(完整版)复变函数习题答案第5章习题详解

第五章习题详解
1． 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：
1) ()2211
+z z
解：
2)
31z z sin
3)
1123+--z z z
4)
()z z lz 1+
5)
()()z e z z π++112
6)
11-z e
7)
()
112+z e z 8) n n
z
z +12，n 为正整数
9)
21z sin
2． 求证：如果0z 是()z f 的()1>m m 级零点，那么0z 是()z f
'的1-m 级零点。

3． 验证：2i z π=
是chz 的一级零点。

4． 0=z 是函数()22--+z shz z sin 的几级极点？
5． 如果()z f 和()z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么()()()()
z g z f z g z f z z z z ''lim lim 00→→=（或两端均为∞）
6． 设函数()z ϕ与()z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数在a z =处各有什
么性质：
1) ()
()z z ψϕ；
2)
()()z z ψϕ；
3) ()()z z ψϕ+；
7． 函数()()
211-=z z z f 在1=z 处有一个二级极点；这个函数又有下列洛朗展开式：()
()()()345211111111-+---+=-z z z z z ，11>-z ，所以“1=z 又是()z f 的本性奇点”；又其中不含()1
1--z 幂，因此()[]01=,Re z f s 。

这些说法对吗？
8． 求下列各函数()z f 在有限奇点处的留数：
1)
z
z z 212-+ 2) 4
21z e z
-
3)
()32411++z z
4)
z
z cos
5) z -11
cos
6) z z 1
2sin
7) z z sin 1
8) chz shz
9． 计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）
1) ⎰=2
3z dz z z
sin
2) ()⎰=-2221z z
dz z
e
3) ⎰=-2
31z m dz z z
cos ， 其中m 为整数
4)
⎰=-1
2i z thzdz
5) ⎰=3
z zdz tg π
6) ()()⎰=--11z n n dz b z a z （其中n 为正整数，且1≠a ，1≠b ，b a <）。

[提示：试就a ，
b 与1
的大小关系分别进行讨论。

]
10． 判定∞=z 是下列各函数的什么奇点？并求出在∞的留数：
1) 21
z e
解：
2) z z sin cos -
3)
232z
z +
11． 求()[]∞,Re z f s 的值，如果 1) ()1
2-=z e z f z
2) ()()()
414-+=z z z e z f z
12． 计算下列各积分，C 为正向圆周：
1)
()()⎰++C dz z z z 34
221521，C ：3=z 2) ⎰+C
z dz e z z 13
1，C ：2=z
3) ⎰+C n
n
dz z
z 12（n 为一正整数），C ：1>=r z
13． 计算下列积分：
1)
⎰+∞+0351ϑϑd sin
2)
⎰∞++02ϑϑϑd b a cos sin ，()0>>b a
3)
()⎰+∞∞
-+dx x 2211 4) ⎰∞+∞-+dx x x 4
2
1
5)
⎰+∞∞-++dx x x x 542cos
6)
⎰+∞
∞-+dx x x x 21sin 14． 试用图5.10中的积分路线，求例4中的积分：
⎰+∞0dx x x sin
15． 利用公式()145..计算下列积分：
1) ⎰=3
1z dz z 解： 2)
⎰
=-321z dz z z
3)
⎰=3z tgzdz
4)
()⎰=+3
11z dz z z
16． 设C 为区域D 内的一条正向简单闭曲线，0z 为C 内一点。

如果()z f 在D 内解析，且()00=z f ，()00≠z f '。

在C 内()z f 无其他零点。

试证：()()⎰=C z dz z f z zf i 021'π
17． 设()z ϕ在C ：1=z 上及其内部解析，且在C 上()1<z ϕ。

证明在C 内只有一个点0z 使()00z z =ϕ。

18． 证明：当e a >时，方程0=-n z az e 在单位圆1=z 内有n 个根。

19． 证明方程01237=+-z z 的根都在圆环域21≤≤z 内。