(完整版)复变函数习题答案第5章习题详解

第五章习题详解

1． 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：

1) ()2211

+z z

解：

2)

31z z sin

3)

1123+--z z z

4)

()z z lz 1+

5)

()()z e z z π++112

6)

11-z e

7)

()

112+z e z 8) n n

z

z +12，n 为正整数

9)

21z sin

2． 求证：如果0z 是()z f 的()1>m m 级零点，那么0z 是()z f

'的1-m 级零点。

3． 验证：2i z π=

是chz 的一级零点。

4． 0=z 是函数()22--+z shz z sin 的几级极点？

5． 如果()z f 和()z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么()()()()

z g z f z g z f z z z z ''lim lim 00→→=（或两端均为∞）

6． 设函数()z ϕ与()z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数在a z =处各有什

么性质：

1) ()

()z z ψϕ；

2)

()()z z ψϕ；

3) ()()z z ψϕ+；

7． 函数()()

211-=z z z f 在1=z 处有一个二级极点；这个函数又有下列洛朗展开式：()

()()()345211111111-+---+=-z z z z z ，11>-z ，所以“1=z 又是()z f 的本性奇点”；又其中不含()1

1--z 幂，因此()[]01=,Re z f s 。这些说法对吗？

8． 求下列各函数()z f 在有限奇点处的留数：

1)

z

z z 212-+ 2) 4

21z e z

-

3)

()32411++z z

4)

z

z cos

5) z -11

cos

6) z z 1

2sin

7) z z sin 1

8) chz shz

9． 计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）

1) ⎰=2

3z dz z z

sin

2) ()⎰=-2221z z

dz z

e

3) ⎰=-2

31z m dz z z

cos ， 其中m 为整数

4)

⎰=-1

2i z thzdz

5) ⎰=3

z zdz tg π

6) ()()⎰=--11z n n dz b z a z （其中n 为正整数，且1≠a ，1≠b ，b a <）。[提示：试就a ，

b 与1

的大小关系分别进行讨论。 ]

10． 判定∞=z 是下列各函数的什么奇点？并求出在∞的留数：

1) 21

z e

解：

2) z z sin cos -

3)

232z

z +

11． 求()[]∞,Re z f s 的值，如果 1) ()1

2-=z e z f z

2) ()()()

414-+=z z z e z f z

12． 计算下列各积分，C 为正向圆周：

1)

()()⎰++C dz z z z 34

221521，C ：3=z 2) ⎰+C

z dz e z z 13

1，C ：2=z

3) ⎰+C n

n

dz z

z 12（n 为一正整数），C ：1>=r z

13． 计算下列积分：

1)

⎰+∞+0351ϑϑd sin

2)

⎰∞++02ϑϑϑd b a cos sin ，()0>>b a

3)

()⎰+∞∞

-+dx x 2211 4) ⎰∞+∞-+dx x x 4

2

1

5)

⎰+∞∞-++dx x x x 542cos

6)

⎰+∞

∞-+dx x x x 21sin 14． 试用图5.10中的积分路线，求例4中的积分：

⎰+∞0dx x x sin

15． 利用公式()145..计算下列积分：

1) ⎰=3

1z dz z 解： 2)

⎰

=-321z dz z z

3)

⎰=3z tgzdz

4)

()⎰=+3

11z dz z z

16． 设C 为区域D 内的一条正向简单闭曲线，0z 为C 内一点。如果()z f 在D 内解析，且()00=z f ，()00≠z f '

。在C 内()z f 无其他零点。试证：()()⎰=C z dz z f z zf i 021'π

17． 设()z ϕ在C ：1=z 上及其内部解析，且在C 上()1时，方程0=-n z az e 在单位圆1=z 内有n 个根。

19． 证明方程01237=+-z z 的根都在圆环域21≤≤z 内。