高中数学必修一周周练(第二周)

高中数学必修一周周练(第二周）
一、选择题
1、函数y ＝2
x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域为( )
A ．(－∞，1)∪⎥⎦⎤ ⎝⎛2,21
B ．(－∞，2] C.⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
∞-2
1,∪[2，＋∞)
D ．(0，＋∞)
答案：A
2、函数f (x )的定义域为[－6,2]，则函数y ＝f (x )的定义域为( ) A ．[－4,4] B ．[－2,2] C ．[0， 2 ] D ．[0,4]
答案：D
3、已知U 为全集，A ，B ，I 都是U 的子集，且A ⊆I ，B ⊆I ，则∁I (A ∩B )＝( ) A. {x ∈U |x ∉A ，且x ∉B } B. {x ∈U |x ∉A ，或x ∉B } C. {x ∈I |x ∉A ，且x ∉B } D. {x ∈I |x ∉A ，或x ∉B }
答案：D 解析：由题意知，A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }，所以∁I (A ∩B )＝{x ∈I |x ∉A ，或x ∉B }． 4．给出下列说法：
①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}；②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2,2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是相等的． 其中正确的说法有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个
答案：A 解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的
代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－2，
解
为有序实数对(2，－2)，即解集为{(2，－2)}或⎩
⎨⎧
(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨
⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2，y ＝－2，故②不正确；集合{(x ，
y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相等，③不正确．故选A.
5、已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |
xyz
的值所组成的集合是M ，则下列判断正确
的是( )
A ．4∈M
B ．2∈M
C ．0∉M
D ．－4∉M
解析： 当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选A. 答案： A
6 设U ＝{1,2,3,4,5}，A ，B 为U 的子集，若A∩B ＝{2}，(A U C )∩B ＝{4}，(A U C )∩(B
U C )＝{1,5}，则下列结论正确的是( )
A ．3∉A,3∉
B B ．3∉A,3∈B
C ．3∈A,3∉B
D ．3∈A,3∈B 答案：C 二、填空题
7、已知集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 答案：[0,1]
8、已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R}，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．
解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .
答案：N
M
9．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2，x ≤－1，x 2
，－1＜x ＜2，
2x ，x ≥2，
若f (x )＝3，则x 的值为________．
解析：若x ≤－1，由x ＋2＝3，得x ＝1>－1，不符合题意，舍去；
若－1<x <2，由x 2＝3，得x ＝±3，由于－3<－1，x ＝－3不符合题意，舍去，经验证x ＝3；
若x ≥2，则2x ＝3，得x ＝3
2<2，不符合题意，舍去．
综上可知，x ＝ 3. 答案： 3
10、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为____________．
解析：f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
b 2
＝9，2b ＝－6，
a ＝2，
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－3. ∴f (2x －3)＝(2x －3)2＋2(2x －3)＋2, f (ax ＋b )＝0，即为4x 2－8x ＋5＝0，而Δ<0，故方程f (ax
＋b )＝0的解集为∅.
答案：∅ 三、解答题
11、已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，求实数a 的值．
解：因为1∈A ，所以a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3中有且仅有一个值为1. 若a ＋2＝1，则a ＝－1，所以A ＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若(a ＋1)2＝1，则a ＝0，或a ＝－2. 当a ＝0时，A ＝{1,2,3}，满足题意；
当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1，或a ＝－2.二者均不符合要求． 综上所述，a ＝0.
12、已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .
解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2. ∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下： (1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.
(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．
当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1. 综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．
13、设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，f (x )＝x ＋b ，且f (x )的图象经过点(－2,0)．又在y ＝f (x )的图象中，有一部分是顶点为(0,2)，且过(－1,1)的一段抛物线． (1)试求出f (x )的表达式；(2)求出f (x )的值域． 解：(1)∵f (x )的图象经过点(－2,0)，
∴0＝－2＋b ，即b ＝2.∴当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2. 又∵f (x )为偶函数，∴当x ≥1时，f (x )＝f (－x )＝－x ＋2. 当－1<x <1时，依题意设f (x )＝ax 2＋2， 则1＝a (－1)2＋2，∴a ＝－1， ∴当－1<x <1时，f (x )＝－x 2＋2. 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2，x ≤－1，－x 2
＋2，－1<x <1，
－x ＋2，x ≥1.
(2)当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2∈(－∞，1]；
当－1<x <1时，f (x )＝－x 2＋2∈(1,2]； 当x ≥1时，f (x )＝－x ＋2∈(－∞，1]． 综上所述，f (x )的值域为(－∞，2]． 14、已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x <0.
(1)求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．
解：(1)当x <0时，－x >0，
f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ， ∴f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2. y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由(1)知，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋2x ，x <0，
由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，
要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，解得1<a ≤3.
故a 的取值范围是(1,3]．。