1 2 3 4 5 课程的结构 课程的地位 课程和其它课程的联系 课程的学时安排 参考书目
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课程的研究对象 观测误差 (Observation Error)
1 2 3 为什么要进行多余观测 误差存在的现象 误差产生的原因
观测条件（observation condition） ： 观测仪器(instrument) 观测者(observer) 外界条件(outside condition)
必要观测（necessary observation）多余观测（redundant observation ）
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测量平差计算手段的发展
-7-
测量平差的若干发展
1 2 3 4 5 6 7 8 从观测值仅含偶然误差扩展到有含有系统误差和粗差 从独立观测扩展到相关观测的平差理论 从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵亏秩 从仅处理静态数据扩展到处理动态数据 从无偏估计扩展到有偏估计 从线性模型的参数估计扩展到非线性模型的参数估计 从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量 从主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型 -8-
1.8 2.8 3.8 0.8 0.8 -4.2
ˆ ˆ dai = a − ai , dbi = b − bi ,
ˆ ˆ dci = c − ci
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第二章 误差分布与精度指标 五、精度 准确度 精确度
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差） 的大小。 1 精度： (precision) 描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的高低。 用方差或中误差表示 2 准确度：(accuracy) 描述系统误差和粗差，可用观测值的真值与观测值的数学期 望之差来描述，即： ~ 3 精确度： 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值 的均方误差来描述：
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第二章 误差分布与精度指标 1
数学期望 (a) 定义 离散型： 连续型： (b) 运算规则 (c) 正态随机变量的数学期望
( x−μ )2 2σ 2
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E (x), μ
E ( x ) = ∑ xi p i
E ( x) = ∫ xf ( x)dx
−∞
∞
i =1 ∞
E ( x) = ∫ x
−∞
∞
1 2π σ
ε = L − E ( L)
MSE ( x) = E[( x − ~ ) 2 ] x
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第二章 误差分布与精度指标 五、随机向量的数字特征 1 2 3
随机向量 随机向量的数学期望 随机向量的方差-协方差阵 协方差阵的定义 协方差阵的特点 互协方差阵 协方差阵的定义 协方差阵的特点
4
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上次课的内容 随机向量的数学期望和协方差阵