数学思想方法概念及摘要

数形结合思想：“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

方程与函数思想：函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。

深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。

建模思想：为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。

使用数学语言描述的事物就称为数学模型。

有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、综合概括等思维过程，达到简化和假设。

它是把生活中实际问题转化为数学问题（模型）的一种思想方法。

培养学生用数学的眼光去认识和处理周围事物或数学问题，乃数学教学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

例22、车轮为什么要做成圆形的？例23、用一笔钱购买某种服装，若单买上衣可买10件，单买裤子可买15条。

如果用这笔钱购买这种成套服装可买几套？（工程问题）分类讨论思想：当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。

比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。

分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。

分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。

转化与化归思想：在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。

三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。

常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。

化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B达到解决问题A的方法。

化归的原则有化未知为已知、化繁为简、化难为易、降维降次、标准化等。

》。

符号思想：数学的思维离不开符号的形式（包括图、表），这样可大大地简化和加速思维的进程。

符号化语言是数学高度抽象的要求。

如定律 a.b=b.a，公式S=vt等都是用字母表示数和量的一般规律，而运算的本身就是符号化的语言。

所以说，符号化思想方法是数学信息的载体，也是人们进行定量分析和系统分析的一种载体。

例5、某汽车从甲地到乙地每小时行50千米，返回时每小时行40千米，求汽车往返的平均速度。

整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

隐含条件思想没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。

归纳推理思想由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理集合思想方法：集合思想是近代数学的最基本思想，许多重要的数学分支，如数理逻辑、实变函数、概率统计等都建立在集合理论的基础上。

小学数学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合的思想。

如在数的认识时出现韦恩图，在讲述公约数和公倍数时孕伏了交集的思想方法。

例7、某班参加校运会，参加田赛的有26人，参加径赛的有30人，其中既参加田赛又参加径赛的有12人，田、径赛项目都没参加的有4人，这个班学生共多少人？例8、求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数的个数。

例9、某研究所共有145人，人人都学过至少一门外语；其中学过英语的有90人，学过俄语的有80人，学过日语的有60人；既学过英语又学过俄语的有45人，既学过英语又学过日语的有40人，既学过俄语又学过日语的有30人。

问同时学过英、俄、日三门外语的有几人？统计思想方法：数据处理方法随着现代化的发展进程，越来越深入到社会生活的各个领域。

小学数学中的统计图表是一些最基本的统计方法。

求平均数应用题就是体现出数据处理的思想方法。

数学课程标准在学习内容制订中就十分强调要发展学生的统计观念。

北师大课改实验教材一、二年级每一册都专门安排了统计的学习内容。

例12、王欣前三次数学考试分别得90分、89分、94分，要使得四次考试平均分为93分，她第四次应考多少分？极限思想方法：事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。

这个变化过程中存在一个“关节点”，在小学数学讲述圆的周长、面积知识时，就以“极限”为“关节点”。

“化曲为直”地从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

例13、不计算直接比较63×66与64×65的大小。

例14、想一想：如何将长方形、正方形、平行四边形、梯形及三角形的面积计算用一个统一的公式来表达？有序的思想方法：思维要有序，即要按照一定的顺序，有条理地，全面地观察和思考问题。

如果思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。

例15 左图中有几个三角形？例16、用5、6、7、8这四个数字中的三个，能组成几个被5整除的三位数？运动的思想方法：运动是永恒的，静止是相对的。

用运动的、变化的眼光看事物，往往最能把握事物间的本质联系。

如几何中的点到线，线到面，面到体，变化的根本原因就在一个“动”字。

例20、甲、乙两人同时绕着一座长8米，宽5米的长方形住屋围墙边作同向前进，起初的位置如图，已知甲每秒行3米，乙每秒行2米。

问甲何时最早能看到乙？（甲不许回头看）8米例21、在一只装满水的瓶子里插着一根小棒，当把这根小棒轻轻向上提起4厘米时（小棒仍保持一部分浸没在水中），这时小棒上浸湿部分在水面以上的高度（）。

[A、比4厘米短B、比4厘米长C、正好是4厘米]。